數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案1-7-2第1課時(shí)柱體與錐體的體積

7．2柱、錐、臺(tái)的體積第1課時(shí)柱體與錐體的體積知識(shí)點(diǎn)一棱柱和圓柱的體積[填一填]柱體(棱柱和圓柱)的體積公式：V柱體＝Sh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高．特別地，圓柱的體積公式可表示為：V圓柱＝Sh＝πr2h，其中r為圓柱的底面半徑，h為圓柱的高．[答一答]1．求柱體的體積的關(guān)鍵是什么？提示：由柱體的體積公式知，柱體的體積僅與它的底面積和高有關(guān)．而與是幾棱柱，是否為直棱柱無關(guān)，故求柱體體積的關(guān)鍵是求底面積和高．知識(shí)點(diǎn)二棱錐和圓錐的體積[填一填]錐體(棱錐和圓錐)的體積公式：V錐體＝eq\f(1,3)Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高．特別地，圓錐的體積公式可表示為：V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h，其中r為圓錐的底面半徑，h為圓錐的高．[答一答]2．求三棱錐的體積時(shí)有什么技巧？試總結(jié)一下．提示：因?yàn)槿忮F的任何一個(gè)面都可以作為它的底面，因此求三棱錐的體積時(shí)可以更換三棱錐的頂點(diǎn)和底面，尋求底面積與高易求的三棱錐．1．等積變形法求體積等積變形法一般用于三棱錐體積的求解，利用三棱錐的體積不論以哪個(gè)面作底面其體積不變的特點(diǎn)，常轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的方式求解．如圖所示，VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·h1＝eq\f(1,3)S△ACD·h2＝eq\f(1,3)S△ABC·h3＝eq\f(1,3)S△ABD·h4.2．有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識(shí)在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面，正棱柱的上下底面與其直截面有相同的性質(zhì)．棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)＝c直截面l(其中c直截面，l分別為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長)，V棱柱＝S直截面l(其中S直截面，l分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長)．類型一柱體的體積【例1】已知一個(gè)正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9cm，寬為6cm的矩形，求該正三棱柱的體積．【思路探究】由正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，知底面等邊三角形的周長可能是9cm或6cm，應(yīng)分情況討論．【解】設(shè)正三棱柱的底面等邊三角形的邊長為acm，高為hcm.(1)當(dāng)正三棱柱的底面周長為9cm時(shí)，則h＝6，且3a＝9，∴a＝3，∴S底面＝eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)(cm2)，∴V正三棱柱＝S底面·h＝eq\f(9\r(3),4)×6＝eq\f(27,2)eq\r(3)(cm3)．(2)當(dāng)正三棱柱的底面周長為6cm時(shí)，則h＝9，且3a＝6，∴a＝2，∴S底面＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(cm2)，∴V正三棱柱＝S底面·h＝eq\r(3)×9＝9eq\r(3)(cm3)．故該正三棱柱的體積為eq\f(27,2)eq\r(3)cm3或9eq\r(3)cm3.規(guī)律方法柱體的體積公式是V＝Sh，求柱體體積的關(guān)鍵是確定柱體的底面積和高．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于56.解析：該幾何體是底面為直角梯形，高為4的直四棱柱，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×(2＋5)×4×4＝56.類型二錐體的體積【例2】如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)為P，PA，PB，PC為兩兩垂直的側(cè)棱，這三條側(cè)棱的長分別為3,3,4，求此三棱錐P－ABC的體積．【思路探究】若將△ABC作為底面，則該底面的面積不易求得，考慮到PA，PB，PC兩兩垂直，不妨將三角形PAB當(dāng)作底面，則三棱錐P－ABC的高是PC，于是易求得體積．【解】將三角形PAB當(dāng)作底面，則三棱錐P－ABC的高是PC.所以VP－ABC＝VC－PAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·PA·PB·PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×4＝6.規(guī)律方法求棱錐的體積時(shí)，要特別注意各棱間的垂直關(guān)系，應(yīng)盡可能選擇直角三角形面作為底面．已知正四棱錐P－ABCD的底面是邊長為4cm的正方形，高與斜高的夾角為30°，如圖所示，求正四棱錐的體積．解：正四棱錐的高PO、斜高PE和底面邊心距OE組成Rt△POE.因?yàn)镺E＝2cm，∠OPE＝30°，所以高PO＝eq\f(OE,tan30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),3))＝2eq\r(3)cm，因此V正四棱錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×42×2eq\r(3)＝eq\f(32\r(3),3)(cm3)．類型三組合體的體積計(jì)算【例3】直三棱柱的高為6cm，底面三角形的三邊長分別為3cm,4cm,5cm，將棱柱削成圓柱，求削去部分體積的最小值．【思路探究】要想使削去部分體積最小，只需使圓柱為直三棱柱的內(nèi)接圓柱，即使圓柱的底面圓為直三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓即可．【解】只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)，圓柱的體積最大，削去部分體積才能最?。O(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高6cm.∵底面三角形的三邊長分別為3,4,5，∴底面為直角三角形．根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7－2R＝5，∴R＝1.∴V圓柱＝πR2·h＝6π.而三棱柱的體積為V三棱柱＝eq\f(1,2)×3×4×6＝36，∴削去部分體積為36－6π＝6(6－π)cm3.即削去部分體積的最小值為6(6－π)cm3.規(guī)律方法對(duì)于幾何體有關(guān)求最值問題，可以先由幾何性質(zhì)判定后再去求最值．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分的母線長最大值為a，最小值為b，求這個(gè)幾何體的體積．提示：所求幾何體為不規(guī)則幾何體，我們可以將這個(gè)幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，就可以求圓柱的體積，從而也可以求該幾何體的體積了．解：補(bǔ)上一個(gè)相同形狀的幾何體，如圖，可得底面半徑為r，高為(a＋b)的圓柱，且?guī)缀误w的體積為圓柱體積的一半，故所求的體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．類型四與三視圖有關(guān)的體積計(jì)算【例4】已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()A.eq\f(1,3)cm3B.eq\f(2,3)cm3C.eq\f(4,3)cm3D.eq\f(8,3)cm3【解析】該幾何體是三棱錐，如圖所示，則該三棱錐的高為2，底面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，則其體積為eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)(cm3)．【答案】C規(guī)律方法給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得．此類題目為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(D)A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：由三視圖得，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去四面體A-A1B1D1，如圖所示，設(shè)正方體棱長為a，則VA-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,6)a3，故剩余幾何體體積為a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為eq\f(1,5)，故選D.——規(guī)范解答系列——求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積【例5】已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．【思路分析】應(yīng)用錐體的表面積和體積的計(jì)算公式求解．解題流程為：eq\x(\a\al(△ABC,的特征))eq\o(→,\s\up17(AC⊥BC))eq\x(\a\al(旋轉(zhuǎn)體是兩,個(gè)同底圓錐))eq\o(→,\s\up17(底面半徑),\s\do15(為CD))eq\x(\a\al(求表,面積))eq\o(→,\s\up17(高BD，),\s\do15(AD))eq\x(求體積)【精解詳析】如圖所示，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，則AC⊥BC.∵BC·AC＝AB·CD，∴CD＝eq\f(12,5)，記為r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，且底面半徑r＝eq\f(12,5)，母線長分別是AC＝3，BC＝4，∴S表面積＝πr·(AC＋BC)＝π×eq\f(12,5)×(3＋4)＝eq\f(84,5)π，V＝eq\f(1,3)πr2(AD＋BD)＝eq\f(1,3)πr2·AB＝eq\f(1,3)π×(eq\f(12,5))2×5＝eq\f(48,5)π.∴所求旋轉(zhuǎn)體的表面積是eq\f(84,5)π，體積是eq\f(48,5)π.【解后反思】求旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題常需要畫出其軸截面圖，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成的，然后根據(jù)條件分清各個(gè)簡單幾何體底面半徑及母線長，再分別代入公式求各自的表面積或體積．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD解：如圖，所得幾何體為一個(gè)圓柱內(nèi)除去一個(gè)圓錐．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)·tan60°＝eq\r(3)a，DC＝eq\f(2a－a,cos60°)＝2a.又eq\f(DD′,2)＝eq\f(DC,2)＝a，所以S表＝S圓環(huán)＋S圓柱側(cè)＋S圓C＋S圓錐側(cè)＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·eq\r(3)a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋4eq\r(3))πa2.V＝V圓錐－V圓錐＝π(2a)2·eq\r(3)a－eq\f(1,3)πa2·eq\r(3)a＝eq\f(11\r(3),3)πa3.一、選擇題1．長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長的比是123，體對(duì)角線的長為2eq\r(14)，則這個(gè)長方體的體積是(D)A．6 B．12C．24 D．48解析：設(shè)三條棱長為x,2x,3x，∴2eq\r(14)＝eq\r(x2＋4x2＋9x2)，∴x＝2.∴V＝2×4×6＝48.2．若圓錐的母線長為8，底面周長為6π，則其體積是(C)A．9eq\r(55)πB．9eq\r(55)C．3eq\r(55)πD．3eq\r(55)解析：設(shè)半徑為r，∴2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(55)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×9×eq\r(55)＝3eq\r(55)π.3．一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其主視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是(B)A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：本題考查四棱錐的側(cè)面積、體積公式及三視圖．由主視圖知底面邊長為2，高為2，又因?yàn)閭?cè)棱長相等，棱錐是正四棱錐，斜高h(yuǎn)′＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).二、填空題4．已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，則該四棱錐的體積是96.解析：V＝eq\f(1,3)×36×8＝96.5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為4m解析：此幾何體是兩個(gè)長方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.三、解答題6．已知底面半徑為eq\r(3