第1.2講數(shù)列之數(shù)列求和-2024年高考數(shù)學高頻考點必刷題型（新高考通用）原卷版

2024年高考數(shù)學高頻考點必刷題型精講+精練（新高考通用）第1.2講數(shù)列之數(shù)列求和①公式法②裂項相消法Ⅰ—等差型③裂項相消法Ⅱ—根式型④裂項相消法Ⅲ—指數(shù)型⑤裂項相消法Ⅳ—其他型⑥錯位相減法⑦分組（并項）求和法⑧倒序相加法⑨數(shù)列求和的其他辦法一、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和（2）等比數(shù)列的前n項和（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（4）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【裂項技巧】①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）（2）（3）④三角型（1）（2）（3）⑤階乘：題型一：題型一：公式法【例1】在等差數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)記的前項和為，若，求的值.【例2】已知等差數(shù)列前項和是，已知(1)求的通項公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，求前項和．一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．48 B．52 C．54 D．562．（2024上·北京順義·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項和．若，公差，，則（

）A．5 B．4 C．3 D．23．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．150 B．120 C．75 D．684．（2024·廣東深圳·深圳中學?？家荒＃┤羰堑炔顢?shù)列，表示的前n項和，，則中最小的項是（

）A． B． C． D．5．（2024上·廣東·高三廣東華僑中學校聯(lián)考期末）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．316．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為，前項和為.若，則（

）A．31 B．32 C．63 D．647．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．36 B．54 C．28 D．42二、填空題8．（2024上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知是等比數(shù)列的前項和，，則．9．（2024上·全國·高三專題練習）已知兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為，.若則.10．（2024·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．11．（2024上·重慶·高三統(tǒng)考期末）記數(shù)列的前n項和為，若，且，則．三、解答題12．（2024·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，已知，，.(1)若，求的通項公式；(2)若，求.13．（2024·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.14．（2024上·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）在正項等差數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：.【題型技巧】（1）等差數(shù)列的前n項和（2）等比數(shù)列的前n項和題型二：題型二：裂項相消法Ⅰ—等差型【例1】數(shù)列滿足條件：，點在直線上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．一、解答題1．（2024上·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.2．（2024·廣東肇慶·校考模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，是它的前項和，已知.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.3．（2024上·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，其中為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．4．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考一模）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【題型技巧】（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．題型三：題型三：裂項相消法Ⅱ—根式型【例1】已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.一、解答題1．（2023上·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設(shè)各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且對于任意，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前99項和.2．（2024上·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)的圖象上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和．3．（2023上·廣東·高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集．4．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且（表示不超過的最達整數(shù)），．(1)求；(2)令，記數(shù)列的前項和為，求證：．題型四：題型四：裂項相消法Ⅲ—指數(shù)型【例1】已知等比數(shù)列的前項和為,,.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)令,求數(shù)列的前項和.一、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，已知．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．2．（2024·全國·高三專題練習）已知一次函數(shù)的圖象過點和．數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足，證明：．3．（2024·廣東廣州·廣州六中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項和為，求證：．題型五：題型五：裂項相消法Ⅳ—其他型【例1】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為．且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，其前n項和，證明：．一、解答題1．（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若，求證：.2．（2024上·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．3．（2024上·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和.4．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列中，.(1)求；(2)設(shè)，求證：.5．（2024上·山東德州·高三德州市第一中學校考期末）設(shè)為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，證明：．題型六：題型六：錯位相減法【例1】已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)證明：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.一、解答題1．（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）已知正項等差數(shù)列的前n項和為成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求的前n項和．2．（2024上·江蘇蘇州·高三?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.3．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設(shè)數(shù)列滿足：.等比數(shù)列的首項，公比為2.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.4．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，若對任意恒成立，求實數(shù)的最小值．5．（2024上·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前項和為，首項為，已知，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【題型技巧】（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．題型七：題型七：分組（并項）求和法【例1】已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【例2】在等比數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．一、解答題1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．2．（2024·廣東中山·中山紀念中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足．(1)若為等差數(shù)列，求的通項公式；(2)記的前項和為，不等式對恒成立，求的取值范圍．3．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，且.(1)求的通項公式；(2)求的前10項和.4．（2024上·廣東·高三廣東華僑中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，.(1)求數(shù)列，的通項公式.(2)對任意的正整數(shù)，，求數(shù)列的前項和.5．（2024上·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）記為數(shù)列的前n項和，當時,．且．(1)求，；(2)（i）當n為偶數(shù)時，求的通項公式；（ⅱ）求．6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.7．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學校?？计谀┮阎獢?shù)列中，，且．(1)求的通項公式；(2)求的前項和．【題型技巧】題型八：題型八：倒序相加法【例1】已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱;(2)若，求；一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項公式．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；(2)求的值．3．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求.4．（2023·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若，記為數(shù)列的前項和，求的值.【題型技巧】將一個數(shù)列倒過來排列，當它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型九：題型九：數(shù)列求和的其他辦法【例1】已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前100項和．一、解答題1．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和．2．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）已知為數(shù)列的前n項和，，;是等比數(shù)列，，，公比．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列和的所有項分別構(gòu)成集合A，B，將的元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求．3．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，．(