專題01分類加法計數原理與分步乘法計數原理（2個知識點3種題型1個易錯點）

專題01分類加法計數原理與分步乘法計數原理（2個知識點3種題型1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.兩個計數原理及其簡單應用知識點2.兩個計數原理的綜合應用拓展1.分類加法計數原理的應用拓展2.分步乘法計數原理的應用拓展3..兩個計數原理的綜合應用突破1.窮舉法在解決實際問題中的運用突破2.用計數原理解決涂色問題【方法二】實例探索法題型1.分類加法計數原理的應用題型2.分步乘法計數原理的應用題型3.兩個計數原理的綜合應用【方法三】差異對比法易錯點：計數時出現“重復”或“遺漏”【方法四】成果評定法【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.兩個計數原理及其簡單應用一、分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．二、分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．例一、單選題1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種【答案】D【分析】由簡單計數原理求不同選法數.【詳解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任選一首播放，不同的選法共有種.故選：D2．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種【答案】A【分析】根據分步乘法計數原理求得正確答案.【詳解】甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，由乘法原理可得甲?乙所選的課程不相同的選法有（種）.故選：A知識點2.兩個計數原理的綜合應用一、兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題不同點針對的是“分類”問題不同點各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事例二、多選題3．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數記為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用分類計數原理即可得解.【詳解】當時，分四步：第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數為，所以，故A正確；當時，分四步：第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數為，所以，故B錯誤；當時，分四步：第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數為，所以，故C錯誤；當時，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數為，所以，故D正確.故選：AD.4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中學?？茧A段練習）某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處，則（

）A．三次骰子后所走的步數可以是12 B．三次骰子的點數之和只可能有兩種結果C．三次股子的點數之和超過10的走法有6種 D．回到點處的所有不同走法共有27種【答案】BCD【分析】由題意，可得拋擲三次骰子后，棋子恰好又回到點A處，說明棋子沿正方形逆時針行走了8個單位．由此再分析三次擲出的點數之和為8對應基本事件的個數，討論每種對應的個數即可.【詳解】A、B：由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是8，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數之和是，故A錯誤，B正確；C、D：列舉出在點數中三個數字能夠使得和為的有，共有7種組合，前2種組合，每種情況可以排列出種結果，共有種結果；各有3種結果，共有種結果，其中點數之和超過10的走法為，共有種，故C正確；根據分類計數原理知共有種結果，故D正確；故選：BCD二、兩個計數原理的應用用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務．分類后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數．拓展1.分類加法計數原理的應用單選題（2024上·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（

）A．14 B．17 C．20 D．23【答案】C【分析】分類求解符合條件的三位數的個數即可.【詳解】集合，且，則這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”包含以下三種情況：①十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；②十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；③十位數是，則百位數只能是，個位數可以是中的一個數，即個；綜上，符合條件的共有個.故選：C.拓展2.分步乘法計數原理的應用2．單選題（2024·全國·高三專題練習）某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（

）A． B． C．12 D．9【答案】A【分析】由分步乘法計數原理即可得到結果.【詳解】甲、乙、丙、丁每人均有3種選擇，可以采用分步計數原理，得四人參賽方案的種類為．故選：A.拓展3..兩個計數原理的綜合應用3．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有個.【答案】225【分析】根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再分別求出各位上的種數，先用乘法原理求出各類種數，再由加法原理即得.【詳解】依題意，五位正整數中“回文數”具有：萬位與個位數字相同，且不為0，千位與十位數字相同，求有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”的個數有兩類辦法：第一類：萬位數字為偶數且不為0有4種，千位選一個奇數有5種，百位選一個奇數有5種，不同“回文數”的個數為個，第二類：萬位數字為奇數有5種，千位選一個偶數有5種，百位選一個奇數有5種，不同“回文數”的個數為，由分類加法原理得，在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有：個.故答案為：225突破1.窮舉法在解決實際問題中的運用1．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關于的方程有實數解的有序數對的個數為.【答案】12【分析】分是否為0判斷即可.【詳解】①當時，取范圍內任一實數均有實數解，此時有4對；②當時，有解則滿足，即，當時，可取的值有、0、2、3，當時，可取的值有、0，當時，可取的值有、0，共有12對.故答案為：12.突破2.用計數原理解決涂色問題2．（2023·全國·高二課堂例題）在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？【答案】種【分析】用表示紅色，用表示藍色，列舉出所有不同的涂色方法，結合分類加法計數原理可得結果.【詳解】用表示紅色，用表示藍色，用表示第一個和第三個格子涂紅色，第二個和第四個格子涂藍色．因為紅色和藍色都要用兩次，為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，則填涂結果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰．涂紅色的格子相鄰的方法有：、、，共種；涂紅色的格子不相鄰的方法有：、、，共種．依據分類加法計數原理，李明共有不同的涂法種．【方法二】實例探索法題型1.分類加法計數原理的應用1．（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現從中取出2個球．(1)至少有一個白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據分類加法計數原理及分步乘法計數原理求解；（2）根據分類加法計數原理及分步乘法計數原理求解；【詳解】（1）根據題意分2類完成任務：第一類：白球紅球各一個有種，第二類：均為白球，種，所以共有種；（2）根據題意分2類完成任務：第一類：均為白球，種，第二類：均為紅球，種，所以共有種．題型2.分步乘法計數原理的應用2．（2023·全國·高二隨堂練習）按序給出a，b兩類元素，a類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b兩類中各取1個元素組成1個排列，求a類中選取的元素排在首位，b類中選取的元素排在末位的排列的個數．【答案】120【分析】利用分步乘法計數原理即可求解.【詳解】求排列個數需要兩步：排首位有10種方法，排末位有12種方法，由分步乘法計數原理得：，所以所求排列個數為120.題型3.兩個計數原理的綜合應用3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【答案】C【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數原理求解.【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.【方法三】差異對比法易錯點：計數時出現“重復”或“遺漏”1．（2023下·河南·高二河南大學附屬中學?？计谥校?025年河南省實行新高考，小明需要從物理、化學、生物、政治、歷史、地

理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時選擇，則小明不同的選科情況有種．【答案】16【分析】根據題意，可分為三類：（1）若物理和歷史同時不選；（2）若選物理，不選歷史；（3）若不選物理選歷史，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】由題意，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，且物理和歷史不能同時選擇，可分為三類：（1）若物理和歷史同時不選，共有種選法；（2）若選物理，不選歷史，共有種選法；（3）若不選物理，選歷史，共有種選法；由分類計數原理，可得不同的選科情況共有種.故答案為：16.2．（2023·全國·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節(jié)目．(1)當這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？(2)如果有3個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分類加法計數原理進行求解【詳解】（1）當所有頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機選看的節(jié)目可分為3類：第一類，選看中央臺頻道的節(jié)目，有12個不同的節(jié)目；第二類，選看本地臺頻道的節(jié)目，有10個不同的節(jié)目；第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個不同的節(jié)目．根據分類加法計數原理，一臺電視機共可以選看個不同的節(jié)目．（2）因為有3個頻道正在轉播同一場球賽，即這3個頻道轉播的節(jié)目只有1個，而其余頻道共有個正在播放互不相同的節(jié)目，所以一臺電視機共可以選看個不同的節(jié)目．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2003·全國·高考真題）在直角坐標系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內部和邊上整點（即橫、縱坐標均為整數的點）的總數是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【分析】首先確定以為對角線的矩形中整點的個數，再確定上的整點數，最后根據對稱性求出△中整點的個數.【詳解】由題設，直線分別交x、y軸于、，以高為10，寬為15的矩形內（含邊）整數點有176個，其中直線上的整數點有、、、、、，共6個，所以，矩形對角線兩側的三角形中整點的個數為個，綜上，△中整點的個數為個.故選：B2．（2022下·廣東深圳·高二深圳市光明區(qū)高級中學?？计谥校┠呈腥嗣襻t(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內科有5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，現從該醫(yī)院急診科和內科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（

）A．180種 B．56種 C．29種 D．15種【答案】A【分析】第一步，從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，第二步，從內科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，分別求出方案數，再根據分步乘法計數原理求解即可.【詳解】從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有種方案，從內科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有種方案，根據分步乘法計數原理，該醫(yī)院總共有種不同的選派方案.故選：A.3．（2021上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考開學考試）一只小蟲子欲從A點不重復經過圖中的點或者線段，而最終到達目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（）A．12種 B．13種C．14種 D．15種【答案】C【分析】根據題意按照一定順序，將所有的路線列舉出來即可.【詳解】由題意這只小蟲子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,ABCDPFE,ABPDE,共14種，故選：C4．（2020·高二課時練習）張、王夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園順序的排法種數是A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【詳解】分析：先安排首尾的兩位家長，再將兩個小孩捆綁作為一個整體，與剩下的兩位家長作為三個元素安排在中間即可得到結論．詳解：先安排首尾兩個位置的男家長，共有種方法；將兩個小孩作為一個整體，與剩下的另兩位家長安排在兩位男家長的中間，共有種方法．由分步乘法計數原理可得所有的排法為種．故選B．點睛：求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．”5．（2022下·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種【答案】D【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張100元人民幣的取法，利用分步計數原理計算即可.【詳解】除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.6．（2023下·高二課時練習）甲?乙?丙?丁四位同學決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數為（

）A．65 B．73 C．70 D．60.【答案】A【分析】根據題意，先由分步計數原理計算可得四人選擇3個地方的全部情況數目，再計算漢口江灘沒人去的情況數目，分析可得漢口江灘一定要有人去的游覽方案數．【詳解】解：根據題意，甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，且每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則4人一共有種情況，若漢口江灘沒人去，即四位同學選擇了黃鶴樓?東湖，每人有2種選擇方法，則4人一共有種情況，故漢口江灘一定要有人去有種情況，故選：A．7．（2021·高二課時練習）如圖所示，在，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，則焊接點脫落的不通情況有（

）種.A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】根據題意分脫落1個、2個、3個和4個，進而列舉出所有情況得到答案.【詳解】解：按照可能脫落的個數分類討論，若脫落1個，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個，則有，，，，，共6種情況，若脫落3個，則有，，，共4種情況，若脫落4個，則有共1種情況，綜上共有種情況.故選：C.8．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中學?？茧A段練習）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.現有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．36 B．18 C．9 D．6【答案】C【分析】利用分步計數原理及分類計數原理即得.【詳解】由題可知，中間格只有一種放法；十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；所以不同放法共有種.故選：C.二、多選題9．（2021下·重慶巴南·高二重慶市實驗中學校考階段練習）第三屆世界智能駕駛挑戰(zhàn)賽在天津召開，小趙、小李、小羅、小王、小劉為五名志愿者，現有翻譯、安保、禮儀、服務四項不同的工作可供安排，則下列說法正確的有（

）A．若五人每人可任選一項工作，則不同的選法有54種B．若每項工作至少安排一人，則有120種不同的方案C．若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則有60種不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法【答案】CD【分析】對于A，由題意得每人均有4種選法，然后由分步乘法原理可得答案；對于B，將5人分成4組，其中有一組2人，其余各組1，然后將這4組人分配到4個不同的工作中去即可；對于C，先選2人到禮儀工作，剩下的3平均分配到其它3個工作，然后由分步乘法原理可得答案；對于D，按分步乘法原理求解，先選2人排前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的最中間，剩下2人排兩端即可【詳解】解：若五人每人任選一項工作，則每人均有4種不同的選法，不同的選法有45種，故A不正確；若每項工作至少安排一人，則先將五人按分成四組，再分配到四個崗位上，故不同的方案有（種），故B不正確；若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則先從五人中任選兩人安排在禮儀崗位，其余三人在其余三個崗位上全排列即可，故不同的方案有（種），C正確；前排有種站法，后排3人高的站中間有種站法，所以共有種，故D正確．故選：CD．10．（2021下·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考階段練習）現安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【分析】利用分步乘法計數原理判斷AC選項的正確性，利用分類加法計數原理以及組合數計算判斷B選項的正確性，利用排列數計算判斷D選項的正確性.【詳解】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為，另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學去工廠甲，則同學選派情況有，另外一名同學的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故答案為：BCD11．（2021上·遼寧營口·高二期末）現有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法【答案】ABD【分析】利用排列知識計算得到選項ABD正確；若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以選項C錯誤.【詳解】解：A.從中任選1個球，有15種不同的選法，所以該選項正確；B.若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法，所以該選項正確；C.若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以該選項錯誤；D.若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法，所以該選項正確.故選：ABD12．（2022上·高二課時練習）（多選題）已知，，則方程可表示不同的橢圓的個數用式子表示為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用加法和乘法計數原理和方程=1表示橢圓的限制條件，即可得到方程可表示不同的橢圓的個數用式子表示的正確形式.【詳解】方法一：當時，b有3種選擇；當時，b有3種選擇；當時，b有2種選擇，則方程可表示不同的橢圓的個數用式子表示為.方法二：當a在中任取1個，b在中任取1個時，不可以表示橢圓，則方程可表示不同的橢圓的個數用式子表示為.故選：BC三、填空題13．（2021·高二課時練習）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有種.【答案】72【分析】利用分步乘法計數原理以及分類加法計數原理即可求解.【詳解】下面分兩種情況，即C，A同色與C，A不同色來討論.（1）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種，C，A同色時，C的著色方法為1種，D的著色方法有2種.（2）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種.C與A不同色時C的著色方法有1種，D的著色方法有1種，綜上，兩類共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(種).故答案為：7214．將紅、黑、藍、黃個不同的小球放入個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數為.(用數字作答)【答案】30【分析】先計算小球放入3個不同的盒子的放法數目，再計算紅球和藍球放到同一個盒子的放法數目，兩個相減得到結果．【詳解】將4個小球放入3個不同的盒子，先在4個小球中任取2個作為1組，再將其與其它2個小球對應3個盒子，共C42A33=36種情況，若紅球和藍球放到同一個盒子，則黑、黃球放進其余的盒子里，有A33=6種情況，則紅球和藍球不放到同一個盒子的放法種數為36－6=30.故答案為30【點睛】本題考查排列組合及簡單的計數原理的應用，注意用間接法，屬于基礎題．15．某小區(qū)一單元共有6層，每層只有一家住戶.已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多有一家收到快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少有一家收到快遞，則在同一天這6家住戶收到快遞的可能情況共有種.（用數字作答）【答案】【分析】采用列舉法，分同一天2家有快遞、同一天3家有快遞兩種情況分析即得解.【詳解】分兩種情況討論：（1）同一天2家有快遞，則所有情況為：（2）同一天3家有快遞，則所有可能結果為：綜上所述：共種故答案為：【點睛】本題考查了組合的知識以及列舉法的應用，考查了學生綜合分析，分類討論的能力，屬基礎題.16．現有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學雜志，還有5本是互不相同的數學雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數為．【答案】26【詳解】分析：從選取的數學雜志的本數入手討論即可．詳解：若選取的三本書沒有數學雜志，有1種選法若選取的三本書有1本數學雜志，有種選法若選取的三本書有2本數學雜志，有種選法若選取的三本書有1本數學雜志，有種選法故不同選法的種數為26點睛：本題主要考查分類加法原理和組合的簡單應用，屬于基礎題．四、解答題17．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）用1，2，3，4，5，6，7這七個數字組成沒有重復數字的四位數，其中偶數共有多少個？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以組成多少個沒有重復數字，并且小于60000的正整數？（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數共有多少個？【答案】（1）360；（2）2899；（3）216.【分析】（1）偶數的個位數只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法計數原理即得解；（2）根據題意，由分類加法計數原理結合排列數與組合數的計算，即可得到結果.（3）根據題意，由組合數的計算結合分步乘法計數原理，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）偶數的個位數只能是2、4、6，有種排法，其他位置上任意排列，有種排法，由分步乘法計數原理，得，共有四位偶數（個）.（2）根據題意，可得，沒有重復數字的一位正整數，共有，沒有重復數字的兩位正整數，共有，沒有重復數字的三位正整數，共有，沒有重復數字的四位正整數，共有，沒有重復數字且小于60000的五位正整數，共有；所以，小于60000的正整數共有（個）.（3）首先個位數字必須為奇數，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再從剩余3個奇數中選擇一個有種，從2，4，6三個偶數中選擇兩個有種，最后進行十位，百位，千位三個位置的全排列，則共有（個）.18．（2023·全國·高二課堂例題）某校在藝術節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現要從3名教師、4名男同學和5名女同學當中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學和女同學各一人共同主持，共有多少種不同的選法？【答案】(1)12(2)【分析】（1）利用分類加法計數原理進行求解；（2）利用分步乘法計數原理進行求解.【詳解】（1）從3名教師、4名男同學和5名女同學當中選出一人主持晚會，結果可分為3類：第一類，選一名教師主持，有3種選法；第二類，選一名男同