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文檔簡介
2022-2023學(xué)年度高二第一學(xué)期期末檢測題
文科數(shù)學(xué)(選修1-1)試卷
注意事項(xiàng):
1.考試時間120分鐘,滿分150分.
2.答卷前,考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫清楚.
3.全部答案在答題卡上作答,答在本試題上無效.
一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.命題“3χeO^κ°),InX=XT,,的否定是()
A.Vx∈(0,+∞),InX≠%-1B.Ξx∈(0,+∞),lnx≠x-l
C.VX∈(0,+∞),lnx=x-lD.3x∈(0,+∞),Inx=X-I
【答案】A
【解析】
【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,寫出結(jié)果即可.
【詳解】命題”mx∈(0,+∞),InX=X-1”否定是”Vx∈(0,+∞),lnx≠x-1,,.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查存在量詞命題和全稱量詞命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
2.設(shè)α∈R,則"α>l”是“∕>α,,的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解二次不等式,然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】求解二次不等式∕>α可得:。>1或。<0,
據(jù)此可知:α>l是Y>α的充分不必要條件.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的解法,充分性和必要性的判定,屬于基礎(chǔ)題.
3.下列命題中,錯誤的命題個數(shù)有()
①/(O)=O是/(x)為奇函數(shù)的必要非充分條件;
②函數(shù)/(χ)=^r(A")(Qe∕?)是偶函數(shù);
4
③函數(shù)./'(χ)=χ+—,χw(2,+oo)的最小值是4;
X
④函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)?。)),且對其內(nèi)任意實(shí)數(shù)儲、巧均有:(玉—々)[/(內(nèi))一/(%)]<0,則
/(x)在(a,。)上是減函數(shù).
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要性判斷出"/(0)=0”與“/(X)為奇函數(shù)”的充分必要性關(guān)系,可判斷出命題①
的正誤;根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(X)=型二D(aGR)的奇偶性,可判斷出命題②的正誤;
利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷出命題③的正誤;利用單調(diào)性的定義判斷命題④的正誤.
【詳解】對于命題①,取/(x)=f,則/(0)=0,但該函數(shù)不是奇函數(shù),則“/(0)=0"N"/(X)
為奇函數(shù)”,另一方面,若函數(shù)y=∕(x)為奇函數(shù),取/(x)=J則/(O)沒意義,則“〃力為奇函
數(shù)"NV(O)=Ow,所以,/(0)=0是/(χ)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件,命題①錯誤;
對于命題②,函數(shù)/(力=色三辿(。€/?)的定義域?yàn)椴凡饭?。?不一定關(guān)于原點(diǎn)對稱,則函數(shù)
/(X)=廣)(a∈R)不一定是偶函數(shù),命題②錯誤;
對于命題③,由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)/(*)=》+:在區(qū)間(2,+8)上是增函數(shù),當(dāng)xe(2,+s)
時,/(x)>∕(2)=4,此時,該函數(shù)無最小值,命題③錯誤;
對于命題④,設(shè)玉<々,且4、*2e(a,0),則%-工2<0,(5(X2)]<。,
則/(司)一/(%2)>0,即/(XJ>/(々),所以,函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(a1)上為減函數(shù),命題④正
確.
因此,錯誤命題的個數(shù)為3.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性有關(guān)命題的判斷,同時也考查了必要不充分條件的判斷,解題
時要熟悉單調(diào)性和奇偶性的定義,考查推理能力,屬于中等題.
22
4.Fl,E為橢圓總+卷?=1的兩個焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且IPKI=5,貝UIPgI=()
A.9B.4C.2D.1
【答案】A
【解析】
【分析】由橢圓定義可得歸用+歸用=2a=14,進(jìn)而求得結(jié)果.
2222
【詳解】橢圓式-+乙=1中,a=7,「耳,鳥為橢圓土■+匕=1的兩個焦點(diǎn),
499499
附|+|明=2α=14,又IpEl=5,Q?PF2?=9
故選:A
22
5.已知方程』—+上—=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
2-k2k—1
【答案】C
【解析】
22
【詳解】解:因?yàn)榉匠潭?1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,因此2k-1>0,2-k>0,同時2k-1>2-k,這樣
2-k2k-}
解得為選項(xiàng)C
2222
6.橢圓5+方=1與橢圓_£_+』_=1(,”<3)的()
4-m3-m
A.長軸長相等B.短軸長相等C.離心率相等D.焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】分別求出兩個橢圓的長軸長、短軸長、離心率和焦距即可判斷.
【詳解】解:橢圓三+E=I的長軸長為4,短軸長為26,離心率為丑三3=L焦距為
4322
2√4^3=2;
橢圓」一+—匚=l(m<3)的長軸長為2"盛,短軸長為2斥百,離心率為
4一加3-m
逅-1焦距為2j(4—_)_(3—.)=2;
√4-w<4-m
故兩個橢圓的焦距相等.
故選:D.
2
7.已知雙曲線方程為:χ2-?=l,則下列敘述正確的是()
2
A.焦點(diǎn)F(±1,O)B.漸近線方程:y=±√2xC.離心率為正D.
實(shí)軸長為2夜
【答案】B
【解析】
【分析】
由雙曲線的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
2_________
【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為:x2-^-=l,所以α=l1=0,c=J?仔'=6,
所以該雙曲線的焦點(diǎn)尸(±JIθ),故A錯誤;
漸進(jìn)線方程為y=+y[2x,故B正確;
離心率e=£=6,故C錯誤;
a
實(shí)軸長勿=2,故D錯誤.
故選:B.
8.設(shè)《,工是雙曲線C:/一$=i的兩個焦點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且IOPI=2,則
3
的面積為()
75
A.-B.3C.-D.2
22
【答案】B
【解析】
【分析】由6KP是以P為直角直角三角形得至IJlPEF+1PKi2=16,再利用雙曲線的定義得到
∣∣PF,?-?PF21∣=2,聯(lián)立即可得到IP用IPEI,代入S=glP不IPKI中計算即可.
【詳解】由已知,不妨設(shè)耳(一2,0),鳥(2,0),
則α=l,c=2,因?yàn)镮Opl=2=g比用,
所以點(diǎn)P在以耳鳥為直徑的圓上,
即./KP是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,
故IP£『+|P5『引耳入「,
2
即I尸片|2+1PgI=16,又IlPEl-IP瑪∣∣=2α=2,
2
所以4=||「/"一|"『=1PKl?+1尸鳥I-2?PFi??PF2?=iβ-2?PF,??PF2?,
解得IPGllP巴I=6,所以S寸叩=;IPEJlPF21=3
故選:B
【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計算問題,涉及到雙曲線的定義,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能
力,是一道中檔題.
9.頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且過點(diǎn)P(-4,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
A.y2=-X
B.X2=-8γ
C.y2=-8x或f=_y
D.y2=-X或f=-8γ
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析:設(shè)拋物線為丁=如,代入點(diǎn)P(-4,-2),解得加=-1,則拋物線方程為產(chǎn)=一無;設(shè)
拋物線為/=〃y,代入點(diǎn)P(-4,-2),解得“=—8,則拋物線方程為f=一8y;故D為正確答案.
考點(diǎn):1、拋物線方程的求法;2、分類討論的思想.
10.設(shè)拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線/與丁軸的交點(diǎn)為M,尸是C上一點(diǎn),若IP目=5,則
?PM?=()
A.√21B.5C.2√7D.√41
【答案】D
【解析】
【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程,可得出點(diǎn)用的坐標(biāo),利用拋物線的定義可求得點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用兩
點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為∕7(O,1),準(zhǔn)線方程為y=τ,可得準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)M(0,τ),
設(shè)點(diǎn)。(佻〃),由拋物線的性質(zhì),∣pp∣=〃+1=5,可得〃=4,
所以,加2=4"=16,解得/%=±4,即點(diǎn)尸(±4,4),所以IPM=J4?+(4+1/=J
故選:D.
11.已知函數(shù)y=f(χ),其導(dǎo)函數(shù)y=f(χ)的圖象如圖所示,貝IJy=/(χ)()
y↑
A.在(一8,0)上為減函數(shù)B.在X=O處取極小值
C.在(1,2)上為減函數(shù)D.在χ=2處取極大值
【答案】C
【解析】
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系可解.
【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象知,y=∕(x)在(一8,0)和(2,4)上單增,在(0,2),(4,+8)上單減,在在X=O處
取極大值,在x=2處取極小值.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究原函數(shù)的單調(diào)及極值
導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)/(χ)在(。,切內(nèi)單調(diào)性的步驟:
⑴求f(x);(2)確定/'(無)在(a,b)內(nèi)的符號;(3)作出結(jié)論:/(x)>()時為增函數(shù);/(無)<0時為減
函數(shù).研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.
12.若函數(shù)/(x)=/—/+"在U上的最小值是],則實(shí)數(shù)。的值是()
.31
A.1B.3C.—D.—1
27
【答案】B
【解析】
【分析】/'(x)=3χ2-2x=x(3x-2)=0,先求得極值,再求得端點(diǎn)值比較求解.
【詳解】解:令/'(x)=3χ2-2x=x(3無—2)=0,
解得X=O或X=2,
3
22
當(dāng)XW(O,—)時,Γ(x)<0,xe(—,l)u(-l,0)時,∕,(x)>O,
33
24
又/(§)=〃—力,/(T)=a—2,
4
顯然α-2<α-----,
27
所以α-2=l,
所以。=3,
故選:B
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.若'勺x∈R,有人W—x?+l成立”是真命題,則實(shí)數(shù)左的取值范圍是
【答案】k≤l
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化條件為女≤(-∕+l)皿,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】由題意可得人≤(-∕+l)皿,
函數(shù)y=-%2+1的最大值為1,
.?.Z≤l.
故答案為:k≤l.
,3
14.已知SQ)=廠+—G是時間,s是位移),則物體在f=2時的瞬時速度為.
t
【答案】√13
4
【解析】
【分析】根據(jù)位移的導(dǎo)數(shù)是速度,求出S的導(dǎo)函數(shù)即速度與時間的函數(shù),將2代入求出物體在時刻/=2
時的速度.
【詳解】物體的運(yùn)動速度為9)=$'=2/-5
313
所以物體在時刻f=2時的速度為:v(2)=2×2——=—
44
13
故答案為:——?
4
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理上的應(yīng)用,物體位移求導(dǎo)得到物體的瞬時速度.
15.動點(diǎn)P與點(diǎn)耳(0,5)與點(diǎn)瑪(0,—5)滿足∣P"Hp用=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為
2^>
【答案】?--=ι(j≤-3)
【解析】
【分析】結(jié)合雙曲線的定義求解即可.
【詳解】解:由IP耳ITP閭=6<|耳任I=K)知,
點(diǎn)P的軌跡是以耳、工為焦點(diǎn)的雙曲線下支,
得C=5,24=6,
.?.a=3,h1=c2-a2=16,
22
故動點(diǎn)尸的軌跡方程是乙-二=l(y≤-3)?
916I,
故答案為:———=l(?≤—3).
91617
16.已知拋物線C:y2=6x焦點(diǎn)、為F,點(diǎn)P在。上,若點(diǎn)A(2,3),則IpH+∣PF∣的最小值為.
7
【答案】一##3.5
2
【解析】
【分析】由拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線取得最小值.
3
【詳解】記拋物線C的準(zhǔn)線為/,則/:X=——,
2
記點(diǎn)P到/的距離為d,點(diǎn)A(2,3)到/的距離為d',
37
則∣Λ4∣+∣P尸I=IPAI+d≥∕=2+,=;.
7
故答案為:—.
2
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.注
意:每題有1分書寫分,要求卷面整潔,書寫規(guī)范,步驟條理清晰.
17.寫出適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)兩個焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(6,-2)和3(-2百,1)兩點(diǎn)橢圓方程;
(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16/一9:/=144的左頂點(diǎn),求拋物線方程.
(3)與橢圓L+上?=1共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(4,5)的雙曲線.
1625
22
【答案】(1)—+?-=1.
155
(2)y2=-↑2x
22
(3)匕-J.
54
【解析】
【分析】(1)設(shè)出橢圓的方程并將兩點(diǎn)代入即可求解;
(2)由雙曲線的方程可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(3)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出雙曲線的方程,最后將點(diǎn)帶入方程
即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)所求橢圓方程為mx1+ny2=l(m>O,∕?>0,m≠/?),
由A(6,-2)和3(-2√I1)兩點(diǎn)在橢圓上可得
m?(?/?)2+n-(―2)2=1f3m+4π=1
?r-,即〈,
m?(-2√3)2+n?l2=1??2m+n=?
1
m--
解得.??5,
〃二-
5
22
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+工=1.
155
【小問2詳解】
V-22
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:二-匕v=1,其左頂點(diǎn)為(-3,0),
916
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(—3,0),則〃=6,
所以拋物線的方程為?2=-12x.
【小問3詳解】
2222
橢圓二+±=1的焦點(diǎn)為(0,±3),設(shè)所求雙曲線方程為2———=1(0<根<9),
1625m9-777
將點(diǎn)(4,5)代入雙曲線方程,可得”一一—≈1,
m9-m
解得m=5或機(jī)=45(不合題意,舍去),
22
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2—-1.
54
r2v2?
18.已知橢圓。:號+方=13>6>0)的焦距為4,離心率為§.
(1)求橢圓。的方程;
(2)若過點(diǎn)P(Ll)的直線交橢圓C于A,8兩點(diǎn),且P為線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程.
22
【答案】(1)三+匕=1
95
(2)5x+9y-14=0
【解析】
2c2
【分析】(1)根據(jù)橢圓的焦距為4,離心率為:,由e=—=—,2c=4求解;
3a3
2222
(2)設(shè)A(X,χ),B(W,%),則考?+1~=l,+利用點(diǎn)差法求解.
【小問1詳解】
C2
解:e=—=—,2c=4,
a3
所以c=2,a=3,
又/=〃+/,
所以。=?/?>
r2v2
二橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1.
95
【小問2詳解】
設(shè)A(Xl,χ),B(x2,y2),
22
則出+互=1,?A=I,
9595+
兩式相減可得5(x∣+x2)(x∣-x,)+9(γl+%)(X-%)=°,
P(Ll)為線段AB的中點(diǎn),
則X∣+%2=2,X+%=2,
.?.5(Λ1-Λ2)+9(yl-γ2)=0,
x2-X19
直線AB的方程為y—1=—|(x—1),
整理得:5x+9y-14=0.
19.已知拋物線丁=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,〃。到其焦點(diǎn)廠的距離為2.
(1)求拋物線方程;
(2)直線2x-3y+4=0與拋物線相交于AB兩點(diǎn),求IAM的長.
【答案】(1)y2=4x
(2)√B
【解析】
【分析】(1)根據(jù)拋物線焦半徑公式即可得解;
(2)聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),即可得到弦長.
【小問1詳解】
由題:拋物線V=2px(p>0)上一點(diǎn)/(l,m)到其焦點(diǎn)F的距離為2,
即5+1=2,p=2,
所以拋物線方程:y2=4x
【小問2詳解】
聯(lián)立直線2x—3y+4=0和y2=4x得y2_6y+8=0,解得χ=2,必=4,
A(l,2),6(4,4),
∣Aβ∣=√9+4=√B
20.已知雙曲線C:二-2f=l(α>0力〉0)的漸近線方程為y=±√ir,且雙曲線C過點(diǎn)(一2,3).
azD
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線/:y="+3與雙曲線C只有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)Z的值.
2
【答案】(1)丁_工_=1
3
(2)k-+2yf3^k=+?/?
【解析】
b-也a
【分析】(1)由題意得149_>解方程組求出/,從,從而可求得雙曲線C的方程,
示一U
(2)將直線方程代入雙曲線方程中化簡,然后二次項(xiàng)系數(shù)為零和二次項(xiàng)系數(shù)不為零,兩種情況求解即可
【小問1詳解】
b=?/?ɑ
a^=1
由題意得,49解得I2
b2=3
所以雙曲線方程為d-2L=ι.
3
【小問2詳解】
y=AX+3
由(2/,得(3-%2口2一6丘—12=。,
X-----=1
3
3-?2≠0
由題意得〈.“,2,c/c,2\八,解得攵=±2Λ∕L
Δ=36?2+48(3-?2)=0
當(dāng)3—爐=0,即女=±&時,直線/與雙曲線C漸近線y=±√ir平行,直線/與雙曲線C只有一個
公共點(diǎn),
所以Z=+2?∣3或Z=+?/??
21.已知函數(shù)/(x)=gj?-Ze?+3x—2.
(1)求函數(shù)y=/(χ)的極值點(diǎn):
(2)求函數(shù)y=∕(x)在x∈[-2,2]最大值和最小值.
【答案】(1)極大值點(diǎn)是x=l,極小值點(diǎn)是x=3;(2)最大值-金,最小值—些.
33
【解析】
【分析】(1)由題意得r(X)=X2-4x+3,令/'(x)=∕-4尤+3=0,得Xl=1,%2=3,列表可得函數(shù)
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