遼寧省大連市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一模）按題型匯編

遼寧省大連市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一

模）按題型匯編

一、單選題

1.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知“eR,i為虛數(shù)單位，若黑為實數(shù)，則a=（）

3+ι

A.-3B.-C.3D.—

33

2.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合AEB

為陰影部分表示的集合.若A=WX=2"+l,”wN,"≤4},B={2,3,4,5,6,7},則A?B=

{2,4,6,9}C.{2,3,4,5,6,7}D.{1,2,4,6,9}

3.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知隨機變量X7V(2,σ2),且P(X≤4)=0.84,則

P(0<X≤4)=()

A.0.84B.0.68C.0.34D.0.16

4.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）如圖，在正方體ABC。-A4G。中，異面直線AQ與RC

5.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本,

則甲得到4本的概率是（）

I1-11

A.—B.—C.—D.—

18203060

6.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線

性可導(dǎo)函數(shù)〃X）在占附近一點的函數(shù)值可用"x）2∕（Λ0）+r（Λυ）（χ-Λ0）代替，該函數(shù)

零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解?利用這個

方法，解方程X3-3X+1=O,選取初始值Xo=:，在下面四個選項中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

7.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）己知對于每一對正實數(shù)X,y,函數(shù)f（x）滿足：

/（χ）+∕（y）=∕（χ+y）-刈-1，若/⑴=I,則滿足∕5）="（"WN+）的〃的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知點P為平面直角坐標(biāo)系XOy內(nèi)的圓f+>2=16上的

動點，定點A（-3,2）,現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿y軸折成W的二面角，使點A翻折至H,貝IJA',尸

兩點間距離的取值范圍是（）

A.[√13,3√5]B.[4-√l3,7]

C.[4-√i3,3√5]D.[√∣3,7]

9.（2022.遼寧大連.統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)Z滿足（3-2i）z=13,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知全集U=R,集合A={l,2,3,4,5},β={x∣0<x<4},

則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{4,5}D.⑸

11.（2022?遼寧大連.統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列{a,,}的公差為d,αl>0,則“%是

的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

試卷第2頁，共14頁

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

12.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）2021年10月12日，習(xí)近平總書記在《生物多樣性公

約》第十五次締約方大會領(lǐng)導(dǎo)人峰會視頻講話中提出：“綠水青山就是金山銀山.良好

生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟(jì)財富，關(guān)系經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展?jié)摿秃髣?”某工廠將產(chǎn)

生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與

過濾時間f（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為P=4?eT'（f≥0）,其中左為常數(shù)，k>0,

心為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前4個小時廢氣中的污染物恰好被過濾

掉90%,那么再繼續(xù)過濾2小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（）

A.5%B.3%C.2%D.1%

13.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）己知數(shù)列{%}是遞增的等比數(shù)列，且4+4=18,

出生=32,若{%}的前〃項和S“滿足-2%則正整數(shù)%等于（）

A.5B.6C.7D.8

14.（2022?遼寧大連.統(tǒng)考一模）現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個

小球，當(dāng)小球體積最大時，該圓錐與小球的體積之比是（）

A.9:4B.9:5C,3:2D.3:1

22

15.（2022.遼寧大連.統(tǒng)考一模）已知雙曲線C:￡-方=l（α>0力>0）的兩個焦點為"、

尸2，點〃，N在C上，且耳g=3Λ∕N,FtMLF2N,則雙曲線C的離心率為（）

?Λ∕6+Λ∕2?/—（―

A.-———B.√3+√2

2

C.2+√2D.√5+√2

16.（2022.遼寧大連.統(tǒng)考一模）若直線y=G+々與直線y=&x+4（女產(chǎn)3是曲線

y=lnx的兩條切線，也是曲線y=e'的兩條切線，則勺占+白+4的值為（）

A.e-lB.0C.-ID.?-l

e

17.（2021.遼寧大連.統(tǒng)考一模）已知集合則A={Λ∣X2-4Λ-<0},B={X??X?<2},則AUB=

（）

A.(0,2)B.(-2,4)

C.(-θo,2)D(4,+8)D.(-∞,-2)(0,+∞)

18.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）己知復(fù)數(shù)z=3,其中i為虛數(shù)單位，則IZl=（）

1+/

A.1B.√2C.2D.2√2

19.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知兩條不重合的直線"?、”和平面。，則加〃〃的一個

充分不必要條件是（）

A.m<Za,〃uaB,m∕∕a,n//a

C.mA.a,nLaD.m∕∕a,nua

20.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）燧的概念是由德國物理學(xué)家克勞修斯于1856年所提出，

它用來表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度，能量分布得越均勻，熠就越大，它

在控制論、概率論、天體物理、生命科學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.在數(shù)學(xué)中，利用嫡可以

解決如下問題：有〃個互不相等的數(shù)，需要比較［（Iog?”!）］次（〃!表示的”階乘：［x］表

示的是向上取整函數(shù)，如［2.1］=3）就可以將這些數(shù)從小到大排序.現(xiàn)有6個互不相等的

數(shù)，將這些數(shù)從小到大排序，需要比較的次數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

->2

21.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）若雙曲線C:二-馬=1的右焦點到它的一條漸近線的距

9b2

離是36，則C的離心率為（）

A.2B.√3C.-D.M

33

22.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著

效果，功不可沒，"三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”

分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方''中隨機選出兩種，

事件A表示選出的兩種中至少有一藥，事件B表示選出的兩種中有一方，則P（8∣A）=

()

3

?-1bcD.

???i4

23.（2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模）己知函數(shù)/（x）=2Sin（X+曲線y="x）在

點圖印處的切線與直線6-3y+l=0互相垂直，則函數(shù)/（x）的圖象向右平移

E個單位得到圖象的解析式是（）

6

B.y=2cosx

D.γ=2cosfΛ-+?

試卷第4頁，共14頁

24.（2021?遼寧大連.統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱錐H-Ba）中，平面Aa），平面BCD,

A8是以CD為斜邊的等腰直角三角形，ABlBC,AC=ZCB=A,則該三棱錐的外

接球的表面積為（）

C.典D.”

A.32萬B.4()萬

33

二、多選題

25.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）在MBC中，若tan-y—=SinC,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.------=1B.0<sinA+sinB≤V∑

tan6

C.sin2A÷cos2B=ID.cos2A÷∞s2B=sin2C

26.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)。為多面體〃的一個頂點，定義多

面體M在點P處的離散曲率為I-J-（NQfQ,+NQ,PQs++ZQk^PQk+ΛQkPQy）,其

2萬

中Q（i=l,2,,左,左23）為多面體M的所有與點尸相鄰的頂點，且平面QfQ2,平面

Q2PQ.,....平面Q"7Q/和平面以PQ為多面體”的所有以尸為公共點的面.”解答問

題：已知在直四棱柱ABC。-ABCl。中，底面ABC。為菱形，AA1=AB,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.直四棱柱ABCD-A/CR在其各頂點處的離散曲率都相等

B.若AC=B。，則直四棱柱ABCD-AMGP在頂點A處的離散曲率為!

4

7

C.若四面體AAB。在點A處的離散曲率為三，則ACj平面ABO

D.若直四棱柱ABC。-AfCQ在頂點A處的離散曲率為，則BG與平面ACG的夾

角為9

4

27.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）定義在R上的函數(shù)/（x）=∕+2x3+4Y+依+1,則（）

A.存在唯一實數(shù)α,使函數(shù)/（x）圖象關(guān)于直線x=-；對稱

B.存在實數(shù)使函數(shù)/（x）為單調(diào)函數(shù)

C.任意實數(shù)。，函數(shù)”x）都存在最小值

D.任意實數(shù)。，函數(shù)/（x）都存在兩條過原點的切線

28.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知直線/：尸戊+〃?與橢圓C:5+?=l交于4〃兩

點，點P為橢圓C的下焦點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)機=1時,3?∈R,使得I尸A∣+∣F8∣=3

當(dāng)機時，

B.=1VAzeR1?FA+FB?>2

C.當(dāng)A=I時，3wt∈R,使得INI+|尸8|=￡

D.當(dāng)-=1時,Vwz∈R,∣M+FB∣≥∣

29.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）如圖，在4x4方格中，向量α,b.C的始點和終點均

為小正方形的頂點，則（）

A.a=bB.∣α+?∣=∣c∣

C.aVbD.a?c≠h?c

30.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）甲、乙兩人進(jìn)行飛鏢游戲，甲的10次成績分別為8,6,

7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成績的平均數(shù)為8,方差為0.4,則（）

A.甲的10次成績的極差為4B.甲的10次成績的75%分位數(shù)為8

C.甲和乙的20次成績的平均數(shù)為8D.甲和乙的20次成績的方差為1

31.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO為梯形，AB//CD,

則（）

A.平面玄。內(nèi)任意一條直線都不與8C平行

B.平面P8C內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面孫。平行

C.平面刑8和平面PCO的交線不與底面ABCC平行

D.平面和平面P8C的交線不與底面ABCz）平行

32.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)/（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為:（x）,且

試卷第6頁，共14頁

/(l-x)-∕(l+x)+2x=0恒成立，若/(x)在［0,1］單調(diào)遞增，則()

A./(x)在［1，2］上單調(diào)遞減B./(O)=O

C./(2022)=2022D./(2023)=1

33.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)給出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六

大核心素養(yǎng)，為了比較甲乙兩名高中同學(xué)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對

二人進(jìn)行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達(dá)圖，圖中每項指標(biāo)值滿分為5分，分值高者

為優(yōu)，則下列說法正確的是()

數(shù)學(xué)抽象

A.甲的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)優(yōu)于乙的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

B.甲的邏輯推理素養(yǎng)優(yōu)于乙的邏輯推理素養(yǎng)

C.甲的六個核心素養(yǎng)中只有數(shù)學(xué)運算水平最高

D.乙的六個核心素養(yǎng)中只有數(shù)據(jù)分析水平最高

34.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)己知4>0,b>0,且4a+b=ab,則下列不等式正確的

()

D

A.ab≥16B.2a+b≥6+4>∕2C.a-h<O??V4

35.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)己知拋物線C：V=2Py(P>0)的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)-2,焦

點為F,。為坐標(biāo)原點，A(Λi,y),鞏々，必)是C上兩點，則下列說法正確的是()

A.點尸的坐標(biāo)為(0,2)

B.若IABl=I6,則A8的中點到X軸距離的最小值為8

C.若直線AB過點(0,4),則以AB為直徑的圓過點O

D.若直線與的斜率之積為-L,則直線AB過點F

4

36.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃X)=IgHX2-2x+2T+1bg(χ)=皂!則

下列說法正確的是()

A.是奇函數(shù)

B.g(x)的圖象關(guān)于點(1，2)對稱

C.若函數(shù)尸(X)=/(x)+g(x)在xe[l-m,l+向上的最大值、最小值分別為M、N,

則M+N=4

D.令F(X)=/(x)+g(x),若尸⑷+尸(一2α+l)>4,則實數(shù)。的取值范圍是(TM)

三、填空題

37.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)若CoSlq-e)=g,則Sin2，=.

38.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知單位向量q,e2的夾角為60°，若ɑ=則

記作α=[x,y].已知向量L=[1,2],"=[1,-1],則〃I=.

39.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，

以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個溢流孔，橋拱和溢

流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系xoy,根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為,溢流孔與

橋拱交點4的饃坐標(biāo)為.

40.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)甲、乙、丙三人每次從寫有整數(shù)如n,k(0<w<n<?)

的三張卡片中各摸出一張，并按卡片上的數(shù)字取出相同數(shù)目的石子，放回卡片算做完一

次游戲，然后再繼續(xù)進(jìn)行，當(dāng)他們做了N(N≥2)次游戲后，甲有22粒石子，乙有9

粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是我,那么做游戲次數(shù)是.

41.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)己知拋物線C:V=8x的焦點為F,在C上有一點P,

IPFl=8,則點P到X軸的距離為

試卷第8頁，共14頁

42.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知隨機變量J~N(1,4),且P(J<l)=P(j≥α-3),

1O

貝!!一+----(O<x<a)的最小值為.

Xa-x

43.(2022?遼寧大連.統(tǒng)考一模)將A,B,C,D,E這5名同學(xué)從左至右排成一排，

則A與B相鄰且A與C之間恰好有I名同學(xué)的排法有種.

44.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫(仆MMysc屈萬，1821-1894)

的名字命名的第一類切比雪夫多項式Z,(x)和第二類切比雪夫多項式”,(X),起源于多

倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式，是與棣莫弗定理有關(guān)、以遞歸方式定義的多項式

序列，是計算數(shù)學(xué)中的特殊函數(shù).1(x)有許多良好的結(jié)論，例如：①Z(X)=X,

"(x)=2χ2-l,對于正整數(shù)“≥3時,有7；(X)=2x?7；I(X)-7；T(X)成立，②V6∈R,

￡(cos。)=cos”。成立.由上述結(jié)論可得看(CoSI8。)的數(shù)值為.

45.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)二項式(l+x)5展開式中含/項的系數(shù)為.

46.(2021.遼寧大連.統(tǒng)考一模)我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，

有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為”遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百

八十一，請問頂層幾盞燈？”(“倍加增''是指從塔的頂層到底層).則寶塔的頂層有

盞燈.

JT

47.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=4,ZBAD?y,

平面內(nèi)有動點E,滿足IEq=2但。，貝M。B-ZM)YE的取值范圍為.

48.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)一ABC中角的A,B,C的對邊分別為a,b,c,若該

三角形的面積為石，且Sin(A-B)=(3—4CoSA)Sin8,貝IJC的最小值為.

四、解答題

49.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)從下列條件中選擇一個條件補充到題目中：

①S=1伍2+°2_淚，其中S為一ABC的面積，②怨=.i，

4vfSinCsmA-smπ

③GSinC+cosC=.

a

在ABC中，角A,B,C對應(yīng)邊分別為“，b,c,.

⑴求角A；

(2)若。為邊AB的中點，CD=2石，求b+c的最大值.

50.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)如圖，平面五邊形ABCDE中，VADE是邊長為2的等

TT

邊三角形，CD//AE,CD=AE,ZBAD=AABC=-,將VADE沿AD翻折，使點E翻

折到點P.

(1)證明：PC工BC；

(2)若PC=3,求二面角P—40-B的大小，以及直線PB與平面PCO所成角的正弦值.

22

51.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)在正項數(shù)列｛叫中，q=；,2?"?a；=1+2^?<1(w>2).

⑴求4；

(2)證明：為4學(xué))<；,

52.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)國學(xué)小組有編號為1,2,3,〃的〃位同學(xué)，現(xiàn)在

有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為［、答對第二題的概率為g,每個同學(xué)的答題

過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號同學(xué)

開始第1輪出賽，先答第一題；②若第可=1,2,3,,〃-1)號同學(xué)未答對第一題，則第i

輪比賽失敗，由第i+1號同學(xué)繼繼續(xù)比賽;③若第i(i=L2,3,,〃-1)號同學(xué)答對第一題,

則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第i輪結(jié)棗；若該生未答對第二題，則第i

輪比賽失敗，由第，+1號同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽

進(jìn)行到了第〃輪，則不管第”號同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束.

(1)令隨機變量X,,表示〃名同學(xué)在第X,,輪比賽結(jié)束，當(dāng)〃=3時，求隨機變量X?的分布

列；

(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i=L2,3,1)號同學(xué)未答對第二題，則第i輪比賽失

敗，第i+1號同學(xué)重新從第一題開始作答.令隨機變量丫”表示〃名挑戰(zhàn)者在第七輪比賽

結(jié)束.

①求隨機變量Y11(∏∈N*,n>2)的分布列；

②證明：E化)單調(diào)遞增，且小于3.

53.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知雙曲線C上的所有點構(gòu)成集合

試卷第10頁，共14頁

P=｛(x,y)∣α√-by2=?(a>O,b>0)｝和集合Q=｛(x,γ)∣O<ax2-by2<?(a>0,?>O)∣,坐

標(biāo)平面內(nèi)任意點N(%,%)，直線=1稱為點N關(guān)于雙曲線C的“相關(guān)直線

(1)若NeP,判斷直線/與雙曲線C的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若直線/與雙曲線C的一支有2個交點，求證：NeQ.

IMAIIMBI

(3)若點NeQ,點M在直線/上，直線MN交雙曲線C于A,B,求證：扁=扁.

54.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)3(X)=方e-_SinX+1,/'(x)是"x)的導(dǎo)函

數(shù)，且/'(0)=0.

(1)求實數(shù)“的值，并證明函數(shù)/(x)在X=O處取得極值；

⑵證明/(x)在每一個區(qū)間2?2?π+-(k∈N)都有唯一零點.

55.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝滿足q+2,4+…+嗎,=2〃，數(shù)列也“｝滿

足對任意正整數(shù)mN2均有d,τ+b+bu=—成立.

mtπ%

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵求色｝的前99項和.

56.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知一ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為〃、b、J

S.a-b=c(cosB-cosA).

(1)判斷,ABC的形狀并給出證明；

(2)若α'h,求SinA+sinB+sinC的取值范圍.

57.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAj_平面ABCD,

ADI!BC,ADA.CD,且Ao=1,CD=2,BC=5,PA=2.

⑴求證：AB1PC；

(2)在線段PO上是否存在一點M,使二面角M-AC-O的余弦值為亞？若存在，求三

棱錐M-ABC體積；若不存在，請說明理由.

58.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)甲、乙是北京2022冬奧會單板滑雪坡面障礙技巧項目

的參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功

和失敗兩種.

(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為0.5,受心理因素影響，從第二次開始，每次成功

的概率會發(fā)生改變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增

加0」；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0」.

(i)求乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概率；

(Ii)求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率.

O2

59.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知橢圓U*→S=l(a>6>0)的焦距為2,且經(jīng)過

點伺?

(1)求橢圓C的方程；

⑵經(jīng)過橢圓右焦點/且斜率為MZrO)的動直線/與橢圓交于A、B兩點，試問X軸上

是否存在異于點F的定點T,使IAfHBTl=忸∕ψ∣A力恒成立？若存在，求出T點坐標(biāo),

若不存在，說明理由.

60.(2022?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=αe*-x-α.

⑴若/(x)≥0,求α的值；

(2)當(dāng)α≥l時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明.

?/(x)>xlnx-sinxi

(2)/(x)>x(ln%-1)-cosX.

61.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)如圖，AB是底部不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物

的最高點.某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了三種工具：測角儀(可測量仰角與俯角)、米尺(可測量

長度)、量角器(可測量平面角度).

試卷第12頁，共14頁

A

---------------------」B

(1)請你利用準(zhǔn)備好的工具(可不全使用)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法，并

給出測量報告；

注：測量報告中包括你使用的工具，測量方法的文字說明與圖形說明，所使用的字母和

符號均需要解釋說明，并給出你最后的計算公式.

(2)該學(xué)習(xí)小組利用你的測量方案進(jìn)行了實地測量，并將計算結(jié)果匯報給老師，發(fā)現(xiàn)

計算結(jié)果與該建筑物實際高度有誤差，請你針對誤差情況進(jìn)行說明.

62.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱臺ABC-DE5中，平面ABEDJ"平面

63.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)己知正項數(shù)列｛%｝前"項之和為S,,,滿足4S,,=(q,+l)2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列他,｝滿足〃=?,其前項和為7“，證明：】＜g?

64.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正

面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步.

(1)若甲乙二人同時參與游戲，每人各擲硬幣2次，

①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；

②記甲乙二人向前跳的步數(shù)和為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為〃(〃wN*)的概率記為“，求p,,的最大值.

22

65.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知橢圓C：/r+方v=l(a>6>0)的左右焦點分別為小

尸2,點p[l,∣)在C上且P心,心耳.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)C的左右頂點分別為A,B,O為坐標(biāo)原點，直線/過右焦點尸2且不與坐標(biāo)垂

直，/與C交于M,N兩點，直線AM與直線8N相交于點Q,證明點。在定直線上.

66.(2021?遼寧大連?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=XInx-Or+α,aeR.

(1)求/(x)的極值點；

⑵若g(x)=；.21nx+A+"：+l_；.2+x,證明：對任意％∈(-∞,T],Λ?,Λ2∈(0,-κo)

且再f,有g(shù)(6g(%ι.

試卷第14頁，共14頁

參考答案:

1.A

【解析】先進(jìn)行分母實數(shù)化，化簡三口，再根據(jù)條件得虛部為零，計算即得結(jié)果.

【詳解】因為M3cι—1—(〃+3)/3a-1需，為實數(shù)，貝卜(2=o,即“+3=。,

(3+0(3-/)10IO

所以α=-3.

故選：A.

2.D

【分析】分析可知=求出集合A、AuB>AC8,即可

得集合

【詳解】由韋恩圖可知，AΘB=?e(AυB),xg(AnB)),

因為A={Xx=2"+l,"eN,"≤4}={l,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},

則AB={1,2,3,4,5,6,7,9},AfB={3,5,7},因此，AΘB={1,2,4,6,9).

故選：D.

3.B

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求概率即可.

【詳解】由題設(shè)〃=2,而P(0<X≤4)=P(0<X≤2)+P(2≤X≤4),

又P(0<X≤2)=P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<2)=0.34,

所以尸(0<X≤4)=0.68.

故選：B

4.C

【分析】將。。平移到與4。相交，求所成的角，即異面直線所成的角.

【詳解】正方體中，AxBIfDxC1所以AQ與AJB所成的角即異面直線A。與OC所成的角,

因為A0D為正三角形，所以AD與AB所成的角為?，

JT

所以異面直線AQ與RC所成的角為不

故選：C.

5.A

【分析】先討論分書的總方法，再求概率即可.

答案第1頁，共51頁

【詳解】解：可以分為三類情況：①“2,2,2型“，有C；C：C；=90(種)方法;

②“1,2,3型“，有CeeA；=360(種)方法;

③“1,1,4型“，有C：A；=9()(種)方法，所以一共有90+360+90=540(種)方法.

甲得到4本方法2C：=3(),—

54018

故選：A

6.D

f(X)2尤3_11

【分析】求出迭代關(guān)系為々+1=玉-務(wù)y=KE(AeN),結(jié)合%=；逐項計算可得出結(jié)

J(無(JSXk—52

果.

【詳解】令/(x)=d—3x+l,則∕KR=3χ2-3,

可得一/(x崗0)’

令f(χ)=o,BP∕(?)+∕,(?)(?^-?)≈θ?X"

/(xj=χ?k?>N),

迭代關(guān)系為4+1=XK

∕,(?)*

.??_I2χ—12×-----1?e

取Xo=弓，則,工飛二=-F-—22—=—≈0.34722,

3×l-372

2Jx0-33x^-3

49

故選：D.

7.A

【分析】利用遞推式判斷F(X)在X∈N*上的符號及單調(diào)性，并得到/(Λ2+1)=∕(Λ?)+X2+2,

即可判斷〃的個數(shù).

【詳解】令x+l=%>x=W>0且均屬于N1則/(電)+/6=/(%)-芻一1,

所以/(XI)—/(X2)=Λ?+2>0,??∕(Λ?+1)=∕(Λ1)=∕(?)+X2+2,

又加)=1,故F(X)>0在x∈N*上恒成立，且/O)在XeN*上單調(diào)遞增,

所以，滿足∕5)="("∈N+)僅有/(1)=1,即〃僅有1個.

故選：A

8.B

答案第2頁，共51頁

【分析】當(dāng)尸與A位于同一半圓時，可知當(dāng)O,A',P三點共線時取得最小值，當(dāng)戶位于M(0,Y)

時，取得最大值；當(dāng)P與A分別在兩個半平面中時，作出二面角的平面角及A在平面Xoy上

的投影點C,設(shè)P(4cos6,4sine),利用勾股定理和三角恒等變換知識，結(jié)合三角函數(shù)值域

求法可求得I以'|所處的范圍；綜合兩種情況可得結(jié)果.

【詳解】由圓的方程知：圓的半徑為4；

當(dāng)尸與4位于同一半圓時?，作出該半圓所在的平面圖如下圖所示，

,22

?PA'?≥?OP?-∣OΛ∣=4-λ∕(-3)+2=4-√13(當(dāng)且僅當(dāng)0,4,P三點共線時取等號)，

當(dāng)P位于圖中P處時，∣EA'∣取得最小值4-9；

22

又當(dāng)P位于圖中M(0,Y)處時，IPAl取得最大值IAM=λ∕(-3)+(2+4)=3√5；

當(dāng)尸與A'分別在兩個半平面中時，

作A'C，平面XOy,垂足為C,作AEj_y軸，垂足為E,連接CE,則AC,E三點共線,

設(shè)F為延長線上的點，則ZAEF即為翻折后的二面角的平面角，

∣λ,E∣=3,.?.∣A,C∣=IA,E∣sinZA1EA=—,ICEI=IA'E∣cosZA'EA=白,

22

答案第3頁，共51頁

ITσr

P為圓r+V=16右半圓上的點，???可設(shè)p(48sd,4sinθ),θe,

二|哨=(4COSe+')+(4Sine-2)2=,16Sine+12COSe,

.?.IΛ4,∣2=IPC∣2+1A,C∣2=29-4(4sin(9-3cos(9)=29-20sin(6>+^)(其中tan。=-；,

TgO))，

0+^∈f-π,yY.?.當(dāng)0+9=_曰，即sin(e+9)=-]時，IPAr,、=49,

則〃M=7；

又sin(6+夕)<1,Λ∣Λ4,∣2>29-20=9,即|%'|>3；

綜上所述：A',P兩點間的距離的取值范圍為卜-舊,7].

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間中兩點間距離的取值范圍的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠

分別討論兩點位于同一半平面和不同兩個半平面中兩種情況；尤其當(dāng)兩點位于不同半平面中

時，能夠結(jié)合二面角平面角的定義和投影點，利用勾股定理表示出所求距離.

9.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，求得復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】由(3—2i)?z=13得z=J?7=注d=3+21,

故Z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(3,2),在第一象限，

故選：A

10.C

【分析】根據(jù)韋恩圖中陰影部分所表示的含義，由集合的補集和交集定義可得.

【詳解】集合A={l,2,3,4,5},B={x∣0<x<4},圖中陰影部分表示A0B,

又gB={x∣x≥4,或x≤0},所以Al?B={4,5}.

故選：C

H.B

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項公式判斷條件與結(jié)論的關(guān)系即可.

【詳解】必要性成立，由等差數(shù)列{4}的4>0可知，a5=al+4d>0.

答案第4頁，共51頁

充分性不成立，例如:4=5,%=1得卜=一1?

所以“%>°”是>0”的必要不充分條件，

故選：B.

12.B

【分析】根據(jù)前4小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉90%,求出Z=JnlO,再計算經(jīng)過6

4

小時，空氣中剩余污染物的殘留量，可得答案.

【詳解】由題可得，前4小時，廢氣中的污染物恰好被過濾掉90%,

故由P=4?e-"得（l—90%）4=6e4,所以0.1=e^4*,即&=Bnl0,

由再過濾2小時，即共6小時，空氣中剩余污染物為

√10e（3,3.5）,故污染物所剩比率約為3%6,

故選：B

13.A

【分析】利用等比數(shù)列的角標(biāo)和性質(zhì)，列方程求出％,即可求解

【詳解】由4+%=18,%%=32,知4+g=18,4%=32,解得α1=2,〃4=16,所以4=2,

…,則…二駕|口λ

2×(l-2)2S*∣,所以I?+ll“=16解得"5?

1-2-

故選:A

14.A

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖為半圓，求得母線與底面半徑的關(guān)系，利用當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)

切球時，小球體積最大，求得小球的半徑，可得答案.

【詳解】由圓錐側(cè)面展開圖為半圓，設(shè)圓錐母線為/,底面半徑為R,

則2乃R=M,所以∕=2R,可知圓錐軸截面為正三角形，圓錐高為后氏，

又由當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時，小球體積最大，軸截面如圖示:

答案第5頁，共51頁

設(shè)此時小球半徑為r,則有(67?-力7也30=/，即r=@R,

3

故L=?/=',曰R)=嚕^兀κ，%=%—(8R)=

所以%：4=惇可償T=9:4，

故選：A

15.D

【分析】根據(jù)耳鳥=3MN,FlMLF2Nt由雙曲線對稱性可知，直線KM與交于y軸上

一點、P,且APEH為等腰直角三角形，可得N的坐標(biāo)，分別求出IN用,∣N6∣,再根據(jù)雙曲

線的定義即可得出答案.

【詳解】解：因為斗鳥=3MN,FiM±F2N,

由雙曲線對稱性可知，直線耳M與gN交于y軸上一點P,

且aPKE為等腰直角三角形,

所有IOH=Io與I=c,

如圖，則需,引，E(-c,0),居(G0),

貝!∣∣∣N用-IA7^1=2^c-2^?c=24,即“=

則eq=ξ?=石+叵

故選：D.

答案第6頁，共51頁

,

[分析】利用y=e和y=InX互為反函數(shù)推得兩條公切線y=klx+bt和y=k2x+b2也互為反

1I-X

函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出K=一，?1=-l+lnx2,進(jìn)而化簡可得％=一—，代入

*2-I-X1

+4+優(yōu)化簡可得答案.

【詳解】由y=e*和y=lnx互為反函數(shù)可知[,

兩條公切線y=Kχ+々和y=也互為反函數(shù)，

1b,1b,..fb.

即工=?。?-7-滿足7"二何，一τ^二%,即氏￡=1,b2=---,

κ1K1KIKI&

v

設(shè)直線y=幻+4與y=e`和y=Inx分別切于點(xl,e')和(/Jnx2),

可得切線方程為y-e*=爐(XTJ和y-^nx2=—(x-x2),

“2

χ

整理得：y=e?"x+e"i—Xew和y=Jx-1+lnw,貝!|K=e$=J,bl=e'(I-x1)=-1+ln?,

由e”=L,得Xl=InL=TnX2,且4=，(l-xj=-l+ln%,

X2X2X2

1?_?

則向=-0_Xl)=T-X1,所以％=-；~~」，

x2-I-X1

f/1?(]_、

所以攵/2+4+”2=]+,—廣=]+41—丁=1+4(1—為)=1+(—1一%)1—：——

k?1kJI-l-?j

=1+(-1-與)-(1-3)=τ,

故選：C

【點睛】本題考查了反函數(shù)的相關(guān)知識以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解答時要注意利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義寫出切線方程