第2課（A基礎(chǔ)）等比數(shù)列（原卷版）-【名校沖刺】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊(cè)）

第2課：等比數(shù)列教學(xué)目標(biāo)1、理解等比數(shù)列的概念；2、理解公比的概念并會(huì)求公比，掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)求等比中項(xiàng)；3、掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其求法，并會(huì)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列；4、熟練掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)運(yùn)用；5、會(huì)求無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限；6、等比數(shù)列綜合運(yùn)用.重點(diǎn)1、理解等比數(shù)列的概念；2、理解公比的概念并會(huì)求公比，掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)求等比中項(xiàng)；3、掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其求法，并會(huì)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列；4、熟練掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)運(yùn)用；5、會(huì)求無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限；6、等比數(shù)列綜合運(yùn)用.難點(diǎn)等比數(shù)列綜合運(yùn)用.（一）等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，而這個(gè)表示每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比的常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：或.注：公比時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列.2、等比中項(xiàng)根據(jù)等比數(shù)列的定義，有,從而，即或（同號(hào)），在這兩種情形下，成等比數(shù)列，此時(shí)叫做與的等比中項(xiàng)。【注釋】【注釋】①如果三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么等比中項(xiàng)的平方必等于其前后兩項(xiàng)的積；②同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；③是與的等比中項(xiàng)，，成等比數(shù)列.3、通項(xiàng)公式，，為正整數(shù)4、等比數(shù)列的判定方法（1）定義法：（為正整數(shù)，是常數(shù)）或是等比數(shù)列。（2）中項(xiàng)法：(為正整數(shù))且是等比數(shù)列。（3）通項(xiàng)公式法：是等比數(shù)列。例題精講【例1】有下列4個(gè)說(shuō)法：①等比數(shù)列的某一項(xiàng)可以為0；②等比數(shù)列的公比取值范圍是；③若，則，，成等比數(shù)列；④若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公比是1．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【例2】如果，，，，成等比數(shù)列，那么A．， B．， C．， D．，【例3】在等比數(shù)列中．（1）已知，，求；（2）在等比數(shù)列中，，，則____________．（3），，則____________．（4）等比數(shù)列中，，，則公比____________．（5）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________．【例4】若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱(chēng)為該數(shù)列的“基本量”．設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，下列的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第____________組．（寫(xiě)出所有符合要求的組號(hào)）①與；②與；③與；④與．（其中為大于1的整數(shù)，為的前項(xiàng)和．【例5】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷它是否為等比數(shù)列．（1）；（2）；（3）；（4）．【例6】已知數(shù)列、都是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，判斷下列數(shù)列是等比數(shù)列是____________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．鞏固訓(xùn)練 1、如果數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則數(shù)列是（）A．等比數(shù)列 B．等差數(shù)列C．不是等差也不是等比數(shù)列 D．不能確定是等差或等比數(shù)列2、等比數(shù)列中，，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．63、若等比數(shù)列滿(mǎn)足，則其公比為（）A． B． C． D．4、已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)____________．5、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為（）A．6 B．5 C．-6 D．-5、已知中，三內(nèi)角依次成等差數(shù)列，三邊依次成等比數(shù)列，則是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形7、若是等比數(shù)列，下列結(jié)論中不正確的是A．一定是等比數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列 C．一定是等比數(shù)列 D．一定是等比數(shù)列（二）等比數(shù)列前n項(xiàng)和知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式前項(xiàng)和公式：或。注：若，則前項(xiàng)和可假設(shè)為：2、無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和的極限以為首項(xiàng)的無(wú)窮等比數(shù)列，當(dāng)公比時(shí)，有例題精講【例7】（1）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為，則____________．（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則____________．（3）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則____________．（4）是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____________．【例8】（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前項(xiàng)和記為，則____________．（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且存在，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．（3）循環(huán)小數(shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則____________.（4）如圖，已知正的邊長(zhǎng)是1，面積是，取各邊的中點(diǎn)、、，的面積為，再取各邊的中點(diǎn)、、的面積為，以此類(lèi)推…，求所有三角形的面積和.鞏固訓(xùn)練 1、無(wú)窮等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其所有項(xiàng)的和為_(kāi)_________．2、在無(wú)窮等比數(shù)列中，若，則的取值范圍是________.3、將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，則所得最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為_(kāi)___________.4、如圖，由編號(hào)，，…，，…（且）的圓柱自下而上組成．其中每一個(gè)圓柱的高與其底面圓的直徑相等，且對(duì)于任意兩個(gè)相鄰圓柱，上面圓柱的高是下面圓柱的高的一半．若編號(hào)1的圓柱的高為，則所有圓柱的體積的和為_(kāi)______________（結(jié)果保留）．（三）等比數(shù)列綜合知識(shí)梳理1、等比數(shù)列的性質(zhì):（1）若是等比數(shù)列，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)，.（2）數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列（為非零常數(shù)）為等比數(shù)列.（3）數(shù)列為等比數(shù)列，每隔（正整數(shù)）項(xiàng)取出一項(xiàng)仍為等比數(shù)列.（4）如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.（5）若為等比數(shù)列，則數(shù)列成等比數(shù)列.（6）當(dāng)時(shí)，，則為遞增數(shù)列，，則為遞減數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，則為遞減數(shù)列，，則為遞增數(shù)列.當(dāng)時(shí)，則為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí)，若是公比為的等比數(shù)列，則2、等差與等比的互變關(guān)系：（1）成等差數(shù)列成等比數(shù)列；（2）成等差數(shù)列成等差數(shù)列；（3）成等比數(shù)列（）成等差數(shù)列；（4）成等比數(shù)列成等比數(shù)列；例題精講【例9】“”是“，，，成等比數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例10】已知等比數(shù)列的公比，其前項(xiàng)的和為，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．【例11】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【例12】已知數(shù)列，均為正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)積，且，則的值為_(kāi)___________．【例13】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為A． B． C． D．【例14】已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論不正確的是A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 C．若，，則 D．若，，則【15】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列．已知，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．鞏固訓(xùn)練 1、數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（）A． B．C． D．與大小不確定2、在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則()A．16 B．32 C．64 D．2563、已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有4、已知數(shù)列的前項(xiàng)的乘積為，若，則當(dāng)最大時(shí)，正整數(shù)___________．5、已知數(shù)列，，且對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.6、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一．填空題（共6小題）1、已知等比數(shù)列的公比且則________.2、在等比數(shù)列的值為_(kāi)___________.3、已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.4、在遞增等比數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，，則_________.5、若首項(xiàng)為1、公比為的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為，表示該數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為_(kāi)____________．6、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則使，成立的的最大值為_(kāi)___________．二．選擇題（共4小題） 7、等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，等于（）A． B． C． D．8、若是一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則等于（）A． B． C． D．9、關(guān)于數(shù)列,給出下列命題：①數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；②“,的等比中項(xiàng)為”是“”的充分不必要條件：③數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則其前項(xiàng)和；④等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則，，成等比數(shù)列,其中假命題的序號(hào)是（）A．② B．②④ C．①②④ D．①③④10、對(duì)于正三角形，挖去以三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的小正三角形，得到一個(gè)新的圖形，這樣的過(guò)程稱(chēng)為一次“鏤空操作“，設(shè)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一次“鏤空操作”后得到圖1，對(duì)剩下的3個(gè)小正三角形各進(jìn)行一次“鏤空操作”后得到圖2，對(duì)剩下的小三角形重