第04講 4.3.1等比數(shù)列的概念（解析版）

第04講4.3.1等比數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解等比數(shù)列的定義.會推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式，能運用等比數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.掌握等比中項的概念。②能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).能運用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.。能應(yīng)用等比數(shù)列的定義判斷等比數(shù)列，會應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式進行基本量的求解，能應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決與等比數(shù)列相關(guān)的問題知識點01：等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號語言（或者）(為常數(shù)，，)知識點02：等比中項如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?.【即學(xué)即練1】（2023秋·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，∴．故選：D知識點03：等比數(shù)列的通項公式一般地，對于等比數(shù)列的第項有公式.這就是等比數(shù)列的通項公式，其中為首項，為公比．知識點04：等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列的首項為，公比為1、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；2、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；3、當(dāng)時，等比數(shù)列為常數(shù)列（）4、當(dāng)時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列.【即學(xué)即練2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【詳解】當(dāng)公比且時，，，此時，，不遞增，充分性不成立，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為遞增數(shù)列時，，顯然必要性成立.綜上所述：“”是“為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：A知識點05：等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：（或者）（可判斷，可證明）2、等比中項法：驗證（特別注意）（可判斷，可證明）3、通項公式法：驗證通項是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）知識點06：等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．（1）(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為().(4)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．【即學(xué)即練3】（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】是等比數(shù)列，依題意，，所以.故選：B題型01等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用【典例1】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，且，則.【答案】【詳解】①，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，②，①-②得，，即，所以，是首項為-1，公比是2的等比數(shù)列，故.故答案為：【典例2】（2023春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項，且，那么；數(shù)列的通項公式為.【答案】4【詳解】由題意數(shù)列的首項，且，那么；由此可知，故，則數(shù)列為首項是，公比為2的等比數(shù)列，故，首項也適合該式，故答案為：4；【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列．(1)若，，求的通項公式；(2)若，，，求n．【答案】(1)(2)9【詳解】（1）由等比數(shù)列的通項公式可知，，兩式相除得，即．所以．因此，這個數(shù)列的通項公式是．（2）因為，，所以．又，因此，即．【變式1】（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，故選：C.【變式2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，且，則【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，又，所以，解得，即，所以.故答案為:.【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）等比數(shù)列中，，，則.（2）等比數(shù)列中，，，，由，可得.（3）等比數(shù)列中，，，由，可得.（4）等比數(shù)列中，，，由，可得.題型02等比中項【典例1】（2023秋·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】由于，是方程的兩根，所以，由于，所以為正數(shù)，所以．所以．故選：A.【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項．(1)求45和80的等比中項；(2)已知兩個數(shù)和的等比中項是2k，求k．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)為45和80的等比中項，則，所以.所以45和80的等比中項為（2）兩個數(shù)和的等比中項是，所以，，，解得或，此時，，滿足題意，所以或.【變式1】（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【詳解】等差數(shù)列,設(shè)公差為d，因為，，成等比數(shù)列，故，又因為公差不為0，，所以，則這個等比數(shù)列的公比是.故選：B【變式2】（2023春·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點分別是，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得所以，故，且，故選：D題型03等比數(shù)列的判斷與證明【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】C【詳解】對于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以為非零常數(shù)，則數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對于ABD，取，則，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，，故，，，所以，則數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤.而，，，顯然，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤.而，，，則，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：C.【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）函數(shù)（為常數(shù)，且），數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．【答案】證明見解析【詳解】數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，，可得，，且k>0，k≠1，所以，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求的通項公式．【答案】【詳解】解：由可得：，因為，所以，所以是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，所以，所以．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明詳見解析；(2).【詳解】（1）依題意，數(shù)列中，，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【詳解】證明：因為，，所以，所以，，又，所以為首項是4，公比為2的等比數(shù)列.題型04等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，（

）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】C【詳解】因為是正項等比數(shù)列，，所以，則，所以.故選：C.【典例2】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，，則的最小值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】C【詳解】在正項等比數(shù)列中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，即的最小值是24.故選：C.【典例3】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則.【答案】5【詳解】因為與是方程的兩個根，所以，因為為正項等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，∴，可得，則.∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，又由題意，∴，∴，∴，∴.故選：D．【變式2】（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實數(shù)根，則．【答案】【詳解】∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，故，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有：且，故．故答案為：【變式3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）正項等比數(shù)列中，，則的值是．【答案】8【詳解】因為正項等比數(shù)列中，，所以，故答案為：8題型05構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式（構(gòu)造法求通項）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】/【詳解】由得，又故是以公比為2的等比數(shù)列，且首項為，因此，故,故答案為：【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足．求數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】∵，∴，∴.又∵，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,∴，則．【典例3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列的前n項和Sn．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由得.因為，所以，所以所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，∴，.∴【變式1】（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，證明為等比數(shù)列，并求的通項公式.【答案】證明過程見詳解，.【詳解】因為，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）數(shù)列滿足.(1)若，求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由于，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)寫出該數(shù)列的前項；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)，，，，(2)【詳解】（1），，，，.（2）由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，.題型06等比數(shù)列在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個實心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】第一種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為；第二種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，第三種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，故被挖去的三角形面積之和是.故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（

）

A．2 B． C． D．3【答案】C【詳解】依題意，一條線段經(jīng)過一次操作，其長度變?yōu)樵瓉淼模虼嗣看尾僮骱笏们€長度依次排成一列，構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以當(dāng)進行三次操作后的曲線長度為.故選：C3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進行這一過程，若第1個圖中的三角形的周長為3，則第4個圖形的周長為.

【答案】【詳解】由題意，當(dāng)時，第1個圖中的三角形的邊長為，三角形的周長為；當(dāng)時，第2個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為；當(dāng)時，第3個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為；當(dāng)時，第4個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為.故答案為：.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【詳解】在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，∵，，∴，∴，故選：C.2．（2023秋·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，解得：.故選：C.3．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（

）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】C【詳解】數(shù)列1，1，1，…，1，…是公差為0的等差數(shù)列，也是公比為1的等比數(shù)列.故選：C.4．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，則（

）A． B． C．27 D．【答案】D【詳解】設(shè)的公比為，則，，．因為，所以，因為，所以，所以．因為的各項均為正數(shù)，所以．因為，所以．故選：D5．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C．12 D．36【答案】D【詳解】由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，解得：.故選：D.6．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，又，所以，顯然，所以，即，所以，又，所以.故選：B7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，則一次分形長度為，二次分形長度為，，次分形后線段的長度為，故5次分形后長度為，故選：C.8．（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)的公比為，則，因為，所以，解得或（舍去），，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值等于故選：D二、多選題9．（2023春·山東淄博·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．的前項和【答案】BCD【詳解】由可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，故A錯誤，C正確，，由于均為單調(diào)遞增的數(shù)列，且各項均為正數(shù)，所以為遞增數(shù)列，B正確，，設(shè)的前項和為，則，D正確，故選：BCD10．（2023秋·甘肅·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中，正確的有（

）A．?dāng)?shù)列中，“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B．?dāng)?shù)列的通項為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D．等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，若，則【答案】AD【詳解】A：因為當(dāng)時，顯然數(shù)列不可能是等比數(shù)列，但是是公比為2的等比數(shù)列一定有成立，因此選項A正確；B：因為為單調(diào)遞增數(shù)列，所以有，因為函數(shù)是減函數(shù)，所以，因此選項B不正確；C：因為在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，是方程的兩根，所以有，于是有，而，所以，因此選項C不正確；D：因為等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，所以由，因此選項D正確，故選：AD三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則通項公式.【答案】【詳解】，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此，故答案為：12．（2023春·江西·高二統(tǒng)考期末）記等比數(shù)列的前n項和為，且，則.【答案】【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，由數(shù)列是等比數(shù)列，則，則，解得.故答案為：.四、解答題13．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列，求數(shù)列的前50項和．【答案】(1)(2)1473【詳解】（1）因為，所以，又因為，所以，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即．（2）由得，，因為，所以中要去掉數(shù)列的項有5項，所以．14．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知，得，兩式作差，得，即．又?jǐn)?shù)列的各項都是正數(shù)，所以，所以，顯然數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，故，而，故是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，故.B能力提升1．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）0.618是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，那么依次類推，第2023個黃金三角形的周長大約為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】第一個黃金三角形的底為，由得腰長，記第個黃金三角形的底邊長為，當(dāng)時，第個黃金三角形的底邊長為，腰長為，而第個黃金三角形的底邊長為第個黃金三角形的腰長，則，因此，各個黃金三角形的底邊長依次排成一列得數(shù)列，是首項為2，公比為的等比數(shù)列，第個黃金三角形的底邊長，腰長為，周長為，所以第2023個黃金三角形的周長大約為.故選：D2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，.若，為數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，則，且，所以，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，所以，，①由可得，且，所以，數(shù)列為常數(shù)列，且，②由①②可得，因為，，則，所以，，所以，，所以，，所以，，因此，.故選：B.3．（2023春·黑龍江大慶·高二?？计谀┮讶绻炔粸?的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，