第08講 向量基本定理及坐標表示（十二大題型）（解析版）

第08講向量基本定理及坐標表示【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)．知識點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運算．知識點二：平面向量的坐標表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點詮釋：如果基底的兩個基向量、互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標．把叫做向量的坐標表示．給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中，．（2）要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來．相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同．（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．知識點三：平面向量的坐標運算1、平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算運算坐標語言加法與減法記，，實數(shù)與向量的乘積記，則2、如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應(yīng)先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等．（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關(guān)系．（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．知識點四：平面向量平行（共線）的坐標表示1、平面向量平行（共線）的坐標表示設(shè)非零向量，則，即，或．知識點詮釋：若，則不能表示成因為分母有可能為0．2、三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知，，若則A，B，C三點共線．知識點五：向量數(shù)量積的坐標表示1、已知兩個非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）．知識點六：向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或【典型例題】題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；對于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；對于D：設(shè)，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；故選：C.【變式1-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期末）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；對于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.故選：C.【變式1-2】（2024·山東·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】不共線的向量可以作為基底，所以不能作為基底的便是共線向量，顯然選項B中，，所以和共線.故選:B.題型二：用基底表示向量【例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以由已知可得，，所以，，所以，.故選：A.【變式2-1】（2024·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數(shù)m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點共線，∴，∴.故選：A.【變式2-2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形中，是的中點，和相交于點．記，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】在平行四邊形中，和相交于點，所以，又是的中點，所以，所以，所以.故選：A【變式2-3】（2024·陜西·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意,故選：D．題型三：平面向量的坐標表示【例3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標．

【解析】由圖可知：，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為；，對應(yīng)坐標為.【變式3-1】（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)為一組標準正交基，已知，，．若，求在基下的坐標．【解析】因為，又，所以．因此在基下的坐標為．【變式3-2】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，設(shè)，，，P（x，y）是平面直角坐標系中的4個點，且，．求在基下的坐標．

【解析】，分別是x軸和y軸上的單位向量，并且相互垂直，因此不共線，則，組成平面上的一組基．在軸上取與橫坐標相同的點，則與軸平行或共線．在軸上取與縱坐標相同的點，則與軸平行或共線．因此．由，的坐標可知，，因此，即在基下的坐標為．【變式3-3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，，求，并用標準正交基表示.【解析】因為向量，，，所以，所以根據(jù)向量坐標概念易知.題型四：平面向量加、減運算的坐標表示【例4】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，的坐標．【解析】由題意，，，.【變式4-1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、的坐標，求、的坐標．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】（1）因為，，則，.（2）因為，，則，.（3）因為，，則，.（4）因為，，則，.題型五：平面向量數(shù)乘運算的坐標表示【例5】（2024·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）過，的直線與x軸交于點P，設(shè)，則【答案】【解析】設(shè)，則，，則，得，，故答案為：【變式5-1】（2024·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考期末）已知直角坐標平面上兩點、，若滿足，則點的坐標為.【答案】【解析】設(shè)點的坐標為，因為點，，所以，，因為，所以，解得，所以點的坐標為故答案為：【變式5-2】（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)點，，點在的延長線上，且，則點的坐標是．【答案】【解析】設(shè)，則，，因為點在的延長線上，且，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：【變式5-3】（2024·山東淄博·高一?？计谀┮阎蛄?，，，且，則.【答案】【解析】，由可知解得故．故答案為：題型六：向量共線的判定【例6】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【解析】（1）因為，所以，所以與不共線，所以A，B，C三點不共線.（2）因為，所以，因為直線DE與DF有公共點D，所以D，E，F(xiàn)三點共線.（3）因為，所以，因為直線GH與GL有公共點G，所以G，H，L三點共線.【變式6-1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知、、三點的坐標分別為、、，判斷向量與是否共線．【解析】已知、、，所以，，，則，所以，向量與共線.【變式6-2】（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，，，，求證：A，B，D三點共線．【解析】證明：因為，所以與共線．又因為與有公共的起點A，所以A，B，D三點共線．題型七：利用向量共線的坐標表示求參數(shù)【例7】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄?，，且，則實數(shù)x的值為．【答案】/【解析】因為向量，，且，所以，解得：.故答案為：.【變式7-1】（2024·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，三點、、共線，則．【答案】【解析】因為，三點、、共線，則，且，，所以，，解得.故答案為：.【變式7-2】（2024·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，，若，則.【答案】6或【解析】因為，所以設(shè)，則，若不共線，則，則，無實根，不符合題意；則共線，因為向量，，所以，解得或.故答案為：6或題型八：定比分點坐標公式及應(yīng)用【例8】（2024·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知，，點P是線段MN的一個三等分點且靠近點M，則點P的坐標為．【答案】【解析】由題可知，設(shè)，則，，，∴.故答案為：.【變式8-1】（2024·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標系中，點，當(dāng)P是線段靠近的一個四等分點時，點P的坐標為．【答案】/【解析】因為P是線段靠近的一個四等分點，所以，設(shè)，則有，故答案為：【變式8-2】（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考期末）已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標為.【答案】或/或；【解析】若點在線段的反向延長線上，又因為，則有，設(shè)，則，所以，解得，即；若點在線段上，又因為，則有設(shè)，則，所以，解得，即；若點在線段的延長線上，又因為，則顯然不成立；故答案為:或.題型九：數(shù)量積的坐標運算【例9】（2024·廣東陽江·高一廣東兩陽中學(xué)?？计谀┮阎?，若，則x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由題意，，，，，解得：.故選：C.【變式9-1】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄浚?，，若∥，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，因為∥，，所以，解得，所以，所以，故選：C【變式9-2】（2024·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（

）

A．11 B．7 C．3 D．【答案】C【解析】以向量的起點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示：則，，所以.故選：C.【變式9-3】（2024·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀┰诰匦沃?，，，點是AB中點，點P在BC邊上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標系.由易知可得，，，，，，設(shè)，則，，.所以，，則，所以.所以，.故選：A.題型十：平面向量的?！纠?0】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，所以，則.故選：C【變式10-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，且，則等于（

）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，解得.所以，，.故選：A【變式10-2】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，，則（

）A． B． C． D．10【答案】C【解析】，故，又，，故，解得.故選：C題型十一：平面向量的夾角、垂直問題【例11】（2024·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角且，不共線，則,解得：且，故答案為：.【變式11-1】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因為，所以.故答案為：【變式11-2】（2024·陜西榆林·高一?？计谀┮阎蛄?(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值.【解析】（1）因為，所以；（2）的夾角為，則；（3）因為，所以，，由向量與互相垂直得，，所以，化簡得，解得.【變式11-3】（2024·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且，(1)求與；(2)若，，求向量，夾角的大小.【解析】（1）因為，所以，所以，，因為，則，所以，；（2）因為，，所以，設(shè)與向量的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.【變式11-4】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，且，，設(shè)與交于點．(1)求；(2)求．【解析】（1）因為，因為，即為的中點，所以，又，所以，所以；（2）由題意知等于向量和的夾角，因為，所以；因為，所以；所以．題型十二：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例12】（2024·浙江臺州·高一溫嶺中學(xué)校考期末）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點，為邊的中點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過作于，則，當(dāng)與同向時為正，當(dāng)與反向時為負，分別過作，，為垂足，則得當(dāng)與重合（即與重合）時，取得最大值，當(dāng)與重合（即與重合）時，取得最小值，是正六邊形，因此以為軸，為建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，是中點，則，，，，，，所以的范圍是，故選：B．【變式12-1】（2024·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┮阎校沁叄ê它c）上的動點．

(1)若點為與的交點，請用表示；(2)若點使得，求的取值范圍．【解析】（1）因為，則，又A、O、P三點共線，有，，又，即有，而C、O、Q三點共線，于是，解得，所以.（2）由（1）知，，而，設(shè)，則，由，得，即，整理得，即，于是，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以的取值范圍.【變式12-2】（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.

(1)求角B的大?。?2)若，且，，求的面積；(3)如圖，平面四邊形ABCP中，，，，動點E，F(xiàn)分別在線段BC，CP上運動，且，，求的取值范圍.【解析】（1）因為，所以由正弦定理得，所以，又，所以，又，所以.（2）因為，且，，所以，，在中，由余弦定理得，即，解得，或（舍），所以的面積；（3）以A為坐標原點，AP所在直線為x軸，垂直AP的直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，由得，因為，，，所以設(shè)，，由得，由得，所以，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）已知，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，且，所以，即，解得.故選：B2．（2024·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.3．（2024·新疆阿克蘇·高一?？计谀┮阎蛄?，，則（

）A． B．5 C． D．4【答案】B【解析】因為，所以.故選：B4．（2024·西藏林芝·高一?？计谀┮阎蛄?，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】向量，，則.故選:C5．（2024·四川資陽·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【答案】A【解析】對于A，，又，所以，則與共線，又與有公共點B，所以A、B、D三點共線，A正確；對于B，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，B，C三點不共線，B錯誤；對于C，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即B，C，D三點不共線，C錯誤；對于D，，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，C，D三點不共線，D錯誤.故選：A．6．（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點是線段上任意一點，點滿足，若存在實數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，且，而，所以，即，由已知，則，選項D正確.故選：D7．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量，，所以，解得，則，則，所以在方向上的投影向量為.故選：C8．（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在平行四邊形中，點為對角線上靠近點的三等分點，連接并延長交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：因為，則，所以，，，所以，，因此，，故選：D.二、多選題9．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，因為，所以與的夾角為，故D正確.故選：CD.10．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．在上的投影向量為 D．若∥，則【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，故正確；對于B，因為，，所以，解得，故錯誤；對于C，在上的投影向量為：，故正確；對于D，因為，，∥，所以，解得，故錯誤.故選：AC.11．（2024·山東青島·高一青島二中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為或D．若向量與非零向量共線，則【答案】ACD【解析】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯誤；與垂直的單位向量的坐標為或，因此C正確；因為，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：ACD.12．（2024·浙江臺州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎呴L為2的正方形ABCD中，點在四條邊上移動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)E為BC中點時， B．當(dāng)E為BC中點時，C．當(dāng)E在邊CD上移動時，是定值 D．當(dāng)E在邊CD上移動時，是定值【答案】ABD【解析】如圖1，E為BC中點時，選項A，，A正確；選項B，，B正確；

圖1如圖2，E在邊CD上移動時，選項C，，不是定值，C錯；選項D，為定值，D正確，

圖2故選：ABD．三、填空題13．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點，，若，則.【答案】【解析】因為,所以,故;故答案為：.14．（2024·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）在