2023屆老高考數(shù)學(xué)練習(xí)題：第二單元 函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

第二單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

2.1函數(shù)的概念及其表示

1.(2022?重慶市第八中學(xué)檢測)若函數(shù)y=∕(x)的定義域是[0,8],則函數(shù)g(x)=4萼的定

√x-l

義域是()

A.(1,32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2|

答案：D

fθ≤4x≤8[0≤x≤2

解析：因為函數(shù)y="x)的定義域是[0,8],所以八」,.?.l<x≤2.故選D.

x-ιl>0x>1l

2.(2022?浙江金華月考)己知函數(shù)八無)=J._J*+5_I.+1的定義域為R，則。的范圍

是.

答案：口，5)

解析：當α=l時，/U)=l,即定義域為R；

?a≠l,要使/O)的定義域為H,則8*)=(。-1)/+(。-1)工+1>0在%€11上恒成立,

Q-1?0

□(/2/八，解得1<”5,綜上，有l(wèi)≤α<5.

?a=(a-ll)λ-4λ(a-ll)λ<0

fX+1

3.已知函數(shù)f(x—1)的定義域為[0,2022],則函數(shù)g(x)=x_]的定義域為.

答案：[-2,l)□(l,2020]

解析：由函數(shù)f(x—1)的定義域為[0,2022],得函數(shù)y=f(X)的定義域為[-1,2021].令

-l<x+l<2021,

得一2≤xV2020且x≠l.

x≠l,

所以函數(shù)g(x)的定義域為[-2,1)□(1,2020].

E)-e+2,x?L

4.(2022?重慶市巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考)已知函數(shù)[log2(^-l)^>l.p∣lj/[/(O)]=

()

A.3B.-3C.-2D.2

【答案】A.

【解析】/[/(0)]=∕(3)=?8=3.

ln（l-x）1

5.⑵2∣江蘇省徐州考前模擬）函數(shù)尸忑彳+泮定義域是（

A.[-1,0)B.[-l,0)u(0,l]

C.(—1,0)D.(—1,0)50,1]

【答案】C

1-%>0,

【解析】由題意得?x+l>0,解得T<X<O或O<X<1.

X≠0,

所以原函數(shù)的定義域為（-1,0）（0,1）.

6.（2021?吉林梅河口期末）下列4個函數(shù)中，定義域和值域均為（0,+⑹的是（）

A.y=x^2B.y=lnx

C.y=2*D.y=χT

【答案】D

【解析】對于選項A：y=χ-2=^,定義域為{小w0},故A錯誤；

對于選項B:y=lnx,定義域為{x∣x>0},值域為R,故B錯誤；

對于選項C：y=2",定義域為R,故C錯誤；

對于選項D：y=χT=?,定義域和值域均為（0,+8）,故D正確.

故選：D.

7.（2021?遼寧省撫順市月考）已知函數(shù)/（2x+l）=4x-6,若/⑷=10,則實數(shù)。的值為（）

A.5B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】由/（2x+l）=4x-6,令f=2x+l,則/⑺=2f-8.

因為∕3）=2α-8=10,所以a=9.

8.（2021?安徽安慶模擬）已知函數(shù)"2—x）=j4-V,則函數(shù)的定義域為（）

A.[0,4w）B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

【解析】由4-ΛΛ.0,解得—2效k2,

即y=∕(2r)的定義域是[-2,2],則2re[0,4],即函數(shù)/(力的定義域為[(),4],

令√740,4],解得XW(U6],則函數(shù)y=/(?)的定義域為[0,16].故選B.

9.(2021安徽名校聯(lián)盟考試)函數(shù)/(九)=如二3%±2的值域為

X—5x+6

【答案】{y∣y≠=l且y≠-1}

Y2-3r2Y-I2

【解析】/(x)=?"++JJL=]+=,(χχ2),□yHl且yH—1，

X2-5X+6x-3x-3

即值域為{y∣yθl且y≠-1}.

10.(2022浙江臺州五校聯(lián)考)已知/(x)=7,=—的定義域為R,則實數(shù)

y∣-mx~+6nιx+w+10

>n的取值范圍是一。

【答案】{m∣T<m≤0}

【解析】□函數(shù)/(X)=/2"”的定義域為R，

y∣-mx~+6mx+/7/+10

□-mx2+6mx+m+10>0恒成立，當m=0,10>0恒成立；

-m>0

當機加時，有仁/2,(,M八解不等式可得，-l<mV0,

36∕?T+4m[m+10)<Q

綜上可得一l<m<O.

11.(2021河南高三模擬考試)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)

王子''的稱號.設(shè)XeR,用[x]表示不超過X的最大整數(shù)，則y=國稱為高斯函數(shù).例如：

[―5,l]=-6,團=3.已知函數(shù)〃X)=W,則函數(shù)y=["x)]的值域為()

A.{-l}B.1-l,0}C.{1}D.{0,1}

【答案】B

【解析】因為x∈R,t(r)f(x),所以/(x)是R上的奇函數(shù).

當x>°時'o<^)=??4所以當冗ER時，/(無)￡-p?

從而y=[∕W]的值域為{-1,0}.故選B.

12.(2021?湖北省荊州中學(xué)模擬)定義域是一個函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)JZZr(X)定義域

為[211,985],則函數(shù)S〃〃卬吆)〃山(X)=JZzx(2018x)+Jzzτ(2021x)的定義域為()

?~211985^P'211985^

A.D.,

_2018'赤T_,202i2018-

^211985"-211985^

U.

_2018,2018_,2δ2T,202T.

【答案】A

【解析】由抽象函數(shù)的定義域可知，4[2111≤≤20318≤x≤99855,解得而211i#、布985,

211985-

所以所求函數(shù)的定義域為—τ,-.故選A.

2UIoZU21

13.已知函數(shù)/(x)滿足/(-X)+2f(X)=3。貝U/(x)的解析式為I

3Λ'+1-3-v

答案：/(X)=?,x□R

解析:由/(一x)+"(x)=3》,□

得/(勸+((一勸=3?口

3χ+1—2~x

□×2-□,得"(工)=3#1—3一“，即/(%)=---3-----.

y+?—3-χ

故/(X)=-----§------，XR.

I?/?—|—?]VχV0

14.(2021?陜西西安模擬)已知函數(shù)段)=<Y''若實數(shù)〃滿足則

I2x,x>0.

，V三>=()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由於)的定義域，知“>0.當0々<1時，由寅α)=∕(“-1),即2α=g,

解得α=},則/P)=/(4)=8,當α≥l時，由√(α)=∕(α—1),得2α=2(α—1),不成立.綜上

可知，f(—)=8.故選D.

a

15.(2021山東省泰安市模擬)函數(shù)/(x)=JH+1。83(%+2)的定義域是.

【答案】(-2,1)

1—X>0

【解析】由題意可得,x+2>。'解得,一251，故函數(shù)的定義域為7D

χ

2χ<0,1

?f,',C則使負X)=5的X的集合為_______.

｛2

IIOg2X∣,x>0,

答案｛一1,0,#｝

解析由題意知，若x≤0,則2*=；,解得％=-1；若x>0,則∣l0g2x∣=;,解得X=啦或X

=乎.故X的集合為｛-1,形,史｝

17.(2021山東省臨沂市模擬)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)

學(xué)王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)x=R,用卜]表示不超過X的最大整數(shù)，則

y=[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：k3?7]=T,[2?3]=2.已知〃X)=6二I-L則

e+12

函數(shù)N=[/(x)]的值域為()

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,—l,θ}D.{-1,0,1}

【答案】C

FfejJiCi?/_ev-?l_eA+l-2121

vf√+l2/+12爐+12

當x≥0時，ex≥?,貝卜1≤--—<0,故f(x)=--+-∈,故[f(x)]e{T,0};

e+1eII22ZJ

221Γ31A

但x<0時，0<e*<l,則-2<--—<-1,故f(x)=--+τ≡-÷.-τ，

e+1e+1Z\_2.L)

[/(x)]∈{-2,-l};綜上所述,函數(shù)y=[f(x)]的值域為{-2,T,0}?故選C.

13

18.(2021?安徽江南十校聯(lián)考)若加)+3/(—)=x+「21og2》對XU(0,+⑼恒成立，且存在

xo□[2,4],使得/(xo)>用成立，則機的取值范圍為.

答案(一8,6)

解析段)+3/(?)=x+；—2k>g2‰□

Xx

以:代替X得f(-)+3∕(x)=7+3x+2∣0g2x,

λXx

聯(lián)立口□消去/"(1)，得於)=χ+bg2χ,

X

則x□[2,4]時，段)=x+bg2x是增函數(shù),

∏Λx)max=Λ4)=6,因此加V6.

f.2

19.(2021?安徽合肥模擬)已知函數(shù)√(x)=jX'則/(/(-3))=,/(X)的最

,lg(X2+1),X<l,

小值是.

答案02/一3

解析由題意知火-3)=lg[(—3)2+1]=IgIO=1,

所以√W-3)]=∕(l)=0,

2

當X≥l時，y(x)=x+f?3≥2√^—3,當且僅當X=也時，取等號，此時<x)min=2√^-3<0；

當X<l時，√(x)=lg(?X2+l)≥lg1=0,當且僅當X=O時，取等號，此時Xx)min=0.

W(X)的最小值為2√2-3.

一χ-irλ,x<l(AZR),

20.(2021?河南名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)加0=若對任意的“□R都有/⑷]

2x,x>l,

=2?“)成立，則A的取值范圍是()

A.(0,2]B.[0,2]

C.[2,+∞)D.(-∞,2)

答案C

解析當介1時，2空2.口九/(。)]=/(2")=22"=2/⑷恒成立.

當時，./[/⑷]=/(一。+義)=2刎=2片"，∏λ-a>i,即2≥α+l恒成立,

由題意λ≥(α+Dmax,□λ≥2,綜上，％的取值范圍是[2,+8).故選C.

21.(2021北京市清華附中模擬)函數(shù)/(x)=E^+lg(4-x)的定義域是.

【答案】[T,4)

【解析】/(x)=√ΓΓT+lg(4-x),+解得7≤x<4,故函數(shù)的定義域為[TM).

[4—X>U

22.(2021北京市北京大學(xué)附屬中學(xué)模擬)若函數(shù)〃力="的定義域是[0,一),則〃χ)的

值域是.

【答案】[T,l)

【解析】由/(x)=U=A-=I-二7，

x÷lx+1x+1

12

當x≥0時，x+l≥l,所以0<------≤1,貝∣J-2≤---------<O,

x+lx+1

9_1

所以一1≤1一后<1,即"x)=；rW(X≥0)的值域為[-1,1)。

23.(2021?山東青島二中月考)函數(shù)/)=In(I+3+JT彳的定義域為.

X

答案(0,1]

C1

l÷->0,卜v—1或x>0,

解析要使函數(shù)人r)有意義，貝IJV#0,01x≠0,□0<x<l.

J→>o

□段)的定義域為(0,1］.

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

l.(2022?安徽合肥一中月考)函數(shù)段)=?2在［—2,0］上的最大值與最小值之差為________.

x-1

4

答案：一

3

24

解析：易知人工)在［-2,0］上是減函數(shù)，□Xx)nua-/(?)min-/(-2)-/(0)=~~一(一2)=—.

2.(2019?北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,÷∞)上單調(diào)遞增的是

A.IB.y=2-xC.y=l°g√rD.y=-

J一八2X

答案：A

解析：函數(shù)y=2r,y=log［X,y=l在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)V=I在區(qū)

間(0,+8)上單調(diào)遞增，故選A.

3.(2021?安徽安慶模擬)定義新運算□：當.≥6時,a：b=a；當α<6時,aJb=b2,則函數(shù)

.Ax)=(l□x>-(2□x),xR—2,2］的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

答案：C

解析：由已知得當一2Wx≤l時，y(x)=χ-2,當l<x≤2時，y(x)=x3-2.

y(x)=χ-2,./)=/—2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).□∕(x)的最大值為./(2)=23—2=6.故選C.

_1X

4.(2021福建廈門模擬)函數(shù)√(x)=(?—log2(x+2)在區(qū)間［-1,1］上的最大值為.

答案：3

1X

解析：由于y=(?在R上遞減，y=log2(x+2)在［-1,1］上單調(diào)遞增，所以外)在［—1,1］

上單調(diào)遞減，故兀0在［-1,1］上的最大值為4-1)=3.

5.(2021?山東省日照市模擬)函數(shù)/(x)=√?！?+√χ2-6x+10的值域為.

【答案】［6+8)

jU?θ>θ'解得x≤2,所以"X)的定義域為{巾42},

【解析】由已知得

且x≤2時y=√Γ7與y=Jχ2-6χ+ιo都是減函數(shù),所以/(x)在(-∞,2］上是減函數(shù),

/(x)≥∕(2)=√2,所以的值域為［點,e).

6.(2021?陜西榆林月考,)設(shè)偶函數(shù)4、-)的定義域為R,當x□［0,+8)時，/(χ)是增函數(shù)，則

人一2),∕π),人一3)的大小關(guān)系是()

A.fiπ)>JL3)>JL2)B.√(π)>A-2)>∕(-3)

C.∕π)<Λ-3)<A-2)D.∕π)<A-2)<√(-3)

答案：A

解析：因為兀0是偶函數(shù)，所以人-3)=/(3),X-2)=Λ2).又因為函數(shù)兀O在［0,+8)上是

增函數(shù).所以/(π)次3)力(2)，即/(π)>∕(-3)刁(-2).故選A.

7.(2021?江蘇南京調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=χ-3+3在(1,+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范

X2

圍是.

答案：［—1,÷∞)

解析：設(shè)IVXlVX2，□X1X2>1?□函數(shù)於)在(L+8)上是增函數(shù)，Uj[X?)-j[X2)=X?——÷——

x12

-

(X7—?+-)=(Xl—X2)(1H---——)<θ.□xiX2<0,□1+~~^7>0,即Q>—X∣X2?□1VX1<X2,XlM>1，

_x22xlx2XlX2

□一XiX2<—1，□α≥-l?□α的取值范圍是[-1，+∞).

a?x>i

函數(shù)/(X)=4a，滿足對任意的實數(shù)修新2都有-2)>0成立,則

(4—)x+2,X≤1玉一工2

、2

實數(shù)Q的取值范圍為.

答案：［4,8)

解析：由題意，函數(shù)/(X)在(-8,1］和(1，+8)上分別單調(diào)遞增，且/(X)在(-8,1］上的最

Q>1,

高點不高于其在(1,+8)上的最低點，即.4-∣>0,解得4%<8.

-。+2

a≥4----------,

2

8.(2021?全國甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-XB./(χ)=f∣lC./(x)=X2D./(x)=?7

【答案】D

【解析】對于選項A,/(X)=-X為R上的減函數(shù)，不合題意；

對于選項B,/(χ)=0為R上的減函數(shù)，不合題意；

對于選項C,/(K)=/在(TaO)為減函數(shù)，不合題意；

對于選項D,/(x)=荻為R上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.

9.(2021?山東省青島一中模擬)函數(shù)次X)=IOg乂爐―4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

2

A.(—8,—2)B.(2,+∞)

C.(-∞,O)D.(0,+∞)

答案A

解析./)的定義域為(-8,-2)□(2,+∞),令￡=/一4,易知E=X2—4在(-00,—2)上單

調(diào)遞減，又y=log??是減函數(shù)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—2).故選A.

2

eX,,

',二:C若y(α-2)次一4),則實數(shù)“的取值范圍是()

{—X2—2x+l,x>0,

A.(-oo,1]B,[l,÷∞)

Γ1'

Cj0，1]D.∣J,1

答案：A

解析：作出函數(shù)段)的圖象如圖所示，知函數(shù)段)在R上是減函數(shù),

由y(a—2)決一α),得。-20—α,解得α≤L故選A.

11.(2021?江西省南昌四校模擬)已知函數(shù)兀v)=3x—2CoSX,若α=∕(3√^),b=Λ2),c=∕Uog27),

則”,b,C的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

答案D

解析對√(x)=3χ-2CoSX求導(dǎo)得/(x)=3+2SinX,則有/(x)=3+2SinX>0在R上恒成立，

則危)在R上為增函數(shù).又2=log24<log27<3<3√2,所以XeVa.故選D.

12.(2021?河北省唐山模擬)若函數(shù)y=巖,x□(小〃］的最小值為0,則m的取值范圍是()

A.(l,2)B.(-l,2)

C.［l,2)D.［-l,2)

答案D

解析函數(shù)V=M?=2~±J=F-1在區(qū)間(-1,+8)上是減函數(shù)，且/(2)=0,所

?A-I1人I?人I?

以〃=2.根據(jù)題意，x□(,“,”］時，Vmin=O口心的取值范圍是［—1，2).故選D.

χ3,

13.(2021?云南省昆明模擬)已知函數(shù)/(x)=,',^\若/(2—N)>∕(χ),則實數(shù)X的取

In(X+1)，x>0,

值范圍是()

A.(-∞,-1)□(2,+∞)B.(-∞,—2)□(1,+∞)

c.(-l,2)D.(-2,1)

答案D

解析】當x=0時，兩個表達式對應(yīng)的函數(shù)值都為0,

變數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.又［當x≤0時，函數(shù)<X)=X3為增函數(shù)，當QO時,√(x)=lna

+1)也是增函數(shù),□函數(shù)/(X)是定義在R上的增函數(shù).因此,不等式/(2-χ2)MX)等價于2→>X,

即X2+X-2<0,解得一2<x<l.故選D.

14.(2021?遼寧省朝陽市模擬)寫出一個值域為在區(qū)間(-8,+oo)上單調(diào)遞增的函數(shù)

/(X)=

【答案】

【解析】/(Λ)=1-^J,理由如下：y=J為R上的減函數(shù)，且

.?j(x)=l-p)為R上的增函數(shù)，且/(另=1一6)<1,.?."x)=l-p)e(7o,l).

15.(2021?廣東省佛山市佛山一中模擬)函數(shù)y=慟(1—x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案[θ,?]

X(1—x),x≥0,[―x2÷x,x>0,

解析y=?x?(l-χ)=↑z八函數(shù)的大致圖象如圖所示.由圖

-%(1-χ),x<v[x——χ9XV0,

易知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,工].

16.(2021?陜西師大附中模擬)已知函數(shù)y(x)=ekFQ為常數(shù))，若負x)在區(qū)間[1,+網(wǎng)上是增函

數(shù)，則實數(shù)α的取值范圍是.

答案(一8,1]

C^*a9X>Q

_當x≥“時，√(x)單調(diào)遞增，當x<α?xí)r，/(x)單調(diào)遞減，

{ea',x<a,

又兀V)在[1,+oo)上是增函數(shù)，所以d1.

f(x)=卜一I

17.(2021廣東省六校模擬)若〃>0且存1,且函數(shù)依+'L2,X<1在R上單調(diào)遞增，

那么a的取值范圍是.

【答案】(1,2]

【解析】4>0且”1,函數(shù)/S)=["',在R上單調(diào)遞增，可得：.，解

[ax+a-2,x<?[a..2a-2

得。￡(1,2].

122

18.(2021廣東省廣州市天河區(qū)模擬)已知函數(shù)"x)=]χ3-X的值域為,則/(χ)的

定義域可以是.(寫出一個符合條件的即可)

【答案】(答案不唯一)

【解析】Γ(x)=x2-1,令/'(X)=O可得X=T,1,

所以當x<T或x>l時，f'(fl)>θ,當-ICX<1時，∕,(0)<O,

故f(χ)在(9,T)和(1,”)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，且/(-1)=早/⑴=-：,

由此可知定義域可以是[TJ,故答案為：[-1[](答案不唯一)。

19.(2021?山東省聊城市模擬)已知函數(shù)y(x)=lg(x+f-2)(a>0,且存1).

(1)求函數(shù)√(x)的定義域；

(2)當α□(l,4)時,求函數(shù)/(x)在[2,+8)上的最小值;

(3)若對任意x□[2,+oo)恒有y(x)>O,試確定"的取值范圍.

解析：(1)由x+f—2>0,得“二?七>0,

當α>l時，f—2x+α>o恒成立，定義域為(0,+∞),

當OVaVl時，定義域為{x∣0Vχ<l-Λ∕l-α或X>1+√Γ?Σ}.

a∩-a

(2)設(shè)g(x)=x+1-2,當。(1,4),χ-[2,+oo)時，g'(x)=1-m=F^>°?

因此g(x)在[2,+8)上是增函數(shù)，匚網(wǎng)在[2,+8)上是增函數(shù).則/(x)min=∕(2)=嗚.

(3)對任意x□[2,+8),恒有/(x)>0.

即x+f-2>l對[2,+s)恒成立.□α>3χ-X2.

2

令A(yù)(X)=3%一/,χ□[2,+8).由于〃(X)=一(x—1?)+弓在[2,+8)上是減函數(shù)，

□//(x)max=〃(2)=2.故a>2時，恒有心)>0.

故。的取值范圍為(2,÷∞).

-χ2+4x,x<4

20.(2021?江蘇省泰州模擬)設(shè)函數(shù)4v)={,f若函數(shù)y=Ax)在區(qū)間(α,α+l)上單

』0g2X,x>4.

調(diào)遞增，則實數(shù)〃的取值范圍是.

答案(-8,1]□[4,÷∞)

解析作函數(shù)")的圖象如圖所示，

)=Iog2x(.v>4)

y=-x2+4x

(x≤4)

由圖象可知/(x)在(α,α+l)上單調(diào)遞增,需滿足介4或α+W2,即α≤l或α≥4.

21.修填題)(2019?北京卷)設(shè)函數(shù)/(x)=^+αer(α為常數(shù)).若左)為奇函數(shù),則α=；

若J(X)是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

答案一1(一00,0]

解析若<x)為奇函數(shù)，則/(一y)=一心)，即e，+ae、=一(e'+aei),

B[I(α+l)(ev+ev)=0對任意的X恒成立，所以a=-L若函數(shù)√(x)=e'+αe'是R上的增函

數(shù)，則/(x)=eλ—αer≥O恒成立，所以αWe”恒成立，則有α≤0,即α的取值范圍是(一8,O].

22.(2021?廣東惠州一中月考)對于任意實數(shù)α,b,定義min{α,h}=]"≤",設(shè)函數(shù)外)

b,a>b

=-x+3,g(x)=log2%,則函數(shù)A(x)=min{∕(x),g(x)}的最大值是.

【答案】1

【解析】法一在同一坐標系中，作函數(shù)於)，g(x)的圖象，

y=h(x)

依題意，〃㈤的圖象如圖所示的實線部分.易知點Z(2,1)為圖象的最高點，因此力(X)的最大

值為〃(2)=L

logx,0<x≤2

法二依題意，力(X)=I9"，當OVX≤2時，力(X)=IOg2X是增函數(shù)，當x>2時，

一x+3,x>2

〃(x)=3—X是減函數(shù)，因此〃(%)在x=2時取得最大值〃(2)=L

j

A一A^Λ

23.(2022屆湖北黃石月考)已知函數(shù)f(χ)=-----------,實數(shù)〃滿足不等式

ev+e

/(n2-4n)+∕(n-4)>0,則〃的取值范圍是(

A.(4,+∞)B.(―∞,-1)

C.(一8,—1)□(4,+∞)D.(-1,4)

【答案】C

x-e~x9

【解析】/(%)=e=1一^^是增函數(shù),且/(_1)=__C=又是奇函

e?+e-Ae+1e'+e-x

數(shù)，所以由/(〃2-甸+/(力-4)>0,得/(〃2一甸>/(一〃+4)口〃2—4">TZ+4解

得〃的取值范圍是(YO,T)(4,■HX)).故選C.

24.(2021福建漳州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)/(x)=e'+er,給出以下四個結(jié)論：

口.危)是偶函數(shù)；

口.版)的最大值為2；

□當/(X)取到最小值時對應(yīng)的X=O;

□於)在(-8,0)單調(diào)遞增，在(O,+8)單調(diào)遞減.

正確的結(jié)論是()

A.□B.□□C.□□D.□□

【答案】C

【解析】□∕(x)=e'+eτ,□∕(-x)=eT+∕=∕(x),□函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故口對；

xlx

又/(X)=e'-e~=幺二，□當X≥0時，e2?≥e≥1，則/'(x)≥。，□/(%)在(θ,+∞)

上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)在(-∞,O)單調(diào)遞減，

□函數(shù)/(x)在X=O處取得最小值/(x)mjtι=〃0)=2,無最大值，故□對，□□錯，故選

C.

25.(2021?吉林東北實發(fā)大學(xué)附屬中學(xué)二模)已知函數(shù)/(x)=2+lθg3無的定義域為

[1,3],g(%)=∕2(x)+∕(x2)+w,若存在實數(shù)4，。2，4e{y∣y=g(x)}，使得

4+4<%，則實數(shù)用的取值范圍是()

1113C

A.m<-----B."2<------C./Tt<1D./71<2

44

【答案】A

【解析】由題意得g(x)=(2+log3x)2+(2+k>g3χ2)+∕77=(k)g3χy+6噓3兀+6+m,

由C：：；，得l≤x4JJ,□函數(shù)g(x)的定義域為[1,石].令f=l0g3X,fwθ,?,

且∕z(f)=產(chǎn)+6t+6+m=Q+3)2-3+”2,口函數(shù)Mf)在θ,?上單調(diào)遞增，

<1A37

□=/z(θ)=6+加，力(%)〃,八=Λ∣-I=—+///,

37

□g(x)""?"=6+m,g(χ),y=z→m.由題意得“存在實數(shù)4,a2,ge{y∣y=g(χ)}，使

3711

得4+<。3”等價于"2g(x)"而<g(x),,mJ',2(6+/〃)<-^~+/〃，解得機<—I.故選

A.

LX>O

26..已知符號函數(shù)SgnX=<0,X=O,危)是R上的增函數(shù)，83)=危)一/(辦)(4>1),則()

-Lx<0

A.sgn[g(x)]=sgnx

B.sgn[g(x)]=-Sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[∕(x)]

D.sgn[g(x)]=-sgn[/(.r)]

【答案】B

【解析】因為危)是R上的增函數(shù)，且所以當尤>0時，兀V)勺(依)，即g(x)<0;當x=0

LX>0

時,√(x)=∕(αx),即g(x)=0;當XVO時,√(x)次OX),即g(x)>0,由符號函數(shù)SgnX=?O,X=O,

-1,x<0

—1,X>O

知，sgn[g(x)]=<0>X=O=—Sgnx.故選B.

1,x<0

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性

-4x2÷2,—l<x<O,

1.設(shè)兀V）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x□[-l,1）時，七）=則

χfO<x<l,

答案1

2.(2021?新高考1卷)已知函數(shù)/(x)=χ3(α?2"2τ)是偶函數(shù)，則α=.

【答案】1

【解析】因為/(x)=x3(α?2'-2τ),故/(—x)=—儀"。，一2'),

因為/(x)為偶函數(shù)，故f(τ)=f(x),

時V(α?2Λ-2-')=-√(α?2-t-2t),整理得到(加1乂2*+2T)=0,故°=1.

3.(2021?山東省臨沂市模擬)已知y="χ)為奇函數(shù)，y=∕(χ+l)為偶函數(shù)，若當χw[0,l]

時，/(x)=log2(x+a),貝∣J∕(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】/(x)為奇函數(shù)，/⑼=0且"x)關(guān)于原點對稱口

□x∈[0,l]l?/(x)=log2(x+tz),□log2(0+0)=0,□α=l

□xe[0,l]時/(x)=l0g2(x+l),□y=∕(x+l)為偶函數(shù)關(guān)于V軸對稱.

'f(-x)=-f(x)

則/(χ)關(guān)于X=I對稱門,由口口可知<

J(X)=F(2-X)

Of(x)=f(2-x)=-f(x-2),∏f(x+2)=-f(x).

∏f(x+4)=-f(x+2)=-f(-f(x))=f(x),

□周期為4,/(2021)=∕(l)=log22=1,故選:C.

4.(2021河北石家莊模擬)已知y(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若T(I)Vl,/(5)

=24—3,則實數(shù)°的取值范圍為()

a+1

A.(-1,4)B.(-2,1)

C.(-1,2)D.(-1,0)

答案：A

2"3

解析：因為函數(shù)/(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，所以/(5)=/(—1)=/(1),即上」

a+?

VI，化簡得(α—4)m+l)<0,解得一lVa<4.故選A.

5.(2021?江西南昌模擬)已知函數(shù)")是定義在R上的奇函數(shù)，月.滿足犬4—》)=危)，當0<x

V2時，/(x)=2”2_x,則/(5)=()

A.3B.-3

C.7D.-7

答案：D

解析：法一：(利用對稱性)：由寅4-χ)=∕(x)得函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則火5)

=/(—1),又函數(shù)J(X)是奇函數(shù)，則｛5)=/(—1)=一41)=—(2"2—1)=—7,故選D.

法二：(利用等式轉(zhuǎn)化)：由44-χ)=∕(x)得√(5)=∕I4—(一l)]=Λ-l)=-∕U)=-(23-l)

=一7.故選D.

6.(2019?全國卷U)設(shè)/(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，/(x)=eλT,則當x<0時，/(x)=()

A.ex-1B.er+lC.一er-1D.-e-t+l

答案：D

解析：當x<0時，-x>0.因為當XK)時，/(x)=e'T,所以/(—x)=e=-l.又因為/(x)為

奇函數(shù)，所以/(X)=一/(—X)=一/”+1.故選D.

7.(2021新高考∏卷)寫出一個同時具有下列性質(zhì)□□□的函數(shù)/(x).

Γf(x↑x2)=f(X1)—□當x□(0,+8)時,f(%)>0；/(%)是奇函數(shù).

答案：f(χ)=χ2

解析：當時，22當+∞)時，/

/(x)=χ2/(χιχ2)=(X1X2)=XI%2=/(xl)∕(%2);XU(0,

(X)>0；f(X)=2x是奇函數(shù).

8.(2021?山東省日照模擬)已知函數(shù)J(X)對任意x□R,都有/(x+2τt)=∕(x),當x口(0,兀)時，/(x)

=2Sin宗Y則c∕(1一9萬)=()

Z3

A.^B.坐C.lD不

答案：C

解析：因為√(x+2π)=∕(x),所以寅x)的周期為2兀

所以/(|)=f(6π+?)^ff(2π×?+y)=/(∣)>又因為當χ□(0,兀)時，

√(x)=2sin之，所以∕g)=2sin親=1.故選C.

9.(2021?云南省昆明模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(X)同時滿足以下條件：

口∕(x)+∕(-x)=0；□∕(x)=f(x+2);□當0≤χvl時，f(x)=2?'-l.

^ψ÷∕(D÷∕(∣)÷∕(2)÷∕(∣)=一?

答案：√2-l

解析:依題意知函數(shù)/(χ)為奇函數(shù)且周期為2,則/⑴+/(-I)=O,/(-1)=/(1),即/⑴

所以/(?)+/(D+/(∣)+∕(2)+/(|)=/(∣