2023年高考第三次模擬考試卷-數(shù)學(xué)（天津A卷）（解析）

2023年高考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷

數(shù)學(xué)?全解全析

一、選擇題(本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.)

1.已知全集U=R,集合A={x∣f-χ-6>θ},B={x∈Z∣k-2∣<3},則(0A)C3=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{-l,0,1,2,3}D.{0,l,2,3)

【答案】D

【分析】分別求出集合A、樂(lè)A、B,再求交集可得答案.

【詳解】因?yàn)锳=HX2-χ-6)θ}=(y,-2)53,+s),所以64=[-2,3],

又因?yàn)?={x∈Z∣-3<x-2<3}={x∈Z∣T<x<5}={0,l,2,3,4},

所以(Q,A)cB={0,l,2,3}.

故選：D.

2.已知”0,則“∕<q"是，,>α”的()條件.

a

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】解不等式，根據(jù)充要條件的定義判斷即可.

【詳解】由∕<°可得03-α<o即q(α+i)(α-i)<o,

解得"-1或O<“<l,

由?L>α可得?L-4>O即上直>o,

aaa

所以(1一〃)。+>O也即a(a+l)(α-l)<0,

解得αv-l或Ovavl,

所以“d<α”是“l(fā)>a”的充要條件，

a

故選:B.

3.函數(shù)y=三含l?的大致圖象是()

?χ?

斗

1-

A.,二r

-2-1O?J^Tx

-1-

【答案】A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性即可排除選項(xiàng)BQ；再利用特殊值即可排除選項(xiàng)C,進(jìn)而求解.

、x-3sinx

【詳解】函數(shù)y=∕(χ)=-H—的定義域?yàn)?-∞,o)(o,+∞),

-x-3sin(-x)_-X+3SinX_

且/(-X)=-fS),

b?'lW

所以/（X）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BQ選項(xiàng),

只需研究x＞。的圖象，當(dāng)“耕，/Si吟4-1＜。，貝"（小。，排除C選項(xiàng).

故選：A.

4.在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)2000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖,

其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90.100],60分以下視為不及格，則下

列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①"的值為0.300

②不及格的考生數(shù)為500

③考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替）

④考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分析即可.

【詳解】由頻率分布直方圖可得：

α=0.1-0.01x2-0.015x2-0.02=0.03,①錯(cuò)誤；

不足60的占比為：(0.01+0.015)xl0x2(X)0=500,②正確；

平均分為：(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5,③正確；

設(shè)中位數(shù)為X,則(x-70)x0.03+10x(0.01+0.015+0.02)=0.5,解得χ=70+1≠75,④錯(cuò)誤,綜上正確的有

2個(gè).

故選:B

02

5.已知α=k‰j0?3,?=Iog060.2,c=2-,則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a<1,b>2,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得l<c<√∑,進(jìn)而即得.

【詳解】因?yàn)棣?Iog020?3<?og(∣202=1,

a<1,又b=Iog060.2>Iog060.36=2,

：.b>2,

VO<0.2<0.5,1<C=20?2<2U?5=√2.

?l<c<√2<2-

??h>c>a.

故選：D.

6.三星堆古遺址作為“長(zhǎng)江文明之源”，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一?3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今

人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造,

契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)

成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm,圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球

。上，則球。的表面積為()

A.72πcmB.162πcm2C.216πcm2D.288πcm2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知正方體的體對(duì)角線即是外接球的直徑，又因圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，可

利用勾股定理得出正方體邊長(zhǎng)，繼而求出球的表面積.

【詳解】不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2%球。的半徑為此則圓柱的底面半徑為m

因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線即為球。直徑，故2R=2√5α,

利用勾股定理得：62+a2=R2=3a2,解得α=18,球的表面積為S=4πR?=4兀χ3xl8=216兀，

故選：C.

92

7.設(shè)廠(GO)為雙曲線E:0-2=l(α>0,"0)的右焦點(diǎn)，圓?+倒=與E的兩條漸近線分別相交于人,

B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是邊長(zhǎng)為4的菱形，則E的方程為(

123

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形、圓的性質(zhì)知c=4R∕OAF.?OBF均為等邊三角形,結(jié)合漸近線方程、雙曲線參數(shù)

關(guān)系求白,即可求E的方程.

【詳解】由四邊形OAFB是邊長(zhǎng)為4的菱形，知：c=4且A04P?△OBF均為等邊三角形,而漸近線方

程為y=±3,

a

.?2=tan60°=>Λ,又μ+從=c2=i6,

a2=4,&2=∣2,故E的方程為工-M=I.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用菱形、圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線方程求參數(shù)，寫出雙曲線方程.

8.已知函數(shù)/(x)=(αsi∏Λ+cosx)cosx-gSeR)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(蔣,0),則關(guān)于/(x)有下列結(jié)論:

①〃x)的最小正周期為兀；

②X=-W是“X)圖象的一條對(duì)稱軸；

③“X)在區(qū)間W,闿上單調(diào)遞減；

O3

④先將函數(shù)y=2sin2x圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的g,然后把所得函數(shù)圖象向左平移已個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到/(x)的圖象.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)/(x),將X=Il代入得函數(shù)為0,可求得α=√L進(jìn)而可得〃x)=sin(2x+?？膳袛?/p>

A；通過(guò)計(jì)算可判斷B；當(dāng)-J≤x≤M時(shí)，f≤2x+m≤'，可得/(x)在他馬上的單調(diào)性，

k63262

可判斷C；

通過(guò)振幅變換和平移變換，可判斷D.

【詳現(xiàn)軍】/(x)=(。sinX+cosx)cosx-^=asinxcosx+cos2x~~

1.C1+cos2xIl.c1C

=—αsιn2x+-----------=—αsιn2x+-cos2x,

22222

因?yàn)?(χ)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(V，。)，

則生]=，asin&+」cos型=Ja-正=0,所以a=√L

112；262644

所以〃X)=——sin+-cos2x=sin2x-■一

22Λ2I?6

對(duì)于①，/(X)的最小正周期為T=三=兀，故①正確；

對(duì)于②，/(-1)=SitI(T+V=sin(-])=T，故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)F≤x≤W時(shí)，3≤2X+B≤當(dāng)，又Y=Sinr在上先單調(diào)遞減，

63262|_22

所以〃x)=sin(2x+引在上單調(diào)遞減，故③正確；

VO/J_

對(duì)于④，將函數(shù)y=2sin2x圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的然后把所得函數(shù)圖象向左平移行個(gè)單

位長(zhǎng)度,

得至Uy=sin[2(x+q)]=sin(2x+^)=f(x),故④正確.

故選：D.

+2,-2<X≤1

9.已知函數(shù)/(χ)=∣1o1,若關(guān)于X的方程/(x)-《A=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)Z

x÷——3,l<x≤5?,2

X

的取值范圍是()

A.[θ,∣∣6,-4&)B.(0$)M-3,-20)

C.(0,l]u(-3,-2√2)D.(0,2]o(-6,-4√2)

【答案】A

【分析】分析函數(shù)/(x)的特點(diǎn)，比較準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖像，

將原方程轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并構(gòu)想如何才能有兩個(gè)交點(diǎn).

【詳解】對(duì)于y=∕+2,是對(duì)稱軸為y軸的開口向上的二次函數(shù)；

對(duì)于y=x+-3,求導(dǎo)得y=1-1,在Xe(1,5]時(shí)，y>0,是增函數(shù)，

XX

=l+y-3=-l<0,ynιax=5+∣-3=y>0,

.?.在xw(l,5]內(nèi)必存在零點(diǎn)，考慮y=x+}-3函數(shù)圖像的特點(diǎn)，

作如下所示示意圖：

要使關(guān)于X的方程/(》)-；依=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則兩函數(shù)y=∕(χ)與y=g日的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)％>0,由圖可知，;即0<%≤3;

22525

當(dāng)/<0時(shí)，相當(dāng)于y=g匕與y=χ2+2在χ∈(-2,0)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn),

即方程f+2=g辰在xe(-2,0)上有兩個(gè)解，A=2x+g,

令8(加21+。(加2一3=26?!,+&)，

XXX

Sttax(?)=S(-V2)=-4√2,g(-2)=-6,作g(x)圖像如下：

O

.?.-6<k<-4\/2;

故選：A.

第∏卷

二、填空題：(本題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)

的給5分。)

io.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)e刊的虛部是

1+2i

【答案】-2

【分析】由復(fù)數(shù)模的定義和復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算.

IL匹百S=止0_2i?虛部為2

【詳解】

l+2i(l÷2i)(l-2i)5

故答案為：-2.

11.二項(xiàng)式［；+?。┑恼归_式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則〃=.

【答案】6

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式和展開式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)建立方程即可得解.

2n-3r

【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為7^=c：23i?X~^~

??7一3χ4

由展開式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)r=4,則"-尸=O,即"=6.

故答案為：6.

12.己知圓心在直線x-3y=0上的圓C與V軸的負(fù)半軸相切，且圓C截X軸所得的弦長(zhǎng)為4&，則圓C的

方程為.

【答案】(x+3f+(y+l)2=9

【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閳A心在直線x-3y=0上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為（3b,力,

因?yàn)閳AC與，軸的負(fù)半軸相切，所以。＜0,且圓的半徑為-3b,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：（x-36）2+（y-A）2=（-3Z√,因?yàn)閳AC截X軸所得的弦長(zhǎng)為4√∑,所以令丫=。,

222

↑?(x-3?)+(0-?)=(3?)^>x=3?±2√≡2?,

K?3?+2√=2fe-(3fe-2√≡2?)=4√2=>?=-l,

所以圓C的方程為：（x+3p+（y+l）2=9

13.已知正實(shí)數(shù)m6滿足α+6=l,則1+昌的最小值為_________.

ab+?

【答案】（/2.5

2

14I4

【分析】將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為上+--2,應(yīng)用柯西不等式求'+廠］的取值范圍，進(jìn)而可得目標(biāo)式的最小值,

ah+?a?÷1

注意等號(hào)成立條件.

■、乂ZTI■口=`n<,r.t12a12-2?14.

【詳解f】由題設(shè)，a=?-b,則丁昉=Lm=L時(shí)一2'

又(tZ÷?÷1)(---1-------)=[y]~Q,,—+??∕?÷^1-------]2=9

a?+ly∣a√"1

149?+ι

匕+南7'當(dāng)且僅當(dāng)三時(shí)等號(hào)成立，

.?.-+~≥^--2=~,當(dāng)且僅當(dāng)α="?=:時(shí)等號(hào)成立.

ab+?2223

?~÷τ^^^^7的最小值為∣^.

故答案為：

14.已知一個(gè)袋子里有9個(gè)大小、形狀、質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球，先從袋

子中任取1個(gè)球，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)球中任取2個(gè)球，則這2個(gè)球都是紅球的概率為,先取出的球也

是紅球的概率為.

12

【答案】7I

【分析】利用全概率公式及條件概率公式即得.

【詳解】設(shè)事件A表示從剩下的8個(gè)球中任取2個(gè)球都是紅球，事件B,,B2,反分別表示先取的1個(gè)球是

紅球、白球、黑球，

34C2?C2C21

由全概率公式得P（A）=?（紇），（Al紜）=§x苔+gx百→gx百=亍

4C；

X

P(g,)P(A|g,)=9C^2

P(BM=

P(A)-P(A)-7

12

故答案為：~；^?

67

DTIUUlIl

15.已知平行四邊形ABC。的面積為9√LZBAD=^-T,∣AD∣=6,E為線段BC的中點(diǎn)，若尸為線段。E上

的一點(diǎn)，且AF=4AB+?AO,則/________；羅.端的值為______.

6

【答案】?9

IUlKIIUUDI

【分析】由平行四邊形ABCD的面積為96,可得卜BHA。卜18,再由數(shù)量的定義可求出A?AB的值；由

已知得4尸=2AE+K;l）AE>,然后根據(jù)EEO三點(diǎn)共線即可得2=2，從而得出"'=2，則

62336

AF-AE=（；A8+|A叫A8+g回，即可求出答案.

【詳解】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCO的面積為9百，

UUD

∣uu∏∣∣uu≡,2π-IIIUuBl

所以網(wǎng).『4Sin年=9百l,得Mpq=18,

又陰=6,所以網(wǎng)=3,

所以AO?AB=AQ?AB=IAQHAMCOS=-9,

如圖，連接AE,則8E=LAQ,AE=A8+'AQ,

22

由A∕7=∕tAB+2aθ,

6

所以AF=X(AE-A￡>)+3A。=ΛAE+(---λ)AD

2662

因?yàn)镋F,。三點(diǎn)共線，

所以幾+*2=1,得4=g,

所以AF=JAB+*AO,

36

所以A尸.AE=(gAB+|Aq(AB+；A￡>]

2S-?2]S

=-AB'+ABAD+-AD'=-×9-9+-×3l6=9

【點(diǎn)睛】此題考查了向量加法、數(shù)乘的幾何意義，三角形的面積公式，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能

力，屬于中檔題.

三、解答題(本題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

16.在JABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,已知/?=αcosC+-CSinA?

3

(1)求角A的大?。?

(2)若α=√7,b<c,45C的面積為豆I.

2

①求C的長(zhǎng)；

②求sin(28高的值.

【答案】(嗚

(2)φ?=2,c=3；(g)??

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

(2)①由面積公式得到秘=6,再由余弦定理得到b+c=5,解得即可；

②由余弦定理求出CoSB,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出sin8,再利用二倍角公式及兩角差的正弦公式

計(jì)算可得；

(1)

解：因?yàn)樨?αcosC+?^?csinA,

3

n

由正弦定理得sinB=sinAcosC+——sinCsinA

3

XsinB=sin[?-(A+C)]=sin(A+C),

^sinCsinA,

3

BPsinAcosC+cosAsinC=sinACOSC+——sinCsinA

3

所以COSASinC=—sinCsinA，

3

又SinC≠0,故tanA=6.

在,ABC中，A∈(O,R,所以A=?.

(2)

①,ABC的面積S=-bcsinA=^^-?得。C=6,

22

由余弦定理，Wtz2=?2+c2-2bccosAt

2

由〃=J7,A=(，可得7="+c-be,

整理得7=e+c『—3bc,解得"c=5,

又Z?<c,故人=2,c=3.

②方法一：

由余弦定理，得。2=a1+c1-2<zccosB?

又。=近，b=2,c=3,故cosB="十￡———

Iac7

所以SinB=>∕l-cos2B=-----,

7

.?.?√212√74√3

sιn02βπ=2sιnπβcosπβ=2×-----×------=------,

777

41

COS2B=2COS29B-1=2×一一1=-,

77

故sin(23-工］=sin2Bcos工-CoS2Bsin工

V6J66

4λ∕3√31111

=---------X----------------X—=—.

727214

方法二：

由正弦定理三=工，得耳=嬴萬(wàn)，故SinB=亙，

SinAsinB—7

2

又。<c,j?B<C,cosB>0,

從而cosB=Vl-sin2B=會(huì)/Z.

7

?0—?a?√212√74√3

sin2π=2sιnπcosπβ=2×-----×------=------,

777

41

COS2B=2COS29B-1=2×一一1=-,

77

Sin［28-工］=sin2Bcos?-cos2Bsin?

l6)66

4λ∕3√31111

=---------X----------------X—=—.

727214

17.四棱錐P-ABeD中，2。_1_面ABCO,ABHDC,ABYAD,DC=AD=I,AB=2,ZPAD=45,E是

24的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段A3上，且滿足CF?BO=0?

⑴求證：Z)￡//平面P8C；

(2)求二面角尸-PC-B的余弦值；

(3)在線段R4上是否存在點(diǎn)。，使得廣。與平面廳C所成角的余弦值是逅，若存在，求出AQ的長(zhǎng)；若不

3

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見解析;

⑵%

3

（3）存在，立.

IO

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，DA,DC,OP分別為X,九Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,利用向量法

求解；

（2）利用向量法求解；

（3）利用向量法求解.

【詳解】（1）由題意可得D4,DC,OP兩兩互相垂直，所以可以以。為原點(diǎn)，DA,DC,E）P分別為x,

y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z如圖示：

.?.A(1,0,0),8(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1),r^?,θ,?

/.SC=(-1,-1,0),CP=(O--Ll).

設(shè)平面PBe的一個(gè)法向量為，”=(x,y，z).

ιn-BC=-X-V=O、

,,不妨令y=l,.?.戊二z(一LI,1).

tnCP=->,÷z=0

又.DE=I?,θ,?],.-.m-DE=--+0+-=0,

(22J22

m±DE-

DE不在平面PBC內(nèi),

?1?DE//平面PBC.

(2)設(shè)點(diǎn)/坐標(biāo)為(LM)),.?.CF=(Lr—1,0),DB=(1,2,0).

1,,0

由CFoB=0，?」=!，F(xiàn)(?J?

.?.CF=(l,-g,θ),

設(shè)平面尸尸C的一個(gè)法向量為”=(x，y，z),

CD(一y+z=O

n?CP=n0./、

由〈，「.〈1八，不妨令工=1,?,.〃=(1,2,2)

,2?CF=O?--?=o

、乙

.*.m?n=-l+2+2=3,

n`m36

.?.cos?n,m?=∣-∏~F=―7==——

∣rt∣?∣w∣3√33

又由圖可知，該二面角為銳二面角，

二面角尸-PC-B的余弦值為立.

3

(3)設(shè)AQ=2AF)=(―%0,Λ)>Λ∈[θ,l],FQ=FA+AQ=[-λ,-->λ

n?FQ=A-I,

2/1-2

.,.cos?FQ,

3√8Λ2+1，

尸Q與面PFC所成角的余弦值是好????其正弦值為B

33

2/-2_立

3√8Λ2+?3

整理得：20/+82-1=0,

2=?,2=-；(舍去)，

存在滿足條件的點(diǎn)Q,AQ=卜觸總且IAQl=尋.

18.已知｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，也｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,^-φ=l,爪%-4)=1,

b2+2?3=b].

⑴求數(shù)列｛α,,｝,他｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛(-1片“的前”項(xiàng)和的最大值;

匕也必,〃為奇數(shù),

C<24(n∈N").

⑶設(shè)C,=為偶數(shù),求匹JΛ

?=1

2

【答案】(1)4=2〃-1,

(3)證明見解析

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,J的公差為"，等比數(shù)列｛〃,｝的公比為q(√>0),

根據(jù)所給條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得;

(2)由(1)可得(_1)"Td=,利用等比數(shù)列求出公式求出前"項(xiàng)和7；,再分奇偶兩種情況求出T“

的最大值，即可得解；

(2)利用錯(cuò)位相減法求和即可得證；

(1)

解：設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為4(4>0),

01=1

由“∣=l,七一g=l，即<4α∣+6d3al+_∣?解得4=2,所以

由4(%-αJ=l,所以4=；,由4+24=4，即gq+2xg∕=g,解得q=g或g=-l(舍去)

所以“(｛f；

⑵

解:由⑴可知么=出"，所以(T)F=Uj

所以］(-1廣｝是首項(xiàng)為3,公比為-?的等比數(shù)列,

令｛(T)"%,J的前〃項(xiàng)和為，，

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)*=；1+(￡)≤∣[ι+^=∣,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)Z,=；1-(；)＜；,

綜上可得｛㈠廣殳｝的前〃項(xiàng)和的最大值為果

(3)

?3%11,"為奇數(shù)

~2^

證明：因?yàn)?=

YT4,〃為偶數(shù)'

2

2n

所以Σq=(嫉-q2)4+(Y-4)4+(d-4)4++(?~a2n-?)hn

A=I

(1352n-3

o++T+

=8[7F2+K+〒怏

1?(1352/2-32n-↑}^

o+++

2∑C^?FF+『+^d②，

由①-②可得空弓=8(；+*:+#+擊-釣

2”20+3

所以Zq=24-《k<24,得證;

Λ=l'

n([7上

19.已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C經(jīng)過(guò)P，Q76,—兩點(diǎn).

I?)

(1)求橢圓C的方程;

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線/與橢圓。相交于A,B兩點(diǎn)，2OD=3OB,OE=OD+OA,且點(diǎn)E在橢圓。上，求

直線/的方程.

22

【答案】(1—

94

⑵y=±∣x+1

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓。的方程如=1,代入點(diǎn)列式運(yùn)算，求解即可得結(jié)果;

（2）設(shè)A（XQ38（Λ2,%）,根據(jù)題意整理可得4xE+9χ%+27=0,結(jié)合直線方程以及韋達(dá)定理運(yùn)算求

解，注意討論直線/的斜率是否存在.

【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程加小+可產(chǎn)=i（m>o,">o,m*"）,

?；橢圓C經(jīng)過(guò)P∣G,半］,Q而,當(dāng)］兩點(diǎn),

/

3+8n1

τ-m——

解得

即<9

6+1

4τn-n--

、4

即1+［竽+^l)+}χi=ι,可得4%%+9乂％+27=0.

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為V=履+1,

γ=Ax+1,

聯(lián)立方程f丁，消去y得(9∕+4)f+18^—27=0,

----F---=1

194

IQiGr

貝IJA=(18Z)2-4X(9左2+4)X(-27)=432(3∕+1)>0,XI÷X2=-^^,?x2=-9^^4

2

：4百/+9χ%+27=4XIX2+9(H+1)(AX2÷1)+27=(4+9XΓ)X1X2+9?(xl+x2)÷36=0,

則(4+9辦卜扁卜9k一顯卜36肛

2

9?2=4,解得Z=±3,

2

故所求直線/的方程為y=±(χ+i;

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，則直線/的方程為X=O,即占=%=0，%=-%，

。+超=超=1

可得944,該方程組無(wú)解，不合題意；

0χ0+9%(f)+27=-9^+27=O

2

綜上所述：所求直線/的方程為y=±；x+L

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與相交有關(guān)的向量問(wèn)題的解決方法

在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的向量問(wèn)題時(shí)，一般需利用相應(yīng)的知識(shí)，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為

端點(diǎn)坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系，再將其用橫(縱)坐標(biāo)的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.

20.己知函數(shù)F(X)=XnlnX-"lnx("wN*).

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求函數(shù)y="x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)”>1時(shí)，函數(shù)y="x)的圖象與X軸交于產(chǎn)，。兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q在右側(cè).

(i)若函數(shù)y=f(χ)在點(diǎn)Q處的切線為y=g(χ),求證：當(dāng)x>l時(shí)，f(χ)>g(χ);

(ii)若方程/(x)=f(0<f<"-l)有兩根“，b.求證：?a-b?<^^t+^.

Inn

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(LM),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)

(2)(i)證明見解析，(ii)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)解析式，即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

11

(2)(i)由于r(x)=-x+√T-W,所以r(∕)=zΛ?n=^g(x)=(∕Λln")x-"ln"，令〃(X)=/(x)-g(x),

利用單調(diào)性即可得證；

l-Λ

(行)由于方程/(幻="0<，<〃-1)有兩根。，b,不妨設(shè)a>b,則o<z,<ι,ɑ>/,設(shè)g(%)=f,則Xt)=丘+),

Inw

由于y=g(χ)是增函數(shù)，即可得證.

【詳解】⑴當(dāng)〃=1時(shí)/(x)=(XT)InX,所以函數(shù)的定義域?yàn)?0,4∞),r(