（江蘇專用）高考數(shù)學二輪復習 第四篇 一 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想試題 理-人教版高三數(shù)學試題

函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學教學的最終目標，是要讓學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.數(shù)學素養(yǎng)就是指學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力，數(shù)學核心素養(yǎng)高于具體的數(shù)學知識技能，具有綜合性、整體性和持久性，反映數(shù)學本質(zhì)與數(shù)學思想，數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學思想方法在具體學習領域的表現(xiàn).二輪復習中如果能自覺滲透數(shù)學思想，加強個人數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，就會在復習中高屋建瓴，對整體復習起到引領和導向作用.一、函數(shù)與方程思想在不等式中的應用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解.1.若0<x1<x2<1，則x2和x1的大小關(guān)系為________________.答案x2>x1解析設g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，則g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0，∴函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù).又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴x2>x1.2.(2018·宿州調(diào)研)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足f(x)＝x3＋4x(x≥0)，若f(1－2m)≥f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是______________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪[1，＋∞)解析由題意可知，定義在R上的偶函數(shù)f(x)＝x3＋4x(x≥0)，因為y＝x3，y＝4x在x≥0時都是單調(diào)遞增的函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝x3＋4x在x≥0時為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(1－2m)≥f(m)，只需|1－2m|≥|m|，即m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪[1，＋∞).3.已知定義在R上的函數(shù)g(x)的導函數(shù)為g′(x)，滿足g′(x)－g(x)<0，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且g(4)＝1，則不等式eq\f(gx,ex)>1的解集為________.答案(－∞，0)解析∵函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴g(0)＝g(4)＝1.設f(x)＝eq\f(gx,ex)，則f′(x)＝eq\f(g′xex－gxex,ex2)＝eq\f(g′x－gx,ex).又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上單調(diào)遞減.又f(0)＝eq\f(g0,e0)＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.4.若x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.答案[－6，－2]解析當－2≤x<0時，不等式轉(zhuǎn)化為a≤eq\f(x2－4x－3,x3).令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，則f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－x－9x＋1,x4)，故f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，在(－1,0)上單調(diào)遞增，此時有a≤f(x)min＝f(－1)＝eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.當x＝0時，不等式恒成立.當0<x≤1時，a≥eq\f(x2－4x－3,x3)，則f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，此時有a≥f(x)max＝f(1)＝eq\f(1－4－3,1)＝－6.綜上，實數(shù) a的取值范圍是[－6，－2].二、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計算一般化歸為方程組來解決.5.已知{an}是等差數(shù)列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d＝________.答案eq\f(2,3)解析設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝10，,S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝70，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,2a1＋9d＝14，))解得d＝eq\f(2,3).6.在等差數(shù)列{an}中，若a1<0，Sn為其前n項和，且S7＝S17，則Sn取最小值時n的值為________.答案12解析由已知得，等差數(shù)列{an}的公差d>0,設Sn＝f(n)，則f(n)為二次函數(shù)，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的圖象開口向上，關(guān)于直線n＝12對稱，故Sn取最小值時n的值為12.7.(2018·江蘇海安高級中學月考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，其前n項和為Sn，若S4＝2S2＋1，則S6的最小值為________.答案2eq\r(3)＋3解析∵S4＝2S2＋1，∴eq\f(a11－q4,1－q)＝2eq\f(a11－q2,1－q)＋1?a1(1＋q)(q2－1)＝1，∵q>1，∴S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(1,1＋qq2－1)×(1＋q＋q2)(1－q＋q2)(1＋q)＝q2－1＋eq\f(3,q2－1)＋3≥2eq\r(3)＋3，當且僅當q2＝1＋eq\r(3)(q>1)時取等號，∴S6的最小值為2eq\r(3)＋3.8.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，則nSn的最小值為________.答案－9解析由已知得Sn＝eq\f(n2－5n,2)，故nSn＝eq\f(n3－5n2,2).令f(x)＝eq\f(x3－5x2,2)，則f′(x)＝eq\f(3,2)x2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(10,3)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))上單調(diào)遞增.又∵n是正整數(shù)，當n＝3時，nSn＝－9，當n＝4時，nSn＝－8，故當n＝3時，nSn取得最小值－9.三、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率、幾何量等經(jīng)常要用到方程組的思想；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可以通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.9.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知AB＝4eq\r(2)，DE＝2eq\r(5)，則C的焦點到準線的距離為________.答案4解析不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓的方程設為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設A(x0,2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，點A(x0,2eq\r(2))在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0， ①點A(x0,2eq\r(2))在圓x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2， ②點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2， ③聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點到準線的距離為p＝4.10.如圖，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，若∠PAQ＝60°，且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率為________.答案eq\f(\r(7),2)解析因為∠PAQ＝60°，AP＝AQ，所以AP＝AQ＝PQ，設AQ＝2R，又eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，則OP＝eq\f(1,2)PQ＝R.雙曲線C的漸近線方程是y＝eq\f(b,a)x，A(a,0)，所以點A到直線y＝eq\f(b,a)x的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·a－0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋－12))＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))))2＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，OA2＝OQ2＋QA2－2OQ·QAcos60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×eq\f(1,2)＝7R2＝a2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2b2＝3R2a2＋b2，,a2＝7R2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝7R2，,b2＝\f(21,4)R2，))所以雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(\f(21,4)R2,7R2))＝eq\f(\r(7),2).11.設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點.若eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))，則k的值為________.答案eq\f(2,3)或eq\f(3,8)解析依題意得橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如圖，設D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝eq\f(2,\r(1＋4k2)).由eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))知，x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝eq\f(1,7)(6x2＋x1)＝eq\f(5,7)x2＝eq\f(10,7\r(1＋4k2)).由點D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝eq\f(2,1＋2k).所以eq\f(2,1＋2k)＝eq\f(10,7\r(1＋4k2))，化簡得24k2－25k＋6＝0，解得k＝eq\f(2,3)或k＝eq\f(3,8).12.已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x交于不同的兩點A，B，且以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點F，則k＝________.答案eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)解析點F的坐標為(1,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)，當k＝0時，l與C只有一個交點，不合題意，因此k≠0.將y＝k(x＋1)代入y2＝4x，消去y，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ①依題意知，x1，x2是①的不相等的兩個實根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4k2－22－4k4>0，,x1，2＝\f(－k2－2±2\r(1－k2),k2)，)) ②由以AB為直徑的圓過F，得AF⊥BF，即kAF·kBF＝－1，所以eq\f(y1,x1－1)·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0，所以x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0，所以(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0， ③把x1,2＝eq\f(－k2－2±2\r(1－k2),k2)代入③得2k2－1＝0，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，經(jīng)檢驗k＝±eq\f(\r(2),2)適合②式.綜上所述，k＝±eq\f(\r(2),2).一、數(shù)形結(jié)合思想在解方程或函數(shù)零點問題中的應用討論方程的解或函數(shù)零點的問題一般可以構(gòu)造兩個函數(shù)，將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點個數(shù).構(gòu)造函數(shù)時，要先對方程進行變形，盡量構(gòu)造兩個比較熟悉的函數(shù).1.函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零點個數(shù)為________.答案1解析在同一平面直角坐標系下，作出函數(shù)y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)的圖象，如圖所示.函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零點等價于2x＝eq\f(1,x)的根，等價于函數(shù)y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)圖象的交點橫坐標.由圖可知只有一個交點，所以有一個零點.2.若關(guān)于x的方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2有四個不同的實數(shù)解，則k的取值范圍為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析x＝0是方程的一個實數(shù)解；當x≠0時，方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2可化為eq\f(1,k)＝(x＋4)|x|，x≠－4，設f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝eq\f(1,k)，則兩函數(shù)圖象有三個非零交點.f(x)＝(x＋4)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x>0，,－x2－4x，x<0，x≠－4))的大致圖象如圖所示，由圖可得0<eq\f(1,k)<4,解得k>eq\f(1,4).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關(guān)于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有實數(shù)解之和為________.答案－7解析因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.又當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y1＝f(x)與y2＝|cosπx|的圖象如圖所示.由圖象知關(guān)于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的實數(shù)解有7個.不妨設x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，則由圖得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有實數(shù)解的和為－4－2－1＋0＝－7.4.(2018·無錫檢測)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,x·log2x＋1，－1<x<1，))若方程f(x)－mx＝0恰好有3個根，則實數(shù)m的取值范圍為________.答案(0,1)解析當x＝0時，xlog2(x＋1)－mx＝0，所以x＝0是方程的一個根；當x≥1時，1＝mx，所以m＝eq\f(1,x)，當－1<x<1且x≠0時，令xlog2(x＋1)＝mx，則m＝log2(x＋1)，畫出關(guān)于g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，－1<x<1，且x≠0，,\f(1,x)，x≥1))的函數(shù)圖象，如圖.所以滿足y＝m和y＝g(x)的圖象有兩個交點的m的取值范圍為0<m<1，因為x＝0是方程f(x)－mx＝0的一個根，所以方程f(x)＝mx有3個根的m的取值范圍為0<m<1.二、數(shù)形結(jié)合思想在求解不等式或參數(shù)范圍中的應用構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合其圖象特征研究量與量之間的大小關(guān)系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式.5.(2018·全國Ⅰ改編)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))則滿足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范圍是________.答案(－∞，0)解析方法一①當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1時，f(x＋1)＜f(2x)即為2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集為(－∞，－1].②當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x＞0))時，不等式組無解.③當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x≤0，))即－1＜x≤0時，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集為(－1,0).④當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0時，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，0).方法二∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖可知，當x＋1≤0且2x≤0時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x＋1)＜f(2x)轉(zhuǎn)化為x＋1＞2x.此時x≤－1.當2x＜0且x＋1＞0時，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，滿足f(x＋1)＜f(2x).此時－1＜x＜0.綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0).6.設A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，則使A?B成立的實數(shù)m的取值范圍是________.答案[eq\r(2)－1，＋∞)解析集合A是圓x2＋(y－1)2＝1上的點的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合，要使A?B，則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線x＋y＋m＝0應與圓相切或相離(在圓的左下方)，而當直線與圓相切時，有eq\f(|m＋1|,\r(2))＝1，又m>0，所以m＝eq\r(2)－1，故m的取值范圍是[eq\r(2)－1，＋∞).7.若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析作出y1＝|x－2a|和y2＝eq\f(1,2)x＋a－1的簡圖，如圖所示.依題意得2a≤2－2a，故a≤eq\f(1,2).8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2ax，x≥1，,2ax－1，x<1，))若存在兩個不相等的實數(shù)x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為________.答案[0，＋∞)解析根據(jù)題意知f(x)是一個分段函數(shù)，當x≥1時，是一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸方程為x＝a；當x<1時，是一個一次函數(shù).當a>1時，如圖(1)所示，符合題意；當0≤a≤1時，如圖(2)所示，符合題意；當a<0時，如圖(3)所示，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不滿足題意.綜上所述，可得a≥0.三、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應用在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點到直線的距離；④根式——可考慮兩點間的距離.9.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為________.答案6解析根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且AB＝2m，因為∠APB＝90°，連結(jié)OP，可知OP＝eq\f(1,2)AB＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離.因為OC＝5，所以(OP)max＝OC＋r＝6，即m的最大值為6.10.設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為________.答案eq\r(5)解析如圖所示，設以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連結(jié)OQ，則OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O為F1F2的中點，所以PF1＝2OQ＝2a.又PF2－PF1＝2a，所以PF2＝4a.在Rt△F1PF2中，由PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).11.已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))解析因為(－2)2<8×4，所以點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連結(jié)AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥AQ＋AF≥AB＋AF，當且僅當P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即AB＋AF.因為A(－2,4)，所以不妨設△APF的周長最小時，點P的坐標為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2).故使△APF的周長最小的點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).12.已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________.答案2eq\r(2)解析連結(jié)PC，由題意知圓的圓心C(1,1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB有唯一的最小值，此時PC＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，從而PA＝eq\r(PC2－AC2)＝2eq\r(2)，所以(S四邊形PACB)min＝2×eq\f(1,2)×PA×AC＝2eq\r(2).1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是減函數(shù)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))的大小關(guān)系為________.答案f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))解析因為f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(1－x)，即f(x)圖象關(guān)于x＝1對稱.作圖，由圖知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))).2.分別在曲線y＝2lnx與直線y＝2x＋3上各取一點M，N，則MN的最小值為________.答案eq\r(5)解析設直線y＝2x＋t與曲線y＝2lnx相切于點Q(a，b)，而函數(shù)y＝2lnx的導數(shù)為y′＝eq\f(2,x)，令eq\f(2,a)＝2，解得a＝1，求得Q(1,0)，點Q到直線y＝2x＋3的距離為d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即MN的最小值為eq\r(5).3.在三棱錐A－BCD中，△ABC為等邊三角形，AB＝2eq\r(3)，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D的大小為150°，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為________.答案28π解析滿足題意的三棱錐A－BCD如圖所示，設三棱錐A－BCD的外接球的球心為O，半徑為R，△BCD，△ABC的外接圓的圓心分別為O1，O2，可知O，O1，O2在同一平面內(nèi)，由二面角A－BC－D的大小為150°，得∠OO1O2＝150°－90°＝60°.依題意，可得△BCD，△ABC的外接圓的半徑分別為r1＝eq\f(BC,2)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，r2＝2eq\r(3)×sin60°×eq\f(2,3)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝OO\o\al(2,1)＋r\o\al(2,1)，,R2＝OO\o\al(2,2)＋r\o\al(2,2)，,sin∠OO1O2＝\f(OO2,OO1)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝OO\o\al(2,1)＋3，,R2＝OO\o\al(2,2)＋4，,OO2＝\f(\r(3),2)OO1，))解得R＝eq\r(7)，所以三棱錐A－BCD的外接球的表面積為4πR2＝28π.4.過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F作直線y＝－eq\f(b,a)x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為________.答案eq\r(5)解析設F(c,0)，則直線AB的方程為y＝eq\f(a,b)(x－c)，代入雙曲線漸近線方程y＝－eq\f(b,a)x，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，－\f(ab,c))).由eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2－c2,c)，－\f(2ab,c)))，把B點坐標代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(2a2－c22,a2c2)－eq\f(4a2,c2)＝1，∴c2＝5a2，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).5.記實數(shù)x1，x2，…，xn中最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}，則定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值為________.答案8解析在同一坐標系中作出三個函數(shù)y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的圖象如圖.∞)上，在C點時，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝13－x，))得點C(5,8).所以f(x)max＝8.6.已知函數(shù)f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍為________.答案(6，＋∞)解析由圖象可知b＞2,1＜a＜2，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，則a＝eq\f(b,b－1)，則a＋2b＝eq\f(b,b－1)＋2b＝eq\f(2b2－b,b－1)＝eq\f(2b－12＋3b－1＋1,b－1)＝2(b－1)＋eq\f(1,b－1)＋3，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋1，＋∞))時，f(b)＝2(b－1)＋eq\f(1,b－1)＋3單調(diào)遞增，∵b＞2，∴a＋2b＝eq\f(b,b－1)＋2b＞6.7.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≥1，,x2－3x＋2，x<1，))若不等式f(x)≥mx恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________.答案[－3－2eq\r(2)，0]解析函數(shù)f(x)及y＝mx的圖象如圖所示，由圖象可知，當m>0時，不等式f(x)≥mx不恒成立，設過原點的直線與函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于點A(x0，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)，因為f′(x0)＝2x0－3，所以該切線方程為y－(xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因為該切線過原點，所以－(xeq\o\al(2,0)－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－eq\r(2)，即該切線的斜率k＝－2eq\r(2)－3.由圖象得－2eq\r(2)－3≤m≤0.8.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx，若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，則實數(shù)k的取值范圍是________.答案(－1，＋∞)解析由題意知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx的定義域為R，f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＋(－x)＋sin(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,3x＋1)＋x＋sinx))＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f′(x)＝eq\f(2ln3·3x,3x＋12)＋1＋cosx>0在R上恒成立，即函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.若?x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，即f(x2＋x)<－f(x－k)，所以f(x2＋x)<f(k－x)，即x2＋x<k－x，則問題轉(zhuǎn)化為?x∈[－2,1]，k>x2＋2x，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2,1].則k>g(x)min＝g(－1)＝－1，故實數(shù)k的取值范圍是(－1，＋∞).9.已知正四棱錐的體積為eq\f(32,3)，則正四棱錐的側(cè)棱長的最小值為________.答案2eq\r(3)解析如圖所示，設正四棱錐的底面邊長為a，高為h.則該正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(32,3)，故a2h＝32，即a2＝eq\f(32,h).則其側(cè)棱長為l＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2)＝eq\r(\f(16,h)＋h2).令f(h)＝eq\f(16,h)＋h2，則f′(h)＝－eq\f(16,h2)＋2h＝eq\f(2h3－16,h2)，令f′(h)＝0，解得h＝2.當h∈(0,2)時，f′(h)<0，f(h)單調(diào)遞減；當h∈(2，＋∞)時，f′(h)>0，f(h)單調(diào)遞增，所以當h＝2時，f(h)取得最小值f(2)＝eq\f(16,2)＋22＝12，故lmin＝eq\r(12)＝2eq\r(3).10.若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________.答案(0,2)解析由f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，可得|2x－2|＝b有兩個不等的實根，從而可得函數(shù)y1＝|2x－2|的圖象與函數(shù)y2＝b的圖象有兩個交點，如圖所示.結(jié)合函數(shù)的圖象，可得0<b<2.11.已知橢圓C1：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1和圓C2：x2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，若兩條曲線沒有公共點，則r的取值范圍是______________.答案(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(30),5)，＋∞))解析方法一聯(lián)立C1和C2的方程，消去x，得到關(guān)于y的方程－eq\f(5,4)y2＋2y＋10－r2＝0， ①方程①可變形為r2＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10，把r2＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10看作關(guān)于y的函數(shù).由橢圓C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圓C2與橢圓C1有公共點的r的集合，等價于在定義域為y∈[－2,2]的情況下，求函數(shù)r2＝f(y)＝－eq\f(5,4)y2＋2y＋10的值域.由f(－2)＝1，f(2)＝9，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝eq\f(54,5)，可得f(y)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs