《計(jì)算物理學(xué)》課件 第五章 蒙特卡羅模擬方法

第五章蒙特卡羅模擬方法2確定性方法和隨機(jī)性方法確定性方法：分子動(dòng)力學(xué)模擬--明確的相互作用方程模擬整個(gè)系統(tǒng)的行為--具有確定性，雖然與粒子運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程有相互關(guān)聯(lián)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)：是否具有確定性呢？本身是個(gè)隨機(jī)過(guò)程，具有概率的特征--例如，一個(gè)O2分子從教室一角擴(kuò)散到教室的另外一角--不具有確定的描述需要一種隨機(jī)性方法來(lái)描述上述過(guò)程蒙特卡羅方法（MonteCarlo，MC）3蒙特卡羅方法1、蒙特卡羅方法概述2、隨機(jī)數(shù)3、對(duì)概率分布函數(shù)抽樣4、蒙特卡羅方法的應(yīng)用5、動(dòng)力學(xué)蒙特卡羅方法1、蒙特卡羅方法概述蒙特卡洛方法的基本概念蒙特卡洛方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)蒙特卡洛方法的主要構(gòu)成蒙特卡洛方法的優(yōu)缺點(diǎn)45蒙特卡羅方法MonteCarlomethods，或稱蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)MonteCarloexperiments，是一大類計(jì)算算法的集合，依靠重復(fù)的隨機(jī)抽樣來(lái)獲得數(shù)值結(jié)果?；靖拍钍抢秒S機(jī)性來(lái)解決理論上可能是確定性的問(wèn)題。這類方法通常用于解決物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)面對(duì)棘手問(wèn)題而束手無(wú)策時(shí)，往往它們可以大顯身手。蒙特卡羅方法主要用于解決3類問(wèn)題：最優(yōu)化，數(shù)值積分，依據(jù)概率分布生成圖像。蒙特卡洛方法的基本概念6在物理學(xué)相關(guān)問(wèn)題中，蒙特卡羅方法可用于模擬具有多個(gè)耦合自由度的系統(tǒng)，如流體、無(wú)序材料、強(qiáng)耦合固體和細(xì)胞結(jié)構(gòu)（參見(jiàn)細(xì)胞波茨模型CellularPottsModel、相互作用粒子系統(tǒng)InteractingParticleSystems、麥肯-弗拉索夫過(guò)程McKean-VlasovProcesses、氣體動(dòng)力學(xué)模型KineticModelsofGases）。對(duì)輸入中具有重大不確定性的現(xiàn)象進(jìn)行建模，如商業(yè)中的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算，以及在數(shù)學(xué)中對(duì)具有復(fù)雜邊界條件的多維定積分進(jìn)行評(píng)估。在系統(tǒng)工程問(wèn)題（空間、石油勘探、飛機(jī)設(shè)計(jì)等）的應(yīng)用中，基于蒙特卡羅的故障預(yù)測(cè)、成本超支和進(jìn)度超支通常比人類的直覺(jué)或其他的“軟性”方法更有效。7理論上，蒙特卡羅方法可以用來(lái)解決任何具有概率解釋的問(wèn)題。根據(jù)大數(shù)定律LawofLargeNumbers，用某個(gè)隨機(jī)變量的期望值描述的積分可以用該變量獨(dú)立樣本的經(jīng)驗(yàn)均值（即樣本均值）來(lái)近似。當(dāng)變量的概率分布被參數(shù)化時(shí)，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常使用馬爾可夫鏈蒙特卡羅MarkovchainMonteCarlo(MCMC)采樣器。其中心思想是設(shè)計(jì)一個(gè)具有給定穩(wěn)態(tài)概率分布StationaryProbabilityDistribution的有效馬爾可夫鏈模型。也就是說(shuō)，在極限情況下，馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法生成的樣本將成為來(lái)自期望（目標(biāo)）分布的樣本。通過(guò)遍歷定理ErgodicTheorem，穩(wěn)態(tài)分布可以用馬爾科夫鏈蒙特卡洛采樣器隨機(jī)狀態(tài)的經(jīng)驗(yàn)測(cè)度來(lái)近似。

8蒙特卡羅方法各不相同，但趨于遵循一個(gè)特定的模式：1、定義可能輸入的域2、從域上的概率分布隨機(jī)生成輸入3、對(duì)輸入進(jìn)行確定性計(jì)算4、匯總結(jié)果9例如，考慮一個(gè)單位正方形內(nèi)嵌的四分之一圓?？紤]到它們的面積比是π/4，π的值可以用蒙特卡羅方法來(lái)近似：1、畫一個(gè)正方形，然后在其中劃出一個(gè)四分之一圓2、在正方形上均勻散布給定數(shù)量的點(diǎn)3、計(jì)算四分之一圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，即滿足距離原點(diǎn)小于1的4、四分之一圓內(nèi)部計(jì)數(shù)與總樣本計(jì)數(shù)之比是兩個(gè)區(qū)域之比的估計(jì)值，π/4。把結(jié)果乘以4就可以估算出π的值。在這個(gè)過(guò)程中，輸入域是限定四分之一圓的正方形。我們通過(guò)將顆粒散射到正方形上來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)輸入，然后對(duì)每個(gè)輸入執(zhí)行計(jì)算（測(cè)試它是否在四分之一圓內(nèi)）。匯總這些結(jié)果會(huì)產(chǎn)生最終的結(jié)果——π的近似值。10兩個(gè)重要的考慮因素：1、如果這些點(diǎn)不是均勻分布的，那么近似效果就會(huì)很差。2、這一過(guò)程需要很多點(diǎn)。如果整個(gè)正方形中只有幾個(gè)點(diǎn)是隨機(jī)放置的，那么這個(gè)近似值通常是很差的。平均而言，隨著放置更多的點(diǎn)，近似值精度會(huì)提升。應(yīng)用蒙特卡羅方法需要大量的隨機(jī)數(shù)，這也就刺激了偽隨機(jī)數(shù)生成器的發(fā)展11蒙特卡羅方法的早期變種被設(shè)計(jì)來(lái)解決

布豐投針Buffon'sNeedleProblem問(wèn)題，在布豐投針問(wèn)題中，π可以通過(guò)將針落在由平行等距條組成的地板上來(lái)估計(jì)。20世紀(jì)30年代，恩里科·費(fèi)米EnricoFermi在研究中子擴(kuò)散時(shí)首次嘗試了蒙特卡羅方法，但他沒(méi)有發(fā)表這項(xiàng)工作。20世紀(jì)40年代末，斯坦尼斯拉夫·烏拉姆StanislawUlam在洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室研究核武器項(xiàng)目時(shí)，發(fā)明了現(xiàn)代版的馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法在烏拉姆的突破之后，約翰·馮·諾伊曼JohnvonNeumann立即意識(shí)到了它的重要性。馮·諾伊曼為ENIAC（人類第一臺(tái)電子數(shù)字積分計(jì)算機(jī)）編寫了程序來(lái)進(jìn)行蒙特卡羅計(jì)算。蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史12他后來(lái)回憶當(dāng)初靈感產(chǎn)生過(guò)程：

我最初構(gòu)想和嘗試蒙特卡洛法是在1946年，當(dāng)時(shí)我正從疾病中康復(fù)，時(shí)常玩單人紙牌游戲。那時(shí)我會(huì)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：一盤52張的加菲爾德紙牌成功出牌的幾率有多大？在花了大量時(shí)間嘗試通過(guò)純粹的組合計(jì)算來(lái)估計(jì)它們之后，我想知道是否有一種比“抽象思維”更實(shí)際的方法，可能不是將它展開(kāi)100次，然后簡(jiǎn)單地觀察和計(jì)算成功的游戲數(shù)量。在快速計(jì)算機(jī)新時(shí)代開(kāi)始時(shí)，這已經(jīng)是可以想象的了，我立刻想到了中子擴(kuò)散和其他數(shù)學(xué)物理的問(wèn)題，以及更一般的情形—如何將由某些微分方程描述的過(guò)程轉(zhuǎn)換成可解釋為一系列隨機(jī)操作的等價(jià)形式。后來(lái)（1946年），我向約翰·馮·諾伊曼描述了這個(gè)想法，然后我們開(kāi)始計(jì)劃實(shí)際的計(jì)算。1946年，洛斯阿拉莫斯的核武器物理學(xué)家正在研究中子在可裂變材料中的擴(kuò)散。盡管擁有大部分必要的數(shù)據(jù)，例如中子在與原子核碰撞之前在物質(zhì)中的平均運(yùn)行距離，以及碰撞后中子可能釋放出多少能量，但洛斯阿拉莫斯的物理學(xué)家們無(wú)法用傳統(tǒng)的、確定性的數(shù)學(xué)方法解決這個(gè)問(wèn)題。此時(shí)烏拉姆建議使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。13馮·諾依曼和烏拉姆的工作是秘密進(jìn)行的，需要一個(gè)代號(hào)。馮·諾依曼和烏拉姆的一位同事，尼古拉斯·梅特羅波利斯NicholasMetropolis建議使用蒙特卡羅這個(gè)名字，這個(gè)名字指的是摩納哥的蒙特卡羅賭場(chǎng)，烏拉姆的叔叔會(huì)和親戚借錢然后去那里賭博。使用“真正隨機(jī)”的隨機(jī)數(shù)列表是非常慢的，然而馮·諾依曼使用平方取中法Middle-SquareMethod開(kāi)發(fā)了一種計(jì)算偽隨機(jī)數(shù)生成器的方法。雖然許多人一直批評(píng)這種方法較為粗糙原始，但是馮·諾依曼也意識(shí)到這一點(diǎn)：他證明這種方法比任何其他方法都快，并指出當(dāng)它出錯(cuò)時(shí)，人們可以輕易發(fā)現(xiàn)，不像其他方法產(chǎn)生的錯(cuò)誤可能會(huì)不易察覺(jué)。盡管受到當(dāng)時(shí)的計(jì)算工具嚴(yán)重限制，蒙特卡羅方法依然是曼哈頓計(jì)劃ManhattanProject所需模擬的核心關(guān)鍵。20世紀(jì)50年代，它們?cè)诼逅拱⒗褂糜谂c氫彈開(kāi)發(fā)有關(guān)的早期工作，并在物理學(xué)、物理化學(xué)和運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域得到普及。14更復(fù)雜的平均場(chǎng)型粒子蒙特卡羅方法的理論產(chǎn)生于20世紀(jì)60年代中期，最初來(lái)自于小亨利·麥基恩HenryP.McKeanJr.研究流體力學(xué)中出現(xiàn)的一類非線性拋物型偏微分方程的馬爾可夫解釋。西奧多·愛(ài)德華·哈里斯TheodoreE.Harris和赫曼·卡恩HermanKahn在1951年發(fā)表了一篇開(kāi)創(chuàng)性文章，使用平均場(chǎng)遺傳型蒙特卡羅方法來(lái)估計(jì)粒子傳輸能量。這一方法在演化計(jì)算中也被用作啟發(fā)式自然搜索算法（又稱元啟發(fā)式）。這些平均場(chǎng)計(jì)算技術(shù)的起源可以追溯到1950年和1954年，當(dāng)時(shí)阿蘭·圖靈AlanTuring在基因類型突變-選擇學(xué)習(xí)機(jī)器上的工作，以及來(lái)自新澤西州普林斯頓高等研究院的尼爾斯·阿爾·巴里里利NilsAallBarricelli的文章。15量子蒙特卡羅方法，更具體地說(shuō)，擴(kuò)散蒙特卡羅方法也可以解釋為費(fèi)曼-卡茨路徑積分Feynman–KacPathIntegrals的平均場(chǎng)粒子蒙特卡羅近似。量子蒙特卡羅方法的起源通常歸功于恩里科·費(fèi)米EnricoFermi和羅伯特·里希特邁耶RobertRichtmyer于1948年開(kāi)發(fā)了中子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的平均場(chǎng)粒子解釋，但是用于估計(jì)量子系統(tǒng)的基態(tài)能量（在簡(jiǎn)化矩陣模型中）的第一個(gè)類啟發(fā)式和遺傳型粒子算法（也稱為重取樣或重構(gòu)蒙特卡洛方法）則是由杰克·H·海瑟林頓在1984年提出。16Buffon投針實(shí)驗(yàn)1768年，法國(guó)數(shù)學(xué)家ComtedeBuffon利用投針實(shí)驗(yàn)估計(jì)的值dL蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史17ProblemofBuffon’sneedle:

蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史18Solution:Thepositioningoftheneedlerelativetonearbylinescanbedescribedwitharandomvectorwhichhascomponents:Therandomvectorisuniformlydistributedontheregion[0,d)×[0,).Accordingly,ithasprobabilitydensityfunction1/d.Theprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelinesisgivenbytheintegral(1)蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史19

20EnricoFermi1930年，EnricoFermi利用MonteCarlo方法研究中子的擴(kuò)散，并設(shè)計(jì)了一個(gè)MonteCarlo機(jī)械裝置，用于計(jì)算核反應(yīng)堆的臨界狀態(tài)。蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史21StanislawUlam,aPolishbornmathematicianwhoworkedforJohnvonNeumannontheUnitedStates’ManhattanProjectduringWorldWarII.UlamisprimarilyknownfordesigningthehydrogenbombwithEdwardTellerin1951.StanislawUlam

(1909-1984)HeinventedtheMonteCarlomethodin1946whileponderingtheprobabilitiesofwinningacardgameofsolitaire.

蒙特卡羅模擬的先驅(qū)22VonNeumann是MonteCarlo方法的正式奠基者,他與StanislawUlam合作建立了概率密度函數(shù)、反累積分布函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器。在這些工作中，StanislawUlam意識(shí)到了數(shù)字計(jì)算機(jī)的重要性.

合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(ElectronicNumericalIntegratorandComputer)計(jì)算產(chǎn)額VonNeumann蒙特卡羅方法簡(jiǎn)史23ThealgorithmbyMetropolis(andARosenbluth,MRosenbluth,ATellerandETeller,1953)hasbeencitedasamongthetop10algorithmshavingthe"greatestinfluenceonthedevelopmentandpracticeofscienceandengineeringinthe20thcentury."NicholasMetropolis(1915-1999)24方法名字的由來(lái)Monte-Carlo,MonacoMetropoliscoinedthename“MonteCarlo”,fromitsgamblingCasino.蒙特卡羅方法的基本思想基本思想：針對(duì)待求問(wèn)題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量為待求問(wèn)題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計(jì)量N→∞的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法或計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。理論依據(jù)：大數(shù)定理：均勻分布的算術(shù)平均收斂于真值中心極限定理：置信水平下的統(tǒng)計(jì)誤差一個(gè)例子：

Buffen投針實(shí)驗(yàn)求25實(shí)驗(yàn)結(jié)果根據(jù)上式，一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投針次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值Wolf185050003.1596Smith185532043.1553Fox189411203.1419Lazzarini190134083.1415929距今越近的實(shí)驗(yàn)結(jié)果越準(zhǔn)確幾千次的抽樣已經(jīng)可以得到很好的結(jié)果了測(cè)量方法、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等對(duì)最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大的影響。2627薩維羅斯基Sawilowsky區(qū)分了模擬、蒙特卡羅方法和蒙特卡羅模擬：模擬是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種虛構(gòu)的表現(xiàn)，蒙特卡羅方法是一種可以用來(lái)解決數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的技術(shù)，蒙特卡羅模擬使用重復(fù)抽樣來(lái)獲得某些現(xiàn)象（或行為）的統(tǒng)計(jì)特性。例如：模擬：從區(qū)間[0,1]中繪制一個(gè)偽隨機(jī)均勻變量可以用來(lái)模擬拋硬幣：如果值小于或等于0.50，則結(jié)果為正面，但如果值大于0.50，則結(jié)果為反面。這是一個(gè)模擬，但不是蒙特卡洛模擬。蒙特卡洛方法：將一盒硬幣倒在桌子上，然后計(jì)算正面與反面落地的硬幣比例。這是一種確定重復(fù)擲硬幣行為的蒙特卡洛方法，但它不是模擬。蒙特卡羅模擬法：一次或多次從區(qū)間[0,1]中繪制“大量”偽隨機(jī)均勻變量，賦值小于或等于0.50作為正面，大于0.50為反面。這是一個(gè)多次擲硬幣的“蒙特卡羅模擬”行為。28蒙特卡羅和隨機(jī)數(shù)MonteCarloandrandomnumbers這種方法的主要思想是基于重復(fù)隨機(jī)抽樣和統(tǒng)計(jì)分析來(lái)計(jì)算結(jié)果。蒙特卡洛模擬實(shí)際上是一種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，在這種情況下，這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果并不為人所知。蒙特卡羅模擬的典型特征是有許多未知參數(shù)，其中許多參數(shù)很難通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得。蒙特卡羅模擬方法并不總是要求真正的隨機(jī)數(shù)是有用的（盡管對(duì)于一些應(yīng)用程序，如質(zhì)數(shù)測(cè)試，不可預(yù)測(cè)性是至關(guān)重要的）。許多最有用的技術(shù)是使用確定性的偽隨機(jī)序列，使測(cè)試和重新運(yùn)行模擬變得很容易。偽隨機(jī)序列在某種意義上表現(xiàn)地“足夠隨機(jī)”，這是進(jìn)行良好模擬唯一必需的性質(zhì)。29薩維羅斯基列出了高質(zhì)量蒙特卡羅模擬的特點(diǎn)：（偽隨機(jī)數(shù)）生成器具有某些特征（例如，序列重復(fù)之前有一個(gè)很長(zhǎng)的“周期”）（偽隨機(jī)數(shù)）生成器可以產(chǎn)生能通過(guò)隨機(jī)性測(cè)試的值有足夠的樣本來(lái)確保準(zhǔn)確的結(jié)果使用適當(dāng)?shù)娜臃椒ㄊ褂玫乃惴▽?duì)建模內(nèi)容是有效的它可以對(duì)問(wèn)題中的現(xiàn)象進(jìn)行模擬30蒙特卡羅方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大數(shù)定理：均勻分布的算術(shù)平均值收斂于真值。

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減小方差的各種技巧

3334蒙特卡羅模擬的基本步驟根據(jù)問(wèn)題本身，構(gòu)造或者確定一個(gè)概率模型對(duì)于本身不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，必須根據(jù)問(wèn)題本身的特點(diǎn)和規(guī)律，建立一個(gè)概率模型，把確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具有概率特征的問(wèn)題，是所求的解就是這個(gè)模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望。定義一個(gè)合適的隨機(jī)變量確定概率模型后，要定義一個(gè)對(duì)應(yīng)于這一物理問(wèn)題的隨機(jī)變量，使這個(gè)概率模型下的隨機(jī)變量的概率分布或數(shù)學(xué)期望就是所模擬問(wèn)題的解選擇隨機(jī)抽樣方法，通過(guò)模擬獲得子樣根據(jù)模型，選取隨機(jī)抽樣方法，實(shí)現(xiàn)由已知概率分布的隨機(jī)抽樣，得到具有給定分布的隨機(jī)數(shù)。用給定分布的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬，相當(dāng)于制造符合所定概率模型的一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，稱為“子樣”，具有原概率母體的性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)計(jì)算用上述抽樣的算術(shù)平均值替代其數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值），給出近似解35蒙特卡羅算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器抽樣規(guī)則模擬結(jié)果記錄

記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果

如何從在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā),隨機(jī)抽取服從給定的pdf的隨機(jī)變量;

能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)

必須給出描述一個(gè)物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);誤差估計(jì)減少方差的技術(shù)

利用該技術(shù)可減少模擬過(guò)程中計(jì)算的次數(shù)；

必須確定統(tǒng)計(jì)誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；蒙特卡羅方法的優(yōu)缺點(diǎn)36蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程。受幾何條件限制小，收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)。具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。

描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問(wèn)題，可以直接從實(shí)際問(wèn)題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它有直觀、形象的特點(diǎn)。37受幾何條件限制小在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時(shí)，無(wú)論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)，得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會(huì)有原則上的困難。38收斂速度和問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為，與問(wèn)題本身的維數(shù)無(wú)關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。也就是說(shuō)，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無(wú)關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計(jì)算量外，不影響問(wèn)題的誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問(wèn)題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計(jì)算高維積分時(shí)難以克服的問(wèn)題。39同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量對(duì)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問(wèn)題，使用蒙特卡羅方法有時(shí)不需要像常規(guī)方法那樣逐個(gè)計(jì)算，而可以同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如，對(duì)于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計(jì)算若干種厚度的穿透概率時(shí)，只需計(jì)算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時(shí)得到若干個(gè)所求量。例如，在模擬粒子過(guò)程中，可以同時(shí)得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計(jì)算所求量。40誤差容易確定對(duì)于一般計(jì)算方法，要給出計(jì)算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計(jì)算所求量的同時(shí)計(jì)算出誤差。對(duì)干很復(fù)雜的蒙特卡羅方法計(jì)算問(wèn)題，也是容易確定的。一般計(jì)算方法常存在著有效位數(shù)損失問(wèn)題，而要解決這一問(wèn)題有時(shí)相當(dāng)困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問(wèn)題。41不足之處：收斂速度慢如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對(duì)于維數(shù)少（三維以下）的問(wèn)題，不如其他方法好。誤差具有概率性由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計(jì)的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。42不足：計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)例如在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中:經(jīng)驗(yàn)表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時(shí)（一般在十個(gè)平均自由程左右），蒙特卡羅方法計(jì)算的結(jié)果較為滿意。但對(duì)于大系統(tǒng)或小概率事件的計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果往往比真值偏低。因此，在使用蒙特卡羅方法時(shí)，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短。既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問(wèn)題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問(wèn)題。這樣，可以發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長(zhǎng)，使其應(yīng)用范圍更加廣泛。43主要應(yīng)用范圍根據(jù)前面分析的特點(diǎn)，蒙特卡羅方法特別適用于處理維數(shù)高、邊界復(fù)雜而精度要求不是很高的問(wèn)題。大量的科學(xué)、工程問(wèn)題均具有上述特點(diǎn)，因此其有著廣泛的應(yīng)用。它的主要應(yīng)用范圍包括：典型數(shù)學(xué)問(wèn)題，粒子輸運(yùn)問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)物理，量子力學(xué)，真空技術(shù)，激光技術(shù)以及醫(yī)學(xué)，生物，探礦等方面。此外，其在金融、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，其應(yīng)用范圍將更加廣泛。442、隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)的定義及產(chǎn)生方法偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的各種方法4546用蒙特卡羅方法在計(jì)算機(jī)上模擬一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其首要任務(wù)是產(chǎn)生滿足相應(yīng)概率分布的隨機(jī)變量。在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布中，最簡(jiǎn)單、最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)，且在[0,1]區(qū)間上均勻分布。因此，隨機(jī)數(shù)是指一個(gè)數(shù)列，其中的每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)，其值與數(shù)列中的其它數(shù)無(wú)關(guān)。在一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)中，每一個(gè)體出現(xiàn)的概率是均等的。將[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)作為已知量，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法可以產(chǎn)生具有任意已知分布的簡(jiǎn)單子樣。

蒙特卡羅方法與隨機(jī)數(shù)的關(guān)系47隨機(jī)數(shù)的定義和特性什么是隨機(jī)數(shù)？單個(gè)的數(shù)字不是隨機(jī)數(shù)是指一個(gè)數(shù)列，其中的每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)，其值與數(shù)列中的其它數(shù)無(wú)關(guān)；在一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)中，每一個(gè)體出現(xiàn)的概率是均等的；例如：在[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列中，0.00001與0.5出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等隨機(jī)數(shù)的定義及性質(zhì)在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布中，最簡(jiǎn)單而且最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。單位均勻分布也稱為［0，1］上的均勻分布，其分布密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：4849隨機(jī)數(shù)應(yīng)具有的基本特性考慮一個(gè)對(duì)高能粒子反應(yīng)過(guò)程的模擬：需用隨機(jī)數(shù)確定：出射粒子的屬性：能量、方向、…粒子與介質(zhì)的相互作用對(duì)這一過(guò)程的模擬應(yīng)滿足以下要求（相空間產(chǎn)生過(guò)程）：出射粒子的屬性應(yīng)是互不相關(guān)的，即每一粒子的屬性的確定獨(dú)立于其它的粒子的屬性的確定；粒子的屬性的分布應(yīng)滿足物理所要求的理論分布；所模擬的物理過(guò)程要求隨機(jī)數(shù)應(yīng)具有下列特性：隨機(jī)數(shù)序列應(yīng)是獨(dú)立的、互不相關(guān)的(uncorrelated)：即序列中的任一子序列應(yīng)與其它的子序列無(wú)關(guān)；50均勻分布的隨機(jī)數(shù)應(yīng)滿足均勻性(Uniformity)：隨機(jī)數(shù)序列應(yīng)是均勻的、無(wú)偏的，即：如果兩個(gè)子區(qū)間的“面積”相等，則落于這兩個(gè)子區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)相等。例如：對(duì)[0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，如果產(chǎn)生了足夠多的隨機(jī)數(shù)，而有一半的隨機(jī)數(shù)落于區(qū)間[0,0.1]

不滿足均勻性如果均勻性不滿足，則會(huì)出現(xiàn)序列中的多組隨機(jī)數(shù)相關(guān)的情況

均勻性與互不相關(guān)的特性是有聯(lián)系的所模擬的物理過(guò)程要求隨機(jī)數(shù)應(yīng)具有下列特性：隨機(jī)數(shù)序列應(yīng)是獨(dú)立的、互不相關(guān)的(uncorrelated)：即序列中的任一子序列應(yīng)與其它的子序列無(wú)關(guān)；51隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)是蒙特卡洛模擬的基礎(chǔ)服從任意分布的隨機(jī)數(shù)序列可以用[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列作適當(dāng)?shù)淖儞Q或舍選后求得。因此，下面著重討論[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。

由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中所處的特殊地位，它們雖然也屬于由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡(jiǎn)單子樣的問(wèn)題，但就產(chǎn)生方法而言，卻有著本質(zhì)上的差別。為了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以使用隨機(jī)數(shù)表。隨機(jī)數(shù)表是由0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨(dú)立。這些數(shù)字序列叫作隨機(jī)數(shù)字序列。如果要得到n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。例如，某隨機(jī)數(shù)表的第一行數(shù)字為86397584102…，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)依次為0.863，0.975，0.841。因?yàn)殡S機(jī)數(shù)表需在計(jì)算機(jī)中占有很大內(nèi)存，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對(duì)隨機(jī)數(shù)需要量非常大的要求，因此，該方法不適于在計(jì)算機(jī)上使用。隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法——隨機(jī)數(shù)表52隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法——物理方法（1）用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。用來(lái)作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計(jì)算機(jī)的固有噪聲。一般情況下，任意一個(gè)隨機(jī)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)總是用二進(jìn)制的數(shù)表示的：其中εi（i=1，2，…，m）或者為0，或者為1。53隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法——物理方法（2）因此，利用物理方法在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，就是要產(chǎn)生只取0或1的隨機(jī)數(shù)字序列，數(shù)字之間相互獨(dú)立，每個(gè)數(shù)字取0或1的概率均為0.5。用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無(wú)法重復(fù)實(shí)現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗(yàn)證結(jié)果帶來(lái)很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設(shè)備，費(fèi)用昂貴。因此，該方法也不適合在計(jì)算機(jī)上使用。5455

隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法——數(shù)學(xué)方法存在的問(wèn)題

56第一個(gè)問(wèn)題，不能從本質(zhì)上加以改變，但只要遞推公式選得比較好，隨機(jī)數(shù)間的相互獨(dú)立性是可以近似滿足的。第二個(gè)問(wèn)題，則不是本質(zhì)的。因?yàn)橛妹商乜_方法解任何具體問(wèn)題時(shí)，所使用的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)總是有限的，只要所用隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)偽隨機(jī)數(shù)序列出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時(shí)的長(zhǎng)度就可以了。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)容易在計(jì)算機(jī)上得到，可以進(jìn)行復(fù)算，而且不受計(jì)算機(jī)型號(hào)的限制。因此，這種方法雖然存在著一些問(wèn)題，但仍然被廣泛地在計(jì)算機(jī)上使用，是在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的主要方法。可以解決否？57計(jì)算程序產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù)，它們是確定的，但看上去是隨機(jī)的，且能通過(guò)一些隨機(jī)性的檢驗(yàn)，故常稱為偽隨機(jī)數(shù)。發(fā)生周期性循環(huán)現(xiàn)象的偽隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)的周期。從偽隨機(jī)數(shù)序列的初始值開(kāi)始，到出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象為止，所產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)的最大容量。隨機(jī)數(shù)發(fā)生器5859線性同余法（LinearCongruentialMethod)1948年由Lehmer提出的一種產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法,是最常用的方法。遞推公式：

該方法產(chǎn)生整型的隨機(jī)數(shù)序列，隨機(jī)性來(lái)源于取模運(yùn)算。如果產(chǎn)生的是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，則只需要每個(gè)數(shù)除以m即可

60

通常將m取為計(jì)算機(jī)所能表示的最大的整型量，在32位計(jì)算機(jī)上，m=231=2x109a,c,m的選擇：用線性同余方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列具有周期m的條件是：c和m為互質(zhì)數(shù)；a-1是m的任一奇數(shù)因子的倍數(shù)；如果m是4的倍數(shù)，a-1也是4的倍數(shù)。例：a=5,c=1,m=16,I0=1周期=m=161,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15,12,13,2,..線性同余方法在計(jì)算機(jī)上的使用為了便于在計(jì)算機(jī)上使用，通常取：

m=2s其中s為計(jì)算機(jī)中二進(jìn)制數(shù)的最大可能有效位數(shù)

x1=奇數(shù)

a=52k+1其中k為使52k+1在計(jì)算機(jī)上所能容納的最大整數(shù)，即a為計(jì)算機(jī)上所能容納的5的最大奇次冪。一般地，s=32時(shí)，a=513；s=48，a=515等。偽隨機(jī)數(shù)序列的最大容量λ(m)=2s-2。乘同余方法是使用的最多、最廣的方法，在計(jì)算機(jī)上被廣泛地使用。6162乘同余法（multiplicativeLinearCongruentialMethod)

63從概率分布函數(shù)的抽樣

(SamplingfromProbabilityDistributionFunctions)64對(duì)概率分布函數(shù)的抽樣MonteCarlo算法的一個(gè)重要組成部分：描述所要模擬的物理系統(tǒng)的一些概率密度函數(shù)（PDF)MonteCarlo模擬的主要任務(wù):通過(guò)對(duì)這些概率密度函數(shù)的隨機(jī)抽樣來(lái)模擬物理系統(tǒng)的狀態(tài);為描述系統(tǒng)的演化所必需的一些附加運(yùn)算.物理過(guò)程的描述從描述物理系統(tǒng)的pdf出發(fā)，隨機(jī)抽取系統(tǒng)的可能狀態(tài)。

描述整個(gè)系統(tǒng)在空間、能量、時(shí)間或多維相空間中的發(fā)展和演化；65直接抽樣法（反函數(shù)法）2.舍選抽樣法3.變換抽樣方法4.重要抽樣法66注意：pdf

f(x)必須是歸一化的設(shè)y=F(x)為隨機(jī)變量x的累積分布函數(shù)

x和y是一一對(duì)應(yīng)的先隨機(jī)抽取y，然后通過(guò)求F(x)的反函數(shù)F-1(y)得到隨機(jī)變量x的值隨機(jī)變量y在區(qū)間[0,1]上均勻分布利用[0,1]區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器抽取直接抽樣方法是根據(jù)概率分布進(jìn)行采樣。對(duì)一個(gè)已知概率密度函數(shù)與累積概率密度函數(shù)的概率分布，我們可以直接從累積分布函數(shù)（cdf）進(jìn)行采樣使用累積分布函數(shù)進(jìn)行采樣看似簡(jiǎn)單，但是由于很多分布我們并不能寫出概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)，所以這種方法的適用范圍較窄。直接抽樣法（反函數(shù)法）67p3=0.2b3+c3p2=0.3b2+c2p1=0.5b1+c1a

例、粒子衰變末態(tài)的隨機(jī)抽樣設(shè)粒子a有三種衰變方式，其分支比如下隨機(jī)選取每次衰變的衰變方式（衰變道）直接抽樣法對(duì)指數(shù)分布的直接抽樣分布密度函數(shù)為：積分得到分布函數(shù)：令則指數(shù)分布隨機(jī)變量的抽樣為：注意（1-ξ）和

ξ同樣服從[0，1]的均勻分布68舍選抽樣法（acceptance-rejectionsampling)直接抽樣法的困難：許多隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)無(wú)法用解析函數(shù)給出;有些隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)不存在或難以求出；即使反函數(shù)存在，但計(jì)算困難

簡(jiǎn)單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：

設(shè)隨機(jī)變量x的取值區(qū)間為x

[a,b],其概率密度函數(shù)f(x)有界，即

y

f(x)X=x

>

abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨機(jī)選取位于矩形abef內(nèi)的點(diǎn)[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點(diǎn)，則這些點(diǎn)將服從概率密度為f(x)的分布ef抽樣效率:對(duì)舍選抽樣法：欲產(chǎn)生m個(gè)隨機(jī)變量x的值需產(chǎn)生n對(duì)(x,y)，顯然，mn

abxf(x)cefd改進(jìn)的舍選抽樣法

改進(jìn)的舍選抽樣法簡(jiǎn)單舍選抽樣法的問(wèn)題：如果f(x)曲線下的面積占矩形面積的比例很小，則抽樣效率很低，這是因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x和y是在區(qū)間[a,b]和[0,c]內(nèi)均勻分布，所產(chǎn)生的大部分投點(diǎn)不會(huì)落在f(x)曲線下改進(jìn)方法：構(gòu)造一個(gè)新的概率密度函數(shù)g(x)，使它的形狀接近f(x),且有式中C為常數(shù)，而g(x)的抽樣相對(duì)比較容易。這樣抽樣的效率會(huì)大大提高。xcf(x)Cgg(x)

改進(jìn)的舍選抽樣法抽樣方法：1.產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生分布為g(x)

的隨機(jī)數(shù)x

，x[a,b];產(chǎn)生[0,Cg(x)]

區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)y，y=Cg

(x)

,[0,1].2.接收或舍棄取樣值

x.如果

y>f(x)，舍棄，返回到1,重復(fù)上述過(guò)程;否則，接受;改進(jìn)的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機(jī)選取位于曲線Cg(x)下的點(diǎn)[x,y]；選取位于曲線f(x)下的那些點(diǎn)，則這些點(diǎn)將服從概率密度為f(x)的分布xcf(x)Cg(x)例1:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的抽樣,x[-a,a]無(wú)法用直接抽樣法,累積分布函數(shù)無(wú)解析表達(dá)式

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78變換抽樣法變換抽樣法的基本思想是將一個(gè)比較復(fù)雜的分布函數(shù)的抽樣變換為一個(gè)已知的簡(jiǎn)單分布函數(shù)的抽樣。

79

80

81

82

83

這兩個(gè)分布的抽樣可以采用直接抽樣獲得。

84

85舍選抽樣法完美的解決了累積分布函數(shù)不可求時(shí)的抽樣問(wèn)題。但是舍選抽樣非常依賴于提議分布(proposaldistribution)的選擇。如果提議分布選擇的不好，可能抽樣時(shí)間很長(zhǎng)卻獲得很少滿足分布的粒子。而重要性采樣就解決了這一問(wèn)題Importance

sampling86重要抽樣法重要抽樣法的基本思想是通過(guò)改變隨機(jī)變量的權(quán)重，改變樣本空間的概率分布，使用加權(quán)平均的方法得到期望值。

87

88

89

MC模擬生日問(wèn)題假設(shè)有n個(gè)人在一起，各自的生日為365天之一，根據(jù)概率理論，與很多人的直覺(jué)相反，只需23個(gè)人便有大于50％的幾率人群中至少有2個(gè)人生日相同。n理論幾率模擬幾率

0.1170.1100.4110.4120.5070.5200.7060.6920.9410.936500.9860.987中子屏蔽問(wèn)題NeutronShieldingproblem假設(shè)鉛墻長(zhǎng)為5，中子在鉛中的平均自由程為1，中子與鉛原子碰撞后各向同性散射。令碰撞8次后中子能量耗盡，試求穿透鉛墻的中子的比例。暫不考慮垂直紙面的運(yùn)動(dòng)，則中子的水平位移是。入口鉛墻（長(zhǎng)為5）排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)系統(tǒng)模擬：M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)規(guī)則：先到先服務(wù)（Firstcome,firstservice:FCFS）假設(shè)：（１）顧客到達(dá)遵循Poisson分布；（２）服務(wù)時(shí)間服從一般分布；（３）到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立．關(guān)心的指標(biāo)：

（１）時(shí)刻t時(shí)，系統(tǒng)中的顧客數(shù)；即隊(duì)長(zhǎng)的分布；（２）顧客的等待時(shí)間；（３）服務(wù)的忙碌程度；（４）．．．．．．．用最樸素的Monte-Carlo方法可以得到這些指標(biāo)的估計(jì)．排隊(duì)論起源于20世紀(jì)初的電話通話。1909-1920丹麥數(shù)學(xué)家，電氣工程師A.K.Erlang用概率論方法研究電話通話問(wèn)題。排隊(duì)論的應(yīng)用非常廣泛。適用于一切服務(wù)系統(tǒng)。尤其在通信系統(tǒng)，交通系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)，存儲(chǔ)系統(tǒng)，生產(chǎn)管理系統(tǒng)等方面應(yīng)用得最多。連續(xù)系統(tǒng)模擬實(shí)例:追逐問(wèn)題

狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)變化的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)。對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬只能是近似的，只要這種近似達(dá)到一定的精度，也就可以滿足要求。例追逐問(wèn)題:

如圖,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)各有一人.在某一時(shí)刻,四人同時(shí)出發(fā)以勻速v=1米/秒按順時(shí)針?lè)较蜃分鹣乱蝗?如果他們始終保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo),則最終按螺旋狀曲線于中心點(diǎn)O.試求出這種情況下每個(gè)人的行進(jìn)軌跡.OBCDA1.建立平面直角坐標(biāo)系:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).2.取時(shí)間間隔為Δt,計(jì)算每一點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo).4.對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，連接它在各時(shí)刻的位置,即得所求運(yùn)動(dòng)軌跡.求解過(guò)程:設(shè)某點(diǎn)在t時(shí)刻的坐標(biāo)為:則在時(shí)刻的坐標(biāo)為:其中

v=1;dt=0.05;x=[001010];y=[010100];fori=1:4plot(x(i),y(i),'.'),holdonendd=20;while(d>0.1)x(5)=x(1);y(5)=y(1);

fori=1:4d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;plot(x(i),y(i),'.'),holdon

endend計(jì)算程序:編一個(gè)福利彩票電腦選號(hào)的程序。

某設(shè)備上安裝有四只型號(hào)規(guī)格完全相同的電子管，已知電子管壽命為1000--2000小時(shí)之間的均勻分布。當(dāng)電子管損壞時(shí)有兩種維修方案，一是每次更換損壞的那一只；二是當(dāng)其中一只損壞時(shí)四只同時(shí)更換。已知更換時(shí)間為換一只時(shí)需1小時(shí)，4只同時(shí)換為2小時(shí)。更換時(shí)機(jī)器因停止運(yùn)轉(zhuǎn)每小時(shí)的損失為20元，又每只電子管價(jià)格10元，試用模擬方法決定哪一個(gè)方案經(jīng)濟(jì)合理？

導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題：設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5，模擬導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？98MC解決隨機(jī)性問(wèn)題物理研究中經(jīng)常遇到一些隨機(jī)性問(wèn)題，例如粒子輸運(yùn)/擴(kuò)散，晶體生長(zhǎng)等等。MC方法可以對(duì)這些過(guò)程進(jìn)行直接的模擬，因此這些問(wèn)題本身就提供了一個(gè)概率模型（省去了抽象的困難）通過(guò)MC將一個(gè)隨機(jī)過(guò)程和多次過(guò)程之后的效果聯(lián)系起來(lái)了，具體應(yīng)用分為兩種：一是隨機(jī)過(guò)程的概率分別已知，可以直接使用MC對(duì)復(fù)雜過(guò)程的結(jié)果做出預(yù)言；二是概率未知，則需要假定一個(gè)模型，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，判斷模型的正確性。兩種情況在解決實(shí)際問(wèn)題中都有應(yīng)用99庫(kù)存管理問(wèn)題某種商品進(jìn)貨價(jià)格為a元，出售價(jià)格為b元，假設(shè)對(duì)該商品每天早晨進(jìn)貨配齊n個(gè)(必須當(dāng)天賣掉)，每日顧客相互獨(dú)立地到來(lái)，平均每日m人，且服從Poisson分布，

其中k為每日到來(lái)的人數(shù)。問(wèn)當(dāng)a=2、b＝3、m=10時(shí)，每天早晨該商品備齊多少個(gè)可得到最大利潤(rùn)。假設(shè)購(gòu)買此商品的顧客每人只購(gòu)一個(gè)，而且備齊的商品如果當(dāng)天賣不出去則不可在第二天出售，若用a(n,k)表示顧客為k人時(shí)的日利潤(rùn)，則100程序?qū)崿F(xiàn)N=365;%mc次數(shù)n=15;%進(jìn)貨，考慮最多15個(gè)m=10;%平均人流量a=2;b=3;forj=1:ntotal=0;%總利潤(rùn)randnumber=poissrnd(m,N,1);%Poisson分布隨機(jī)數(shù)fori=1:N ifrandnumber(i)<j total=total+randnumber(i)*b-j*a; else total=total+j*b-j*a; endendy(j)=total/N%平均利潤(rùn)end101計(jì)算結(jié)果12345678Try11.0001.9922.9673.9754.9265.5236.3676.907Try21.0001.9842.9753.9674.8855.6716.3346.7019101112131415Try16.8146.3925.8054.8162.8820.858-0.0417.0116.0305.5514.5872.1841.786-0.625每日進(jìn)貨8或者9個(gè)是利潤(rùn)量最大利潤(rùn)分辨率還不高，可以考慮前期的波動(dòng)則有選擇8或者9102自然界中的隨機(jī)過(guò)程103隨機(jī)游走問(wèn)題隨機(jī)游走問(wèn)題最早是Pearson在1905年提出的。假設(shè)有個(gè)醉漢從一根電線桿的位置出發(fā)（其坐標(biāo)為x=0，x坐標(biāo)向右為正，向左為負(fù)），假定醉漢的步長(zhǎng)為l，他走的每一步的取向是隨機(jī)的，與前一步的方向無(wú)關(guān)。如果醉漢在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)向右行走一步的幾率為p，則向左走一步的幾率為q=1-p。我們記錄醉漢向右走了nr

步，向左走了nl

步，即總共走了N=nr+nl

步。那末醉漢在行走了N步以后，離電線桿的距離為x=(nr-nl)l，其中-Nl=<x=<Nl。然而我們更感興趣的是醉漢在行走N步以后，離電線桿的距離為x的概率PN(x)104方差估計(jì)計(jì)算醉漢在走了N步后的位移和方差的平均值<xN>,<ΔxN2>其中公式中的求平均是指對(duì)步中所有可能的行走過(guò)程的平均。注意到在向左、向右對(duì)稱的情況下，即p=q=1/2，得到<xN>=0105求解上述問(wèn)題：查點(diǎn)法在查點(diǎn)法中，對(duì)給定的行走總步數(shù)N及總位移x，要求把游走時(shí)可能的每一步的坐標(biāo)和幾率都確定下來(lái)。這是可以用概率理論精確計(jì)算的。例:對(duì)于N=3,l=1的醉漢一維行走問(wèn)題，由概率理論可得由此可以算出則:查點(diǎn)法只有在總步數(shù)N較小時(shí)才可以使用。N比較大時(shí)用起來(lái)就比較困難了。106蒙特卡羅方法求解蒙特卡洛方法就可以克服在游走中的這個(gè)困難，具有更廣泛的可操作性。蒙特卡洛方法可以對(duì)許多步的游走過(guò)程進(jìn)行抽樣。例如。我們可以按照正確的概率，對(duì)確定的產(chǎn)生出各種可能的行走樣本。對(duì)于一維情況：假設(shè)p、q分別為向左、右行走的概率，則產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)ξ若0=<ξ=<p，則x-1若p<ξ=<1，則x+1原則上只要我們?cè)黾映闃拥膫€(gè)數(shù)，要達(dá)到較高的精度總是可能的。107兩次獨(dú)立隨機(jī)行走的路徑步長(zhǎng)為+-1500次的平均結(jié)果D:

diffusion

constant與自由粒子做對(duì)比：距離隨時(shí)間線性增長(zhǎng)隨機(jī)行走模擬108步長(zhǎng)不定的隨機(jī)行走兩次獨(dú)立隨機(jī)行走的路徑步長(zhǎng)是隨機(jī)的，[-1,+1]500次的平均結(jié)果109三維隨機(jī)行走（500次的平均結(jié)果，步長(zhǎng)為+-1）110Self-avoiding

walkA

random

walk

that

is

subject

to

the

constraint

of

avoiding

intersect

itself

is

called

a

self-avoiding

walk.

Each

distinct

SAW

of

the

same

number

of

steps

must

occur

with

equal

probability.

The

collection

of

all

such

SAWs

is

often

called

the

SAW

ensemble.Simulation:

We

must

keep

track

of

all

prior

steps

and

make

sure

that

configurations

that

would

revisit

a

previously

trampled

site

are

not

included.我們可以從一點(diǎn)開(kāi)始，隨機(jī)選擇可走的近鄰位置，直到?jīng)]有可選的近鄰位置為止。這種算法有問(wèn)題嗎？有什么問(wèn)題？111想象一個(gè)在平衡溶液中的高分子鏈鏈的所有可能構(gòu)型恰恰與SAW的所有可能構(gòu)型一致，這些構(gòu)型應(yīng)該是等概率出現(xiàn)的。上面的算法不滿足等概率條件。采用上述算法產(chǎn)生的系綜是不滿足所有可能的SAW等概率出現(xiàn)怎么辦？112最簡(jiǎn)單的方式：從所有可能的行走方向上隨機(jī)選擇下一步，如果遇到了self-intersection，就放棄整個(gè)行走過(guò)程，重新開(kāi)始。這樣可以保證產(chǎn)生的SAW構(gòu)型出現(xiàn)的概率是相等的。

1132-dimensional

self-avoiding

walksn=3/4(2D),

3/5(3D)114Cream-in-coffee

problem400個(gè)粒子（20X20）限制在x=+-100,

y=+-100范圍之內(nèi)115Pi

is

the

probability

of

finding

a

particle

in

cell

i.1161953年，Metropolis等研究了由具有相互作用分子組成的物質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)。在利用蒙特卡洛方法計(jì)算高維積分時(shí)，提出了一種新的相空間的采樣算法，后來(lái)被普遍稱為Metropolis算法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是通過(guò)采用轉(zhuǎn)移概率從前一個(gè)態(tài)產(chǎn)生新的態(tài)，利用細(xì)致平衡條件得到目標(biāo)概率分布。因此，Metropolis算法是一種根據(jù)玻爾茲曼分布生成系統(tǒng)狀態(tài)的馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法。之后，Hastings改進(jìn)了該算法，提高了采樣率，能夠模擬隨機(jī)變量序列，更精確地模擬了期望分布為平穩(wěn)分布的馬爾科夫鏈，特別是在許多隨機(jī)變量的分布無(wú)法直接模擬的情況下，稱為Metropolis-Hastings算法。該算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理系統(tǒng)的蒙特卡洛模擬。Metropolis方法117

118

119

這樣，Metropolis算法通過(guò)構(gòu)造一個(gè)滿足細(xì)致平衡條件的馬爾科夫鏈的演化過(guò)程，產(chǎn)生一個(gè)狀態(tài)系列。

120隨機(jī)生長(zhǎng)過(guò)程的模擬-DLA1981年,美國(guó)密捷安大學(xué)Witten和Sander開(kāi)創(chuàng)性地提出了一個(gè)擴(kuò)散限制凝聚(DiffusionLimitedAggregation)的分形生長(zhǎng)模型,簡(jiǎn)稱DLA模型。最初該模型提出時(shí)主要是為了研究懸浮在大氣中的煤灰、金屬粉末或煙塵擴(kuò)散的凝聚問(wèn)題。后來(lái)受到不同領(lǐng)域的學(xué)者重視,被引入不同的學(xué)科,用來(lái)解釋各種與分形形態(tài)有關(guān)的生長(zhǎng)和凝聚現(xiàn)象.121DLA模型DLA模型采用了在晶格原點(diǎn)上置一個(gè)初始粒子作為種子,以該點(diǎn)為圓心(原點(diǎn)),r為半徑作一個(gè)大圓。在該圓附近隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)微粒在圓上作近似于Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)行走,即以1/4的概率向上下左右方向行走。

若微粒與種子顆粒相碰,則令其附著于種子微粒之上,與之結(jié)合形成凝聚集團(tuán);若微粒行走到圓的邊界或離開(kāi)此圓,令其被邊界吸收而消失接著再隨機(jī)地產(chǎn)生第二個(gè)微粒并重復(fù)以上步驟,直至附著于凝聚集團(tuán)或被邊界吸收。如此不斷地進(jìn)行,當(dāng)種子集團(tuán)長(zhǎng)大到一定程度后,可以發(fā)現(xiàn),它就形成了以種子微粒為中心的無(wú)規(guī)分叉圖形。122DLA模型的性質(zhì)和特點(diǎn)DLA模型的主要性質(zhì)和特點(diǎn)是:這類分形結(jié)構(gòu)在形成過(guò)程中都遵從可動(dòng)邊界的拉普拉斯方程以凝聚生長(zhǎng)為例,凝聚粒子在拉普拉斯?jié)舛葓?chǎng)中作無(wú)規(guī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),生長(zhǎng)集團(tuán)的界面具有復(fù)雜的性質(zhì)和不穩(wěn)定的性質(zhì),生長(zhǎng)過(guò)程是一個(gè)遠(yuǎn)離平衡的動(dòng)力學(xué)過(guò)程,是一個(gè)非線性的、非平衡態(tài)的進(jìn)化過(guò)程可以說(shuō),DLA模型的出現(xiàn),深化了人們對(duì)非平衡生長(zhǎng)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí),吸引了大批數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物科學(xué)家投入其中,研究有關(guān)物理的、化學(xué)的、醫(yī)學(xué)的生長(zhǎng)現(xiàn)象,并已經(jīng)取得了令人鼓舞的進(jìn)展123計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)構(gòu)造二維格子初始化種子外圍隨機(jī)產(chǎn)生粒子粒子進(jìn)行隨機(jī)游走如果碰到種子則（以一定幾率）吸附吸附后重復(fù)產(chǎn)生粒子吸附幾率的控制，隨機(jī)游走是否幾率均等。。。124DLA模型深化了人們對(duì)非平衡生長(zhǎng)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，被廣泛應(yīng)用于研究時(shí)間依賴的生長(zhǎng)、擴(kuò)散、輸運(yùn)、吸附等物理和化學(xué)過(guò)程。同時(shí)，DLA模型也不斷地被推廣和發(fā)展。例如，在真實(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程中，粒子不斷被沉積到基底表面，在表面上同時(shí)有多個(gè)粒子在隨機(jī)行走。在行走的過(guò)程中，可能會(huì)產(chǎn)生新的聚集中心。這就導(dǎo)致在基底表面會(huì)形成多個(gè)集團(tuán)構(gòu)型。此外，粒子與其他粒子接觸之后可能也不會(huì)立即穩(wěn)定下來(lái)，而是有一定概率離開(kāi)或者沿所形成的的集團(tuán)的邊界行走。當(dāng)襯底上形成了集團(tuán)構(gòu)型，新的粒子可能沉積在集團(tuán)之上，這樣逐漸在襯底上形成三維的集團(tuán)構(gòu)型。這些推廣和擴(kuò)展為理解真實(shí)系統(tǒng)的生長(zhǎng)、擴(kuò)散等提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法是模擬這類問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。IsingModelSpinmodelforaferromegnetCollectionofMagneticmomentsSpinangularmomentumThesimplestIsingmodelassumesaninteractiononlybetweennearestneighborsJ(>0)isexchangeconstantAssumethateachspinisabletopointalongeither+zor–z;(upordown).Forconveniencewetaketobesi=1or-1.Theenergyofthespinsystemislowestifallofthespinsareparalleltooneanother.125126早在1920年，德國(guó)物理學(xué)家WilhelmLenz為解釋鐵磁相變，提出一個(gè)包含小箭頭的網(wǎng)格的簡(jiǎn)單模型。1924年Lenz的學(xué)生ErnstIsing證明，當(dāng)空間維數(shù)為1時(shí)，模型沒(méi)有相變。之后，眾多學(xué)者對(duì)二維Ising模型進(jìn)行了研究，并發(fā)展了平均場(chǎng)理論。1944年，美國(guó)物理學(xué)家LarsOnsager發(fā)表了二維Ising模型的嚴(yán)格解。然而，精確求解三維Ising模型仍是困擾物理學(xué)家的一個(gè)未解難題。IsingModelDisorderingeffectoftemperatureAssumethatthespinsystemisinequilibriumwithaheatbathatT,sothatovertimedifferentspinsflipbackandforth,andthesystemwillthereby“move”intodifferentspinconfigurations.Forasysteminequilibriumwithaheatbath,theprobabilityoffindingthesysteminanyparticularstateisproportionaltotheBoltzmannfactorTheprobabilityoffindingthesysteminstate(microstate)Thereare2NdifferentpossiblemicrostatesofasystemwithparticleN.Themeasuredmagnetization127Mean-FieldTheoryofIsingModelAllspinsmusthavethesameaverageproperties.ThetotalmagneticationatTforsystemofNspinsisIfwecancalculate<si>,wehaveMimmediately.Anexactcomputationof<si>requirestheprobabilitiesofallpossiblemicrostates.IfweaddamagneticfieldH128Mean-FieldTheoryofIsingModelForasystemwithasinglespin129Mean-FieldTheoryofIsingModelThemeanfieldapproximationisbasedontheassumptionthattheinteractionofaspinsiwithitsneighboringspinsisequivalenttoaneffectivemagneticfieldactingonsi.H=0130Mean-FieldTheoryofIsingModel<S>Freeenergyvs<s>131Mean-FieldTheoryofIsingModelForsmallx132MonteCarloMethodforIsingModelSimulationofSpinflipsAspinischosenandtheenergyrequiredtomakeitflipEflipiscalculated.IfEflip<0,thespinisflippedandthesystemmovesintoadifferentmicrostate.IfEflip>0,whattodo?ArandomnumberRthatisdistributeduniformlybetween0and1isgenerated.IfP>R,thespinisflipped;otherwise,thespinisleftundisturbed.Metropolisalgorithm133MonteCarloalgorthmfortheIsingmodelonanLxLsquarelattice134

135L=10,H=0,Jasenergyunit,sotheunitofTisJ/kB136MonteCarloSimulationforIsingModel蒙特卡洛模擬Ising模型能量（左）和磁化強(qiáng)度（右）隨溫度的演化。以上結(jié)果是1000次的平均。137在Metropolis算法中，當(dāng)系統(tǒng)接近或者處于平衡態(tài)時(shí)，產(chǎn)生新的構(gòu)型或者狀態(tài)的概率變得非常小。為了提高模擬效率，Bortz，Karlos和Lebowitz于1975年提出N-foldway算法來(lái)模擬二維Ising模型。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在二維正方格子上，根據(jù)每個(gè)自旋及其近鄰自旋的取向，所有自旋可以分為10類構(gòu)型，每一類都可以計(jì)算出確定的反轉(zhuǎn)率N-foldway算法138構(gòu)型中心自旋4個(gè)近鄰自旋狀態(tài)中心自旋的反轉(zhuǎn)率1

2

，

，

，

3

，

，

，

，

4

，

，

，

5

6

7

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，

，

8

，

，

，

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9

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，

，

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N-foldway算法的特點(diǎn)140對(duì)于傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法，一旦系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)，時(shí)間尺度并沒(méi)有明確的物理意義，因此也沒(méi)有必要確定每一步所對(duì)應(yīng)的物理時(shí)間尺度。但是，對(duì)于一個(gè)處于非平衡態(tài)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的演化以及動(dòng)力學(xué)過(guò)程就需要考慮相應(yīng)的時(shí)間尺度，而基于N-foldway算法的蒙特卡洛模擬方法能夠?qū)γ商乜迥M的時(shí)間尺度與真實(shí)的時(shí)間尺度之間建立聯(lián)系。因此，基于N-foldway算法發(fā)展起來(lái)的蒙特卡洛模擬方法不僅能夠模擬處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，還能夠模擬處于遠(yuǎn)離平衡態(tài)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。20世紀(jì)90年代，該算法被廣泛應(yīng)用于研究晶體核薄膜生長(zhǎng)、表面擴(kuò)散和吸附、催化等很多領(lǐng)域?；谠撍惴ǖ拿商乜迥M方法也被統(tǒng)稱為動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法（kineticMonteCarlo）。動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法（kineticMonteCarlo）141動(dòng)力學(xué)蒙特卡羅(KineticMC，KMC)在原子模擬領(lǐng)域內(nèi)，分子動(dòng)力學(xué)(moleculardynamics,MD)具有突出的優(yōu)勢(shì)。它可以非常精確的描述體系演化的軌跡。一般情況下MD的時(shí)間步長(zhǎng)在飛秒(fs)量級(jí)，因此足以追蹤原子振動(dòng)的具體變化。但是這一優(yōu)勢(shì)同時(shí)限制了MD在大時(shí)間尺度模擬上的應(yīng)用。現(xiàn)有的計(jì)算條件足以支持MD到10ns，運(yùn)用特殊的算法可以達(dá)到10μs的尺度。即便如此，很多動(dòng)態(tài)過(guò)程，如表面生長(zhǎng)或材料老化等，時(shí)間跨度均在s以上，大大超出了MD的應(yīng)用范圍。有什么方法可以克服這種局限呢？當(dāng)體系處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，我們可以將其描述為處于維勢(shì)能函數(shù)面的一個(gè)局域極小值（阱底）處。有限溫度下，雖然體系內(nèi)的原子不停的進(jìn)行熱運(yùn)動(dòng)，但是絕大部分時(shí)間內(nèi)原子都是在勢(shì)能阱底附近振動(dòng)。偶然情況下體系會(huì)越過(guò)不同勢(shì)阱間的勢(shì)壘從而完成一次“演化”，這類小概率事件才是決定體系演化的重點(diǎn)。142KMC-續(xù)因此，如果我們將關(guān)注點(diǎn)從“原子”升格到“體系”，同時(shí)將“原子運(yùn)動(dòng)軌跡”粗化為“體系組態(tài)躍遷”，那么模擬的時(shí)間跨度就將從原子振動(dòng)的尺度提高到組態(tài)躍遷的尺度。這是因?yàn)檫@種處理方法擯棄了與體系穿越勢(shì)壘無(wú)關(guān)的微小振動(dòng)，而只著眼于體系的組態(tài)變化。因此，雖然不能描繪原子的運(yùn)動(dòng)軌跡，但是作為體系演化，其“組態(tài)軌跡”仍然是正確的。此外，因?yàn)榻M態(tài)變化的時(shí)間間隔很長(zhǎng)，體系完成的連續(xù)兩次演化是獨(dú)立的，無(wú)記憶的，所以這個(gè)過(guò)程是一種典型的馬爾可夫過(guò)程(Markovprocess)，即體系從組態(tài)到組態(tài)，這一過(guò)程只與其躍遷速率有關(guān)。143KMC-續(xù)如果精確地知道，我們便可以構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，使得體系按照正確的軌跡演化。這里``正確''的意思是某條給定演化軌跡出現(xiàn)的幾率與MD模擬結(jié)果完全一致(假設(shè)我們進(jìn)行了大量的MD模擬，每次模擬中每個(gè)原子的初始動(dòng)量隨機(jī)給定)。這種通過(guò)構(gòu)造隨機(jī)過(guò)程研究體系演化的方法即為動(dòng)力學(xué)蒙特卡洛方法(kineticMonteCarlo,KMC)KineticMonteCarlo:ACoarse-Grained,Atomistic,Lattice-BasedTechniqueforCondensed-MatterDynamics∞ContinuumEquationsKMCMDTime(s)10-1510-1210-910-6

∞Length(m)10-610-810-11KineticMonteCarlo:Coarse-GrainingMDRareEvents:MDofCoonCu(001):TheWholeTrajectoryKMC:Coarse-GrainedHopsRotateRareEventsInfrequenttransitionsfromalocalminimumtoanotherlocalminimumTransitionstatetheory

tounderstandchemicalreactionrates:(MichaelPolanyi&HenryEyringin1920’s&1930’s)MasterEquation:ProbabilitytobeatStateatTimet:TransitionProbabilityperUnitTimefromtoKineticMonteCarlosimulationKMCTransitionProbabilitiesandDetailedBalance

Energy

U*

UiUfUifbTSTSatisfiesDetailedBalanceandKineticsp(if)=

0

exp(Ubif/kBT)MetropolisMCSatisfiesDetailedBalance,ButNotKineticsAGenericKMCAlgorithmInitializeLatticeFinished?IdentifyAllProcessesandRatesRiDoProcessa,IncrementTimeYesNoChooseaProcessa01?=a1)(iiP?-=11)(aiiP1.Surfacediffusion2.Surfacegrowth3.Vacancydiffusioninalloys4.Coarseningofdomainevolution5.Defectmobilityandclusteringinionorneutronirradiatedsolids6.ViscoelasticityofphysicallycrosslinkednetworksApplicationtoKMCSimulationsofThin-FilmEpitaxyDeposition

AggregationNucleationTerraceDiffusion

EdgeDiffusionGerdBinnigHeinrichRohrerTheysharedthehalfoftheNobelPrizeinPhysicsin1986forthedesignofthescanningtunnelingmicroscope(STM).(theotherhalfofthePrizewasawardedtoErnstRuskaforhisachievementsinelectronopticsincludingthedesignofthefirstelectronmicroscope).Vsample=1.00VItunne