高等數(shù)學(xué)教材（文科）

前言

本書(shū)是給大學(xué)文科學(xué)生寫(xiě)的數(shù)學(xué)書(shū)，內(nèi)容有微積分和線性代數(shù)，是

高等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容。作為給文科學(xué)生學(xué)習(xí)的教材，本書(shū)的目的不

是為了教會(huì)文科學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，掌握數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)。我們希

望用數(shù)學(xué)的思想、歷史和應(yīng)用將基本內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，使文科學(xué)生體會(huì)到

數(shù)學(xué)并不是只有抽象的令人生畏的外表，還有親切自然的一面。

通常認(rèn)為數(shù)學(xué)有三個(gè)層面的意義，第一是作為理論的數(shù)學(xué)，主要是

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，是數(shù)學(xué)研究所必須具備的；第二是作為應(yīng)用

的數(shù)學(xué)，以前數(shù)學(xué)是作為一種工具在科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮作用，而近年來(lái)數(shù)

學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合直接成為了能創(chuàng)造財(cái)富的生產(chǎn)力了；第三是作為文化

修養(yǎng)的數(shù)學(xué)，我們從小學(xué)就開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，真正將來(lái)能從事數(shù)學(xué)理論研

究和實(shí)際應(yīng)用的人畢竟還是少數(shù)，大多數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是作為訓(xùn)練理性思

維能力的載體，是人的基本素質(zhì)的一部分。一般我們不會(huì)要求每個(gè)學(xué)生

都能寫(xiě)詩(shī)繪畫(huà)，但會(huì)要求具備藝術(shù)修養(yǎng)、文學(xué)素質(zhì)。對(duì)待數(shù)學(xué)也應(yīng)該如

此。

既然是基本素質(zhì)，我們僅僅知道初等數(shù)學(xué)，那就很不夠了。人類進(jìn)

入工業(yè)社會(huì)，數(shù)學(xué)是起了很大作用的。微積分的誕生，在很大程度上影

響了工業(yè)革命的進(jìn)程，同時(shí)開(kāi)創(chuàng)了人類科學(xué)的黃金時(shí)代，成為人類理性

精神勝利的標(biāo)志。而微積分最重要的思想就是“極限”，這是近代數(shù)學(xué)

與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)性的差別。作為21世紀(jì)的大學(xué)生應(yīng)該要了解這一點(diǎn),

不然就很難說(shuō)已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)的基本素質(zhì)。這也是編寫(xiě)這本書(shū)的想法。

盡管數(shù)學(xué)素質(zhì)非常重要，但文科學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是會(huì)有一些疑

問(wèn)，比如，數(shù)學(xué)在人文學(xué)科中有什么應(yīng)用？

實(shí)際上在半個(gè)世紀(jì)以前的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用還基本局限于物

理學(xué)、力學(xué)等傳統(tǒng)領(lǐng)域。二戰(zhàn)以后，人們將數(shù)學(xué)應(yīng)用于信息、控制領(lǐng)域,

產(chǎn)生了“信息論”和“控制論”。發(fā)電報(bào)傳送的信息，用腦控制手去撿

東西都成為了數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。影響更大的是美國(guó)數(shù)學(xué)家馮*諾依曼基

于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)方案，從理論上為我們今天計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展打下

了基礎(chǔ)。在上世紀(jì)50年代，數(shù)學(xué)又被應(yīng)用到了金融學(xué)中，誕生了數(shù)理

金融學(xué)，在以前認(rèn)為只要簡(jiǎn)單算術(shù)就可以解決問(wèn)題的金融學(xué)中，用起了

大量的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

醫(yī)學(xué)從來(lái)就被認(rèn)為是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，基本是靠醫(yī)生的經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題，

所謂郎中是老的好。但是在上世紀(jì)60年代誕生的“X光斷層掃描技術(shù)”,

即我們熟知的CT機(jī)，就是數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。CT大大

提高了疾病的診斷精度，極大地減少了對(duì)醫(yī)生經(jīng)驗(yàn)的依賴，是數(shù)學(xué)直接

產(chǎn)生生產(chǎn)力的一個(gè)很好的例子。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)在文學(xué)、考古學(xué)等純文科領(lǐng)

域也有了很多的應(yīng)用。如用數(shù)學(xué)方法研究文學(xué)作品的作者，典型的例子

是上世紀(jì)80年代，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系李賢平教授使用數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)學(xué)方法,

對(duì)紅樓夢(mèng)的作者進(jìn)行了研究，得出了自己的結(jié)論。在考古學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué),

產(chǎn)生了新的學(xué)科：計(jì)量考古學(xué)。

總之，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)必將在更多的領(lǐng)域中發(fā)揮作用。

縱觀這幾十年，很多偉大的發(fā)現(xiàn)，都是在傳統(tǒng)認(rèn)為不需要數(shù)學(xué)的地方運(yùn)

用了數(shù)學(xué)而獲得的。所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)于文科學(xué)生來(lái)說(shuō)，除了基本素質(zhì)

的要求，還應(yīng)該看高一層。

在文科專業(yè)中，很多學(xué)生并不喜歡數(shù)學(xué)，這是多少年來(lái)我們數(shù)學(xué)教

學(xué)總是循著定義，定理，證明這樣一條形式化的路線，中學(xué)數(shù)學(xué)基本也

是如此，甚至將數(shù)學(xué)教學(xué)變成了解題教學(xué)。這種過(guò)于死板的教學(xué)，對(duì)學(xué)

生的吸引力當(dāng)然是很有限的，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的反感，大多源于此。在

本書(shū)中，希望通過(guò)我們的探索和努力，讓讀者對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。

本書(shū)在成書(shū)過(guò)程中參考了不少文獻(xiàn)和書(shū)籍，重要的都列在了本書(shū)最

后的參考文獻(xiàn)一欄。同時(shí)本書(shū)的編寫(xiě)得到了華東師大教學(xué)建設(shè)基金的資

助，也得到了數(shù)學(xué)系很多同事的幫助，他們提出了很多非常好的意見(jiàn)和

建議，在此一并表示感謝。

由于試著要改變一些傳統(tǒng)，所以有些想法會(huì)有局限，也會(huì)有很多地

方存在疏漏，請(qǐng)廣大讀者提出批評(píng)和建議，我們一定會(huì)認(rèn)真聽(tīng)取衷心感

謝。

目錄

第一章微積分研究的對(duì)象一一函數(shù)

§1表示變量因果關(guān)系的函數(shù)

§2函數(shù)的實(shí)例

第二章微積分的基礎(chǔ)一一極限

§1數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)

§2數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義

§3數(shù)列極限的性質(zhì)

§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性

第三章變化率和局部線性化一一導(dǎo)數(shù)和微分

§1函數(shù)的變化率一一導(dǎo)數(shù)

§2函數(shù)的局部線性化一一微分

§3微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四章變量的累加問(wèn)題一一積分

§1艱難的探索一一古代求曲邊圍成圖形面積的例子

§2告別手工作坊，走近定積分

——定積分的概念和性質(zhì)

§3原函數(shù)和微積分基本定理

§3定積分的應(yīng)用

第五章進(jìn)一步的應(yīng)用一一從微分到微分方程

第六章處理線性關(guān)系的數(shù)學(xué)一一線性代數(shù)

§1行列式

§2線性方程組的求解

§3矩陣與線性方程組的解

第一章微積分研究的對(duì)象一一函數(shù)

函數(shù)是微積分研究的對(duì)象，要學(xué)習(xí)微積分，首先要了解函數(shù)。由于

在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于函數(shù)的基本概念讀者應(yīng)該

都是熟悉的。所以本章將對(duì)函數(shù)作一個(gè)概括，給出一些理解性的論述。

§1表示變量因果關(guān)系的函數(shù)

1.1函數(shù)的概念

世間出現(xiàn)的各種變量之間，有些是有聯(lián)系的，有些則沒(méi)有。函數(shù)表

達(dá)的就是變量之間的因果關(guān)系，是用來(lái)描述事物（變量）關(guān)系變化的工

具。我們熟悉的一元函數(shù)就是兩個(gè)變量的相互關(guān)系，如圓的面積S與它

的半徑r這兩變量就有關(guān)系5=不產(chǎn)。半徑定了，面積自然定了（對(duì)于半

徑r,有唯一確定的面積S）。因此這個(gè)變量r就稱為自變量，S的變化

是由于「的變化引起的，就稱為因變量。產(chǎn)生S的法則（公式S=萬(wàn)產(chǎn)）

就稱為對(duì)應(yīng)法則。在一般情形下，對(duì)應(yīng)法則往往用/表示。因此函數(shù)的

表示式就是

y=/（x），xeD

這里x是自變量，y是因變量，x的取值范圍。稱為函數(shù)的定義域,

因變量的取值范圍稱為值域。中學(xué)數(shù)學(xué)告訴我們，一個(gè)函數(shù)由它的定義

域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此值域并不是一個(gè)函數(shù)的獨(dú)立的要素。

函數(shù)的英語(yǔ)名稱是“function"，所以為什么我們習(xí)慣用/表示函數(shù)

也就清楚了。實(shí)際上，用其他字母表示函數(shù)也是一樣的。

從上面的討論可以知道，函數(shù)的表達(dá)式是函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的代數(shù)解

釋。

在中學(xué)階段我們就已經(jīng)知道，一個(gè)函數(shù)可以與直角坐標(biāo)中的一條曲

線相對(duì)應(yīng)，這條曲線稱為該函數(shù)的圖形或圖像，這就是對(duì)應(yīng)法則的幾何

解釋。如函數(shù)＞的圖形就是圖1.1表示的曲線。

圖1.2勒奈?笛卡爾

(ReneDescartes)

X

一條幾何曲線可以用某個(gè)函數(shù)來(lái)表示，這是在笛卡爾（法國(guó)數(shù)學(xué)家,

1596-1650,圖1.2）創(chuàng)立直角坐標(biāo)系以后的事情。也正是笛卡爾，將代

數(shù)和幾何結(jié)合在一起，建立了解析幾何。代數(shù)（公式）和幾何（圖形）

的相互轉(zhuǎn)化，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也大大增加了數(shù)學(xué)的應(yīng)用

性。在這之前，代數(shù)和幾何是兩碼事，沒(méi)有代數(shù)幫忙的歐氏幾何（中學(xué)

稱為平面幾何），大家都已經(jīng)領(lǐng)教過(guò)它的困難！直角坐標(biāo)系的建立是近

代數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，為微積分的創(chuàng)立打下了基礎(chǔ)。

1.2函數(shù)的表示

在以往的學(xué)習(xí)中，我們比較熟悉函數(shù)的解析表示法（或稱公式法）,

即函數(shù)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，如線性函數(shù)

y^ax+b-,幕函數(shù)y=or"；三角函數(shù)丁=sinx等等。但有時(shí)兩個(gè)變量盡

管有聯(lián)系，但卻很難找出一個(gè)公式來(lái)表示它們之間的函數(shù)關(guān)系，比較常

見(jiàn)的例子是氣溫C與時(shí)間，的關(guān)系，不同時(shí)間有不同的溫度，可以畫(huà)出

圖，也可以列出表，但卻找不到合適的解析式來(lái)表示這個(gè)關(guān)系。但它是

一個(gè)函數(shù)，因?yàn)樵谀骋粋€(gè)時(shí)間f0,有唯一確定的溫度C。與對(duì)應(yīng)。所以，

函數(shù)還可以用一個(gè)表格（數(shù)值的方法）表示（見(jiàn)表1.1）,或者用一個(gè)曲

線的圖形來(lái)表示（見(jiàn)圖1.3）。

表1.12010年9月8日從9點(diǎn)到24點(diǎn)上海世博會(huì)入園人數(shù)（單位：千人）

時(shí)間t910II1213141618202224

入園人數(shù)L0141190202209214224241249250250

用圖形表示函數(shù)：直角坐標(biāo)中的一條曲線，當(dāng)任何垂直于X軸的直

線與該曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這條曲線就表示一個(gè)函數(shù)。

圖1.3中函數(shù)的定義域。是曲線在X軸上的投影口；對(duì)應(yīng)法則是

這樣的，在定義域中任取一點(diǎn)小€團(tuán),回，過(guò)點(diǎn)與與X軸的垂直的直線與

曲線交于唯一的一點(diǎn)M0（Xo，X））,的縱坐標(biāo)方就是點(diǎn)與的對(duì)應(yīng)值。

所以圖1.3的圖形就表示了一個(gè)函數(shù)：y=/（x）。

通過(guò)上面的議論，可知函數(shù)通常有三種表示方法：公式法（又稱解

析法），圖形法和數(shù)值法。在計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展的今天，數(shù)值法越來(lái)越顯

示出它的重要性，因?yàn)橛?jì)算機(jī)就是以數(shù)值計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)。而且在我們?nèi)粘Ｉ?/p>

活和社會(huì)人文科學(xué)中碰到的函數(shù)關(guān)系，很多都是數(shù)值形態(tài)的，我們經(jīng)常

聽(tīng)到的國(guó)民經(jīng)濟(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，人口與消費(fèi)等等，都是數(shù)值形態(tài)的。

在這幾種表示方法中，公式法的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)關(guān)系明確，便于數(shù)學(xué)推

導(dǎo)，在理論研究上非常重要。圖形法的優(yōu)點(diǎn)是形象，便于宏觀觀察，很

容易看出函數(shù)的變化趨勢(shì)，但不像公式法那樣精確，至于要求一點(diǎn)的函

數(shù)值那就只能根據(jù)圖形估計(jì)了。由此看到，圖形法的優(yōu)點(diǎn)就恰是公式法

的缺點(diǎn)，圖形法的短處又恰是公式法的長(zhǎng)處。

數(shù)值法表示函數(shù)其實(shí)在中學(xué)就已經(jīng)有過(guò)體驗(yàn)，如數(shù)學(xué)手冊(cè)中的三角

函數(shù)表，對(duì)數(shù)表等等就是用數(shù)值法表示三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的例子。數(shù)

值法的優(yōu)點(diǎn)是表中列出的那些點(diǎn)（只能是有限個(gè)?。┑暮瘮?shù)值非常明確,

但缺少整體的對(duì)應(yīng)。正因?yàn)檫@個(gè)缺點(diǎn)，以前在數(shù)學(xué)教材中很少受到關(guān)注,

但現(xiàn)在我們應(yīng)該多多關(guān)注了。

1.3基本初等函數(shù)和初等函數(shù)

從上面的討論知道，函數(shù)種類有很多，有些能用公式表示，有的只

能用表格和圖形表示。在所有能用公式表示的函數(shù)中，有六類我們常見(jiàn)

的函數(shù)稱為基本初等函數(shù)，分別是

1.常值函數(shù)：J=C（C是常數(shù)），即不論自變量取何值，其對(duì)應(yīng)

的函數(shù)值總是常數(shù)C。常值函數(shù)的圖形如圖1.4。

2.基函數(shù)：y=a是一個(gè)實(shí)數(shù)。中學(xué)階段的事函數(shù)要求。是有

理數(shù)。當(dāng)a=2時(shí)，就是熟知的二次函數(shù)y=f（圖1.5）；當(dāng)a時(shí)，

為y=G（圖1.6）；e=-l時(shí)，是反比例函數(shù)y（圖1.1）。

x

圖1.7圖1.8

4.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log“x(a>0,anl)。對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函

數(shù)，當(dāng)a=e時(shí)，就是非常重要的自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx(圖1.8)。

5.三角函數(shù)：_y=sinx,)?=cosx,y=tanx,y=cotx(圖1.9和圖

6.反三角函數(shù)：y-arcsinx,y-arccosx,y=arctanx,j=arccotx

（圖1.1卜圖1.14）。

這6類函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的加減乘除以及復(fù)合運(yùn)算，產(chǎn)生的函數(shù)如果

能用一個(gè)公式表示，就稱為初等函數(shù)。在現(xiàn)階段我們所看到的函數(shù)絕大

部分都是初等函數(shù)。

例1分段函數(shù)。在自變量不同的取值范圍用不同的公式來(lái)表示同

一個(gè)函數(shù)，稱為分段函數(shù)，如下面兩個(gè)函數(shù)就是分段函數(shù)，它們的圖形

分別是圖1.15和圖1.16o

[-1x<0

x+1x<0

y(x)={,/(x)={ox=o。

ex>0

分段函數(shù)一般是不能用一個(gè)公式表示的，但也有例外。

例2y是分段函數(shù)，但可以用y=J7(=|x|)

[x,x>0

表示，所以是初等函數(shù)。

例3我們知道，世界上有兩個(gè)溫度標(biāo)準(zhǔn)，華氏度和攝氏度。我國(guó)

用攝氏標(biāo)準(zhǔn)，美國(guó)用華氏標(biāo)準(zhǔn)。這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間的關(guān)系是y=1(x-32),

其中x表示華氏溫度，)表示攝氏溫度。這是一個(gè)線性函數(shù)，也可以看

成密函數(shù)和常值函數(shù)相減。有了這個(gè)公式你到美國(guó)，就不會(huì)被那里的華

氏溫度搞糊涂了。

例4復(fù)合函數(shù)。如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系不那么直接，需要通過(guò)

第三個(gè)變量聯(lián)系起來(lái)，如在物體的自由落體中，動(dòng)能E與時(shí)間f之間的

關(guān)系就是要通過(guò)速度v獲得：物體的質(zhì)量是加，動(dòng)能與速度的關(guān)系是

E^^mv2,速度又是時(shí)間的函數(shù)u=gf,所以動(dòng)能￡就成了時(shí)間f的函

數(shù)七=5次2=］密2/。這個(gè)過(guò)程，就是函數(shù)的復(fù)合，E=g〃吆2/稱為

由函數(shù)七=；〃?/與丫=8/復(fù)合得到的復(fù)合函數(shù)，中間出現(xiàn)過(guò)的變量u稱

為中間變量。

圖1.17函數(shù)的復(fù)合

復(fù)合函數(shù)實(shí)際上是通過(guò)若干個(gè)中間變量，最終將兩個(gè)不直接相關(guān)的

變量(自變量和因變量)建立起函數(shù)關(guān)系。就如甲乙兩人本不直接認(rèn)識(shí),

通過(guò)丙的介紹相識(shí)，丙就是中間變量，甲乙之間的關(guān)系猶如復(fù)合函數(shù)。

一般情況下，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/(“)，u=g(x),如果g(x)的值

域與/(〃)的定義域有公共部分，則這兩個(gè)函數(shù)就可以復(fù)合成

y=/(g(%))(見(jiàn)圖117)。通常稱/為外層函數(shù)，稱g為內(nèi)層函數(shù)。

例5函數(shù)y=*，是由基本初等函數(shù)y=e","=sinx復(fù)合而成的。

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)是指有界性，單調(diào)性，奇偶性和周期性。不是每個(gè)

函數(shù)都會(huì)有這些性質(zhì)，但了解這些性質(zhì)卻對(duì)我們今后進(jìn)一步熟悉和學(xué)習(xí)

微積分卻是有很大好處的。

1.有界與無(wú)界。函數(shù)有界性是一個(gè)很重要的性質(zhì)，所謂有界，就

是指這個(gè)函數(shù)的值域可以包含在某個(gè)閉區(qū)間中。我們用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言表

述如下：

設(shè)函數(shù)y=/(x)在數(shù)集。上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)M>0,使

函數(shù)的值域3y=/(x),xeO}u[—，即|/(x)區(qū)M對(duì)所有的

xe。成立，則稱函數(shù)/是數(shù)集。上的有界函數(shù)，或稱/在。上有界。

否則就稱/在。上無(wú)界。

無(wú)界是有界的反面，函數(shù)/在O上無(wú)界就是再大的閉區(qū)間也無(wú)法將

該函數(shù)的值域包含在內(nèi)，總有例外。數(shù)學(xué)化的表述就是：對(duì)于任何無(wú)論

怎樣大的正數(shù)M,總有與e。，使得

"(%>1洛

欣賞：宋朝葉紹翁的詩(shī)句“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來(lái)”

從文學(xué)的意境表達(dá)了無(wú)界的含義：再大的園子(閉區(qū)間)也無(wú)法將所有

的春色(函數(shù)值)關(guān)住，總有一枝紅杏(某個(gè)函數(shù)值)跑到園子的外面。

詩(shī)的比喻如此恰切，其意境把枯燥的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形象化了。

例6正弦函數(shù)^=sinx和余弦函數(shù)y=cosx在其定義域(-8,+oo)

內(nèi)是有界函數(shù)，因?yàn)閷?duì)一切的XG(-OO,+<?),都有|sinx區(qū)1,|cosx|Wl。

反比例函數(shù)y='在[l,+oo)上是有界函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)xe[l,+oo)時(shí)，

X

而在(0,+8)上則是無(wú)界的，因?yàn)楫?dāng)自變量X無(wú)限接近于。時(shí)，

其函數(shù)值會(huì)無(wú)限地增大，再大的閉區(qū)間也無(wú)法將其全部包含(圖1.1)。

可見(jiàn)，函數(shù)的有界性與所考慮的自變量的取值范圍有關(guān)，在大的范圍無(wú)

界，在小的范圍內(nèi)可能就有界了！

函數(shù)/(x)在區(qū)間國(guó),為上有界的幾何解釋是：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

[a,句上的圖形位于兩條直線y=與y=M之間(圖1.18)。

圖1.18

2.單調(diào)增加與單調(diào)減少。函數(shù)的單調(diào)增加（或減少）是指當(dāng)自變

量變大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也在變大（或變?。：瘮?shù)單調(diào)增加和減少統(tǒng)

稱為函數(shù)的單調(diào)性。

如果一個(gè)函數(shù)的定義域是有限集，這個(gè)函數(shù)就可以列成表格。函數(shù)

是否單調(diào)，只要把自變量由小到大排列起來(lái)，看函數(shù)值是否不斷增加（或

減少）就可以了。

例730年來(lái)我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值（簡(jiǎn)稱GDP）年度數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.2,

從表中看到，隨著時(shí)間的增加，GDP也增加，顯然是單調(diào)增加函數(shù)。

表1.2我國(guó)歷年GDP數(shù)據(jù)，是單調(diào)增加函數(shù)

年份19781980198519901995200020022005200620072008

GDP（億元）362445178964185485848789468104791183868211923257306314045

由于只有有限個(gè)數(shù)據(jù)，一個(gè)個(gè)地比較就可以判斷了，沒(méi)有什么困難。

但是如果定義域是一個(gè)區(qū)間，就麻煩了，因?yàn)槟愀緹o(wú)法將一個(gè)區(qū)間的

實(shí)數(shù)按大小排起來(lái)，也就無(wú)法檢驗(yàn)“自變量變大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也在

變大”這個(gè)條件，怎么辦？于是，我們用數(shù)學(xué)化的方法定義如下：

設(shè)函數(shù)/（X）在數(shù)集。上有定義，如果對(duì)于任意兩點(diǎn)和當(dāng)

玉＜當(dāng)時(shí)，有/日）＜/（々）（或/（芭）＞/（兀2）），則稱函數(shù)/（X）在。上單

調(diào)增加（或單調(diào)減少）。

在這里，用“任意兩點(diǎn)和/6。，當(dāng)王＜々時(shí)，有/（為）＜/（々）”

完成了對(duì)“自變量變大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也在變大”的檢驗(yàn)，顯示了數(shù)

學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔而且嚴(yán)密。

例8通過(guò)函數(shù)的圖形，容易看出，線性函數(shù)y=2x+l（圖1.19）

在其定義域（-8,+8）上單調(diào)增加；指數(shù)函數(shù)y=e'（圖1.7）在其定義域

（-8,+8）上單調(diào)增加；y=cosx（圖1.9）在閉區(qū)間［0,萬(wàn)］上單調(diào)減少。

圖1.19

與有界性類似，函數(shù)的單調(diào)性也與自變量的取值范圍有關(guān)。如二次

函數(shù),=尤2（圖1.4）,在［0,+8）上單調(diào)增加，在（-00,0］上單調(diào)減少，而

在整個(gè)定義域（-8,+8）上則不具備單調(diào)性。

3.奇偶性和周期性。在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這兩個(gè)性質(zhì)應(yīng)該比較熟

悉，這里僅作簡(jiǎn)單介紹，不再多敘。

如果/（—x）=/（x）,xeD,則稱/為偶函數(shù)；如果/（—x）=-/（x）,

xeD,則稱/為奇函數(shù)。這里。是了的定義域?？梢?jiàn)，奇函數(shù)的圖形

是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，而偶函數(shù)的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的。還有一點(diǎn)要注

意，討論函數(shù)的奇偶性時(shí)，其定義域。一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即當(dāng)xe。

時(shí)，-x也要屬于。。

如果/(x+T)=/(x),對(duì)一切xe。成立，則稱/為周期函數(shù)，T稱

為周期。使得了(尤+。=/(為成立的最小正數(shù)f稱為/的最小正周期。一

般所說(shuō)的周期都是指最小正周期，如丁=5足》的周期是2〃，y=tanx的

周期是萬(wàn)等等。

§2函數(shù)的實(shí)例

這里舉幾個(gè)函數(shù)的實(shí)際例子，領(lǐng)略一下函數(shù)的實(shí)用價(jià)值。

例1復(fù)利問(wèn)題。銀行要對(duì)存貸款計(jì)算利息，是金融學(xué)中的一個(gè)基

本問(wèn)題。計(jì)息方法有多種，最常見(jiàn)的有單利計(jì)息和復(fù)利計(jì)息。所謂復(fù)利

計(jì)息，就是每個(gè)計(jì)息期滿后，隨后的計(jì)息期將前一計(jì)息期得到的計(jì)息加

上原有本金一起作為本次計(jì)息期的本金，俗稱“利滾利”。

這好比一對(duì)兔子，經(jīng)過(guò)一段妊娠期之后，會(huì)生出一對(duì)小兔子出來(lái)。

此后，大兔子繼續(xù)生小兔，小兔子又會(huì)生小小兔，小小兔還會(huì)生小小小

兔子……。試問(wèn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，將會(huì)有多少對(duì)兔子？這與復(fù)利是同

一性質(zhì)的問(wèn)題。下面來(lái)看復(fù)利計(jì)息的計(jì)算。

一般銀行計(jì)息周期是以年為單位的，即每年計(jì)息一次。設(shè)年利率為

r,本金為A,一年以后的利息為/=Ar,本利和(本金加利息的和)

為

A1=A+A(A+o

于是第二個(gè)計(jì)息期以4為本金，到期的本利和為

2

A2=A1+AJT=A(l+r)+A(l+r)r=A(l+r),

因此，經(jīng)過(guò)連續(xù)n個(gè)計(jì)息期的到期本利和就是下面的復(fù)利計(jì)息公式

A“=A（l+r）”（1.1）

如果每年不是計(jì)息一次，而是計(jì)息f次（如三個(gè)月的定期存款，每

年計(jì)息4次），于是原〃個(gè)計(jì)息期就變成了加個(gè)計(jì)息期，而每個(gè)計(jì)息期

的利率則是:，這樣公式（1.1）就變成

A,=A（l+y"jO（1.2）

以后還會(huì)看到，當(dāng)/越來(lái)越大趨于無(wú)窮時(shí)，公式（1.2）會(huì)是怎樣的結(jié)果。

例2測(cè)定生物體年齡。碳14（是放射性物質(zhì)，隨時(shí)間而衰減，

碳12是非放射性物質(zhì)。活性物體（生物或植物）通過(guò)與外界的相互作

用（吸納食物、呼吸等）獲得碳14,恰好補(bǔ)償碳14衰減損失量而保持

碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù)，但死亡后

由于碳14無(wú)法得到補(bǔ)充會(huì)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而逐漸衰減。因此碳14測(cè)定技

術(shù)已經(jīng)成為考古學(xué)的常用技術(shù)手段，但它是數(shù)學(xué)應(yīng)用的結(jié)果。

現(xiàn)已測(cè)知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的80%,

試求遺體的死亡年代。

解已知放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，并且符合

指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。設(shè)遺體當(dāng)初死亡時(shí)14c的含量為P。，在f時(shí)的含

量為p=/?）,故%=/（0）,衰減的比例系數(shù)為常數(shù)上,于是含量

與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系就是

，=/?）=Po*。

衰減系數(shù)%是這樣確定的：因?yàn)閺幕瘜W(xué)知識(shí)知道，的半衰期為

5730年，即14c經(jīng)過(guò)5730年后其含量會(huì)減少一半，因此有

?=P『,約去p。，得;=e573°3

兩邊取對(duì)數(shù)，5730^=In-,用計(jì)算器很容易計(jì)算出左=-0.0001209。

2

于是我們得到含量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系

pup。/000⑵%。(1.3)

將(1.3)式用于本題，已知p=o.8p0,代入得。金;”0000m”,取

自然對(duì)數(shù)ln0.8=-0.000120%,用計(jì)算器計(jì)算得f。1846(年)。即古墓

中遺體已經(jīng)死亡了約1846年，應(yīng)該是漢朝人。

例3人口模型。假設(shè)在一定時(shí)期內(nèi)，某國(guó)的年人口增長(zhǎng)率(即出

生率減去死亡率)是一個(gè)常數(shù)，比如為2%。即如果第一年的人口為綜，

則第二年的人口就是《=《(1+2%),以此類推，第〃年的人口為

匕=4(1+2%)(可以看到人口問(wèn)題與復(fù)利問(wèn)題也是統(tǒng)一性質(zhì)的問(wèn)題)。

設(shè)該國(guó)原有人口為1億，問(wèn)多少年后，該國(guó)人口將達(dá)到2億。

解設(shè)〃年后人口達(dá)到2億，將具體數(shù)據(jù)代入上述公式，得

2=1.(1+2%)"。取對(duì)數(shù)，得到

In20.69315

ln2=/?lnl.O2,n=?35（年）

In1.020.01980

約35年后，該國(guó)人口將達(dá)到2億。

當(dāng)r很小時(shí)，有e’-1。尸，于是人口函數(shù)模型還可以寫(xiě)成

nrn

P?=P0(l+2%)=P0eo

馬爾薩斯(Malthus,英國(guó)，1766-1834)根據(jù)上述模型提出了著名

的馬爾薩斯人口理論。不過(guò)上述模型僅適用于生物種群(動(dòng)物、魚(yú)類、

細(xì)菌)生存環(huán)境寬松的情況，當(dāng)生存環(huán)境惡化(如食物短缺)時(shí)此模型

就不適用了。

上面三個(gè)例子的最終結(jié)果都?xì)w結(jié)到以e為底的指數(shù)函數(shù)，有無(wú)內(nèi)在

的原因？請(qǐng)關(guān)注下面一章的內(nèi)容。

習(xí)題一

1.判斷下列函數(shù)的有界性.

(1)y=l+3sinx-5cosx；(2)y=xsinx；

x⑷"占-0,1)。

⑶y

1+x2

2.指出下列各函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成：

sinr

(1)y=arctan4x；(2)y=eo

3.指出下列函數(shù)的單調(diào)性：

(1)y=x4xe(-oo,+oo)；(2)y=x+arctanxxe(-a?+c。

4.長(zhǎng)沙馬王堆一號(hào)墓于1972年8月出土，測(cè)得尸體的14c的含量是活

體的78%。求此古墓的年代。

5.一個(gè)圓柱形有蓋飲料罐，其容積是一個(gè)定值匕底面半徑是r,高是

H,求此罐的表面積A與底面半徑一的函數(shù)關(guān)系。

第二章微積分的基礎(chǔ)一一極限

“極”、“限”二字，在我國(guó)古代就有了，今天，人們把“極限”連

起來(lái)，將不可逾越的數(shù)值稱為極限，因此“挑戰(zhàn)極限”成了當(dāng)今的流行

用語(yǔ)。自從1859年清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811?1882,圖2.1）和英國(guó)傳

教士偉列亞力翻譯《代微積拾級(jí)》時(shí)，將“l(fā)imit”翻譯為“極限”，

用以表示變量的變化趨勢(shì)，極限也就成為了數(shù)學(xué)名詞。

著名數(shù)學(xué)家，在《方圓

闡幽》中較早闡發(fā)了微

積分的初步理論.在《垛

積比類》中，他說(shuō)明了

高階等差數(shù)列的理論，

提出“李善蘭恒等式”

李善蘭

圖2.1清代數(shù)學(xué)家李善蘭

§1數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)

在微積分教科書(shū)中，常常用《莊子?天下篇》中的“一尺之梗，日

去其半，萬(wàn)世不竭”作為極限的例子。這個(gè)“?！钡氖Ｏ虏糠值拈L(zhǎng)度用

數(shù)學(xué)符號(hào)表示，就是以下數(shù)列

1,1/2,…，1/2n,…

當(dāng)時(shí)間（日數(shù)）〃的不斷增加并趨向于無(wú)窮大時(shí)，盡管它剩下部分的

長(zhǎng)度總不會(huì)是零，但會(huì)無(wú)限地接近0,最后的歸宿（極限）就是0。它

非常形象地描述了一個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程。

一般我們把根據(jù)某個(gè)規(guī)則按照自然數(shù)順序排成一列的無(wú)限多個(gè)實(shí)

數(shù)

Xt,x2,,xn,(I)

稱為數(shù)列。其中第〃項(xiàng)X”稱為該數(shù)列的通項(xiàng)。數(shù)歹女1)可以簡(jiǎn)記為｛.｝。

如果數(shù)列的通項(xiàng)X“隨著〃增大而能無(wú)限接近某個(gè)固定常數(shù)。，則稱

這個(gè)數(shù)列｛七｝是收斂的，稱。是數(shù)列的極限，記作叩

的數(shù)列｛《卜其極限是0。我們把有極限的數(shù)

如上面“一尺之趣”

列稱為收斂數(shù)列，沒(méi)有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。

先看幾個(gè)例子，使我們對(duì)數(shù)列極限有更多的感性認(rèn)識(shí)。

例1數(shù)列12一，，通項(xiàng)為七=工，極限

23nn—8H

例2數(shù)列1,-1,1,,通項(xiàng)為4=(-1)"，始終在1與-1

之間振動(dòng)，所以沒(méi)有極限。

mic143福福洛〃+(一1嚴(yán),(-1)"-1+人物利

例32--r-7,,通項(xiàng)為毛=----—=1+----o這個(gè)數(shù)列

234nn

雖然不像例1那樣是單調(diào)減少地逼近極限，但還是有極限的，其極限是

1,盡管數(shù)列的通項(xiàng)不斷在1的兩邊振蕩，一會(huì)兒大，一會(huì)兒小。

例41,2,4,8,，通項(xiàng)為=2"T,當(dāng)〃->8時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)也->oo。

數(shù)列沒(méi)有極限。

為了進(jìn)一步了解數(shù)列極限，作以下討論。

(1)有理數(shù)組成的收斂數(shù)列，極限值可能是有理數(shù)，也可能是無(wú)

理數(shù)。如由有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)列其極限是0。又如無(wú)理數(shù)衣,則

可以看成是其不足近似組成的有理數(shù)列｛1.4,1.41,1.414,

1.4142,…，｝的極限。這個(gè)數(shù)列雖然寫(xiě)不出通項(xiàng)，卻知道它無(wú)限接近

實(shí)數(shù)

同樣，圓周率n也可以是一有理數(shù)數(shù)列的極限。

（2）從上面的例3看到，當(dāng)數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)不必是單調(diào)

增加或單調(diào)減少地逼近極限；另外，數(shù)列的各項(xiàng)也不必一定是后一項(xiàng)總

比前一項(xiàng)更靠近極限值，但是最后的總趨勢(shì)還是趨向極限值。例如數(shù)列

2，1，4,3，，.+（7嚴(yán)，

的極限也是0,但是各項(xiàng)離極限0的距離忽大忽小，第3項(xiàng)1/4離0

近，第4項(xiàng)1/3反而離0遠(yuǎn)些，不過(guò)它的總體趨勢(shì)還是趨向于0。

（3）不要忘記常數(shù)列，常數(shù)列總是有極限的。

例如，常數(shù)列1,1,…，1,…的極限就是1本身。

（4）數(shù)列的極限是唯一的，但是不同的數(shù)列卻可以有相同的極限。

例如，0是下列數(shù)列的極限：

0,0,0,…，0,…

1,1/2,1/22,…，1/2n，…，

-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,1/6,…，

§2數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義

有了極限的感性認(rèn)識(shí)，本節(jié)我們要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)給出極限的嚴(yán)格定

義，看看數(shù)學(xué)是如何將極限的“無(wú)限接近”這種可以意會(huì)，難以言傳的

說(shuō)法精確成數(shù)學(xué)符號(hào)的。

定義1設(shè)｛x“｝是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，。是一個(gè)實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意給定

的正數(shù)￡>0（無(wú)論多么小），都存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，總有

則稱a是數(shù)列｛%｝的極限，記作

limx“=a,或一>a（〃一>0）。

/：-?00

此時(shí)也稱數(shù)列｛X?）是收斂的。

定義是用“如果不管你給多么小的正數(shù)￡，總可以在數(shù)列｛X.｝中找

到一項(xiàng)打，在/后面的任何項(xiàng)與a的距離1%-總是小于e”的數(shù)學(xué)

語(yǔ)言取代了“隨著”的無(wú)限增大，數(shù)列的通項(xiàng)x“就會(huì)無(wú)限接近于這

種的模糊語(yǔ)言。

同時(shí)，定義中用加減乘除、絕對(duì)值，大于小于這樣的“算術(shù)”運(yùn)算

和符號(hào)，將“無(wú)限增大”、“無(wú)限接近”動(dòng)態(tài)的、無(wú)限的極限過(guò)程，靜態(tài)

化和有限化了。有限的詞語(yǔ)揭開(kāi)了''無(wú)限"的面紗，非常精確化，彰顯

了數(shù)學(xué)的魅力。下面通過(guò)具體的例子，表現(xiàn)這種“魅力”。

例1驗(yàn)證數(shù)列｛%｝=｛1+1/〃｝的極限是1。

證我們用上述定義證明如下：任給一個(gè)很小的正數(shù)￡（比如

￡=1/10000）,為了使

|x?-l|=|l+l/n-l|=l/n<f=1/10000

只要把項(xiàng)數(shù)N取為10000,那么當(dāng)〃〉10000時(shí)，上述不等式就成立了。

由于￡是任意給定的，再給小一點(diǎn)，比如￡=1/10000000,那也沒(méi)

有問(wèn)題，只要將N取成10000000,當(dāng)〃>N時(shí)，同樣有不等式

|1+1/〃—1|=1/〃<￡=1/10000000

成立。

因此，你無(wú)論給出多么小的正數(shù)￡,只要取正整數(shù)N＞，（總能取

￡

到?。?dāng)心N時(shí)，一定有不等式

|1+1/〃-1|=1/〃＜1/N＜￡

成立。

這就證明了數(shù)列｛1+1/〃｝的極限是lo

莊子《天下篇》說(shuō)“無(wú)生也有涯，而知也無(wú)涯。以有涯隨無(wú)涯，殆

已”。莊子有些頹廢，人的一生雖然不能窮盡所有知識(shí)，但是人的創(chuàng)造

性思維，卻能跨越無(wú)限，用可以操作的有限來(lái)表達(dá)無(wú)限。極限的這一定

義，是在牛頓-萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分后的200年經(jīng)過(guò)很多數(shù)學(xué)家不斷完

善、總結(jié)得到的，正是其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)化的表示，奠定了微積分發(fā)展的基

礎(chǔ)。

§3數(shù)列極限的性質(zhì)

有了一個(gè)數(shù)學(xué)概念之后，為了對(duì)這個(gè)概念進(jìn)一步的了解，就應(yīng)該來(lái)

討論概念的性質(zhì)。極限也是如此。

性質(zhì)一（唯一性）若數(shù)列｛%“｝收斂，則其極限是唯一的。

這個(gè)性質(zhì)告訴我們，無(wú)論用什么方法，只要方法正確并求出了極限,

結(jié)果是一樣的，不會(huì)因?yàn)榉椒ú煌a(chǎn)生不同的極限。

性質(zhì)二（四則運(yùn)算）如果limx“=a,limy〃=b,則有

八一〃一＞00

1）加減法則±yn）=a±h=limxH±limyn；

〃一＞8〃一＞8n—＞oo

2）乘法法則lim（%“y“）=ab=limxZIlimyn；

〃一＞8n—＞O0〃一＞8

ralim

3）除法法則當(dāng)Z?wO時(shí)，lim==—=￡-。

"-8ynblimyn

n-＞oo

四則運(yùn)算使求極限的方法一下增加了很多。當(dāng)然我們需要掌握一些

基本數(shù)列的極限，并且要注意使用四則運(yùn)算的條件，特別是除法運(yùn)算時(shí)

分母的極限不能為零。

從乘法法則還可以得到：

4)如果Z是常數(shù)，則lim攵％“=

"fee/?—>00

5)]im()一=lim()=a2

w—>00\7w—>00'/

性質(zhì)三(有界性)如果數(shù)列｛玉｝收斂，則｛當(dāng)｝是有界數(shù)列。

這里的有界數(shù)列與第一章出現(xiàn)過(guò)“有界函數(shù)”的概念基本一樣，即：

如果存在一個(gè)正數(shù)使得對(duì)一切正整數(shù)“，都有|五區(qū)則稱數(shù)列

｛七｝是有界數(shù)列。

注1如果數(shù)列｛七｝無(wú)界，它會(huì)有極限嗎？當(dāng)然沒(méi)有，所以這個(gè)性

質(zhì)有時(shí)用來(lái)判斷數(shù)列發(fā)散(沒(méi)有極限)還是有用的。

如數(shù)列｛(-1)"〃｝,是無(wú)界數(shù)列，所以沒(méi)有極限。當(dāng)然也可以用定義

去驗(yàn)證。

注2從數(shù)列｛七｝有界卻不能得出｛%｝收斂，所以性質(zhì)三只是數(shù)列

收斂的必要條件。如數(shù)列｛(-1)"｝有界，但沒(méi)有極限！

性質(zhì)四(保不等式性)設(shè)limx“=a,lim%=。，且對(duì)所有的正整

H—>00>00

數(shù)〃,有Ny??則a2b。

也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)大的數(shù)列，極限也大，這比較容易理解。于是根

據(jù)四則運(yùn)算，又有：如果七20,且limx,=a,則“20。更通俗的說(shuō)

/I—>00

法是，非負(fù)的數(shù)列，其極限也是非負(fù)的。如數(shù)列[l,0,g,0,g,0,1每一

項(xiàng)都是非負(fù)，所以其極限不可能是負(fù)的(實(shí)際上是0)。

性質(zhì)五單調(diào)有界的數(shù)列一定有極限。

所謂數(shù)列｛七｝單調(diào)，是單調(diào)增加和單調(diào)減少的總稱，單調(diào)增加（減

少）是指：數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)大（?。?，即對(duì)一切的正整數(shù)〃，

有怎MW（>xn+]）o

這個(gè)性質(zhì)用圖2.2,更容易理解：數(shù)列｛%,,｝是單調(diào)增加的，一項(xiàng)比

一項(xiàng)大，但又不能超過(guò)M,因此必定有極限aCa<M

—?_----------——I------

oX1x2X3XnaM

圖2.2

性質(zhì)三說(shuō)，有極限的數(shù)列一定是有界的，但是有極限的數(shù)列不一定

是單調(diào)的，所以，單調(diào)有界只是數(shù)列收斂的充分條件，可以用來(lái)證明某

些數(shù)列的收斂性。

例1可以證明數(shù)列（1+：）;是單調(diào)增加且有界的，其極限存在，

（1Y

我們用字母e表示它的極限，即：lim1+-=e°

nJ

這是一個(gè)非常著名的極限，我們?cè)谥袑W(xué)時(shí)期就認(rèn)識(shí)這個(gè)e,是自然

對(duì)數(shù)的底：lnx=log,x?，F(xiàn)在知道了，原來(lái)這個(gè)e不是隨意想出來(lái)的。

以后還會(huì)看到，這個(gè)e實(shí)在是自然界創(chuàng)造的，所以以e為底的對(duì)數(shù)要叫

“自然對(duì)數(shù)”。

例2數(shù)列6揖2+6,,丘+丘++應(yīng)有極限，并求出這個(gè)

〃個(gè)根號(hào)

極限。

解數(shù)歹IJ的通項(xiàng)是“J2+J2+京,明顯有七>0。下面說(shuō)明

”個(gè)根號(hào)

數(shù)列｛七｝是單調(diào)增加，且有界。

對(duì)任意正整數(shù)〃，顯然有

x“+]=｛2+42+++V2>J2+J2++=X”，

"+i個(gè)根號(hào)"個(gè)根號(hào)

所以數(shù)列是單調(diào)增加的。又由于％=0<2,設(shè)z<2,則工

<^2=2,根據(jù)中學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)歸納法，得知，對(duì)一切正整數(shù)〃，有

%<2,同時(shí)又有天〉0,即數(shù)列｛%｝是有界的。依據(jù)性質(zhì)五，數(shù)列｛%｝

有極限，設(shè)limx“=a。下面想方法求出這個(gè)極限。

77—>00

對(duì)七+1=j2+x”兩邊平方，得片+]=2+x“0對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限,

等式依舊成立，并注意｛4+A的極限也是a,即lim.+1=a,因此得

到4=2+a。這是一元二次方程，容易解得a=2或者。=-1。由于

X?>0,故其極限。20（性質(zhì)四），所以limx.=2。

H—>00

例3計(jì)算lim（3+2]。

\?1

解根據(jù)性質(zhì)二，以及l(fā)im-T=0,lim-=21im-=20=0,所以

00n~〃T8〃〃

〃T8

lim=lim—+lim—=0+0=00

n—>ao/I—>00〃n—>ao〃

〃

23"+2

例4計(jì)算lim~-一o

f3"

3"+2"(2"、f’2Y、

解因?yàn)閘im土==lim1+二=lim1+-，又因?yàn)楫?dāng)?shù)缺葦?shù)

"7833)[3J

列>"》的公比|川<1時(shí)，其極限limr"=0,所以lim士=0。

I)〃->00M—>col3)

/

limM2l+limj2]

因此,lim1+=1o

A—>83"n—>00

3J7

例5計(jì)算1加上肝二L

“f82n-+3

解當(dāng)〃-8時(shí)，分子，分母都趨于無(wú)窮大，沒(méi)有極限，所以不能

直接用運(yùn)算法則（性質(zhì)二）。為了求出極限，首先要想辦法使其能符合

性質(zhì)二的條件,為此先用〃2同除分子分母，這樣分子分母就都有極限了，

再用性質(zhì)二，得

22+-―--+

lim2…「6=Hm〃〃2=

〃f°°3〃~+4,4i?J4）

Q3+—lim3+—

n“一入n）

2+lim—lim—）

71->CO〃"TOO〃/十?Un—Vn乙

NE43+0-3

3+lim—

例6求極限lim6（J/I+3/九一1）。

8

解由于是兩項(xiàng)趨于去窮大的乘積，不能直接使用運(yùn)算法則，故用

Jn+3+Yn-l同乘分子分母,以消去無(wú)窮大。

limMd-g)=limG(R-尸X尸+匹2

Vn[n+3-(n-l)]_4y/n

lim

〃一>8dn+3+y]n-lyjn+3+<n-1

§4函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性

微積分是用極限方法研究函數(shù)的性質(zhì)。這一節(jié)討論函數(shù)的極限和連

續(xù)性?？纯匆粋€(gè)數(shù)學(xué)是如何表達(dá)連綿不斷的“連續(xù)性”。

一、函數(shù)極限

函數(shù)極限與數(shù)列極限有相似之處，又有不同，主要是因?yàn)楹瘮?shù)的自

變量是連續(xù)變化的。因此，函數(shù)除了有Xf8時(shí)的極限，還有X趨向于

一個(gè)有限數(shù)與的極限。時(shí)的極限與數(shù)列極限沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，所

以下面我們重點(diǎn)討論XfX。時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題。為了對(duì)這類函數(shù)極限有

一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，先看下面兩個(gè)例子。

例1函數(shù)，(x)=x+l,考察該函數(shù)當(dāng)自變量X趨于1時(shí)，函數(shù)值

的變化趨勢(shì)。我們可以看到，當(dāng)X越來(lái)越接近1時(shí)，函數(shù)/(X)的值就越

來(lái)越接近2(見(jiàn)下表)，而2恰好是/(幻在x=l的函數(shù)值：/(l)=2o

x0.90.950.990.99911.0011.011.051.1

/(x)=x+21.91.951.991.99922.0012.012.052.1

所以，當(dāng)x-1時(shí)，/(x)的極限為2,記為lim(x+l)=2。

r2-1

例2函數(shù)g(x)=」,同樣考察該函數(shù)當(dāng)自變量x趨于1時(shí)的極

x-\

—X2-!

限。這個(gè)函數(shù)與例1中函數(shù)不同之處在于定義域不一樣，即g(x)=

x-1

在X=1處沒(méi)有定義，當(dāng)XW1時(shí)，g(x)=-——-=――1)(*+D=x+1,與

X-1x—\

上例中的函數(shù)/(x)=x+l完全一致。所以當(dāng)X越來(lái)越接近1時(shí)，盡管函

數(shù)g(x)在x=l處沒(méi)有定義，但是并不妨礙其函數(shù)值越來(lái)越接近2,如下

表

X0.90.950.990.99911.0011.011.051.1

g(x)=W1-91-95L"L9"無(wú)定義2.0012.012.052.1

r2_1

因此lim------=lo

Ix-1

函數(shù)/(x)和g(x)的圖形如圖2.3所示。

上面兩個(gè)例子告訴我們，在考察函數(shù)/(幻當(dāng)xr/的極限時(shí)，我們

關(guān)心的是函數(shù)/(幻的變化趨勢(shì)，與/(處在/是否有定義沒(méi)有關(guān)系。

函數(shù)極限的描述性定義如下：

定義1如果當(dāng)自變量尤無(wú)限接近X。時(shí)，函數(shù)/(x)的值無(wú)限接近某

個(gè)確定的常數(shù)4則稱當(dāng)自變量x趨于小時(shí)，函數(shù)/(x)的極限為人記

為

limf(x)-A,或/(x)fA(x—>x0)□

函數(shù)極限也有與數(shù)列極限類似的性質(zhì)，如四則運(yùn)算等。

下面根據(jù)定義1看幾個(gè)例子，加深對(duì)函數(shù)極限的印象。

例3設(shè)函數(shù)/(尤)=sinx,當(dāng)犬分生，sinx-^―,即嗎x=—

42x->—2

4

A

例4設(shè)/(%)=：z?X"<u(),則當(dāng)了〉。并且趨于0時(shí)，

x~x>0

/(x)=攵-?(,當(dāng)x<0并且趨于0時(shí)，/(x)=e“->1。這說(shuō)明當(dāng)x->0

時(shí)，/(幻不能無(wú)限接近某個(gè)確定的常數(shù)，因此當(dāng)X—0時(shí)，函數(shù)/(x)沒(méi)

有極限。

例5對(duì)于暴函數(shù)y=x"(〃是正整數(shù))，有l(wèi)imx"=x；。

函數(shù)極限也有與數(shù)列極限類似的性質(zhì)，如極限的唯一性、四則運(yùn)算

性質(zhì)等。四則運(yùn)算給求函數(shù)極限帶來(lái)很多方便。

例6求函數(shù)/(1)=e*cosx+ln(l+x)當(dāng)x-0時(shí)的極限。

解因?yàn)閘ime，=1,limcosx=l,limln(l+x)=lnl=O,所以根據(jù)極

A—>0xf0x-0

限四則運(yùn)算性質(zhì)，有

lim[e'cosx+ln(l+x)]=11+0=1。

例7重要極限lim皿=1。

這是一個(gè)分式的極限，當(dāng)x-0時(shí)，分子、分母都趨于0,因此不

能用極限的四則運(yùn)算來(lái)求這個(gè)極限(因?yàn)?除以0是沒(méi)有意義的)，但

是我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法(因?yàn)樽C明繁瑣，這里就不作證明)，用計(jì)

算器計(jì)算得到：當(dāng)x越來(lái)越接近0時(shí)，曲的值越來(lái)越接近1(注意這

X

里的X是弧度！)，即lim皿=1

X

有了這個(gè)極限，就可以做一些運(yùn)算了。如

sin2xsin2xsin2xci-

lim=lim22hm-------=24=2

XTOxA-?O2xi。2x

tanx「sinx「sin尤1

lim------=lim---------=lim-------------

10xzOxcOSXa。XCOSX

..sin%.111I

=lim-----lim------=11=1

Xf°XXT°COSX