3.3垂徑定理（解析版）九年級下冊

第第頁3.3垂徑定理分層練習(xí)考查題型一利用垂徑定理求線段長（2023?宜昌）如圖，，，都是的半徑，，交于點．若，，則的長為A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)垂徑定理的推論得，再根據(jù)勾股定理得，即可求出答案．【解答】解：，，在中，，，．故選：．（2023?和縣二模）如圖，點是的弦上一點．若，，的弦心距為3，則的長為A．3 B．4 C． D．【分析】根據(jù)垂徑定理可以得到的長，根據(jù)題意可知，然后根據(jù)勾股定理可以求得的長．【解答】解：作于點，如圖所示，由題意可知：，，，，，，，故選：．（2022秋?齊河縣期末）如圖，的直徑弦于點，連接．若，，則的長為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：連接，，過圓心，，，，，，，，由勾股定理，得，故選：．（2022秋?泗洪縣期末）如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點，則的長等于A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】如圖，連接，由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【解答】解：如圖，連接，由垂徑定理得，，由題意知，由勾股定理得，，，故選：．考查題型二利用垂徑定理求半徑、直徑長（2022秋?金城江區(qū)期末）如圖，線段是的直徑，于點，若長為16，長為4，則半徑是A．5 B．6 C．8 D．10【分析】連接，由垂徑定理可得，設(shè)半徑為，結(jié)合題意可得，在中，由勾股定理可得，然后代入求值即可獲得答案．【解答】解：如下圖，連接，線段是的直徑，于點，，，設(shè)半徑為，即，又，，在中，可有，即，解得，半徑是10．故選：．（2023秋?聊城期中）如圖，，是的兩條平行弦，且，，，之間的距離為5，則的直徑是A． B． C．8 D．10【分析】作于，延長交于，連接，，由垂徑定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作于，延長交于，連接，，設(shè)，，，，，，，，，，，，直徑長是，故選：．（2023秋?福州期中）如圖，已知的弦，半徑于，，則的半徑為．【分析】設(shè)的半徑為，則，先根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)的半徑為，則，，，，在中，，解得，即的半徑為5．故答案為：5．考查題型三弦心距（2022秋?臺山市期末）如圖，的半徑為2，弦，則圓心到弦的距離為A．1 B． C． D．2【分析】過作于，連接，根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：過作于，連接，，過圓心，，，，由勾股定理得：，即圓心到弦的距離為1，故選：．（2022秋?鳳陽縣期末）如圖，在中，于點．若的半徑為10，，則的長為A．4 B．5 C．6 D．8【分析】如圖，連接．利用垂徑定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接．，，，，，故選：．考查題型四最值（2022秋?濟源期末）如圖，的半徑為，弦的長為，是弦上一動點，則線段長的最小值為A．10 B． C．5 D．【分析】過點作于，連接，如圖，根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)垂線段最短求解．【解答】解：過點作于，連接，如圖，，在中，，線段長的最小值為．故選：．（2023秋?淮濱縣期中）如圖，的直徑為10，弦的長為8，點在上運動，則的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)“點到直線的最短距離是垂線段的長度”知當時，的值最?。B接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的長度．【解答】解：當時，的值最小，則，如圖所示，連接，在中，，，則根據(jù)勾股定理知，即的最小值為3，故選：．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，的半徑為4，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最大值為A．13 B．14 C．12 D．28【分析】由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，據(jù)此求解可得．【解答】解：連接，，，點、點關(guān)于原點對稱，，，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長交于點，當點位于位置時，取得最大值，過點作軸于點，則、，，又，，；故選：．考查題型五利用垂徑定理求面積（2023?銅梁區(qū)校級一模）如圖，是的弦，半徑于點，連接并延長，交于點，連接，．若，，則的面積為A．9 B．15 C． D．【分析】根據(jù)垂徑定理，三角形中位線定理以及勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式進行計算即可．【解答】解：是的直徑，，，是的半徑，，，是的中位線，，由于，可設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），即，△，故選：．（2023?肇源縣一模）如圖，的半徑是2，直線與相交于、兩點，、是上的兩個動點，且在直線的異側(cè)，若，則四邊形面積的最大值是A． B．4 C． D．【分析】過點作于，交于、兩點，連接、、、、、，根據(jù)圓周角定理推出為等腰直角三角形，求得，根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．【解答】解：過點作于，交于、兩點，連接、、、、、，如圖，，，為等腰直角三角形，，，當點到的距離最大，的面積最大；當點到的距離最大時，的面積最大，即點運動到點，點運動到點，此時四邊形面積的最大值．故選：．（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，是的弦，半徑于點，連接并延長，交于點，連接，．若，，則的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂徑定理，得出，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)平行線的判定，得出，再根據(jù)中位線的判定，得出為的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，解出得到，根據(jù)即可求解．【解答】解：，，，是的直徑，，，，為的中點，為的中位線，，，在中，，，解得：，，．故選：．考查題型六垂徑定理的應(yīng)用（2023秋?長葛市期中）如圖，圓弧形橋拱的跨度米，拱高米，則拱橋的半徑為A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在所在的直線上，設(shè)圓心是．連接．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在所在的直線上，設(shè)圓心是連接．根據(jù)垂徑定理，得，設(shè)圓的半徑是，根據(jù)勾股定理，得，解得．故選：．（2022秋?郾城區(qū)期末）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面寬度為6米，拱高（弧的中點到水面的距離）為1米，若水面下降1米，則此時水面的寬度為A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】以為圓心，連接、、，根據(jù)三線合一定理可得，，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理即可求出半徑；水面下降為，連接，根據(jù)水面下降1米，可得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，以為圓心，連接、、，由題意可得，為弧的中點，，，，，設(shè)，則，在中，，，，解得：，主橋拱所在圓的半徑；由題意得，水面下降為，連接，水面下降1米，，則，，即水面的寬度為．故選：．（2023?滕州市二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑長為3米．若點為運行軌道的最低點，則點到弦所在直線的距離是A．1米 B．2米 C．米 D．米【分析】連接，交于，由垂徑定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的長即可．【解答】解：連接，交于，由題意得：米，，（米，，（米，米，即點到弦所在直線的距離是米，故選：．（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖所示，在中，為弦，交于點，且．為上任意一點，連接，，若的半徑為，則的最大值為A． B． C． D．【分析】連接，如圖，利用垂徑定理得到，，再根據(jù)可得到，所以，由勾股定理，則．底不變，當高越大時面積越大，即點到距離最大時，的面積最大．則當點為所在優(yōu)弧的中點時，此時，的面積最大，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：連接，如圖，，，，，，．當點為所對的優(yōu)弧的中點時，的面積最大，此時．的面積的最大值為：．故選：．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知為的直徑，于點，于點．若過圓心，．則四邊形的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂徑定理求出，，，求出，求出，求出，解直角三角形求出和，求出、、，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：如圖，連接，為直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，同理，，，，、過，由垂徑定理得：，，