壽險(xiǎn)精算學(xué)課件

緒論1.1壽險(xiǎn)精算學(xué)的起源保險(xiǎn)精算學(xué)起源于17世紀(jì)它是以人的壽命或身體為風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)的，以數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、財(cái)務(wù)、金融等多學(xué)科方法為分析工具，研究人身風(fēng)險(xiǎn)的評估和厘定，并進(jìn)行人身風(fēng)險(xiǎn)管理和財(cái)務(wù)安排的一門學(xué)科。通常認(rèn)為生命表的出現(xiàn)是壽險(xiǎn)精算學(xué)的正式起源。生命表與壽險(xiǎn)的關(guān)系1662年，JoneGraunt1662年，英國的布商、數(shù)學(xué)家JoneGraunt根據(jù)17世紀(jì)初倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡數(shù)據(jù)，寫了《生命表的自然和政治觀察》一書。書中得出了一個(gè)重要的人口統(tǒng)計(jì)規(guī)律：盡管對于每個(gè)個(gè)體而言，會在哪個(gè)年齡，因?yàn)楹畏N原因死亡是完全不可預(yù)測的，但是對于一大群人而言，在沒有傳染性疾病、沒有戰(zhàn)爭等重大的突發(fā)性災(zāi)難發(fā)生的情況下，他們的死亡年齡具有穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。比如，Graunt就測算出在17世紀(jì)倫敦城的居民能活過16歲的概率大概是40%，而能活到76歲的概率只有1%。Graunt生命表是生命表產(chǎn)生的雛形，而他提出的大數(shù)人群死亡年齡具有穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律這一結(jié)論，是壽險(xiǎn)精算學(xué)最重要的理論基礎(chǔ)。生命表與壽險(xiǎn)的關(guān)系1671年，JohandeWitt1671年，荷蘭貴族、政治家、數(shù)學(xué)家JohandeWitt提出了終身生存年金現(xiàn)時(shí)值的計(jì)算方法。他創(chuàng)造性地使用了年齡作為死亡的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重，使用加權(quán)平均數(shù)的方法得到了終身年金現(xiàn)時(shí)值的期望。盡管真實(shí)的死亡概率并不是年齡的線性函數(shù)，使用年齡作為風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重并不精確，但是Witt提出的將賠付現(xiàn)時(shí)值作為一個(gè)隨機(jī)變量引入保險(xiǎn)精算，將賠付現(xiàn)時(shí)值的期望作為未來賠付的估計(jì)值的思想，成為壽險(xiǎn)精算學(xué)最重要的建模思想。生命表與壽險(xiǎn)的關(guān)系1693年，EdmundHalley1693年，英國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)人EdmundHalley發(fā)表了《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計(jì)表對人類死亡程度的估計(jì)》一文。在該文中，Halley第一次使用表格的形式估計(jì)了人類在不同年齡的死亡率，并且示范了用他的生命表替代Witt的年齡風(fēng)險(xiǎn)加權(quán)，對任一年齡的人，如何計(jì)算終身生存年金的保費(fèi)現(xiàn)值。Halley的工作使人們意識到，基于生命表計(jì)算壽險(xiǎn)保費(fèi)不僅是可行的，而且是非常便捷的。Halley生命表對人身保險(xiǎn)的規(guī)模化發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用。所以，現(xiàn)在人們通常把Halley稱為生命表之父。精算的發(fā)展與精算師的由來1762年，JamesDodson成立英國公平人壽保險(xiǎn)公司，提出公平保費(fèi)原理，突破45歲不許投保的慣例，為不同年齡投保人計(jì)算有年齡差別的保費(fèi)。同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)人群人群收支平衡原則成為壽險(xiǎn)精算學(xué)的基本原則之一。精算師的由來EdwardRoweMores提出，壽險(xiǎn)公司里運(yùn)用數(shù)學(xué)工具為產(chǎn)品定價(jià)的首席官員應(yīng)該冠以精算師（Actuary）的頭銜。這標(biāo)志著精算科學(xué)成為一個(gè)專業(yè)學(xué)科，精算工作成為壽險(xiǎn)公司的核心內(nèi)容，精算師成為保險(xiǎn)公司不可或缺的專業(yè)人才。1.2壽險(xiǎn)精算學(xué)的應(yīng)用在壽險(xiǎn)公司內(nèi)部的應(yīng)用（精算控制循環(huán)）產(chǎn)品設(shè)計(jì)利潤分析風(fēng)險(xiǎn)分析定價(jià)負(fù)債評估資產(chǎn)評估資產(chǎn)負(fù)債管理償付能力評價(jià)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)step1：風(fēng)險(xiǎn)分析精算工作是一個(gè)循環(huán)的過程,沒有明顯的起點(diǎn)和終點(diǎn)。對一個(gè)新產(chǎn)品來說,過去的經(jīng)驗(yàn)分析是開發(fā)新產(chǎn)品的基礎(chǔ)。從風(fēng)險(xiǎn)分析開始,通過對保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、費(fèi)用風(fēng)險(xiǎn),退保風(fēng)險(xiǎn)，以及因宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測、金融環(huán)境變化、錯(cuò)誤定價(jià)、法律訴訟、稅法變動等引起的其他風(fēng)險(xiǎn)的分析,建立產(chǎn)品設(shè)計(jì)的背景。具體而言，保險(xiǎn)公司的精算人員需要在數(shù)據(jù)共享和經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上,對本公司的死亡率、預(yù)定利率、費(fèi)用分布、退保率、預(yù)算狀況及投保人數(shù)量級保額分布重要參數(shù)歸納特點(diǎn),為市場銷售決策和定價(jià)決策提供依據(jù)。step2：產(chǎn)品設(shè)計(jì)在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段,通過研究公司的產(chǎn)品策略、目標(biāo)市場定位、競爭對手的情況等,研究和開發(fā)有利于社會風(fēng)險(xiǎn)控制，并受市場歡迎的產(chǎn)品。為了便于被保險(xiǎn)人更準(zhǔn)確地理解保險(xiǎn)產(chǎn)品的真正意義,保險(xiǎn)公司的精算人員需要用他們的專業(yè)知識配合產(chǎn)品銷售部門做一些價(jià)值演示和保全作業(yè)服務(wù)。比如在產(chǎn)品說明書或保單上展示適當(dāng)?shù)谋维F(xiàn)金價(jià)值,作出紅利示意等,以及為保單額變更所作的處理。step3：定價(jià)在產(chǎn)品定價(jià)過程中,精算師需要綜合參考行業(yè)規(guī)則和公司的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置合理的利潤目標(biāo),作出定價(jià)策略,計(jì)算產(chǎn)品價(jià)格。還需要根據(jù)經(jīng)營目標(biāo)和公司經(jīng)營特點(diǎn)、市場特點(diǎn)進(jìn)行每個(gè)產(chǎn)品銷售的可行性分析,并以此為依據(jù)作整體的成本和利潤測算。step4：負(fù)債評估在負(fù)債評估階段,精算師需要定期評估產(chǎn)品的準(zhǔn)備金和公司的各項(xiàng)負(fù)債水平，以實(shí)現(xiàn)對保險(xiǎn)公司償付能力的有效管理。在這個(gè)階段，精算師的工作非常繁重。他們需要計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金并作精算報(bào)告。精算人員需要比較和分析各種準(zhǔn)備金計(jì)算方法,針對各類產(chǎn)品,選擇最適合該類產(chǎn)品特性和公司目標(biāo)或有關(guān)政策規(guī)定的方法。在合法的前提下,分析評估假設(shè)變化對公司現(xiàn)狀和未來的影響,并對各類準(zhǔn)備金計(jì)算及其結(jié)果提供相應(yīng)精算報(bào)告。他們還需要參與財(cái)務(wù)報(bào)表的制作,主要是為不同的財(cái)務(wù)報(bào)表準(zhǔn)備適合的責(zé)任準(zhǔn)備金,這其中涉及的準(zhǔn)備金包括長期壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金、未決賠款準(zhǔn)備金、已發(fā)生未賠款、已發(fā)生未報(bào)告準(zhǔn)備金及各類風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金等。step5：資產(chǎn)評估在資產(chǎn)評估階段，精算師需要參與投資結(jié)構(gòu)及其策略的研討和制定。保險(xiǎn)公司的精算人員需要根據(jù)負(fù)債管理的時(shí)間結(jié)構(gòu)與到期賠付金額,以及對外來風(fēng)險(xiǎn)分析與預(yù)測，為投資決策提供參考數(shù)據(jù)和意見。step6：資產(chǎn)負(fù)債管理在資產(chǎn)負(fù)債管理階段，精算師需要進(jìn)行現(xiàn)金流分析和資產(chǎn)負(fù)債管理。保險(xiǎn)公司的精算人員需要參與對不同條件下的現(xiàn)金流分析，要評估不同的現(xiàn)金流水平對公司財(cái)務(wù)的影響,并就資產(chǎn)構(gòu)成及其與負(fù)債的匹配進(jìn)行分析,最好能找到一個(gè)較佳的產(chǎn)品和策略組合以能應(yīng)付較多風(fēng)險(xiǎn)。step7：償付能力評估在償付能力評價(jià)階段，精算師需要綜合負(fù)債評估工作和資產(chǎn)評估工作的結(jié)果，對本公司的償付能力從多個(gè)方面進(jìn)行綜合監(jiān)控，尋找風(fēng)險(xiǎn)隱患，對潛在風(fēng)險(xiǎn)提出警告，對薄弱環(huán)節(jié)提出整改意見，始終維護(hù)公司保持可靠的償付能力。step8：利潤分析在利潤分析階段，精算師需要進(jìn)行利潤來源分析和利潤分配準(zhǔn)備，計(jì)算并分配每單產(chǎn)品的保單紅利。step9：監(jiān)測和分析經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過監(jiān)測和分析過去積累的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),分析公司的利潤水平,并對利潤分配方案提供意見。在此基礎(chǔ)上開始下一輪的新產(chǎn)品設(shè)計(jì)，這又成為下一個(gè)循環(huán)控制的起點(diǎn)。假如將保險(xiǎn)公司比喻成一架龐大的機(jī)器，那么精算工作就是這個(gè)機(jī)器的發(fā)動起，通過精算控制循環(huán)系統(tǒng)，維持整個(gè)機(jī)器的正常運(yùn)作。1.2壽險(xiǎn)精算學(xué)的應(yīng)用在壽險(xiǎn)公司外部的應(yīng)用社會保障領(lǐng)域：研究退休、醫(yī)療、失業(yè)、工傷、生育等社會保障成本與債務(wù)的分配方案和社會保障基金的投資方案等。精算科學(xué)的引入，有利于社會保障事業(yè)的平穩(wěn)運(yùn)作和保障基金的安全。所有與風(fēng)險(xiǎn)評估，控制相關(guān)領(lǐng)域：商業(yè)銀行、金融中介、投資機(jī)構(gòu)、政府咨詢與監(jiān)管以及其他與風(fēng)險(xiǎn)評估、控制相關(guān)的領(lǐng)域。1.3本書結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)知識chap1-chap2單生命單損因場合下的精算模型chap3-chap6多狀態(tài)模型chap7-chap9實(shí)務(wù)知識chap10

壽命函數(shù)與生命表理論2.1壽命年齡（age）：極限壽命（limitingage）:壽命（lifetime）:壽命分布（lifetimedistribution）壽命的分布函數(shù)壽命的分布函數(shù)定義意義：初生嬰兒活不過x歲的概率分布函數(shù)三定理：壽命的分布生存函數(shù)壽命的生存函數(shù)定義意義：初生嬰兒活過x歲的概率生存函數(shù)三定理：人類壽命生存函數(shù)曲線圖示生存函數(shù)三引理例2.1假設(shè)某人群的生存函數(shù)為求：（1）一個(gè)剛出生的嬰兒活不到50歲的概率；（2）一個(gè)剛出生的嬰兒壽命超過80歲的概率；（3）一個(gè)剛出生的嬰兒會在60～70歲之間死亡的概率；（4）一個(gè)活到30歲的人活不到60歲的概率。

解2.1壽命的密度函數(shù)密度函數(shù)的定義意義：初生嬰兒將在x歲發(fā)生死亡事件的概率密度函數(shù)的三個(gè)屬性例2.2已知求解2.22.2剩余壽命定義：已經(jīng)活到x歲的人簡記(x)，(x)還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命（Time-until-death），記作剩余壽命與壽命變量圖示剩余壽命的分布函數(shù)剩余壽命的分布函數(shù)概率意義：已經(jīng)活到x歲的人活不過x+t歲的概率。剩余壽命分布函數(shù)特別符號剩余壽命的生存函數(shù)剩余壽命的生存函數(shù)意義：一個(gè)x歲的人還能繼續(xù)活到x+t歲的概率。剩余壽命生產(chǎn)函數(shù)特別符號生存函數(shù)與剩余壽命生存函數(shù)的對比圖示例2.3設(shè)某人群的生存函數(shù)為求：（1）19歲的人至少能活到45歲的概率（2）36歲的人能活過51歲但活不過64歲的概率解2.3剩余壽命的期望與方差期望剩余壽命：剩余壽命的期望值簡記為剩余壽命的方差例2.4已知計(jì)算(50)剩余壽命的期望和方差。解2.4對于這種生存函數(shù)更普遍的表達(dá)式為:可以算出解2.4解2.4例2.4解2.4本例中所以2.3整值剩余壽命定義：未來存活的完整年數(shù)，稱為整值剩余壽命（curtateexpectationoflife），簡記概率函數(shù)整值剩余壽命

Curtate-future-lifetime剩余壽命與整值剩余壽命的比較圖示

整值剩余壽命的期望與方差期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記整值剩余壽命的方差2.4死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率(Forceofmortality)，簡記為人類的死亡效力曲線圖示人類死亡效力的規(guī)律人類的死亡效力曲線類似于一個(gè)兩頭高、中間低的盆狀結(jié)構(gòu)，被稱為“浴盆曲線”。人類的“浴盆曲線”意味著：剛出生的嬰兒是脆弱的，死亡效力非常高。這是因?yàn)楦鞣N先天性的不足都會在這個(gè)時(shí)期暴露。經(jīng)過淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐漸下降。青壯年時(shí)期是人類死亡效力最低的時(shí)期。在這段時(shí)間里，身體各部位都屬于良好運(yùn)作階段，身體屬于“偶然失效期”。中老年時(shí)期屬于人類的加速死亡時(shí)期。在這段時(shí)間里，身體各器官逐漸老化，開始罹患各種疾病。在可靠性理論中，稱這段時(shí)期為加速失效期。死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系

例2.5假設(shè)計(jì)算解2.5例2.6如果40歲以前死亡效力恒定為0.04,40歲之后死亡效力提高到0.06，求25歲的人在未來25年內(nèi)的期望存活時(shí)間。解2.6死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系用死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)例2.7假設(shè)求死亡效力函數(shù)的表達(dá)式。解2.72.5有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型deMoivre模型Gompertz模型有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型Makeham模型Weibull模型對參數(shù)模型的評價(jià)使用非常簡單的數(shù)學(xué)解析式描繪壽命變量的分別，具有使用簡單、便利的優(yōu)勢但是人的壽命分布太復(fù)雜，有一個(gè)或幾個(gè)簡單參數(shù)構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型不能精確擬合壽命分布的規(guī)律。參數(shù)模型對壽命分布的擬合精度次于生命表。壽險(xiǎn)精算中使用非參數(shù)方法構(gòu)造的生命表擬合人類壽命的分布，但是在分?jǐn)?shù)年齡或者接近極限年齡等無法使用生命表的場合，使用參數(shù)模型擬合。2.6生命表生命表的起源：哈雷生命表生命表的力量基礎(chǔ)：大數(shù)定律生命表的構(gòu)造生命表示例（1979-1981年美國全體人口的生命表節(jié)選）年齡區(qū)間死亡率期初生存人數(shù)期間死亡人數(shù)在年齡區(qū)間存活總年數(shù)剩余壽命總和期初存活者平均剩余壽命天0~10.00463100000463273738775873.881~70.00246995372451635738748574.227~280.00139992921385708738585074.38年0~10.0126010000126098973738775873.881~20.00093987409298694728878573.822~30.00065986486498617719009172.89例2.8已知生命表數(shù)據(jù)如下表所示假設(shè)死亡在年內(nèi)均勻發(fā)生，請構(gòu)造完整生命表。707171737410008004001000解2.8年齡區(qū)間期初生存人數(shù)期間死亡人數(shù)死亡率在年齡區(qū)間存活總年數(shù)剩余壽命總和剩余壽命7010002000.2090018001.800718004000.506009001.125724003000.752503000.750731001001.0050500.500例2.9請用表達(dá)如下概率：（1）在30歲這一年死亡的概率（2）40歲的參保人在55~85歲之間死亡的概率解2.9例2.10已知生命表如下表所示，計(jì)算：年齡區(qū)間x期初生存人數(shù)期間死亡人數(shù)301000034.78319963.2238.10329927.1241.76339885.3545.81349839.5550.26359789.2955.17369734.1260.56379673.5666.49389607.0772.99399534.0880.11解2.102.7選擇-終極生命表定義選擇-終極生命表（selectandultimatetable）是一種特殊結(jié)構(gòu)的生命表。它在常規(guī)生命表基礎(chǔ)上設(shè)定了一個(gè)選擇期。在選擇期內(nèi)使用死亡率相對較小的選擇生命表，等選擇期過了之后，又回復(fù)到常規(guī)生命表，即終極生命表狀態(tài)。意義之所以需要構(gòu)造選擇生命表，是因?yàn)楹芏嚯U(xiǎn)種要求投保人滿足一定的健康要求，只有體檢合格的人才能進(jìn)入保障計(jì)劃。體檢就猶如一個(gè)選擇門檻，使得新入保的人群平均健康狀況優(yōu)于普通人群。為了公平地厘定風(fēng)險(xiǎn)，需要為這些新參保人員構(gòu)造死亡率略低的選擇生命表。但這種選擇效用不會永遠(yuǎn)持續(xù)，幾年之后，新參保人員的健康狀況就會與普通人群幾乎沒有差別了。選擇期過后，所有被保險(xiǎn)人就使用統(tǒng)一的終極生命表。5年選擇期的選擇-終極生命表示例選擇表終極表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.102472例2.11假定有兩位老人今年都是65歲。甲老人是今年剛剛體檢合格購買的A保險(xiǎn)，乙老人是10年前購買的A保險(xiǎn)，至今仍在保障范圍內(nèi)。使用上表中的選擇-終極生命表估計(jì)兩位老人分別能活到73歲的概率。甲老人的生命概率選擇表終極表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.102472乙老人的生命概率選擇表終極表600.01750.02490.03130.03880.04740.054565610.01910.02720.03420.04240.05180.059666620.02090.02970.03740.04630.05660.065267630.02280.03240.04090.05070.06200.071468640.02490.03540.04470.05540.06780.078169650.02730.03870.04890.06070.07420.085570660.02980.04240.05350.06640.08120.093671670.03260.04640.05860.07270.08890.1024722.8有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)使用背景生命表提供了整數(shù)年齡的壽命分布，但是死亡事件的發(fā)生是隨機(jī)的，在兩個(gè)整數(shù)年齡中間的任一時(shí)刻的死亡概率生命表無法準(zhǔn)確給出。我們需要建立一種函數(shù)關(guān)系，通過整數(shù)年的生存狀況，估計(jì)出任意分?jǐn)?shù)時(shí)期的生存或死亡的概率。這時(shí)使用的方法是插值法均勻死亡假定假定在分?jǐn)?shù)期內(nèi)死亡均勻發(fā)生，記作UDD假定（uniforemdistributionofdeath）該假定意味著在分?jǐn)?shù)期內(nèi)采用線性插值分?jǐn)?shù)期死亡均勻分布的生存函數(shù)圖示分?jǐn)?shù)期相關(guān)概率死亡概率存活概率死亡效力密度函數(shù)例2.12已知在分?jǐn)?shù)期均勻死亡假定下，計(jì)算如下函數(shù)值：解2.12常數(shù)死亡效力假定假定死亡效力在分?jǐn)?shù)期為常數(shù)的假定為常數(shù)死亡率假定(constantforceofmortality)，簡記為CFM假定。該假定意味著在分?jǐn)?shù)期內(nèi)采用幾何插值方法分?jǐn)?shù)期死亡效力為常數(shù)的生存函數(shù)圖示分?jǐn)?shù)期相關(guān)概率死亡概率存活概率死亡效力密度函數(shù)例2.13已知在分?jǐn)?shù)期常數(shù)死亡效力假定下，計(jì)算如下函數(shù)值：解2.13

人壽保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)的厘定3.1人壽保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)的厘定原則凈保費(fèi)（netpremium）凈保費(fèi)是指只覆蓋保障風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)用，不包含經(jīng)營管理費(fèi)用和附加利潤。躉繳凈保費(fèi)(netsinglepremium)躉繳是一種繳費(fèi)形式，是指將所有的費(fèi)用一次性繳清。躉繳凈保費(fèi)是指在保單生效日，被保險(xiǎn)人一次性繳付的、恰好覆蓋保險(xiǎn)人將來賠付風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)用。凈均衡原則所謂凈均衡原理是指保險(xiǎn)人收取的凈保費(fèi)應(yīng)該恰好等于未來支出的保險(xiǎn)賠付金。這是保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營過程中遵循的一條基本原則，各種類型的保險(xiǎn)產(chǎn)品，無論采用何種繳費(fèi)方式，在厘定凈保費(fèi)時(shí)都應(yīng)遵循這條基本原則。凈均衡原則的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡原則。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值。凈保費(fèi)厘定的基本假定三個(gè)基本假定條件:同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。保險(xiǎn)公司可以預(yù)測將來的最低平穩(wěn)收益（即預(yù)定利率）。假定的意義這三條假定是將單個(gè)被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)事故轉(zhuǎn)化為一個(gè)同質(zhì)總體的風(fēng)險(xiǎn)事故加以考慮。對于單個(gè)被保險(xiǎn)人而言，他何時(shí)發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)事故，他和保險(xiǎn)人約定的受益金額等于多少都是無法預(yù)測的，但是對于一個(gè)大數(shù)總體而言，剩余壽命的分布是有穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，可以用生命表很好地測度。再考慮利息因素的影響，使用適當(dāng)?shù)木隳Ｐ?，就可以測算出未來賠付的精算現(xiàn)時(shí)值。建模思想折算到保單簽訂日得到期望賠付值要有一條共同的線索將這些因素綜合在一起考慮賠付事件發(fā)生概率錢的時(shí)間價(jià)值賠付額等于多少什么時(shí)候發(fā)生賠付基本符號——投保年齡。

——人的極限年齡

——保險(xiǎn)金給付函數(shù)。

——貼現(xiàn)函數(shù)。

——保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值躉繳凈保費(fèi)的厘定方法設(shè)T為某一群同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命變量，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)事故會在未來某個(gè)t時(shí)刻發(fā)生，賠付金額（或稱被保險(xiǎn)人的收益金額）為。t時(shí)刻貼現(xiàn)函數(shù)為，該賠付金額貼現(xiàn)到保單簽約時(shí)刻的賠付現(xiàn)值函數(shù)記作

凈保費(fèi)的厘定方程未來賠付現(xiàn)時(shí)值躉繳凈保費(fèi)等于未來賠付現(xiàn)時(shí)值的期望3.2死亡即刻賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付（payableatthemomentofdeath）是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。這是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量。所以死亡即刻賠付躉繳凈保費(fèi)也稱為連續(xù)型躉繳凈保費(fèi)。終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在投保后任意時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為終身死亡保險(xiǎn)。假定歲的人，投保保額1元的終身壽險(xiǎn)，按不變利率復(fù)利計(jì)息基本函數(shù)關(guān)系Z(t)函數(shù)圖例3.1(x)購買終身壽險(xiǎn)，死亡即刻給付1。假設(shè)恒定利息力為，壽命服從的deMorvre分布，繳納的保費(fèi)為P元。求繳納的保費(fèi)大于賠付現(xiàn)值的概率。解3.1終身壽險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳凈保費(fèi)厘定終身壽險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳凈保費(fèi)就等于該險(xiǎn)種賠付現(xiàn)值變量的期望，簡記為現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求終身壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為例3.2設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，死亡即刻賠付1。假設(shè)簽訂保單時(shí)，(x)的剩余壽命服從常數(shù)死亡效力分布，，利息力，計(jì)算解3.2解3.2解3.2n

年定期壽險(xiǎn)定義n年定期壽險(xiǎn)（terminsurance）是指保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)。假定：歲的人，保額為1元，n年定期壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系死亡即刻賠付定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：賠付現(xiàn)值變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年定期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為例3.3設(shè)，實(shí)質(zhì)利率（30）購買10年期定期壽險(xiǎn)，現(xiàn)值函數(shù)為計(jì)算解3.3n

年定期生存險(xiǎn)定義n年定期生存險(xiǎn)（pureendowmentinsurance）是指被保險(xiǎn)人在投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第n年年末支付生存賠付金的險(xiǎn)種。假定：歲的人，保額為1元，n年定期生存險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系n年定期生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：賠付現(xiàn)值變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年定期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為例3.4設(shè)，實(shí)質(zhì)利率（30）購買10年期定期生存險(xiǎn)，現(xiàn)值函數(shù)為計(jì)算解3.4n

年定期兩全險(xiǎn)定義n年定期兩全險(xiǎn)（endowmentinsurance）是指被保險(xiǎn)人投保后，如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。等價(jià)于N年生存保險(xiǎn)加上N年定期壽險(xiǎn)的組合。假定：歲的人，保額為1元，n年定期兩全險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系n年定期兩全險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：賠付現(xiàn)值變量的方差方差公式1方差公式2記定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值函數(shù)為，定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值函數(shù)為定期兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值函數(shù)為例3.5（40）投保20年兩全保險(xiǎn)。死亡即刻賠付5萬元，期滿生存賠付1萬元。設(shè)死亡由所描述。利息力。現(xiàn)值函數(shù)為計(jì)算該險(xiǎn)種躉繳凈保費(fèi)和賠付現(xiàn)值的方差。解3.5解3.5延期m年的終身壽險(xiǎn)定義延期m年的終身壽險(xiǎn)（deferredinsurance）是指保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。假定歲的人，投保保額1元的m年延期終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系死亡即刻賠付延期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定符號：厘定：賠付現(xiàn)值變量的方差方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年定期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為例3.6(x)投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額為1，保險(xiǎn)金在死亡即刻給付。已知：表示賠付現(xiàn)值函數(shù)，求解3.6解3.6延期m年的n年定期保險(xiǎn)三種類型的延期m年的n年定期保險(xiǎn)保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在x+m~x+m+n歲期間發(fā)生的約定死亡事故給予死亡賠付的險(xiǎn)種，稱為延期m年的n年定期壽險(xiǎn)保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在x+m+n歲末的存活事件給予生存賠付的險(xiǎn)種，稱為延期m年的n年定期生存險(xiǎn)上面兩種延期m年的n年定期保險(xiǎn)的組合，稱為延期m年的n年兩全保險(xiǎn)躉繳保費(fèi)的厘定m年延期n年定期壽險(xiǎn)m年延期n年定期生存險(xiǎn)m年延期n年兩全保險(xiǎn)賠付現(xiàn)值變量的方差m年延期n年定期壽險(xiǎn)m年延期n年定期生存險(xiǎn)m年延期n年兩全保險(xiǎn)例3.7已知計(jì)算解3.7遞增壽險(xiǎn)定義所謂遞增壽險(xiǎn)（increasinglifeinsurance）是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況，這是受益金額為剩余壽命的遞增函數(shù)。遞增壽險(xiǎn)分類受益金一年遞增一次受益金一年遞增m次受益金年內(nèi)連續(xù)遞增一年遞增一次終身壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定一年遞增m次終身壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定年內(nèi)連續(xù)遞增終身壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定例3.8(x)投保終身連續(xù)遞增保險(xiǎn)，死亡即刻給付。已知求解3.8n年遞減定期壽險(xiǎn)定義遞減定期壽險(xiǎn)(decreasingtermlifeinsurance)也是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況，這時(shí)受益金額為剩余壽命的遞減函數(shù)。遞減定期壽險(xiǎn)分類一年遞減一次一年遞減m次年內(nèi)連續(xù)遞減一年遞減一次定期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定一年遞減m次定期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定年內(nèi)連續(xù)遞減定期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)厘定例3.9假設(shè)(x)購買死亡即刻賠付1的定期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)情況如下表所示假定此人要購買5年定期遞減壽險(xiǎn)恒定利息力和死亡力問：該遞減壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)等于多少？例3.9表10.0220.0530.0940.1550.24解3.93.3死亡年末賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，死亡賠付都是采用了死亡即刻賠付的方式。但為了與連續(xù)型賠付相對應(yīng)，需要獲得連續(xù)型的剩余壽命概率密度函數(shù)。而到目前為止，還沒有哪個(gè)連續(xù)型參數(shù)分布能很好地?cái)M合人的壽命規(guī)律。在壽險(xiǎn)精算中，通常都是使用生命表衡量剩余壽命的分布規(guī)律，為了克服生命表是離散型的困難，精算人員創(chuàng)造了一種離散型賠付方式——死亡年末賠付（payableattheendoftheyearofdeath）.所謂死亡年末賠付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。在精算實(shí)務(wù)中，精算人員通常都是先計(jì)算死亡年末賠付場合躉繳凈保費(fèi)的數(shù)值，再尋找離散賠付與連續(xù)賠付之間的函數(shù)關(guān)系。通過死亡年末賠付躉繳純保費(fèi)推導(dǎo)出死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的數(shù)值。n年定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定定義n年定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付是指保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金，且保險(xiǎn)金是在死亡事件發(fā)生年的年末支付的險(xiǎn)種。

n年定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定定義n年定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付是指保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金，且保險(xiǎn)金是在死亡事件發(fā)生年的年末支付的險(xiǎn)種。假定：歲的人，保額為1元，n年定期壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系躉繳凈保費(fèi)的厘定符號：厘定賠付現(xiàn)值變量的方差例3.10(x)投保3年定期壽險(xiǎn)，已知死亡年末給付，各年賠付額如下表所示假設(shè)z是賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算E(z)。012200000300000400000解3.10020000010.035853.6613000000.970.0616618.6824000000.91180.0930481.09其他主要險(xiǎn)種死亡年末賠付躉繳凈保費(fèi)厘定險(xiǎn)種躉繳凈保費(fèi)終身壽險(xiǎn)延期m年終身壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)延期m年n年兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)（一年遞增一次）遞減n年定期壽險(xiǎn)（一年遞減一次）例3.1190歲的人生存情況如下表（=0.06）。求（1）死亡年末給付1000元的躉繳浄保費(fèi)（2）為保證有95％的把握覆蓋真實(shí)賠付，所收保費(fèi)等于躉繳凈保費(fèi)加上風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi)用R，求R＝？x9091929310072390283339--解3.11例3.11例3.113.4死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系

死亡年末給付與死亡即刻給付的關(guān)系以終身壽險(xiǎn)為例離散模型連續(xù)模型其中連續(xù)－離散死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(分?jǐn)?shù)時(shí)期均勻分布假定)例3.12在分?jǐn)?shù)期死亡服從均勻分布的假設(shè)下，試證明以下各等式：解3.12解3.12例3.12例3.13假設(shè)死亡在分?jǐn)?shù)期服從均勻分布，且已知計(jì)算解3.13兩全險(xiǎn)場合死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系n年定期兩全險(xiǎn)可以視為n年定期死亡險(xiǎn)和n年定期生存險(xiǎn)組合，所以兩全險(xiǎn)場合死亡即刻賠付與死亡年末賠付具有如下關(guān)系例3.14假設(shè)死亡在分?jǐn)?shù)期服從均勻分布，且已知計(jì)算解3.143.5遞歸方程遞歸方程一理解繳納的躉繳凈保費(fèi)，恰好等于一年后面臨的風(fēng)險(xiǎn)期望：如果在第一年死亡，覆蓋死亡賠付現(xiàn)時(shí)值如果在第一年末存活，覆蓋未來死亡賠付風(fēng)險(xiǎn)的凈躉繳保費(fèi)現(xiàn)時(shí)值

例3.15已知求解3.15遞歸方程二解釋：

個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末的本利和可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi)，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外補(bǔ)貼，以保證他們的死亡給付金為1元。

遞歸方程三解釋：不同時(shí)期的躉繳凈保費(fèi)之差，等于這段時(shí)間內(nèi)躉繳凈保費(fèi)的利息收入與這段時(shí)間保險(xiǎn)成本支出之差。

遞歸方程四解釋(y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險(xiǎn)成本的現(xiàn)時(shí)值之和。

例3.16（41）的人投保死亡年末賠付1的終身壽險(xiǎn)，為賠付現(xiàn)值變量，已知,，并有以下兩個(gè)等式成立：求例3.16生存年金生存年金的定義定義所謂生存年金（lifeannuity）是以被保險(xiǎn)人存活為條件，間隔相等的時(shí)期（年、半年、季或月）支付一次保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)類型。生存年金通常出現(xiàn)在生存保險(xiǎn)場合比如乙向保險(xiǎn)公司購買10萬元養(yǎng)老保險(xiǎn)，要求保險(xiǎn)公司在其60~70歲這10年內(nèi)每月支付生存給付金。這時(shí)保險(xiǎn)公司的付款以被保險(xiǎn)人的存活為給付條件。如果乙在這10年內(nèi)一直生存，那么保險(xiǎn)公司將支付120次生存給付，如果乙只獲得了10次給付就死亡了，那么剩下的110次給付保險(xiǎn)公司也不再支付了。這時(shí)保險(xiǎn)公司的系列付款就構(gòu)成了生存年金。生存年金和確定性年金的區(qū)別生存年金支付期數(shù)是不確定的，它以被保險(xiǎn)人生存為給付條件，被保險(xiǎn)人一旦死亡，給付就終止年金確定性年金支付期數(shù)是確定的，無論中間發(fā)生什么事情，支付時(shí)期都不可發(fā)生更改生存年金的分類與應(yīng)用分類連續(xù)年金/離散年金定期年金/終身年金非延期年金/延期年金年金在保險(xiǎn)中的重要性它是一種常見的保險(xiǎn)金支付方式廣泛應(yīng)用在養(yǎng)老保險(xiǎn)、殘疾保險(xiǎn)、撫恤保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等場合。生存年金也是一種常見的保費(fèi)繳納方式。被保險(xiǎn)人除了可以采用保險(xiǎn)合同簽訂時(shí)一次性繳納所有保費(fèi)的躉繳方式之外，還可以采用分期繳納的方式繳納保費(fèi)，保費(fèi)繳納以被保險(xiǎn)人在保費(fèi)繳納期間是否生存為繳納條件，這時(shí)保費(fèi)繳納方式就是一種生存年金方式。本章結(jié)構(gòu)生存年金簡介1.

連續(xù)生存年金2.

3.

一年給付H次生存年金4.

離散生存年金連續(xù)生存年金的定義連續(xù)生存年金定義在被保險(xiǎn)人存活的條件下，保險(xiǎn)人向其每年連續(xù)支付年金的保險(xiǎn)種類連續(xù)生存年金的種類終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)方法綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧方法一：綜合支付技巧（終身生存）步驟1步驟2步驟3計(jì)算到死亡發(fā)生時(shí)間T為止的所有已支付的確定性年金的現(xiàn)值以死亡事件發(fā)生為考慮線索考慮這個(gè)生存賠付發(fā)生的概率，計(jì)算這個(gè)確定性年金現(xiàn)值的期望值相關(guān)公式及理解方法二：當(dāng)期支付技巧（終身生存）步驟1步驟2步驟3計(jì)算當(dāng)期生存給付的現(xiàn)值以生存給付事件發(fā)生為考慮線索考慮該次生存賠付發(fā)生的概率，計(jì)算該年金現(xiàn)值的期望值例4.1假定壽命服從[0，110]上的均勻分布，且計(jì)算（30）所購買的連續(xù)生存年金的精算現(xiàn)值。例4.1解方法一：綜合支付技巧方法二：當(dāng)期支付技巧方法三：利用壽險(xiǎn)與年金的關(guān)系連續(xù)給付終身生存年金現(xiàn)值變量方差的估計(jì)方法一：壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值表達(dá)形式例4.2在死亡力為常數(shù)0.04，利息力為常數(shù)0.06的假定下，求（1）（2）的標(biāo)準(zhǔn)差（3）超過的概率。例4.2解例4.2解年金精算現(xiàn)值變量方差的計(jì)算方法二：用年金精算現(xiàn)值表達(dá)方差公式證明例4.3已知，，，求例4.3解方法一：方法二：例4.4某一終身年金產(chǎn)品，每年連續(xù)給付生存年金1000元?，F(xiàn)在在原來年金給付的基礎(chǔ)上，增加死亡即刻給付。假定利息力為5%，求：（1）當(dāng)死亡賠付定為多少時(shí)，該產(chǎn)品賠付現(xiàn)值的方差最小？（2）當(dāng)方差最小時(shí)，該產(chǎn)品的躉繳保費(fèi)等于多少？例4.4解例4.4解定期連續(xù)生存年金定義定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)當(dāng)期支付技巧綜合支付技巧相關(guān)公式及理解例4.5已知：求例4.5解連續(xù)給付延期生存年金定義:種類延期M年終身連續(xù)生存年金延期M年終身定期生存年金適用領(lǐng)域養(yǎng)老金延期生存年金的計(jì)算方法一：綜合支付技巧方法二：當(dāng)期支付技巧例4.6在死亡力為0.04，利息力為0.06的場合，計(jì)算：例4.6解證明設(shè)一現(xiàn)值變量為證明例4.5答案例4.7已知：求：例4.7解延期M年N年定期生存年金定義：計(jì)算：本章結(jié)構(gòu)生存年金簡介1.

連續(xù)生存年金2.

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一年給付H次生存年金4.

離散生存年金離散生存年金簡介離散生存年金定義所謂離散生存年金是指在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人生存為條件，每隔一段時(shí)間支付一次年金的保險(xiǎn)。離散生存年金與連續(xù)生存年金的關(guān)系理論基礎(chǔ)完全相同連續(xù)-積分，離散-求和離散場合要考慮年金期初支付還是期末支付的問題與生存相關(guān)聯(lián)的一次性給付n年定期生存稱為生存貼現(xiàn)因子，它具有如下性質(zhì)延期壽險(xiǎn)還可以表現(xiàn)為期初支付終身生存年金的概念期初支付終身生存年金的計(jì)算123當(dāng)期支付技巧綜合支付技巧函數(shù)變換關(guān)系期初支付定期生存年金當(dāng)期支付技巧綜合支付技巧方差的計(jì)算方差期初支付終身生存年金期初支付定期生存年金例4.8某人購買了一個(gè)3年期定期生存年金，支付方式為年初支付，生存給付金額及各年生存概率如下表所示。假如貼現(xiàn)因子，現(xiàn)值變量為Y，求：

(1)此人所得生存年金的現(xiàn)值超過E(Y)的概率。

(2)該生存年金現(xiàn)值變量的方差Var(Y)。第k年生存給付金額010.7120.6230.5例4.8解綜合支付技巧第k年支付金額年金現(xiàn)值Y發(fā)生概率0111223例4.8解延期初付生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)險(xiǎn)種延期M年期初支付終身生存年金延期M年期初支付N定期生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)延付生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)期初支付生存年金稱為初付生存年金，期末支付生存年金稱為延付生存年金。期末支付終身生存年金期末支付n年定期生存年金期末支付終身生存年金期末支付定期生存年金例4.9已知：計(jì)算例4.9解期末支付延期生存年金延期終身延期定期本章結(jié)構(gòu)生存年金簡介1.

連續(xù)生存年金2.

3.

一年給付H次生存年金4.

離散生存年金年付h次生存年金簡介在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，生存年金常常按月、按季度或半年給付一次，這時(shí)稱為年付h次的生存年金。一年給付若干次的生存年金給付頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不同，給付事件的發(fā)生概率也涉及分?jǐn)?shù)年齡的存活或死亡概率，這顯然增加了生存年金精算現(xiàn)值的厘定難度，但它具有非常重要的實(shí)務(wù)價(jià)值。推導(dǎo)思路尋找與年付年金之間的關(guān)系終身生存年金基本定義UDD假定下的推導(dǎo)公式近似公式（實(shí)際操作公式）證明證明近似公式例4.10（50）投保半年期初給付的終身生存年金。已知：假定年內(nèi)死亡服從均勻分布，計(jì)算該生存年金的精算現(xiàn)值例4.10解定期生存年金基本定義UDD假定下的推導(dǎo)公式近似公式（實(shí)際操作公式）延期生存年金延期終身生存年金（UDD假定）延期定期生存年金（UDD假定）例4.11現(xiàn)年35歲的人預(yù)購買如下生存年金，切均于每月月初給付，每次給付1000元，年實(shí)質(zhì)利率為6%，且已知：求下列年金現(xiàn)值：（1）月付終身生存年金（2）延期15年月付終身生存年金（3）15年定期月付終身生存年級例4.11解Woolhouse公式Woolhouse公式是根據(jù)歐拉-邁克勞林（Euler-Maclaurin）公式推導(dǎo)出來的不依賴于分?jǐn)?shù)期死亡分布假定的一年多次給付的年金精算現(xiàn)值計(jì)算公式。歐拉-邁克勞林公式是歐拉和邁克勞林分別在1735年左右推導(dǎo)出的積分近似計(jì)算公式。假設(shè)是在區(qū)間(a,b)光滑函數(shù)（保證高次可導(dǎo)），記為的積分歐拉-邁克勞林推導(dǎo)出能用如下多項(xiàng)式之和近似Woolhouse公式歐拉-邁克勞林還給出了用多項(xiàng)式之和S近似積分值的誤差為其中稱為伯努利數(shù)（BernoulliNumber）為函數(shù)的階導(dǎo)函數(shù)為服從零均值的白噪聲誤差項(xiàng)Woolhouse公式可以通過調(diào)節(jié)誤差項(xiàng)積分的次數(shù)，控制用多項(xiàng)式近似積分的精度，比如誤差項(xiàng)僅保留一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，積分的歐拉-邁克勞林近似公式為Woolhouse公式在年金計(jì)算場合，年金現(xiàn)值函數(shù)記為年金的精算現(xiàn)值為的積分根據(jù)歐拉-邁克勞林公式，我們可以用多項(xiàng)式之和S近似Woolhouse公式誤差項(xiàng)取一階導(dǎo)函數(shù)則，，所以連續(xù)年金精算現(xiàn)值為Woolhouse公式如果如果Woolhouse公式上面兩式都是的近似，有整理得三項(xiàng)式Woolhouse公式如果保留其中兩項(xiàng)，就得到兩項(xiàng)式Woolhouse公式例4.12證明定期年金和延期年金的三項(xiàng)式Woolhouse公式如下例4.12證明（1）定期年金場合根據(jù)歐拉-邁克勞林公式，我們可以用多項(xiàng)式之和S近似誤差項(xiàng)取一階導(dǎo)函數(shù)，其中例4.12證明所以如果h=1，則有如果h=1/m，則有上面兩式都是的近似，整理得例4.12證明（2）延期年金場合根據(jù)歐拉-邁克勞林公式，我們可以用多項(xiàng)式之和S近似誤差項(xiàng)取一階導(dǎo)函數(shù)，其中例4.12證明所以如果h=1，則有如果h=1/m，則有上面兩式都是的近似，整理得例4.13已知使用三項(xiàng)式Woolhouse公式估計(jì)例4.13解期繳保費(fèi)期繳保費(fèi)產(chǎn)生的原因在前兩章中，我們分別介紹了死亡賠付變量和生存賠付變量的精算現(xiàn)值厘定。這個(gè)精算現(xiàn)值實(shí)際上是以保單生效日為時(shí)間坐標(biāo)，計(jì)算保險(xiǎn)人對被保險(xiǎn)人未來賠付的期望值。這個(gè)精算現(xiàn)值就是該被保險(xiǎn)人的躉繳凈保費(fèi)。有時(shí)由于風(fēng)險(xiǎn)責(zé)任大或者受益金額高，會使得躉繳凈保費(fèi)的數(shù)額非常龐大，對于被保險(xiǎn)人而言要一次性繳納這么多錢會有困難。為了分解被保險(xiǎn)人一次性繳費(fèi)的壓力，保險(xiǎn)公司會允許被保險(xiǎn)人分期繳納這筆保費(fèi)，這時(shí)的保費(fèi)稱為期繳保費(fèi)。保費(fèi)構(gòu)成保費(fèi)構(gòu)成凈保費(fèi)（netpremium）只覆蓋保障風(fēng)險(xiǎn)，它是精算師計(jì)算保費(fèi)的基礎(chǔ)，所以也稱為風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)或數(shù)學(xué)保費(fèi)（riskpremium,mathematicalpremium）毛保費(fèi)（grosspremium）覆蓋了風(fēng)險(xiǎn)，費(fèi)用和利潤需求，也成為官方保費(fèi)（officepremium）傳統(tǒng)壽險(xiǎn)的保費(fèi)厘定原則傳統(tǒng)壽險(xiǎn)的保費(fèi)厘定方法為均衡保費(fèi)原則未來損失變量（FutureLoss）均衡保費(fèi)原則的實(shí)質(zhì)就是保險(xiǎn)人的未來虧損期望為零。記L為保險(xiǎn)人未來虧損變量L=給付金現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值E（L）=0E（賠付現(xiàn)值）=E（凈保費(fèi)現(xiàn)值）不同的繳費(fèi)方式不影響該等式的成立，所以又有E（躉交凈保費(fèi)現(xiàn)值）=E（期繳凈保費(fèi)現(xiàn)值）凈均衡保費(fèi)的定義與種類定義在壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，有一種特殊的期繳凈保費(fèi)使用最為廣泛，這就是等時(shí)間間隔繳納的等額凈保費(fèi)，稱之為均衡凈保費(fèi)（levelnetpremium）。種類完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)死亡即刻給付連續(xù)繳費(fèi)完全離散凈均衡保費(fèi)死亡年末給付離散繳費(fèi)半連續(xù)凈均衡保費(fèi)死亡即刻給付離散繳費(fèi)完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi)的厘定假定條件支：死亡即刻給付1單位元的終身壽險(xiǎn)收：被保險(xiǎn)人從保單生效日起，按年連續(xù)交付保費(fèi)期繳保費(fèi)厘定過程例5.1假定壽命服從的均勻分布，常數(shù)利息力，對于完全連續(xù)的終身壽險(xiǎn)求

解5.1損失變量方差的厘定例5.2一個(gè)完全聯(lián)系的終身壽險(xiǎn)，死亡給付為1。已知利息力為0.06，死亡力為0.04求解5.2常見險(xiǎn)種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定假設(shè)條件支：死亡年末給付1單位終身壽險(xiǎn)收：被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)厘定過程：例5.3假設(shè)由某壽險(xiǎn)公司的經(jīng)驗(yàn)生命表可得：求解5.3例5.4一個(gè)為期兩年的兩全險(xiǎn)，保險(xiǎn)給付金為1000元，此保險(xiǎn)有兩種繳費(fèi)方案：方案一：第一年繳費(fèi)600元，第二年繳費(fèi)400元；方案二：每年繳費(fèi)；已知=0.05，計(jì)算年繳保費(fèi)。解5.4常見險(xiǎn)種的完全離散凈均衡保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年延期終身生存險(xiǎn)半連續(xù)凈均衡年保費(fèi)的厘定假定條件支：死亡即刻賠付1的終身壽險(xiǎn)收：被保險(xiǎn)人從保單生效日起，按年繳納保費(fèi)厘定過程例5.5某人在2006年1月1日買了一份10年定期壽險(xiǎn)，死亡即刻給付10000元，保費(fèi)為前5年每年年初繳費(fèi)500元。假定此人在2008年6月30日死亡，預(yù)定利率為5%，求保險(xiǎn)公司的損失在簽單日的現(xiàn)時(shí)值。解5.5例5.6已知假定死亡在年內(nèi)服從均勻分布，求解5.6方差確定方差的確定方差的確定常見險(xiǎn)種的半連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)每年繳納數(shù)次保費(fèi)的均衡凈保費(fèi)的厘定假設(shè)條件支：死亡年末賠付1的終身壽險(xiǎn)收：每年繳費(fèi)M次厘定過程函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系例5.7已知，，被保險(xiǎn)人在每一個(gè)分?jǐn)?shù)年內(nèi)死亡服從均勻分布求解5.7毛保費(fèi)構(gòu)成凈保費(fèi)保險(xiǎn)費(fèi)用保險(xiǎn)費(fèi)用簡介保險(xiǎn)費(fèi)用的定義保險(xiǎn)公司支出的除了保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的保險(xiǎn)金給付外，其它的維持保險(xiǎn)公司正常運(yùn)作的所有費(fèi)用支出統(tǒng)稱為經(jīng)營費(fèi)用。這些費(fèi)用必須由保費(fèi)和投資收益來彌補(bǔ)。保險(xiǎn)費(fèi)用的范圍：稅金、許可證、保險(xiǎn)產(chǎn)品生產(chǎn)費(fèi)用、保單銷售服務(wù)費(fèi)用、合同成立后的維持費(fèi)、投資費(fèi)用等保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)費(fèi)用開支的一種分類方案費(fèi)用分類成分投資費(fèi)用（1）投資分析成本（2）購買、銷售及服務(wù)成本保險(xiǎn)費(fèi)用1、新契約費(fèi)（1）銷售費(fèi)用，包括代理人傭金及宣傳廣告費(fèi)（2）風(fēng)險(xiǎn)分類，包括體檢費(fèi)用（3）準(zhǔn)備新保單及記錄2、維持費(fèi)（1）保費(fèi)收取及會計(jì)（2）給付變更及理陪選擇權(quán)準(zhǔn)備（3）與保單持有人進(jìn)行聯(lián)絡(luò)3、營業(yè)費(fèi)用（1）研究、開發(fā)新險(xiǎn)種費(fèi)用（2）精算及一般法律服務(wù)（3）普通會計(jì)（4）稅金、許可證等費(fèi)用4、理賠費(fèi)用（1）理陪調(diào)查和辯護(hù)費(fèi)（2）各種給付的費(fèi)用均衡原則厘定毛保費(fèi)毛保費(fèi)的定義保險(xiǎn)公司實(shí)際收取的保費(fèi)為用于保險(xiǎn)金給付的純保費(fèi)和用語各種經(jīng)營費(fèi)用開支的附加費(fèi)用之和，即毛保費(fèi)，簡記為G。毛保費(fèi)的厘定原則基本原則：精算等價(jià)原則（EquivalencePrinciple）毛保費(fèi)精算現(xiàn)值=純保費(fèi)精算現(xiàn)值+附加費(fèi)用精算現(xiàn)值=各種給付的精算現(xiàn)值+各種費(fèi)用支出的精算現(xiàn)值注意事項(xiàng)在確定附加費(fèi)用時(shí)，一般只考慮保險(xiǎn)費(fèi)用，而以投資費(fèi)用沖銷投資收益，體現(xiàn)在保費(fèi)計(jì)算中則適當(dāng)降低預(yù)定收益率，即預(yù)定利率。附加費(fèi)用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。例5.8（30）購買了保險(xiǎn)金額為2萬元的半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單，按下表所列各項(xiàng)費(fèi)用，根據(jù)精算等價(jià)原理計(jì)算年繳凈保費(fèi)和年繳毛保費(fèi)。（i=6%）已知未來保險(xiǎn)費(fèi)用的分配第一年續(xù)年分類每份每千元保費(fèi)百分比（%）每份每千元保費(fèi)百分比（%）2-9年10-15年16年以上1、新契約費(fèi)（1）銷售費(fèi)用

傭金--50--553

銷售事務(wù)--25--2.51.51

其它12.54------（2）分類180.5------（3）發(fā)行與記錄4-------2、維持費(fèi)20.25-20.25---3、營業(yè)費(fèi)用（1）（2）（3）40.25-40.25---（4）稅金--3--222小計(jì)40.557860.59.58.564、給付費(fèi)用每份保單18元加上千元保額0.1元解5.8解5.8練習(xí)對（25）購買的保險(xiǎn)金額為10萬元的40年兩全保險(xiǎn)保單，該保單的第一年費(fèi)用為100元加上毛保費(fèi)的25%，續(xù)年的費(fèi)用為25元加上毛保費(fèi)的10%。發(fā)生死亡給付時(shí)的理賠費(fèi)用為100元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi)用。已知求凈均衡年繳保費(fèi)和毛保費(fèi)。練習(xí)答案組合百分?jǐn)?shù)原則厘定費(fèi)精算等價(jià)原則是保費(fèi)厘定的一種傳統(tǒng)原則，但并不是唯一原則。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，精算等價(jià)原則是以損失變量的期望為零作為定價(jià)原則。損失變量是圍繞著零值做正態(tài)波動的，這意味著有50%的概率會出現(xiàn)支出大于保費(fèi)收入，即保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損的情況；還有50%的概率會出現(xiàn)支出小于保費(fèi)收入即保險(xiǎn)公司出現(xiàn)盈余的情況。保險(xiǎn)人有時(shí)虧損，有時(shí)盈余，對保險(xiǎn)公司而言，每一次損失的波動風(fēng)險(xiǎn)無法準(zhǔn)確衡量與控制。組合百分?jǐn)?shù)原則（PortfolioPercentileprinciple）就是為了克服精算等價(jià)原則的這個(gè)不足提出的一種新的保費(fèi)厘定原則。它的理論基礎(chǔ)是中心極限定理，是以控制虧損發(fā)生概率為立足點(diǎn)的保費(fèi)定價(jià)方法。組合的中心極限定理組合（portfolio)：具有相同風(fēng)險(xiǎn)、相同保險(xiǎn)受益、相同保障時(shí)期且相互獨(dú)立的一群人。該組合中的任意一個(gè)個(gè)體在保單簽約時(shí)刻的損失現(xiàn)值變量記作該組合中的損失現(xiàn)值總額變量記作，根據(jù)中心極限定理有組合百分?jǐn)?shù)原理假設(shè)為保險(xiǎn)人能夠接受的損失發(fā)生概率（也稱為風(fēng)險(xiǎn)容忍程度），即等價(jià)的含義是保險(xiǎn)人要保證保費(fèi)收入能夠覆蓋真實(shí)賠付的概率為根據(jù)等價(jià)變換有例5.990歲的人生存情況如下表。求1、死亡年末給付1元的躉繳浄保費(fèi)2、為保證有95％的把握覆蓋真實(shí)賠付，所收保費(fèi)等于NSP＋R，求R＝？（i=0.06）x90919293Lx10072390Dx283339--例5.9答案例5.9答案例5.10保險(xiǎn)人面向（30)發(fā)行一款終身壽險(xiǎn)產(chǎn)品，死亡月末給付10萬元，被保險(xiǎn)人每年年初等額繳納保費(fèi)。首年費(fèi)用為第一年保費(fèi)的19%，續(xù)年費(fèi)用為每年保費(fèi)的4%。已知：求：（1）使用均衡原則計(jì)算毛保費(fèi)（2）假設(shè)一個(gè)組合有1萬人，若要達(dá)到95%的把握覆蓋賠付風(fēng)險(xiǎn)，使用組合百分比原則計(jì)算毛保費(fèi)。例5.10答案例5.10解特殊風(fēng)險(xiǎn)處理年齡評級（agerating）死亡力增加常數(shù)（等價(jià)于利率改變?yōu)椋┧劳雎蕿樵瓉淼谋稊?shù)責(zé)任準(zhǔn)備金例6.1保險(xiǎn)公司發(fā)行一種3年定期保單，死亡年末給付1萬元，年實(shí)質(zhì)利率5%，假設(shè)有100個(gè)歲的人投保，這群人的生存狀況如下（1）根據(jù)凈均衡原理厘定躉繳凈保費(fèi)和3年期均衡凈保費(fèi)；（2）在躉繳保費(fèi)場合，分析各年資金流動的狀況；（3）在凈均衡保費(fèi)場合，分析各年資金流動的狀況。（1）保費(fèi)計(jì)算躉繳凈保費(fèi)均衡凈保費(fèi)（2）躉繳保費(fèi)場合資金流分析通過這個(gè)資金流分析，可以很清楚地知道在躉繳保費(fèi)場合，保險(xiǎn)是一種先收保費(fèi)后履行賠付義務(wù)的特殊商品。被保險(xiǎn)人在保單發(fā)行日一次性繳納了所有的保費(fèi)，未來各年對于保險(xiǎn)人而言就只有責(zé)任而不再有保費(fèi)收入了。為了有效地履行對被保險(xiǎn)人的承諾，保險(xiǎn)人需要很好地管理這筆預(yù)付保費(fèi)，讓它逐漸填補(bǔ)各年的收支缺口。（3）凈均衡保費(fèi)場合資金流分析通過這個(gè)資金流分析，可以很清楚地知道即使是在凈均衡保費(fèi)場合，當(dāng)期支付的保費(fèi)也并不等于當(dāng)期的賠付支出。這是由于死亡事故并不是每年均衡發(fā)生的，由于人類的生存規(guī)律，死亡概率通常呈現(xiàn)出隨剩余壽命遞增的趨勢，所以在凈均衡保費(fèi)場合，依然是前期保費(fèi)收入多于賠付支出，后期保費(fèi)收入少于賠付支出?；谶@種情況，保險(xiǎn)公司依然要嚴(yán)格管理前期的剩余保費(fèi)，用前期的基金余額填補(bǔ)以后各年的收支缺口。責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因0t未來責(zé)任未來收入w未來責(zé)任未來收入差值責(zé)任準(zhǔn)備金凈均衡原理，保證了以保單發(fā)行日為參照點(diǎn)，保險(xiǎn)公司的未來保費(fèi)收入精算現(xiàn)值和未來保險(xiǎn)賠付的精算現(xiàn)值相等。但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，未來收支的現(xiàn)時(shí)值都有可能不平衡，通常未來賠付責(zé)任要比未來保費(fèi)收入的精算現(xiàn)值大，這種收支缺口就是責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因。凈責(zé)任準(zhǔn)備金的定義定義：保險(xiǎn)公司在任意時(shí)刻對每個(gè)仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)時(shí)值，就稱為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。我們通常把保險(xiǎn)人未來賠付責(zé)任與未來保費(fèi)收入的現(xiàn)時(shí)值之差稱為保險(xiǎn)人的前瞻虧損（prospectiveloss），責(zé)任準(zhǔn)備金就是前瞻損失的期望。實(shí)質(zhì)責(zé)任準(zhǔn)備金是現(xiàn)存被保險(xiǎn)人未來受益與未來繳費(fèi)現(xiàn)時(shí)值之差。例6.1續(xù)1：躉繳場合保單發(fā)行日的凈責(zé)任準(zhǔn)備金

例6.1續(xù)2：躉繳場合保單第一年末的凈責(zé)任準(zhǔn)備金例6.1續(xù)3：躉繳場合保單第二年末的凈責(zé)任準(zhǔn)備金例6.1續(xù)4：凈均衡保費(fèi)場合責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算例6.1續(xù)5：凈均衡保費(fèi)場合責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算課后練習(xí)設(shè)保險(xiǎn)公司發(fā)行某保單，被保險(xiǎn)人的整值剩余壽命K的概率函數(shù)為該保單在被保險(xiǎn)人死亡年末給付1，年利率6%。根據(jù)凈均衡保費(fèi)原則確定：（1）在躉繳保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。（2）在凈均衡保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。責(zé)任準(zhǔn)備金的重要意義保證壽險(xiǎn)公司的償付能力責(zé)任準(zhǔn)備金是壽險(xiǎn)公司最為重要的負(fù)債，一般占所有負(fù)債的80％到90％，和總資產(chǎn)的比例也可能超過80％。壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的長期性和不確定性要求保險(xiǎn)公司為未來的給付責(zé)任積累起足夠的資產(chǎn)，所以壽險(xiǎn)負(fù)債評估是精算部最重要的工作之一。其中責(zé)任準(zhǔn)備金的評估是該項(xiàng)工作的核心責(zé)任準(zhǔn)備金的作用保證保單所有人的利益監(jiān)管機(jī)構(gòu)原則上應(yīng)該代表保單所有人的利益，所以會要求保險(xiǎn)公司持有和責(zé)任準(zhǔn)備金相當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)以保證償付能力。責(zé)任準(zhǔn)備金是在清算假設(shè)下進(jìn)行的評估，要理解這句話，可以考慮下述問題：如果在這個(gè)時(shí)刻保險(xiǎn)公司破產(chǎn)，那么有效保單應(yīng)該得到多少利益？這個(gè)問題沒有唯一正確的答案，責(zé)任準(zhǔn)備金給出的是比較合理的答案。課程結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的概念責(zé)任準(zhǔn)備金增量的構(gòu)成多次繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定方法一：將來法我們通常把保險(xiǎn)人未來賠付責(zé)任與未來保費(fèi)收入的現(xiàn)時(shí)值之差稱為保險(xiǎn)人的前瞻虧損（prospectiveloss）用前瞻虧損思想厘定責(zé)任準(zhǔn)備金的方法成為前瞻法（將來法）凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定原理（終身壽險(xiǎn)）前瞻虧損（prospectiveloss）其中：U為（x+t）的剩余壽命，J為（x+t）的整值剩余壽命凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定前瞻虧損的期望即該時(shí)刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金用這種原理確定責(zé)任準(zhǔn)備金的方法稱為前瞻方法前瞻虧損方差例6.2已知：利用前瞻方法確定完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)在未來任意時(shí)刻t的凈責(zé)任準(zhǔn)備金及前瞻損失的方差例6.2答案例6.3已知利率按6％計(jì)算求：例6.3答案例6.3答案例6.3答案用將來法確定常見險(xiǎn)種的凈責(zé)任準(zhǔn)備金完全連續(xù)情況下用將來法確定常見險(xiǎn)種的凈責(zé)任準(zhǔn)備金完全離散情況下例6.4已知（30）投保20年期的兩全保險(xiǎn)，采用每年年初凈均衡方式繳納保費(fèi)。已知：求第19年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.4解例6.5（40）投保一個(gè)10年延期的終身生存年金，年初生存給付1，如果被保險(xiǎn)人在10年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡年末退回之前所繳納保費(fèi)的累計(jì)值。此保險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳保費(fèi)為P。已知年實(shí)質(zhì)利率為2.5%，第9年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金為16。求躉繳保費(fèi)P的值。例6.5解半連續(xù)場合責(zé)任準(zhǔn)備金厘定在實(shí)務(wù)中，絕大多數(shù)壽險(xiǎn)產(chǎn)品都是半連續(xù)產(chǎn)品，所以半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算是最基礎(chǔ)的精算工作。半連續(xù)場合責(zé)任準(zhǔn)備金厘定的實(shí)質(zhì)就是連續(xù)的未來賠付現(xiàn)值與離散的未來保費(fèi)收入現(xiàn)值之差的期望。半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的確定以h次繳費(fèi)n年定期兩全保險(xiǎn)為例其他險(xiǎn)種場合可以同理推導(dǎo)。半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金都可以轉(zhuǎn)換為完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金的函數(shù)例6.6某公司為它的一臺已經(jīng)使用30年的大型機(jī)器買了一份10年期的定期保險(xiǎn)。已知每年年初公司繳納凈均衡保費(fèi)5500元，如果機(jī)器損壞，公司即刻得到35萬元賠付金。賠償一次，合同介紹。假如機(jī)器的壽命服從demoivre分布，年度實(shí)質(zhì)利率2.5%，計(jì)算第7年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.6解責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定方法保費(fèi)差公式（premium-differenceformula）責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。繳清保險(xiǎn)公式（paid-upinsuranceformula）責(zé)任準(zhǔn)備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。后顧方法（retrospectivemethod）責(zé)任準(zhǔn)備金是已付保費(fèi)積累值與保險(xiǎn)成本積累值（accumulatedcostofinsurance）之差。保費(fèi)差公式推導(dǎo)以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例繳清保費(fèi)公式推導(dǎo)以完全連續(xù)n年定期兩全保險(xiǎn)為例后顧方法推導(dǎo)以完全連續(xù)n年定期兩全保險(xiǎn)為例后顧方法推導(dǎo)應(yīng)用前瞻公式和后顧公式的原則在保障時(shí)間超出繳費(fèi)期的場合，前瞻公式更為便利。在尚未提供受益的遞延期內(nèi)，后顧公式更為方便。例6.7一種完全離散的保額為1000的3年期兩全保險(xiǎn)，死亡年末給付1000元。已知：計(jì)算解6.7例6.8已知：計(jì)算：解6.8后顧法其它公式例6.9已知求解6.9課程結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的概念責(zé)任準(zhǔn)備金增量的構(gòu)成多次繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金責(zé)任準(zhǔn)備金的含義以完全離散終身壽險(xiǎn)為例解釋：責(zé)任準(zhǔn)備金為未來的保險(xiǎn)責(zé)任的現(xiàn)時(shí)值減去未來保費(fèi)收入的現(xiàn)時(shí)值。遞推公式一解釋為第k年死亡受益，為第k年初繳付保費(fèi)。則第k-1年年末為每個(gè)仍在保障計(jì)劃內(nèi)的被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備的責(zé)任準(zhǔn)備金加上第k年年初被保險(xiǎn)人繳付的保費(fèi)積累到年末正好可以為每個(gè)在這一年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人提供元的死亡賠付，并為在該年末存活的每位被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備元責(zé)任準(zhǔn)備金。

遞推公式二解釋第k年新增資產(chǎn)等于新交保費(fèi)和本年利息，這筆新增資產(chǎn)有兩個(gè)流向：一是補(bǔ)貼每位被保險(xiǎn)人年末責(zé)任準(zhǔn)備金和年初責(zé)任準(zhǔn)備金的差值；二是補(bǔ)貼死亡風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生時(shí)，死亡賠付金與責(zé)任準(zhǔn)備金之差。例6.10（45）買了一份完全離散的終身壽險(xiǎn)，65歲以前死亡年末賠付為1000，65歲之后死亡賠付為500，繳費(fèi)期為20年，年繳凈均衡保費(fèi)15.86。已知：計(jì)算第19年末的凈責(zé)任準(zhǔn)備金。解6.10課堂練習(xí)已知：計(jì)算：答案課程結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的概念責(zé)任準(zhǔn)備金增量的構(gòu)成多次繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金Thiele’sdifferentialequation保單價(jià)值的遞推公式Thiele’s差分方程是要推導(dǎo)出保單價(jià)值的增量的構(gòu)成Thiele’sdifferentialequation推導(dǎo)Thiele’sdifferentialequation推導(dǎo)Thiele’sdifferentialequation推導(dǎo)Thiele’sdifferentialequation應(yīng)用例6.11假設(shè)(x)購買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)，已知死亡即刻賠付10萬元，死亡給付相關(guān)費(fèi)用為100元，年度連續(xù)繳納毛保費(fèi)2500元，年度費(fèi)用為150元，已知假設(shè)年內(nèi)死亡力恒定，以h=0.1為步長，求解6.11課程結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的概念責(zé)任準(zhǔn)備金增量的構(gòu)成多次繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金一年繳m次保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金推導(dǎo)一年繳m次保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金推導(dǎo)一年繳費(fèi)若干次責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定一年繳費(fèi)一次與一年繳費(fèi)m次的差異圖示

（表示死亡事件發(fā)生時(shí)刻）

一年繳m次保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金的確定

完全離散終身壽險(xiǎn)一年繳費(fèi)m次的完全離散n年定期兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金“損失保費(fèi)”部分形成的額外責(zé)任準(zhǔn)備金等于繳費(fèi)期內(nèi)每次繳納元純保費(fèi)的純壽險(xiǎn)完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金的一部分，比例為

課程結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的概念責(zé)任準(zhǔn)備金增量的構(gòu)成多次繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定責(zé)任準(zhǔn)備金凈責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金由于保單年度和會計(jì)年度不同，有時(shí)當(dāng)我們在某個(gè)固定的會計(jì)報(bào)表時(shí)刻要計(jì)算某張保單的責(zé)任準(zhǔn)備金。和一年繳費(fèi)若干次的責(zé)任準(zhǔn)備金的厘定技巧一樣，分?jǐn)?shù)期的責(zé)任準(zhǔn)備金通常也是轉(zhuǎn)化為整數(shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的函數(shù)表達(dá)。分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金厘定公式以完全離散終身壽險(xiǎn)為例分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金）保險(xiǎn)人將來的凈責(zé)任費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金由于保險(xiǎn)業(yè)的特殊性，第一年的費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于以后各年的費(fèi)用，所以分期繳付保費(fèi)場合，保險(xiǎn)人的費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)際上一直是負(fù)的。換言之，在保險(xiǎn)費(fèi)用這一方面是保險(xiǎn)人先墊付了被保險(xiǎn)人的費(fèi)用，被保險(xiǎn)人用將來的分期付款逐期償還首年欠付費(fèi)用。例6.12保險(xiǎn)計(jì)劃：向（x）發(fā)行每年年初繳費(fèi)的三年期兩全保險(xiǎn)收支方式：完全離散死亡率：保險(xiǎn)金額：1000費(fèi)用金額：見下一頁費(fèi)用明細(xì)表費(fèi)用明細(xì)表費(fèi)用類別時(shí)間第一年第二年保費(fèi)%固定量保費(fèi)%固定量推銷傭金10%—2%—營業(yè)費(fèi)用4%3—1稅金、許可證費(fèi)用2%—2%—保單維持2%12%1發(fā)行與等級分類2%4——總計(jì)20%86%2例6.12分析一、純(凈)保費(fèi)與凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算保險(xiǎn)人每一年的收支情況收支圖示責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算例6.12分析二、毛保費(fèi)和費(fèi)用年金的計(jì)算均衡毛保費(fèi)和均衡費(fèi)用的計(jì)算真實(shí)費(fèi)用和均衡費(fèi)用的比較例6.12分析三、費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算修正責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人之間有著復(fù)雜的債務(wù)關(guān)系。如果不考慮費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的因素，始終以凈責(zé)任準(zhǔn)備金為準(zhǔn)計(jì)算保險(xiǎn)公司的債務(wù)，會使保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)初年的負(fù)擔(dān)很重，而且利潤溢出各年變動非常大。為了保險(xiǎn)公司的利潤溢出比較平滑，也同時(shí)兼顧被保險(xiǎn)人的利益，有了修正責(zé)任準(zhǔn)備金的概念。階梯保費(fèi)階梯保費(fèi)（steppremium）是為了修正初年的保費(fèi)結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生的。假設(shè)保險(xiǎn)人原本是采用每年年初收取P元的等額方式收取凈保費(fèi)，現(xiàn)在對凈保費(fèi)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一個(gè)調(diào)整?？紤]到第一年的賠付現(xiàn)值通常較低，所以，第一年收取的凈保費(fèi)減小到，第一年少收的凈保費(fèi)要通過以后各年多收取一點(diǎn)進(jìn)行彌補(bǔ)，記續(xù)年收取的均衡凈保費(fèi)為，顯然有修正責(zé)任準(zhǔn)備金原理——階梯保費(fèi)值原始等額凈保費(fèi)修正后階梯保費(fèi)修正前等額保費(fèi)：P,P,…，P修正后階梯保費(fèi)：，<P,>PPPPP

修正責(zé)任準(zhǔn)備金確定完全初年修正責(zé)任準(zhǔn)備金Fullpreliminaryterm(FTP)條件：第一年的修正凈保費(fèi)為第一年的死亡受益現(xiàn)值則有美國保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生背景：FPT適用于低費(fèi)率保單，如果是高費(fèi)率保單，第一年沖銷的費(fèi)用就過多了。美國保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)：如果是低保費(fèi)保單：采用FPT調(diào)節(jié)如果是高保費(fèi)保單：，則加拿大修正制條件：，其中為第一年費(fèi)用按均衡保費(fèi)衡量的額外補(bǔ)貼，有其中：a＝150％凈均衡保費(fèi)b＝新契約費(fèi)c＝仍然提供的管理費(fèi)用及保單持有人分紅時(shí)在第二年及以后年中可收回費(fèi)用的精算現(xiàn)值。多元生命函數(shù)多重生命函數(shù)的定義及作用多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。作用養(yǎng)老金給付場合合伙人聯(lián)保場合遺產(chǎn)稅計(jì)算場合多元剩余壽命的聯(lián)合分布聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)多元