河南省菁師聯(lián)盟高三8月質量檢測聯(lián)考數(shù)學試題

2024屆8月質量監(jiān)測考試數(shù)學試卷滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內.2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)，則以下為實數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方和四則運算即可得到答案.【詳解】對A，，其不是實數(shù)，故A錯誤；對B，，則其為實數(shù)，故B正確；對C，，其不是實數(shù)，故C錯誤；對D，，其不是實數(shù)，故D錯誤.故選：B.2.全集，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結合對數(shù)函數(shù)單調性求集合N，進而根據(jù)集合間的運算求解.【詳解】令，解得，所以，因為，則，所以.故選：C.3.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊點法判斷即可.【詳解】因為，所以，故排除C；，故排除B；而，所以在不可能單調遞減，故排除D；因為排除了BCD，而A又滿足上述性質，故A正確.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.為偶函數(shù)C.圖象關于中心對稱D.圖象關于軸對稱【答案】C【解析】【分析】對于選項AB：根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義對其判斷；對于選項CD：根據(jù)函數(shù)中心對稱或軸對稱定義對其判斷.【詳解】對于選項A：，則不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：，則不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：，故的圖象關于點中心對稱，故C正確；對于選項D：，則的圖象不關于直線軸對稱，故D錯誤；故選：C.5.，兩個相鄰的零點分別為：，則以下是對稱軸的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用余弦函數(shù)的性質求出對稱軸作答.【詳解】依題意，函數(shù)的周期，，于是，由，得，即，因此，由，得，即圖象的對稱軸是，當時，，即是圖象的對稱軸，B是；顯然，，都不可能化成的整數(shù)倍，即ACD不是.故選：B6.高二1、2、3班各有升旗班同學人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數(shù)為（）A.12 B.15 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.【詳解】依題意，選中高二1班的同學有種方法，高二1班的同學沒選中有，所以2人來自不同班的選法種數(shù)為.故選：B7.圓臺軸截面面積為，上下底面半徑之比為，母線與底面所成角為，則圓臺側面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出軸截面，利用等腰梯形面積公式求出上下底面半徑和母線長，再利用圓臺側面積公式即可得到答案.【詳解】作出軸截面，則四邊形為等腰梯形，，過點作，設上底面半徑長為，則下底面半徑長為，則上底面直徑，下底面直徑，則，則，則，解得，則上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺側面積.故選：C.8.正四棱柱中，，二面角為，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由二面角的大小求出，再利用幾何法求出異面直線夾角的余弦作答.【詳解】在正四棱柱中，令，連接，如圖，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，即是二面角的平面角，有，而四邊形是正四棱柱的對角面，則四邊形為矩形，令，由，得，顯然，因此是正三角形，，解得，則，由于四邊形是矩形，則有，從而是異面直線與所成的角，.故選：D【點睛】方法點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分.9.教材《必修一》上有結論：對且，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用給定的結論計算判斷AB；利用誘導公式結合A選項計算判斷C；利用正弦函數(shù)性質判斷D作答.【詳解】依題意，取，則，，因此，A正確；，B錯誤；由選項A知，，因此，C正確；顯然，D錯誤.故選：AC10.雙曲線左右焦點分別為，右支上有點，的面積為4，則（）A.雙曲線的漸近線斜率為B.C.D.外接圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】利用雙曲線的方程得到漸近線方程可判斷A；利用雙曲線的定義可判斷B；利用的面積求得的坐標，從而利用向量垂直的坐標表示判斷C；利用直角三角形的性質可判斷D.【詳解】因為雙曲線可化為，所以，，，則雙曲線的漸近線方程為，即斜率為，故A正確；由雙曲線的定義可得，故B錯誤；不妨設，因為的面積為4，所以，則，又，則，故，所以，則，所以，則，故C正確；因為為的中點，，所以為外接圓的圓心，所以外接圓半徑，故D正確.故選：ACD.11.平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】因為平面區(qū)域表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，直線表示傾斜角為，過定點的直線，根據(jù)面積關系可得，構建函數(shù)，利用判斷其單調性，結合單調性逐項分析判斷.【詳解】因為，整理得，表示以為圓心，半徑為2的上半圓，可知，表示以為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，又因為直線，表示傾斜角為，過定點的直線，設直線與半圓的另一個交點為，，可知：，且，則，可得直線的下半部分的面積為，由題意可得：，整理得，即.令，則為的零點，且，所以在上單調遞增.對于選項A：因為，即，故A錯誤；對于選項B：因為，且在上單調遞增，所以，故B正確；對于選項C：因為，則，由選項B可知：，所以，故C錯誤；對于選項D：因為，故D正確；故選：BD.12.與交于為曲線上的動點，則（）A.到直線距離最小值為B.C.存在點，使得為等邊三角形D.最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】設，利用點到直線的距離結合基本不等式即可判斷A，求出坐標，計算出的表達式，利用換元法和配方法即可判斷BD，通過假設存在這樣的等邊三角形，利用等邊三角形性質求出點的坐標，再進行驗證即可.【詳解】設，對A，則點到直線的距離，當且僅當，即時等號成立，故A正確；對B,D，聯(lián)立有，解得或，則不妨假設，，則，，令，，因為在上均為單調增函數(shù)，則，在上也為單調增函數(shù)，且，時，，時，，且函數(shù)圖象在上連續(xù)不間斷，則，則，當，即，即或（舍去）時取等，故BD正確.對C，若要為等邊三角形，則首先點為線段的垂直平分線和曲線的交點，因為，則的中點坐標為，則垂直平分線的所在直線的方程為，即，將其與曲線聯(lián)立得解得或（舍去），此時，而，則，則不存在點，使得為等邊三角形，故C錯誤.故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用設點，再求出點坐標，寫出相關向量，利用點到直線的距離公式、基本不等式以及換元法等進行求解相關最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：，則大小關系是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用作差法結合不等式性判斷作答.【詳解】由，得，因此，顯然，則，所以大小關系是.故答案為：14.拋物線焦點為，準線上有點是拋物線上一點，為等邊三角形，則點坐標為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推理論證與拋物線準線垂直，再借助拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線焦點為，點在準線上，在等邊中，，因此長等于點到準線的距離，即有與拋物線準線垂直，令拋物線準線與x軸交于點，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點坐標為.故答案為：15.函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍_________．【答案】【解析】【分析】求導，根據(jù)題意分析可得在上恒成立，進而可得，分和兩種情況，結合對數(shù)函數(shù)單調性解不等式即可.【詳解】由題意可得：，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，則在上恒成立，且，可得，即當時，則，可得，且在上單調遞增，則，解得；當時，則，可得，且在上單調遞增，則，無解；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.16.數(shù)列滿足：，則_________．【答案】512【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進而可得，故從第二項開始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】當時，則；當時，可得，且，則，可得：從第二項開始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，綜上所述：.故答案為：512.四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.數(shù)列，滿足：，且數(shù)列為等比數(shù)列，（1）求通項公式；（2）設，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列為等比數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式運算求解；（2）根據(jù)題意利用分組求和結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【小問1詳解】由題意可得：，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，可得.【小問2詳解】因為，則，所以.18.銳角中，．（1）求；（2）內有點，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出邊b，再利用余弦定理求出作答.（2）設，利用表示線段，再利用正弦定理求出，然后利用三角形面積公式求解作答.【小問1詳解】在銳角中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當時，，，此時都是銳角，符合題意，，當時，，即，是鈍角，不符合題意，所以.【小問2詳解】由（1）知，設，由，得，，在中，，由正弦定理得，顯然，由，得，即，整理得，即，顯然，因此，所以.19.四棱錐中，底面是矩形，平面為中點，．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量垂直的坐標表示求解作答.（2）利用（1）中的坐標系，利用空間向量求出二面角的正弦作答.【小問1詳解】四棱錐中，底面矩形，平面，則兩兩垂直，以點為原點，射線分別為軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，設，由，得，中點，則，由，得，而，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，令二面角的夾角為，則，，所以二面角的正弦值為.20.已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅成果，全面推進鄉(xiāng)村振興，在國家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，利用當?shù)刈匀粭l件，在山上發(fā)展果樹種植，現(xiàn)已開始大量結果，為了普及果樹種植技術，該縣舉辦“果樹種植技術知識競賽”，競賽規(guī)則如下：先進行預賽，預賽共進行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對得分，答錯不得分，四輪答題中，易，中，難三類題中的每一類題最多選兩個，預賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進入決賽，某選手A答對各題相互獨立，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率答對得分345（1）若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對了一題，錯了一題，請你為選手A計劃后兩輪應該怎樣選擇答題，使得進入決賽的可能性更大，并說明理由；（2）選手A四輪答題中，選擇了一個容易題，兩個中等難度題，一個難題，已知容易題答對，記選手A預賽四輪答題比賽得分總和為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）都選擇容易題進行答題；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨立事件的概率公式計算比較作答.（2）求出的可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出數(shù)學期望作答.【小問1詳解】依題意，選手A前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4，于是選手A后兩輪的選擇有3種方案，方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率；方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率；方案三：容易題、難題各選1道，則必須都答正確，于是進入決賽的概率，顯然，所以后兩輪都選擇容易題進行答題，進入決賽的可能性更大.【小問2詳解】依題意，可能值為：，則；；；；；，所以的分布列為：378111216數(shù)學期望為.21.橢圓的左右頂點分別為是栯圓上一點，．（1）求橢圓方程；（2）動直線交橢圓于兩點，求面積取最大時的的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結合斜率坐標公式列式求出作答.（2）結合（1）求出長，及點到直線的距離，列出三角形面積的函數(shù)關系，利用導數(shù)探討函數(shù)最大值情況作答.【小問1詳解】在橢圓中，，而在橢圓上，且，因此，解得，顯然，則，所以橢圓方程為.【小問2詳解】直線與橢圓交于兩點，則，把代入方程得：，由橢圓的對稱性知，點到直線的距離，當時，得的面積，令，求導得，由，得