2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第九章平面解析幾何9-6 雙曲線

第六節(jié)雙曲線

?最新考綱?

1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、

頂點(diǎn)、離心率、漸近線).

2.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)

系仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題，填空題，解答題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)雙曲線求標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸近線等問(wèn)題的求解考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀

想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

—?、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.雙曲線的定義

_____________________________________結(jié)論1___________________________________________

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)〃與平面內(nèi)

的兩個(gè)定點(diǎn)尸I,尸2________為雙曲線的焦點(diǎn)

/W點(diǎn)的軌跡為雙曲線

________________=Za________為雙曲線的焦距

________2α<∣RF2∣________

［注意］(1)當(dāng)2α=Q尸2∣時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線;

(2)當(dāng)20>∣FιB∣時(shí)，P點(diǎn)不存在.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

W7

圖形

WC,B2X

標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2a2b2

________(α>0,b>0)________________(α>0,QO)________

范圍

對(duì)稱軸：________對(duì)稱軸：________

對(duì)稱性

對(duì)稱中心：________對(duì)稱中心：________

性

頂點(diǎn)坐標(biāo)：A?_______，

質(zhì)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo):A?_____,Ai_________

_________________42_________________

漸近線

離心率一

e—________，e∈______________

線段442叫做雙曲線的實(shí)軸，它

的長(zhǎng)⑶∕2∣=___;線段BiB叫做

性實(shí)虛2

雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)b&|=

質(zhì)軸

—；。叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，

b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,c間

c2=___(c>a>0,c>?>0)

_______的關(guān)系_______

3.等軸雙曲線

實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為,離心率為e=√∑

二、必明4個(gè)常用結(jié)論

1.雙曲線為等軸雙曲線0雙曲線的離心率e=&=雙曲線的兩條漸近線互相垂直.

漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置的關(guān)系：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線斜率為當(dāng)

2.Xa

焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線斜率為空.

3.漸近線與離心率.

≤-g-l（α>O,心0）的一條漸近線的斜率為滬

4.若尸為雙曲線上一點(diǎn)，尸為其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)，則I陽(yáng)》c-a.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）.

（1）平面內(nèi)到點(diǎn)Fl（0,4）,F2（0,一4）距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.（）

（2）方程2-3=1（機(jī)〃>0）表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線.（）

（3）雙曲線方程當(dāng)一馬="心0,〃>0,沖0）的漸近線方程是三一馬=0,即浮=0.（）

（4）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于√Σ（）

（5）若雙曲線3-《=1伍>0,6>0）與2-?=l（α>0,b>0）的離心率分別是eι,3則十于

亳=1（此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共物雙曲線）.（）

（二）教材改編

2.［選修2—IRi練習(xí)T3改編］以橢圓，+［=I的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方

2516

程為.

3.［選修2-1P55練習(xí)T3改編］已知方程總—痣=1表示雙曲線，則，"的取值范圍是

（三）易錯(cuò)易混

4.（忽視以曲線定義的條件致誤）平面內(nèi)到點(diǎn)F1（3,0）,F2（-3,0）距離之差的絕對(duì)值等

于6的點(diǎn)尸的軌跡是.

5.（弄錯(cuò)雙曲線上點(diǎn)的位置）尸是雙曲線導(dǎo)一《=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)∣,&分別是它的左、

1681

右焦點(diǎn)，且『分|=9,貝IJIP92∣=.

(四)走進(jìn)高考

6.［2021?全國(guó)甲卷］點(diǎn)(3,0)到雙曲線1一4=1的一條漸近線的距離為()

169

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用［綜合性］

［例1］(l)［2022?重慶市高三測(cè)試］已知雙曲線C：3-q=1(心0)的一條漸近線方程為

2x-y=0,后、/2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，若IPaI=5,貝IJlP巳|

=()

A.1B.1或9

C.3或9D.9

(2)［2022?肥城市高三月考］已知雙曲線/一(=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸”F2,尸為雙曲線右支

上一點(diǎn).若IPQI=IlP冏，則△*尸內(nèi)2的面積為()

A.48B.24

C.12D.6

聽課筆記：

反思感悟雙曲線定義的應(yīng)用

(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.

⑵在“焦點(diǎn)三角形”中，經(jīng)常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合IlPQi-IP丘2∣∣=20.運(yùn)用平

方的方法，建立IPEl與|尸尸2|的關(guān)系.

［提醒］在應(yīng)用雙曲線定義時(shí).要注意定義中的條件.搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙

曲線的一支.若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?河南非凡聯(lián)盟聯(lián)考］已知雙曲線C：《一9=l(α>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，

F2,一條漸近線與直線4x+3y=0垂直，點(diǎn)M在C上，且IW2∣=6,則IMaI=()

A.2或14B.2

C.14D.2或10

2.［2020?全國(guó)卷∏1設(shè)雙曲線C：≤-g=l(α>O,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸∣,F2,離

心率為√5.P是C上一點(diǎn)，且尸尸，巳尸.若△尸的面積為4,則”=()

A.lB.2

C.4D.8

3.已知B，92為雙曲線C：/一產(chǎn)=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，?PF↑?^2?PF2?,則

cosNFIPF2=.

考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程［綜合性］

［例2］⑴雙曲線CW=I過(guò)點(diǎn)(√L√3),且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為()

A.9一產(chǎn)=1B.x2-y=l

C.X2-叵=1D.--/=1

33z

(2)［2022?河南商丘高三月考］已知雙曲線C的焦點(diǎn)為B(-2,0),B(2,0),點(diǎn)力在C上，

且關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為8,∣∕8∣=尸尸2∣四邊形月尸山出的面積為6,則雙曲線C的方程為

()

A.——j√=1B.X2——=1

C.χ2一爐=2D.y—X2=I

聽課筆記：

反思感悟求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

H硝J根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在A軸上,還是

W≡J在.V軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)都有可能

∏H?根據(jù)上述判斷設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,或設(shè)出含其他待定

嗎超一系-數(shù)的方程

I找關(guān)系H根據(jù)已知條件，建立方程(組)，求出待定薇

I得方程H解方程(組),將解代人所設(shè)方程—I

［提醒］(1)利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，

根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)α,b,C的方程并求出“，b,C的值.

(2)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求

出雙曲線方程.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?浙江高三開學(xué)考試］已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(a,0),漸近線方程為在歷=0,

則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2y1---

A.—2—x=lB.j2?

C.χ2-∑!=ιD.--y2^l

227

2.已知外(一5,O),B(5,0)是雙曲線\一?=l(α>O,6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)尸ι的直線/

與圓O-./+爐=。2切于點(diǎn)T,且與雙曲線右支交于點(diǎn)P,M是線段PM的中點(diǎn)，若∣OM~^∣7M

=1,則雙曲線的方程為()

A.￡—^=1B.直—^=1

916169

C.蘭一些=1D.直一e=1

12131312

考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)［綜合性］

角度1雙曲線的離心率

［例3］(l)［2021?全國(guó)甲卷］已知B,尸2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),尸為C上一點(diǎn),且/RPB

o

=60,∣PF1∣=3∣PF2∣,則C的離心率為()

A.yB.?C.√7D.√13

(2)［2022?湖南省長(zhǎng)沙市高三調(diào)研］已知雙曲線C：捺一真=l(4>0,b>0)的左焦點(diǎn)為尸，

過(guò)原點(diǎn)的直線/與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)尸，0,且滿足|0月一∣PR=8,虛軸的上端點(diǎn)

8在圓χ2+(r-3)2=l內(nèi)，則該雙曲線離心率的取值范圍為()

A.臂,2)B.(等，2)

C.(y,√2)D.(√2,√3)

聽課筆記：

反思感悟求雙曲線離心率或其范圍的方法

⑴求α,b,C的值，由"=1+1直接求e.

draza/

(2)列出含有α,b,C的齊次方程(或不等式)，借助于∕=c2-/消去兒然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于

e的方程(或不等式)求解.

角度2雙曲線的漸近線

［例4］(l)［2022?黑龍江哈爾濱市測(cè)試］點(diǎn)P為雙曲線'—3=l(α>0)右支上一點(diǎn)，*、F2

分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若IPBI=7,|P&|=3,則雙曲線的一條漸近線方程是()

A.2x+3y=0B.4x+9y=0

C.3x—2y=0D.9x—4y=0

(2)［2021?全國(guó)乙卷］已知雙曲線C：?一爐=I(W>0)的一條漸近線為恁+妝=0,則C的

焦距為.

聽課筆記：

反思感悟求雙曲線漸近線方程的方法

(1)求雙曲線中“，6的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.

(2)求。與6的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.

(3)令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0,將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程.

［提醒］兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于X軸J軸對(duì)稱.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?貴州省思南中學(xué)檢測(cè)］過(guò)雙曲線W=Igo">0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓O：

/+/=/的切線，切點(diǎn)為日延長(zhǎng)房交雙曲線于點(diǎn)P,若E為線段々的中點(diǎn)，則雙曲線

的離心率為()

A.√5B.—C.√5+lD.—

22

2.［2022?肥城市高三測(cè)試］已知屈、后分別是雙曲線C：W=Im>0,心0)的左、

右焦點(diǎn)，雙曲線C的右支上一點(diǎn)Q滿足=尸巾直線FlQ與該雙曲線的左支交于P點(diǎn)，

且P恰好為線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±∣xB.y=±2x

C.y=±2-?∕3xD.y=±3λ∕2x

3.［2022?成都模擬］已知點(diǎn)(1,2)是雙曲線'一A=Im>0,6>0)上一點(diǎn)，則其離心率的

取值范圍是()

A.(1,√5)B.(1,y)

C.(√5,+∞)D.(y,+∞)

考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系［綜合性］

［例5］［2022?長(zhǎng)沙四校聯(lián)考］設(shè)48分別為雙曲線A-A=I(a>0,b>0)的左、右頂

點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4√5,焦點(diǎn)到漸近線的距離為√1

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線V=爭(zhēng)一2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)。,

使南+而=而，求f的值及點(diǎn)。的坐標(biāo).

聽課筆記：

反思感悟

I.解決此類問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方

程組成方程組，涉元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于忒或回的一元二次方程.利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入.

2.有時(shí)根據(jù)直線的斜率上與漸近線的斜率的關(guān)系來(lái)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會(huì)比較

快捷.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

[2022?福建省高三質(zhì)檢]已知雙曲線C：3一A=l(α>O,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,

雙曲線C的右頂點(diǎn)/在圓O：x2+y2=?±,且AF][TX→]?AFz=-I.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)動(dòng)直線/與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M、M

問(wèn)AOMMO為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明

理由.

微專題34方程思想求離心率思想方法

[例][2020?全國(guó)卷I]已知尸為雙曲線C：?-A=l(α>O,6>0)的右焦點(diǎn)，/為C的右

頂點(diǎn)，8為C上的點(diǎn)，且垂直于X軸.若/8的斜率為3,則C的離心率為.

解析：點(diǎn)B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(c,?),點(diǎn)A坐標(biāo)為3,0),

,?18的斜率為3,

好22

Λ-2-=3,即三二2=e+l=3,，e=2.故離心率e=2.

c-aa(c-a)a

答案：2

名師點(diǎn)評(píng)(1)本例利用方程思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，然后求出離心率e.

(2)求解橢圓、雙曲線的離心率或離心率的取值范圍的方法通常是根據(jù)條件列出關(guān)于0,c

的齊次方程或不等式，然后再轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程或不等式求解.

［變式訓(xùn)練］

222

設(shè)H，尸2分別是橢圓a+底=l(α>6>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線X=：上存在點(diǎn)P，使

線段PQ的中垂線過(guò)點(diǎn)則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0,y］B.(0,爭(zhēng)

C.停,1)D.停,1)

第六節(jié)雙曲線

積累必備知識(shí)

1.∣∣Λ∕F1∣-∣MF2∣∣Fi,F1∣F,F2∣

2.x2a或x≤-αy≤-α或坐標(biāo)軸原點(diǎn)坐標(biāo)軸原點(diǎn)(一α,0)(α,0)

(0,—a)(0,a)j=i?xy=空X=(1,+o0)2a2bal+h1

3.y=^x

__、

1.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

22

2.解析：由已知得α=3,￠=5,則雙曲線方程為看一高=1.

答案.過(guò)一些=1

u*9161

3.解析：因?yàn)樵摲匠瘫硎倦p曲線，所以(zπ+2)(∕n+5)>0,即加>—2或—5,即

的取值范圍為(一8,—5)u(-2,+∞).

答案：(-8,—5)U(—2,+∞)

4.解析：由題意知IQF2∣=6,而IPBI—IPBI=±6,滿足2α=/IBl這一條件，故所求點(diǎn)

的軌跡是兩條射線.

答案：兩條射線

5.解析：由題知α=4,b=9,c=√a2+b2=√97,由于∣P∕7ι∣=9<α+c=4+√^V,故點(diǎn)

P只能在左支上,所以IP向2|一|PEl=2α=8,所以∣PB∣=IPFIl+8=17.

答案：17

6.解析：由雙曲線的方程知，α=4,6=3,焦點(diǎn)在X軸上，所以雙曲線的一條漸近線方

程為y=∣x,即3χ-4y=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)(3,0)到雙曲線的一條漸近線的距

?工|3X3-4XO|_9

高^(guò)√32*4+(-4)2^5-

答案：A

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1解析：⑴由題意知3=2,所以α=2,所以C=V4+16=2√5,

所以IPQI=5<2+2√^=α+c,所以點(diǎn)P在雙曲線C的左支上，

所以∣PF2∣-∣P*∣=4,所以IPF2∣=9.

(2)由雙曲線的定義可得『仔|一IpF2∣=^PF2∣=2α=2,解得IPF2∣=6,故∣P∕R=8,

又尸ιB∣=2c=10,由勾股定理可知：三角形PaB為直角三角形，因此SAFIPFZ=

^PF↑?-?PF2?=24.

答案：(I)D(2)B

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由題意知故〃=4,則c=5.由IMBI=6<α+c=9,知點(diǎn)M在C的右支

上，由雙曲線的定義知∣Λ∕F∣∣一∣Λ∕A∣=2α=8,所以IMaI=I4.

答案：C

2.解析：設(shè)IPFII=n,?PF1?=r2,則|乃一Γ2∣=2α,?rl+r^-2rlr2-4a2.

由于F?PA.F2P,則+以=44,

4。2——2門尸2—4〃2,.?.∏=262.

srr22

?：?PFιF2~∣l2=∣×26=ft=4,

?'e=Jl+[=Jl+/=而,

解得/=1,即α=l.

答案：A

3.解析：由雙曲線的定義有

∣PF,I-IPF2∣=I刊72尸20=2√Σ,

所以IPBI=2∣PP2∣=4√Σ,貝IJCoS/HPB

_鵬廣+四2|2-但逮2|2_(4可+(2討-42_3

2∣PF1∣?∣PF2∣2×4√2×2√24

答案：

?4

考點(diǎn)二

例2解析：（l）?.?e=9=2,則c=2α,b=7?-￡=炳a,則雙曲線的方程為點(diǎn)一￡=

1,

將點(diǎn)（夜，通）的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得1一基=*=1,解得α=l,故b=痘,

2

因此，雙曲線的方程為f-gv=ι.

解析：（2）由原點(diǎn)O分別為/8和2的中點(diǎn)，得四邊形/尸山尸2為平行四邊形，又IASl

=IFiF2∣,則四邊形/QBEz為矩形.由四邊形AFxBF2的面積為6,得/FIIM胤=6,再結(jié)合MFlF

+⑷W=/正2∣2=16及雙曲線的定義，得IMBLl/尸2∣∣=2α,即4/=MaI2+MBF-2∣4aWBI

=16—12=4,BPα2=l,

所以∕>2=C2-*=3,故雙曲線C的方程為/一9=L

答案：（I）B（2）B

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且c=√5,B=W,再由￠2=/+62,解

a2

得:/=2,b2=?,該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9一爐=L

答案：D

2.

解析：由于Λ/,O分別是P*,F匹的中點(diǎn)，所以O(shè)A/〃PF2,OM=^PF2.

根據(jù)雙曲線的定義可知IPQI—∣PB∣=2α,

所以∣Λ∕Q∣-IoM=。，

由于IOM-ITM=1，所于Mr1|一|四=α+l,

7

βp∣77ι∣=a+1,也即，52—a2=。+1,即/+Q—12=0,

解得α=3,負(fù)根舍去.

所以h=y∕c2-a2=4.

所以雙曲線的方程為9一q=L

答案：A

考點(diǎn)三

例3解析：⑴設(shè)∣PF2∣=m,∣PFι∣=3m,則∣F1F2∣

=√m2+9m2—2×3m×m×cos60°

=√7m,所以C的離心率e=￡=上

a2a

—∣FIF2∣-√7m-√7

^^IPF1I-IPF2I

解析:(2)

設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F,連接PF,QF,如圖所示.由對(duì)稱性可知，P,Q關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，則QPI=IOQl.又QFI=IOF|,所以四邊形PFQF為平行四邊形，所以IPFl=IQF1,則IQFl

一IPFl=IQFl—IQFI=2a=8,所以a=4.因?yàn)樘撦S的上端點(diǎn)B(0,b)在圓χ2+(y-3>=1內(nèi)，所

以02+(b-3)2<l,解得2<b<4,則2<√c2-a2<4,即2<√c?-16<4,得2√^<cV4√Σ,

所以e=geg,√2).

答案：(1)4(2)C

例4解析：(1)由題意，點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，B、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，

因?yàn)镮PBI=7,∣PF2∣=3,由雙曲線的定義，可得2α=∣PF∣∣一『產(chǎn)2∣=4,解得α=2,

所以雙曲線的一條漸近線方程是產(chǎn)多=±∣x,即3xi2y=0.

所以雙曲線的一條漸近線方程是3χ-2y=0.

解析：(2)雙曲線專一y2=l(,">0)的漸近線為y=±?看X,即Λ-÷√my=O,又雙曲線的一條

漸近線為√Wx+歿=0,即x+色=0,對(duì)比兩式可得，加=3.設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為4,虛半

2

軸長(zhǎng)為6,半焦距為c,則有°2=ZM=3,b=l,所以雙曲線的焦距2c=2√a2+b2=4.

答案：(I)C(2)4

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.

解析：不妨設(shè)E在X軸上方，/為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接?！關(guān)F',如圖所示因?yàn)镻F

是圓。的切線，所以O(shè)EVPE,

又E,O分別為PA，尸的中點(diǎn)，所以IOEI=T∣PF1,

又IOEl=",所以IPFl=24,

根據(jù)雙曲線的定義，?PF[-?PF'?^2a,

所以IPFI=44,所以IEFI=2α,

在Rt△。卯中,IoEF+|￡7甲=∣OF∣2,即02+4a2=c2,所以e=√g.

答案：A

2.解析:依題意,令|。。I=IOal=Io弁2∣=c,則有。尸」。乃，

令|。尸2尸2f,由雙曲線定義得IOQl=2α+2f,而點(diǎn)尸是中點(diǎn)且在雙曲線左支上，則

?PQ?=?PFι?=a+t,?PF2?=3a+t,

在RtZSP0B中，∣P0F+∣0F2∣2=∣PF2∣2,即(4+。2+(2。2=(3。+。2,解得/=2°,貝力。尸2∣

=4α,?QFi?=6a,

22222

在RtAFigF2中，IOFiF+∣°BF=/內(nèi)|2,即36α+16α=4c,c=13a,于是得尼=12層,

g=2√5,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2√Ix.

答案：C

3.解析：已知點(diǎn)(1,2)是雙曲線今一??=l(α>0,b>0)上一點(diǎn)，得玄一.=L即

所以

+4,所以e1+^√b∑T5>√5,e>√5.

a

答案：C

考點(diǎn)四

例5解析：⑴由題意知α=2√5,

.?.一條漸近線為y=亳X.

即∕>χ-2√3y=0,

.??d?=8,"=3,

.?