精修版高中數學人教A版選修41學案第2講5與圓有關的比例線段Word版含解析

五與圓有關的比例線段1．會論證相交弦、割線、切割線、切線長定理．(重點)2．能運用相交弦、割線、切割線、切線長定理進行計算與證明．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理1相交弦定理閱讀教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列問題．1．文字語言圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．2．圖形語言如圖2-5-1，弦AB與CD相交于P點，則PA·PB＝PC·PD.圖2-5-1AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，AM＝4，BM＝9，則弦CD的長為__________．【解析】根據相交弦定理，AM·BM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2，所以eq\f(CD,2)＝6，CD＝12.【答案】12教材整理2割線定理閱讀教材P35～P36“割線定理”及以上部分，完成下列問題．1．文字語言從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．2．圖形語言如圖2-5-2，⊙O的割線PAB與PCD，則有PA·PB＝PC·PD.圖2-5-2如圖2-5-3，⊙O的弦ED，CB的延長線交于點A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，則DE＝__________.圖2-5-3【解析】由割線定理知，AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.【答案】5教材整理3切割線定理閱讀教材P36“切割線定理”及以上部分，完成下列問題．1．文字語言從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．2．圖形語言如圖2-5-4，⊙O的切線PA，切點為A，割線PBC，則有PA2＝PB·PC.圖2-5-4如圖2-5-5，P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，過點P的直線l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，則PA等于()圖2-5-5A．4 B．6C．9 D．36【解析】由切割線定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】B教材整理4切線長定理閱讀教材P36～P40，完成下列問題1．文字語言從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．2．圖形表示如圖2-5-6，⊙O的切線PA，PB，則PA＝PB，∠OPA＝∠OP B.圖2-5-6[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]切割線定理如圖2-5-7所示，已知AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：圖2-5-7(1)BC的長；(2)⊙O的半徑r.【精彩點撥】eq\x(\a\al(由AB2＝BM·BN，,求得BC))→eq\x(\a\al(由CD·AC＝CN·CM，,求得CD))→eq\x(結果)【自主解答】(1)不妨設BM＝MN＝NC＝x.根據切割線定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，解得x＝eq\r(2)，∴BC＝3x＝3eq\r(2).(2)在Rt△ABC中，AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(14)，由割線定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，CN＝eq\r(2)，BC＝3eq\r(2)，CM＝BC－BM＝3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(14)，∴CD＝eq\f(CN·CM,AC)＝eq\f(2\r(14),7)，∴r＝eq\f(1,2)(AC－CD)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(14)－\f(2\r(14),7)))＝eq\f(5\r(14),14).1．解答本題的關鍵是先根據切割線定理求BC.2．切割線定理常常與弦切角定理、相交弦定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形結合在一起解決數學問題，有時切割線定理利用方程進行計算、求值等．[再練一題]1．(2016·唐山期末)如圖2-5-8，△ABC內接于⊙O上，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于點E，點F在DA的延長線上，AF＝AE，求證：(1)BF是⊙O的切線；(2)BE2＝AE·DF.圖2-5-8【證明】(1)連接BD.因為AD⊥AB，所以BD是⊙O的直徑．因為AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又因為AB＝AC，所以∠EBA＝∠C.又因為∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切線．(2)由切割線定理，得BF2＝AF·DF.因為AF＝AE，BE＝BF，所以BE2＝AE·DF.切線長定理如圖2-5-9，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與過A，B兩點的切線分別交于點E，F，AF與BE交于點P.圖2-5-9求證：∠EPC＝∠EBF.【精彩點撥】eq\x(由切線)→eq\x(\a\al(EA＝EC，,FC＝FB))→eq\x(\f(EC,FC)＝\f(EP,PB))→eq\x(CP∥FB)→eq\x(結論)【自主解答】∵EA，EF，FB是⊙O的切線，∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直徑，∴EA⊥AB，FB⊥AB，∴EA∥FB，∴eq\f(EA,BF)＝eq\f(EP,BP)，∴eq\f(EC,FC)＝eq\f(EP,PB)，∴CP∥FB，∴∠EPC＝∠EBF.1．解答本題的關鍵是利用對應線段成比例得到CP∥F B.2．運用切線長定理時，注意分析其中的等量關系，即(1)切線長相等，(2)圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結合三角形等圖形的有關性質進行計算與證明．[再練一題]2.如圖2-5-10所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，梯形中位線為EF.圖2-5-10(1)求證：EF＝AB；(2)若EF＝5，AD∶BC＝1∶4，求此梯形ABCD的面積．【解】(1)證明：∵⊙O為等腰梯形ABCD的內切圓，∴AD＋BC＝AB＋CD.∵EF為梯形的中位線，∴AD＋BC＝2EF.又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB.(2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10.∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8.作AH⊥BC于H，則BH＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝eq\f(1,2)(8－2)＝3.在Rt△ABH中，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(52－32)＝4，∴S梯形ABCD＝EF·AH＝5×4＝20.[探究共研型]相交弦定理探究1能否用三角形相似證明相交弦定理？【提示】能．如圖，⊙O的弦AB，CD相交于P點，連接AD，BC，則△APD∽△CPB.故有eq\f(PA,PC)＝eq\f(PD,PB)，即PA·PB＝PC·PD.探究2垂徑定理、切線長定理、射影定理、相交弦定理、切割線定理之間有何關系？【提示】如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線，A，B為切點，PCD為過圓心O的割線，連接AB，交PD于點E，則有下列結論：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，則C為△PAB的內心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)＝，＝，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.(2016·南京、鹽城模擬)如圖2-5-11，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，若PC＝eq\f(9,8)，OP＝eq\f(1,2)，則PD＝________.圖2-5-11【精彩點撥】由垂徑定理知OP⊥AB，由勾股定理知PB＝eq\f(\r(3),2)，由相交弦定理得PD＝eq\f(2,3).【自主解答】∵P為AB中點，∴OP⊥AB，∴PB＝eq\r(r2－OP2)＝eq\f(\r(3),2)，又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2＝eq\f(3,4)，由PC＝eq\f(9,8)，得PD＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)1．解答本題的關鍵是先用勾股定理求PB，再用相交弦定理求PD.2．相交弦定理的運用往往與相似形聯系密切，也經常與垂徑定理、射影定理等相結合進行某些計算與證明．[再練一題]3．如圖2-5-12，PC切⊙O于點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于點E，PC＝4，PB＝8，則CD＝________.圖2-5-12【解析】由于PC切⊙O于點C，由切割線定理得PC2＝PA·PB，所以PA＝eq\f(PC2,PB)＝eq\f(42,8)＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6，由于CD⊥AB，且AB為圓O的直徑，由垂徑定理知CE＝DE.設AE＝x，由相交弦定理得CE·DE＝AE·BE＝x(6－x)，即CE2＝x(6－x)，由勾股定理得CE2＝PC2－PE2＝42－(x＋2)2，故有x(6－x)＝42－(x＋2)2，解得x＝eq\f(6,5)，∴CE2＝eq\f(6,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(6,5)))＝eq\f(144,25)，∴CE＝eq\f(12,5)，∴CD＝2CE＝eq\f(24,5).【答案】eq\f(24,5)[構建·體系]1．點C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點，且OC⊥CP，則()A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PBC．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB【解析】根據OC⊥CP，可知C為弦PC的中點，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.【答案】D2．如圖2-5-13，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2圖2-5-13【解析】在直角三角形ABC中，根據直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】A3.如圖2-5-14，AB是圓O的直徑，過A，B的兩條弦AD和BE相交于點C，若圓O的半徑是3，那么AC·AD＋BC·BE的值等于________．圖2-5-14【解析】由相交弦定理得AC·CD＝BC·CE，∴AC·AD＝AC·(AC＋CD)＝AC2＋AC·CD＝AC2＋BC·CE＝AE2＋CE2＋BC·CE＝AE2＋CE·(CE＋BC)＝AE2＋BE·CE，∴AC·AD＋BC·BE＝AE2＋BE·CE＋BC·BE＝AE2＋BE·(CE＋BC)＝AE2＋BE2＝AB2＝36.【答案】364．如圖2-5-15，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為________．圖2-5-15【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10eq\r(3).∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq\r(3).由切割線定理得CD2＝DE·BD，即(5eq\r(3))2＝15DE，∴DE＝5.【答案】57．如圖2-5-16所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，D為⊙O上的點，且AD＝AC，AD，BC相交于點E.圖2-5-16(1)求證：AP∥CD；(2)設F為CE上的一點，且∠EDF＝∠P，求證：CE·EB＝FE·EP.【證明】(1)∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC.又∵PA與⊙O相切于點A，∴∠ACD＝∠PAD.∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD.(2)∵∠EDF＝∠P，且∠FED＝∠AEP，∴△FED∽△AEP，∴FE·EP＝AE·ED.又∵A，B，D，C四點均在⊙O上，∴CE·EB＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(十)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．如圖2-5-17，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝()圖2-5-17A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】B2．PT切⊙O于T，割線PAB經過點O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,4)【解析】如圖所示，連接OT，根據切割線定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝eq\f(PT,PO)＝eq\f(4,5).【答案】A3．如圖2-5-18，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為()圖2-5-18A．5.5 B．5C．6 D．6.5【解析】由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為5.5.【答案】A4．如圖2-5-19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一點O為圓心作⊙O與AC，AB都相切，又⊙O與BC的另一個交點為D，則線段BD的長為()圖2-5-19A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)【解析】觀察圖形，AC與⊙O切于點C，AB與⊙O切于點E，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.如圖，連接OE，由切線長定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根據切割線定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝eq\f(1,3).【答案】C5.如圖2-5-20，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論：圖2-5-20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結論的序號是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①項，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確；②項，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正確；③項，延長AD于M，連接FD，∵AD與圓O切于點D，則∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯誤，故選A.【答案】A二、填空題6．如圖2-5-21，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線交于D，過點C作BD的平行線與圓交于點E，與AB交于點F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，則CD＝________.圖2-5-21【解析】因為AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)7．如圖2-5-22，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________.圖2-5-22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，設PD＝9a，則DB＝16a.根據切割線定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．如圖2-5-23所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．圖2-5-23【解析】設⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延長PO交⊙O于點C，則PC＝PO＋r＝3＋r.設PO交⊙O于點D，則PD＝3－r.由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)三、解答題9．(2016·山西四校聯考)如圖2-5-24所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E.圖2-5-24(1)求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．【解】(1)證明：∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA為圓O的切線，PC是過點O的割線，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，連接EC，則∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.10．如圖2-5-25，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點，PO＝4cm，∠APB＝60°，求陰影部分的周長．圖2-5-25【解】如圖所示，連接OA，O B.∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∠APO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，在Rt△PAO中，AP＝PO·coseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，OA＝eq\f(1,2)PO＝2(cm)，PB＝2eq\r(3)(cm)．∵∠APO＝eq\f(π,6)，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴l(xiāng)eq\x\to(AB)＝∠AOB·R＝eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π(cm)，∴陰影部分的周長為PA＋PB＋leq\x\to(AB)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＋eq\f(4,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3)＋\f(4π,3)))(cm)．[能力提升]1．如圖2-5-26，已知PT切⊙O于點T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于()圖2-5-26A．20 B．10C．5 D．8eq\r(5)【解析】∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝eq\f(DB·DA,DC)＝eq\f(4×3,2)＝6.因為TC為⊙O的直徑，所以PT⊥DT.設PB＝x，則在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割線定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.【答案】A2．如圖2-5-27