劉蔣?。簣A錐曲線-2023高考數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)知識+出題背景+高考真題訓(xùn)練)

圓錐曲線一一2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題(基礎(chǔ)知識+出題背景+高考真題訓(xùn)練)

圓錐曲線

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題

基礎(chǔ)知識

橢圓的基本量

1.如圖(1),過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦,稱為通徑.

2.如圖(2),尸為橢圓上的點，F(xiàn)i,尸2為橢圓的兩個焦點，且NEP尸2=仇則尸2

的面積為.

3.橢圓上的點到焦點距離的最大值為______,最小值為.

4.設(shè)尸，A,2是橢圓上不同的三點，其中4,8關(guān)于原點對稱，則直線以與網(wǎng)的斜

率之積為定值.

1.2.62,tan-3.a+ca—c4.一三

a2cr

直線與橢圓

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關(guān)于x(或舊的一元方程：ax2+bx

+c=0(或ay2+b,+c=0).

(1)若可考慮一元二次方程的判別式」,有：

①4>0直線與圓錐曲線；

②4=0直線與圓錐曲線；

③40直線與圓錐曲線.

2.圓錐曲線的弦長

設(shè)斜率為碎W0)的直線/與圓錐曲線C相交于4>1,歹),8(X2,/)兩點，則48=

1.(1)①相交②相切③相離

2.1+A2|x2一xi|=

1

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雙曲線的基本量運(yùn)算

1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.

2.如圖，尸為雙曲線上的點，F(xiàn)1,尸2為雙曲線的兩個焦點，且/尸1尸尸2=仇則尸2

的面積為.

3.焦點到漸近線的距離為.

4.設(shè)P,A,2是雙曲線上的三個不同的點，其中4,2關(guān)于原點對稱，則直線以與

PB的斜率之積為.

1.—2.e3.b

atan——4

2

拋物線

設(shè)45是過拋物線爐=2必?>0）焦點T7的弦，若4（小yi）,Bg,8），貝！J：

（1）%1%2=4，y\yi——p?；

(2)AF=——2——，BF=—2——，弦長48=xi+x2+p=^G(a為弦4s的傾斜

1—cosa1+cosasin2a

角)；

（4）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

（5）以/尸或3尸為直徑的圓與〉軸相切；

（6）過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上.

直線與圓錐曲線

1.已知橢圓C：［+1=l（a>6>0）上任意一點M（除短軸端點外）與短軸兩端點Bi，B?

的連線分別與x軸交于尸，。兩點，。為橢圓的中心，則OPOQ=層.

2.已知橢圓C：，+（=l（a>6>0）上任意一點M（除短軸端點外）與短軸兩端點S，&

的連線的斜率分別為加后，則上的=—與.

3.過拋物線產(chǎn)=2內(nèi)防>0）的焦點方作直線交拋物線于4,5兩點，且4a1,刃），Bg

pi

y2），貝！J%1X2=；，歹1歹2=—p2.

4.過拋物線產(chǎn)=2"。>0）的頂點。作兩條互相垂直的直線交拋物線于4,5兩點，則直

線45過定點（22，0）.

2

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出題背景

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(1)阿基米德三角形

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形這個三角形又常被稱為

阿基米德三角形。因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了拋物線的弦與拋

物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的2/3.

近年全國以及各地高考以此為背景的頗多。

M1

(2019年用卷理科21)已知曲線C：.。為直線產(chǎn)上的動點，過。作。的兩條

切線，切點分別為工，B.

(1)證明：直線48過定點：

(2)若以E(0,g)為圓心的圓與直線48相切，且切點為線段的中點，求四邊形

ADBE的面積.

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(2)阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)(不為1)的點的軌跡為圓。

1994年全國高考題

(24)(本小題滿分12分)

已知直用坐標(biāo)平面上點。(2,0)和網(wǎng)C：*2+丁=1,動點例到|川

C的切線長與1MQ的比等「常數(shù).“A>0).求動點M的軌跡方程，說

明它表示什么曲線.

對條件的討論

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(2)阿波羅尼斯圓

(2008年江蘇理科題)滿足條件48=25y1。=正比的AABC的面積的最大值是

切線的方程，圖】

<2>若圓C上存在點使

MA-2MO.求圜心C的橫坐標(biāo)。的取值范圍.

3

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2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個動點到兩個定點的距離

之比為常數(shù)（不為1）的點的軌跡為圓.

阿波羅尼斯圓可以向圓錐曲線中推廣.

定理設(shè)r為一非退化的二次曲線，尸是一

個不在r上的定點（當(dāng)「是有心二次曲線時.P

不是中心）?過尸任作直線交r于A、從則存在另

一定點Q，使得尷1=舞1恒成立.

從圓到橢圓的推廣

（2015四川理第20題）如圖，橢圓+=

ao

1儲>6>0）的離心率是過點P（0,D的動直線I

與橢圓相交于A,8兩點?當(dāng)直線/平行于N軸時.

直線I被橢圓E截得的線段長為2V2.

（I）求橢圓E的方程，

<n）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與

點P不同的定點Q，使得黔■=悔;恒成立？

若存在，求出色》京不存在，請說明

理由.

4

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2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（3）“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

橢圓或雙曲線任意一條弦所在直線的斜率與該弦中點與橢圓（或雙曲線）中心

連線的斜率之積為常數(shù).

設(shè)點M是有心圓錐曲線C:mx2+ny2-1（肛〃同正或異號）上異于

直徑48的兩個端點的任意一點，則%也必誑=

n

逆命題就是所謂的第三定義（軌跡不包的端點）

設(shè)而不求

點差法

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

<3）“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

（2018年全國卷in）已知斜率為上的直線,與橢圓c：交于A,B兩點.線段A8的中點為

（1）證明：為

（2）設(shè)尸為C的右焦點，P為。上一點，且而+百+麗=鼠證明：2恒AH百出屬.

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（3）“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

第1問和第（2）問

的⑴

5

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2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(4)“張直角弦”問題

圓中"張直角弦”是圓的直徑；過圓的中心即圓心；

橢圓、雙曲線、拋物線有類似性質(zhì)嗎？兩斜率之積為其他常數(shù)如何？

直角弦定理

設(shè)點P(%,%)在圓錐曲線上，且為直角的頂點.

(1)橢圓W+==l(a>b>0)張角為直角的弦所在的直線過定點(%,-乂)，其中r=

aba4-0

(2)雙曲線*一/=1(。>0)>0,。/6)張角為直角的弦所在的直線過定點(、,一乂)

甘+a2+b2

其中

(3)拋物線)'2=2px(p>0)張角為直角弦所在的直線過定點(2p+%,_%)。

(4)“張直角弦”問題

2020年新高考I卷第22題

22.已知橢圓G1+/=1(。>6>0)的離心率為乎，且過點4(2,D.

(1)求麗方程：

若不是張直角，而是斜率之乘積為常數(shù)，也有類似結(jié)論

定理2設(shè)A/(%,乂)是給定有心圓錐曲線。：”一

+〃產(chǎn)=1上的定點，點/,4是曲線。上的動點，若

與A/8的斜率之積為2，貝IJ:

①當(dāng)2時，動直線45過定點

n

^(An+m)x0(A.n+m)y0

An—mAn—m

②當(dāng)之=2時，動直線Z6的斜率為定值

6

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(4)“張直角弦”問題

若不是張直角，而是斜率之和為常數(shù)，也有類似結(jié)論

—2017年高考數(shù)學(xué)全國卷I理科第20題為：

已知橢圓。：4+當(dāng)=1(a>6>0),四點P.(l,

ab

l),P2(0,l),P3(-l,^),P4(1,日)中恰有三點在

橢圓c上。

(I)求C的方程；

(D)設(shè)直線2不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B

兩點。若直線P2A與直線PzB的斜率之和為一1,證

明：Z過定點。

定理設(shè)直線Z不經(jīng)過橢圓C：1+《=l

ao

點且與橢圓。相交于兩點A,B,若直

PA與直線PB的斜率之和為入，則

h2T

當(dāng)；1=0時，若直線/的斜率為定值丁

aLy

若泌=0,直線/的斜率不存在；

當(dāng)A^0時,直線/過定點(一爭十4，等一加：

7

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圓中“張直角弦”是圓的直徑；過圓的中心即圓心；

橢圓、雙曲線、拋物線有類似性質(zhì)嗎？兩斜率之積為其他常數(shù)如何？

直角弦定理

設(shè)點F(x0,%)在圓錐曲線上，且為直角的頂點.

(1)橢圓^+==1(。>6>0)張角為直角的弦所在的直線過定點(%,-%)，其中r=

aba+b

&=1(。>0,6>0,a*6)張角為直角的弦所在的直線過定點

(2)雙曲線(、，-%)

a2+b2

其中「=

(3)拋物線J=2px(p>0)張角為直角弦所在的直線過定點(20+%,一%)。

(5)圓錐曲線“等角”定理

過橢圓51=1(。>6>0)長軸上任意一點N?0)的一條弦端點與對應(yīng)點Gy,0：的連線

abkf>

所成角被焦點所在直線平分，即^OGA=ZOGB

(5)圓錐曲線“等角”定理

過雙曲線J-g=1(?>0,6>0)實軸所在直線上任意一點NQ.0)的一條弦端點與對應(yīng)點

(g.0的連線所成角被焦點所在直線平分，即NOa=40GB

過拋物線產(chǎn)=2pMp>0)對稱軸上任意一點N(a,0)的一條延端點A,B與對應(yīng)點閉-/0)的連

線所成角被對稱軸平分.

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(5)圓錐曲線“等角”定理

2018全國1卷文科20

設(shè)拋物線c：y2=2x,點4(2,0),B(-2,0),過點N的直線/與C

交于A1,N兩點.

(1)當(dāng)7與x釉垂直時，求直線BM的方程：

(2)證明：/ABM=NABN.

2018全國1卷理科19

設(shè)橢圓C：二+/=1的右焦點為尸，過尸的直線/與C

2

交于S,B兩點，點A/坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時，求直線NA/的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，證明：ZOMA=AOMB.

2015年新課標(biāo)標(biāo)I卷20題

*2

在直角坐標(biāo)xoy中，曲線C：y=—與直線丁=履+。(。＞0)交于乂，N兩點，

4

(1)當(dāng)％=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(^)在y軸上是否存在點P,使得當(dāng)后變動時，總有NOPM=NOPN?說明理山.

(6)彭賽列(Poncelet)閉合定理

平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條

圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)

性質(zhì)的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

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(2009年江西卷)如圖1,已知圓C:(%-2)2+y2=

2

r2是橢圓二+/=1的內(nèi)接8c的內(nèi)切圓，其中4為

16

橢圓的左頂點.

(I)求圓的半徑r；

(2)過點M(0,l)作圓。的兩條切線交橢圓于&

F兩點，證明直線￡〃與圓C相切.

(6)彭賽列(Poncelet)閉合定理

2021年全國甲卷理科20題

20.拋物線。的頂點為坐標(biāo)原點O,焦點在T軸上，直線/:工=1交。于P.Q兩點，且

OPLOQ.已知點A/(2.0),且?A/與/相切.

(1)求C,。力/的方程；

(2)設(shè).41,A2,人是。上的三個點，直線44?,AIA3均與。心相切.判斷直線

A2A3與0A/的位置關(guān)系，并說明理由.

(7)蒙日圓問題

X2v2

橢圓二+4=1的兩條相互垂直的切線的交點軌跡方程/+爐=〃+/(蒙日圓)

a2b2

雙曲線二-5=1的兩條相互垂直的切線的交點軌跡方程為

a2b2

當(dāng)a>6>0時，兩條相互垂直的切線的交點軌跡方程/+_/=[2-/(蒙日圓)

當(dāng)a=6時，兩條相互垂直的切線的交點軌跡為原點；

當(dāng)0<a<b時，兩條相互垂直的切線的交點軌跡不存在

拋物線歹2=2夕工的兩條相互垂直的切線的交點軌跡為x=-g

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2014年廣東高考卷理科20題

已知橢圓C：￡+*=1（°>方>0）的一個焦點（百0）,離心率為4.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動點為橢圓C外一點，且點尸到橢圓C的兩切線相互垂直，求點

P的軌跡方程.

2022年廣州市調(diào)研測試21題

21.（12分）

已知橢圈C：1+==l（a>6>0）的離心率為3.Ft.鳥分別為橢圓C的左.右焦點，

（Tb-2

M為橢圓C匕一點，△△〃；；尼的周長為4+2JJ.

（1）求橢網(wǎng)1C的方程：

（2）P為圓x?+y2=5上任意一點，過戶作橢圓C的兩條切線,切點分別為4,B,

判斷可?方是否為定值？若是,求出定值：若不是，說明理由.

3.以高等幾何中極點、極線為背景

（1）極點與極線的定義

如圖，尸為不在圓錐曲線上的點，過點P

引兩條割線一次交圓錐曲線于四點￡、F、G

H,連接EH、FG交于N,連接EG、FH交

于A/,則MV為點尸對應(yīng)的極線.。

若尸為圓錐曲線上的點，過點尸的切線

即為極線。

由上作圖可知，同理尸M為點N對應(yīng)的

極線，PN為點M對應(yīng)極線，MNP稱為自極

三點形。若連接AW交圓錐曲線于/、8兩點，則尸/、尸8恰為圓錐

曲線的兩條切線。任何一點關(guān)于一般的代數(shù)曲線都有一條極線，每一

條直線都有一個極點.標(biāo)準(zhǔn)方程下圓錐曲線極

點與相應(yīng)極線的方程與有關(guān)性質(zhì).

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命題1橢圓1+4=1,則點P（X2。）對應(yīng)的極線方程為：

ab

/+迎=1.

a1b2'

雙曲線［-9=1,則點PU）對應(yīng)的極線方程為：

ab

人—九—一1.

a1b2;

拋物線x?=2py,則點P（x0,外）對應(yīng)的極線方程為：

XoX-p（y+汽）=0；

拋物線,2=2px,則點P（x°,y。）對應(yīng)的極線方程為：

yoy-p（x+x0）=o.

命題2若圓錐曲線中極線共點于P,則這些極線相

應(yīng)的極點共線于點P相應(yīng)的極線。反之亦然。稱為極

點與相應(yīng)極線對偶性。（配極原則）

命題3：已知點P和直線/是圓錐曲線。的一對極點與極線.

（1）若極點P在曲線上，則極線/與曲線。相切于點P；

（2）（2）若極點P在曲線。內(nèi)，則極線/與曲線C相離；

（3）（3）若極點P在曲線。外，則極線/與曲線。相交.

命題4：（1）圓錐曲線的過定點（極點）弦的端點之切線交點

的軌跡為直線（極線）；

（2）圓錐曲線過定點（極點）的弦AB的中點向極線作

垂線交點為尸，則P4P5與圓錐曲線相切.

反之亦然.

（3）圓錐曲線極線上的任意一點M與極點P的連線

交圓錐曲線于43兩點，則j\PpAB\廣1\MAl用A\:

（4）過圓錐曲線特定直線（極線）上任意一點引圓錐

曲線的切線，則切點弦直線恒過定點（極點）.

上述證明可參考《高等幾何》.

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年(新堞標(biāo)D)已知48分別為橢圓E：,+丁=1(。>1)的左、右頂

點，G為E的上頂點，AGGB^,P為直線戶6上的動點，以與E的另一交點為C,

PB與E的另一交點為D.

MA.兒4分別交直線x=-4于點尸，Q.求的值.

I

2013年廣東卷理科第20題

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸(o,c)(c>o)到直線/：x-y-2=0的距離為箋.

設(shè)P為直線/的點，過點尸作拋物線C的兩條切線PA,尸8,其中48為切點.

(I)求拋物線C的方程；

(II)當(dāng)點P(x。,%)為直線/上的定點時，求直線力8的方程；

(III)當(dāng)點P在直線/上移動時，求叩利的最小直

2019年全國卷理科21題

已知曲線C：尸:，。為直線尸上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別為4,B.

(1)證明：直線48過定點：

(2)若以E(0,g)為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形

的面積.___________________

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4高考題改編

2018年全國理科1卷19題源自2015年北京卷或2015年全國卷

2018年全國理科1卷19題

設(shè)橢圓=l的右焦點為F,過尸的出線/與C交于4,8兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時，求直線4W的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，證明：ZOMA-NOmB.

2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)19題

已知橢圓C：衛(wèi)+烏=1(a>b>0)的離心率為正，點P(0,1)和點A(m,n)(m#=0)都在橢圓C上，直線PA：

a2b22

軸于點M.

(I)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)(用m,n表示)：

(H)設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N,問：y軸上是否存在點Q,使得NOQM-NON

若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

2015年全國理科1卷20題

2

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=二與直線,=京+。(a>0)交與M,N兩點,

4

(I)當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(II)y軸上是否存在點P,使得當(dāng)k變動時，總有N0PM=N0PN?說明理由.

高考真題訓(xùn)練

一、單選題

1.(2022?全國?高考真題(理))雙曲線。的兩個焦點為百,B，以C的實軸為直徑的圓記為

3

D,過門作。的切線與C的兩支交于",N兩點，且cos//八罵=-,則。的禺心率為()

A.63

B.C.Vi|D.叵

22F

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圓錐曲線一一2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（基礎(chǔ)知識+出題背景+高考真題訓(xùn)練）

2.（2022?全國?高考真題（理））橢圓C:、+A=l（a>b>0）的左頂點為/，點尸，。均在C

ab

上，且關(guān)于y軸對稱.若直線NR/0的斜率之積為:，則。的離心率為（）

3.（2022?全國?高考真題（文））設(shè)尸為拋物線C:必=人的焦點，點/在。上，點2（3,0）,

若上"=忸尸則|/8|=（）

A.2B.272C.3D.372

221

4.（2022?全國?高考真題（文））已知橢圓C:二+與=l（a>6>0）的離心率為；；，4,4分別

a'b3

為C的左、右頂點，3為C的上頂點.若可?甌=-1,則C的方程為（）

二、多選題

5.（2022?全國?高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C:必=2.（°>0）焦點廠的直線

與C交于4,8兩點，其中4在第一象限，點M（“0）,若則（）

A.直線N3的斜率為2能B.\OB^\OF\

C.\AB\>^\OF\D.ZOAM+ZOBM

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圓錐曲線一一2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（基礎(chǔ)知識+出題背景+高考真題訓(xùn)練）

三、填空題

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7.（2022?全國?高考真題）已知橢圓C:=+與=l（a>b>0）,C的上頂點為兩個焦點為

ab

K，F(xiàn)2,離心率為過月且垂直于/耳的直線與。交于。，￡兩點，］。石|=6,則A/OE

的周長是，

8.（2022?全國?高考真題）設(shè)點”（-2,3）,3（0,4）,若直線ZB關(guān)于V=。對稱的直線與圓

（x+3）2+（y+2）2=1有公共點，則0的取值范圍是.

9.（2022?全國?高考真題）已知直線/與橢圓<+4=1在第一象限交于48兩點，/與x

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軸，y軸分別交于M,N兩點，且|M4|=|A?|,|MV|=2VL貝U/的方程為.

10.（2022?全國?高考真題）寫出與圓x2+/=1和（x-3y+（y_4）2=16都相切的一條直線的

方程.

丫2

11.（2022?全國?高考真題（理））若雙曲線三=1（加>o）的漸近線與圓/