《4.3.3余角和補(bǔ)角》課件（三套）

4.3.3余角和補(bǔ)角4.3角1、在一副三角尺中，每一塊都有一個角是90°，那么其余兩個角的和是多少度？2、如下圖，∠AOD=150°，∠BOD=30°，你能發(fā)現(xiàn)邊OA和OB之間有什么關(guān)系嗎？A

OBD90°在同一條直線上新課引入

如左圖所示，打臺球時，選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈后的紅球會直接入袋，此時∠1=∠2.這個問題可以簡單地表示為右圖.其中∠EDC=90o，那么各個角與∠1有什么關(guān)系？12ACBEDF12

有的角與∠1的和等于90o，例如（）∠ADC

有的角與∠1的和等于180o，例如（）∠ADF創(chuàng)設(shè)情境，引入新知1、余角的概念如果兩個角的和等于

，就說這兩個角互為余角，簡稱互余，即其中的一個角是另外一個角的余角.如果∠1=30°，∠2=60°，我們可以說∠1與∠2互余，或者可以說∠1是∠2的余角，還可以說

.90°∠2是∠1的余角研讀課文如果兩個角的和等于

，就說這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，即其中的一個角是另外一個角的補(bǔ)角.2、補(bǔ)角的概念如果∠1=45°，∠2=135°，我們可以說∠1與∠2互補(bǔ)，或者可以說∠1是∠2的補(bǔ)角，還可以說

.180°∠2是∠1的補(bǔ)角研讀課文練一練∠1和∠4；∠2和∠3∠1和∠8；∠2和∠5；∠3和∠6；∠4和∠5；1、∠1=10°，∠2=30°，∠3=60°，∠4=80°，∠5=100°，∠6=120°，∠7=150°，∠8=170°，其中互為余角的有：

；互為補(bǔ)角的有：.

研讀課文由此，我們可以得到補(bǔ)角性質(zhì)：類似地，余角的性質(zhì)：

.補(bǔ)角和余角的性質(zhì)如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，如果∠1=∠3，求證：∠2=∠4證明：∵∠1與∠2互補(bǔ)∴∠2=180°－

∵∠3與∠4互補(bǔ)∴∠4=180°－

∵∠1=∠3∴180°－∠1=180°－∠3∴∠2=∠4（

）2134

∠1∠3

同角（等角）的補(bǔ)角相等同角（等角）的余角相等等量代換研讀課文例3如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上,射線OD和射線OE分別平分∠AOC和

∠BOC，圖中哪些角互為余角？自主探究所以∠COD+∠COE＝∠AOC+∠BOC

解：因為A，O，B在同一直線上,

所以∠AOC和∠BOC互為補(bǔ)角.又因為射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，＝(∠AOC+∠BOC)＝90°所以，∠COD和∠COE互為余角，同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，

∠COD和∠BOE也互為余角.

方位角的概念

在生活當(dāng)中，我們有時候需要用到角來描述方位，我們把這樣的角稱為方位角.方位角有時以

為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向.正北或正南方向

方位角的表示習(xí)慣上以正北、正南方向為基準(zhǔn)來描述物體的方向．即用“北偏東多少度”“北偏西多少度”或者“南偏東多少度”“南偏西多少度”來表示方向．例4如圖，貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60o的方向上,同時,在它北偏東40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B,貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.O●東南西北●

A60°40°

B

C10°45°

D畫法以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，表示正北方向的射線為角的一邊，畫40°的角，使它的另一邊OB落在東和北之間.射線OB的方向就是北偏東40°，即客輪B所在的方向.互為余角互為補(bǔ)角對應(yīng)圖形數(shù)量關(guān)系性質(zhì)1212∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的余角相等.同角或等角的補(bǔ)角相等.知識梳理1、一個角的余角比它大20°，則這個角是____.35°強(qiáng)化訓(xùn)練2、按照上北下南，左西右東的規(guī)定畫出表示東南西北的十字線，然后在圖上表示下列方向的射線：（1）北偏東30°（2）南偏東15°30°15°強(qiáng)化訓(xùn)練1、如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，簡稱_____，即其中的一個角是另外一個角的_____.2、如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱_____，即其中的一個角是另外一個角的_____3、同角（等角）的_____相等，同角（等角）的_____相等.4、學(xué)習(xí)反思：互補(bǔ)互余余角補(bǔ)角補(bǔ)角余角歸納小結(jié)4.3.3余角和補(bǔ)角4.3角1.用度、分、秒表示：

1.38°

50.675°2.用度表示：50°40′30″

1°22′48″

計算：（1）7°49′+4°28′（2）9°18′－6.5°已知∠AOB=32°36′，∠BOC=24°43′，求∠AOC？解：∠AOC=∠AOB+∠BOC

=

56°79′=

57°19′=32°36′+24°43′PAOB12∠1+∠2=90°觀察下面圖形，回答問題．（1）射線OP把直角AOB分成了幾個角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？2

如果兩個角的和等于90°(直角)，那么稱這兩個角互為余角；簡稱兩個角互余。一、余角定義也可以說其中一個角是另一個角的余角．∠α∠α的余角35°22°62°5′α27°55′55°68°90°－α練一練10°45°65°45°80°25°下面角中，哪些角互為余角？觀察下面圖形，回答以下問題．

（1）射線OP把平角MON，分成了幾個角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？∠1+∠2=180°2PMON12二、補(bǔ)角定義

如果兩個角的和等于180°（平角），那么稱這兩個角互為補(bǔ)角；簡稱兩個角互補(bǔ)。也可以說其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．∠α∠α的補(bǔ)角10°32°15′90°105°108°23′α71°37′170°147°45′90°75°180°－α銳角的補(bǔ)角是鈍角直角的補(bǔ)角是直角鈍角補(bǔ)角是銳角圖中給出的各角中,哪些互為補(bǔ)角?°°°°°°°

（1）圖中互余的角是__________與___________．

（2）圖中互補(bǔ)的角是__________與_______；_______與______．MPONQ∠MOQ∠QOP∠MOP∠PON∠MOQ∠QON練一練一個角的補(bǔ)角是這個角的余角的2.5倍，求這個角．解：設(shè)這個角為x°.180-x=2.5（90-x）180-x=225-2.5x2.5x-x=225-1801.5x=45x=30答：這個角是30°例題判斷：

1．銳角的余角一定是銳角．（）

2．一個銳角和一個鈍角一定互為補(bǔ)角．（）

3．一個角的補(bǔ)角比這個角的余角大90°．（）

4．一個角的補(bǔ)角一定比這個角大．（）√×√×練一練2．如果兩個角互補(bǔ)，其中一個角是另一個角的3.5倍，則這個角分別是（）A．60°，210°B．20°，70°C．40°，140°D．30°，150°3．下列敘述正確的是（）A．180°是補(bǔ)角B．130°和50°互為補(bǔ)角C．130°和50°是補(bǔ)角D．40°是50°的補(bǔ)角CB4．（1）若∠α的補(bǔ)角與∠β的余角相等，求∠α，∠β的關(guān)系．解：因為180°－∠α＝90°－∠β，所以∠α－∠β＝90°．所以∠α＝∠β＋90°．答：∠α，∠β的關(guān)系為：∠α＝∠β＋90°．∵∠AOB＝90°，

∴∠1+∠BOD＝

90°∵∠COD＝

90°,

∴∠2＋∠BOD＝90°∴∠1＋∠BOD＝∠2+∠BOD，∴∠1＝∠2．答：∠1=∠2．∠AOB=90°，∠COD=90°則∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？AOBCD12答：∠1=∠2同角的余角相等．余角的性質(zhì)1知識要點(diǎn)

如圖∠1與∠2互余，∠３與∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2與∠４相等嗎？為什么？

答：∠2=∠４∵∠1與∠2互余，∴∠2=90°－∠1，∵∠3與∠4互余，∴∠4=90°－∠3．∵∠1＝∠３，∴90°－∠1＝90°－∠3

∴∠2＝∠4．余角的性質(zhì)2等角的余角相等．知識要點(diǎn)同角或等角的余角相等．歸納

如圖∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)，那么∠1與∠3相等嗎？為什么？∵∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠1=180°－∠2；∵∠3與∠2互補(bǔ)，∴∠3=180°－∠2．∴∠1=∠3．

答：∠1=∠3補(bǔ)角的性質(zhì)1同角的補(bǔ)角相等．知識要點(diǎn)答：∠1與∠3相等．解:∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1=180°－∠2；∵∠3＋∠4＝180°，∴∠3=180°－∠4；∵∠2＝∠4,∴180°－∠2=180°－∠4，∴∠1=∠3．

如圖∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，如果∠2＝∠4，那么∠1與∠3有什么關(guān)系？為什么？補(bǔ)角的性質(zhì)2等角的補(bǔ)角相等．知識要點(diǎn)同角或等角的補(bǔ)角相等．歸納互余互補(bǔ)對應(yīng)圖形數(shù)量關(guān)系性質(zhì)12∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的補(bǔ)角相等同角或等角的余角相等21歸納例貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60o的方向上,在它北偏東40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B,貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.O●東南西北●A60°40°BC10°45°D

例：下圖中，OA是表示南偏西30o方向上的一條射線，仿照這條射線，畫出表示下列方向的射線：（1）南偏東25o的射線OB；（2）北偏西50o的射線OC；（3）東北方向（即東偏北45o）的射線OD．A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)1．余角、補(bǔ)角的概念：2．余角、補(bǔ)角的性質(zhì)：（1）和為90°的兩個角稱互為余角；（2）和為180°的兩個角稱互為補(bǔ)角．（1）等角的余角相等；（2）等角的補(bǔ)角相等．課堂小結(jié)射線OC與射線OA所成的角是多少度？射線OB與射線OD的所成的角是多少度？A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)100°110°1．6小時，12小時．2．略．3．（1）116°10′；（2）106°25′．4．如果∠1＝∠2,∠2＝∠3,則∠1＝∠3；如果∠1>∠2,∠2>∠3,則∠1>∠3．5．∠ABC＝∠ACB＝62°．6．（1）∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；（2）∠AOC＋∠COD＝∠AOD；（3）∠BOD－∠COD＝∠BOC；（4）∠AOD－∠BOD＝∠AOB．習(xí)題答案7．延長AO或BO，先測量∠AOB的補(bǔ)角，然后計算出∠AOB的大?。?．10°與80°、30°與60°互為余角，10°與

170°、30°與150°、60°與120°、80°與

100°與為補(bǔ)角．9．如圖．北北偏東15°東南偏東60°南西南方向西北偏西30°10．（1）∠BOD＝70°；（2）∠AOB＝40°．11．齒輪有15個齒，相鄰兩齒中心線的夾角是

24°，如果是22個齒輪，這個夾角約為

16°22′．12．如圖．60°30°ABC船的位置13．（1）45°；（2）90°．14．另外一個角等于135°,四邊形的內(nèi)角和等于360°．15．（1）這些和都等于360°；（2）這些和等于360°，猜想：多邊形外角和等于360°．4.3.3余角和補(bǔ)角4.3角122112互為余角

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角是另一個角的余角?？伎寄銏D中給出的各角，那些互為余角？10o30o60o80o50o40o343434互為補(bǔ)角

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角，其中一個角是另一個角的補(bǔ)角?？伎寄銏D中給出的各角，那些互為補(bǔ)角？10o30o60o80o100o120o150o170o若∠1+∠2=180°,則

.()

若∠1和∠2互補(bǔ),則

.()若∠3+∠4=90°,則

.()若∠3和∠4互余,則

.()3412∠1和∠2互補(bǔ)互補(bǔ)定義∠1+∠2=180°互補(bǔ)定義∠3和∠4互余互余定義∠3+∠4=90°互余定義∠1=90o－∠2,則∠1與∠2的關(guān)系為___________.互為余角∠α∠α的余角∠α的補(bǔ)角5°32°45°77°62°23′27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°x90°x180°xOABC

要測量兩堵墻所成的角AOB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測量？例1

若一個角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個角的度數(shù)。解：設(shè)這個角是x°，則它的補(bǔ)角是（180°-x°）,余角是(90°-x°)。根據(jù)題意得：（180°-x°）=4(90°-x°)

解得：x=60

答：這個角的度數(shù)是60°?！夕恋难a(bǔ)角是它的3倍，∠α是多少度？

如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，如果∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎？為什么?1234解：∠2與∠4相等。

這里，我們用到了“等量減等量，差相等”。因為∠1與∠2互補(bǔ)；∠3與∠4互補(bǔ)，所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，又因為∠1=∠3，所以∠2=∠4。補(bǔ)角性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等如圖∠1與∠2互余，∠３與∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2與∠４相等嗎？為什么？1243

余角性質(zhì)：等角的余角相等如圖∠AOB=90°∠COD=90°則∠1與∠2是什么關(guān)系？答：∠1=∠2

因為∠1+∠BOD=90°∠2+∠BOD=90°

所以∠1=∠2AOBCD（同角的余角相等)12

互余的角

互補(bǔ)的角數(shù)量關(guān)系

對應(yīng)圖形性質(zhì)CDENAOBM

1＋

2＝90°

1＋

2＝180°同角(等角)的余角相等同角(等角)的補(bǔ)角相等

1、如右圖，已知∠

ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝90度．指出圖中還有哪些角相等，并說明理由．

ＯＤＣＢＡ2、圖2中的∠1、∠2、∠3、∠4，哪些是相等的角，為什么？1234AOBEDC∠1=120°,∠1與∠2互補(bǔ),∠3與∠2互余,則∠3=

.2.O為直線AB上的一點(diǎn)，OD平分∠AOB，∠