2023年云南省高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年云南省高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，

1.（5分）已知集合A={l,3,5,6,7,8,9},B={x?x1-14x+48≤0},則圖中陰影部分

表示的集合為（）

2.（5分）已知復(fù)數(shù)Z=儲（i為虛數(shù)單位），則Z的共期復(fù)數(shù)Z=（）

A.2+3iB.2-4/C.3+3/D.2+4/

3.（5分）己知數(shù)列{^}為等比數(shù)列，且"3=1，"7=21,則.9=（）

A.63B.+63C.81D.±81

4.（5分）某市質(zhì)量檢測部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機抽取9家

企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對抽到企業(yè)進行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如

下的莖葉圖：由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論正確的是（）

甲地區(qū)乙地區(qū)

58774

58i480473

34293a1

A.若α=l,則甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差

B.若α=3,則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)

C.若α=5,則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)

D.若。=7,則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差

5.（5分）拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射

光線平行于拋物線的對稱軸.生活中的探照燈就是利用這個原理設(shè)計的.已知F是拋物

線C：）2=4X的焦點，從尸發(fā)出的光線經(jīng)C上的點〃反射后經(jīng)過點（4,2√3）,則IFM

=（）

A.2B.3C.4D.5

6.（5分）已知正方形ABe。的對角線AC=2,點P在另一對角線Bd上，則下1?錄7的值

為（）

A.-2B.2C.1D.4

8.（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如

圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4加，筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距

離為2〃?，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點尸從水中浮現(xiàn)

（即PO時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點，過點O的水平直

線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系xθy.設(shè)盛水筒M從點Po運動到點P時所經(jīng)過的時間為t

（單位：s）,且此時點P距離水面的高度為〃（單位：m），則點P第一次到達最高點需

要的時間為（）

9.（5分）若傾斜角為銳角的直線L：y=fcr+√Σ+l與圓C-2x-2y-2=0交于A、

B兩點，當(dāng)三角形ABC的面積最大時，直線L的斜率為（）

A.2√2B.√2C.√2+1D.1

10.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，且y=/(X-I)的圖象

關(guān)于x=l對稱，則下述四個結(jié)論：

11

①/(x)是偶函數(shù)；②若/(log26z)<7*(2),則a∈(-,4)；(§y(logιθ)>f(-?og?l?)

42b

>∕(2O?6);(?y(X)3=fC)?其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②④B.①③C.①②@D.②③④

X2y2

IL(5分)已知雙曲線C：---=I(a>0,?>0)的兩個焦點為四、點例，N在

al匕N

C±,且/ζf2=3W,F?±F^V,則雙曲線。的離心率為()

√6+V2LL/—/—/—

A.---------B.√3+√2C.2+√2D.√5÷√2

2

12.(5分)已知函數(shù)/'(X)=al∏jc,g(x)=bex,若直線y=fcι(攵>0)與函數(shù)/(x),g(X)

的圖象都相切，則α+1的最小值為()

A.2B.2eC.e1D.√e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(代+白)5展開式的常數(shù)項為80,則α=______.

√x

14.(5分)設(shè)｛斯｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項和為S“且m=l,aι,“2,。5成等

比數(shù)列，則S9=.

%+y-2≤0

15.(5分)不等式組x-2y-2≤0表示的區(qū)域為M,一圓面可將區(qū)域M完全覆蓋，則該

.%≥0

圓半徑的最小值為.

16.(5分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCn為矩形，AB=4√2,BC=4,點P是

以AZ)為直徑的半圓弧上的動點(不含A,。兩點)，面APOL面A3CZ),經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，

四棱錐P-ABCD的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積為

三、解答題：共7()分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共

60分。

17.（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，A8=2,BC=4,且NACB,NCBA,ZBAC

依次成等差數(shù)列.

（1）求邊4C的長；

（2）求四邊形ABCD周長的最大值.

R

18.（12分）某市教育部門為了解全市高三學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高三學(xué)生中隨

機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，得到了如圖所示的頻率分布

直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中，身高不低于1.69”的學(xué)生只有16名，其身高分別為1.69,

1.71,1.71,1.73,1.73,1.74,1.75,1.75,1.75,1.75,1.77,1.78,1.79,1.79,1.81,

1.83.用樣本的身高頻率估計該市高三學(xué)生的身高概率.

（1）求圖中α,b,C的值；

（2）若從該市高三學(xué)生中隨機選取3名，記W為身高在（1.50,1.70］的學(xué)生人數(shù)，求*

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若變量S滿足P（μ-。<S≤μ+σ）>0.6827且尸（μ-2。VSWH+2。）>0.9545,

則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布N（μ,。2）的概率分布.若該市高三學(xué)生的身高滿足

近似于正態(tài)分布N（1.60,0.01）的概率分布，則認(rèn)為該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是正

常的.試判斷該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常，并說明理由.

O1.301.401.501.601.701.801.90身高/m

19?（12分）如圖所示，C為半圓錐頂點，。為圓錐底面圓心，8。為底面直徑，A為弧8。

中點，是邊長為2的等邊三角形，弦AO上點E滿足4E=滔D.

（1）在線段CQ上是否存在點M使得ON〃平面BEC?若存在，請求出CN的長；若

不存在，請說明理由；

（2）若二面角E-BC-。的大小為30°,求f的值.

20.（12分）已知橢圓E：4+4=1（其中α>b>0）的離心率為?，直線y=x+機與E

?2b22-

交于A（xi,Vl）,B（尤2，>2）兩點，且X1>X2,當(dāng)“2=0時，∣48∣=-p~.

（1）求橢圓E的方程；

（2）在直線X=竽上是否存在點P,使得IAPl=IΛB∣,APLAB,若存在，求出機的值；

若不存在，請說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=?αr+l,x∈［-1,1J,α∈R.

（1）若函數(shù)/（x）在區(qū)間［-1,1］上不單調(diào)，求”的取值范圍；

（2）求，（x）I的最大值.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

（X=3

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知曲線Ci：!『吸C為參數(shù)），以坐

標(biāo)原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：p=2αcosθ（a>0）.

（1）求曲線Ci的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)射線。=氯p≥0）與CI相交于A,B兩點，與C2相交于M點（異于。），若IOM

=IABI，求α?

［選修4?5：不等式選講I

23.已知。，b,c∈R+,α+?+c=3.

(1)求?/ɑ+1+√h+1+√F不T的最大值;

-a2+c2b2+a2c2+b2

(2)求證：一;—+------+------≥6.

bca

2023年云南省高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，

I.（5分）已知集合A={l,3,5,6,7,8,9},B={x?r-14x+48≤0},則圖中陰影部分

表示的集合為（）

ɑD

【解答】解：集合A={l,3,5,6,7,8,9},

B={x?x1-14x+48≤0}={x∣6≤x≤8},

???CR8={無僅V6或x>8},

???則圖中陰影部分表示的集合為A∩（CRB）={1,3,5,9）.

故選：B.

（分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則的共規(guī)復(fù)數(shù)（

2.5Z=MQZ2=)

A.2+3iB.2-4iC.3+3ZD.2+4z

【解答】解：Z=普=落■=空=2-3i,

?z的共規(guī)復(fù)數(shù)5=2+3/,

故選：A.

3.（5分）已知數(shù)列{華}為等比數(shù)列，且。3=1，47=21,則49=（

A.63B.±63C.81D.±81

【解答】解：?.?數(shù)列{與}為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,且43=1，47=21,

4=看=9,即j=3,

?

CLqCLrjO21

Λ-=-?q=-×3=9,

97”7

.?.Q9=9X9=8L

故選：C.

4.(5分)某市質(zhì)量檢測部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機抽取9家

企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對抽到企業(yè)進行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如

下的莖葉圖：由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論正確的是()

甲地區(qū)乙地區(qū)

58774

58?480473

34293a1

A.若α=l,則甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差

B.若α=3,則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)

C.若α=5,則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)

D.若”=7,則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差

【解答】解：對于選項：若。=1,甲地區(qū)考核得分的極差為94-75,乙地區(qū)考核得分的

極差為93-74,

即甲乙兩地區(qū)考核分的極差都是19,故A錯誤，

對于選項B：若α=3,甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為三(75+78+81+84+85+88+92+93+94)

9

=85.6,

1

乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為-(74+77+80+84+87+83+93+93+91)=84.7,

9

則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故8錯誤；

對于選項C：若α=5,將甲乙兩地各企業(yè)考核得分按從小到大順序排列如下：

甲地區(qū)：75,78,81,84,85,88,92,93,94；乙地區(qū)：74,77,80,83,84,87,

91,93,97,

則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為85,乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為85,故C錯誤；

對于選項Dt若a=l時將甲乙兩地各企業(yè)考核得分按從小到大順序排列如下：

甲地區(qū):75,78,81,84,85,88,92,93,94；

乙地區(qū)：74.77,80,83.84.87,91.93.97,

51

甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為85-,乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為85-,

甲地區(qū)考核得分的方差為2[(101)2+(7$2+(4∣)2+(1|)2+(|)2+(232+

4c44

(6-)2+(7-)2+(8-)2],化簡可得甲地區(qū)考核得分的方差大約為40.69,

乙地區(qū)考核得分的方差為：∣L(ll?)2+(8∣)2+(5∣)2+(2∣)2+(l?)2+(if)2+

(5∣)2+(7∣)2+(11∣)2],

化簡可得甲地區(qū)考核得分的方差大約為51.43,

故甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故選項D正確，

故選：D.

5.(5分)拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射

光線平行于拋物線的對稱軸.生活中的探照燈就是利用這個原理設(shè)計的.已知尸是拋物

線C：y=人的焦點，從F發(fā)出的光線經(jīng)C上的點M反射后經(jīng)過點(4,2√3),則IFM

=()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線方程為X=-1,因為反射光線平行于拋物線的對

稱軸，再由從發(fā)出的光線經(jīng)尸C上的點M反射后經(jīng)過點(4,2√3),

2

可得M的縱坐標(biāo)為2b，代入拋物線的方程可得(2√3)=4XM.

可得XM=3,由拋物線的性質(zhì)可得尸M=X"+1=3+1=4,

故選：C.

6.(5分)已知正方形ABCO的對角線AC=2,點P在另一對角線BO上，則加?兒?的值

為()

A.-2B.2C.1D.4

【解答】解：如圖，AC與80的交點為0,正方形ABC。的對角線4C=2,

AP-AC=?AC??AP?COSΛPAC=?AC??A0?=2X1=2,

故選：B.

AiB

l+%

f(x)=/,彳與的定義域為(-1,1),

1—X1+x

■:于(-?)=In-----=-In-------=-f(x),

1+x1-x

：.y=f（x）為奇函數(shù),可排除C與。;

l+χ

當(dāng)O<x<l時，f（x）=In------X）,可排除B,

I-X

故選：A.

8.（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如

圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4,“，筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距

離為2,n,筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)

（即Po時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點，過點O的水平直

線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系xθy.設(shè)盛水筒M從點Po運動到點P時所經(jīng)過的時間為t

（單位：s）,且此時點P距離水面的高度為單位：機），則點P第一次到達最高點需

要的時間為)

A.2B.3C.5D.10

【解答】解：???筒車半徑為4"?,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為2相，

TT

.*.ZxOPo=

D

I是以O(shè)X為始邊，OPO為終邊的角，

O

ΛκyO-jy??

由OP在/(S)內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為圖，

60??

2

可知以O(shè)X為始邊，以O(shè)P為終邊的角為:L為

156

2

則點P的縱坐標(biāo)為4sin(―r-5),

156

2Tr

所以點P距水面的高度h(機)表示為時間，(S)的函數(shù)是∕z=4sin(—/-5)+2,

156

.2兀TT2TT77「，27TTrTr,,,,

令∕z=4sin(—LZ)+2=6,得Sin(—t-七)=1,則一LZ=亍+2laι,當(dāng)左=0時，此

1561561562

時r=5,

故經(jīng)過5s后點P第一次到達最高點.

故選：C.

9.(5分)若傾斜角為銳角的直線L：y=fcr+√Σ+l與圓C：-2x-2)，-2=0交于A、

B兩點，當(dāng)三角形ABC的面積最大時，直線L的斜率為()

A.2√2B.√2C.√2+lD.1

【解答】解：圓C方程整理為(X-I)2+⑶-1)2=4,則圓心C(1,1),半徑r=2,

因為直線L：y=kx+V2+l,所以直線L過點P(0,√2+l),且P在圓C內(nèi)，

SAABC=sinZACB≤2,當(dāng)ACLBC時，ZVlBC面積最大，

此時IABl=√2r=2√2,

圓心到直線L的距離d=√∑即與笑=0且％>0,解得&=2或，

√fc2+l

故選：A.

10.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，且y=∕(χ-l)的圖象

關(guān)于尤=1對稱，則下述四個結(jié)論：

11

Qy(X)是偶函數(shù);②若/(log2α)</(2),則ae(-,4)；@f(log?∏)>∕(-log?l?)

42°

>∕(2O?6);(?y(X)3=f(i)?其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②④B.①③C.①②③D.②③④

【解答】解：由y=∕(χ-1)的圖象關(guān)于X=I對稱，而y="x)的圖象可由y=f(x-1)

的圖象向左平移一個單位得到，

所以y=∕(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故①正確；

由定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f(χ)在區(qū)間(-8,

0］上單調(diào)遞減，

1

若/(log2α)<f(2),即為/(∣k>g2〃∣)<f(2),可得IIog2。|<2,解得一Vα<4,故②正

4

確；

f(logi?)=/(3),f(-log?l?)=/(log?l?),由Iogsl3∈(2,3),20-6∈(1,2),

06

所以/(3)>/(Iog3B)>/(2?),故③正確；

由于在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞減,

可得/(x)的最小值為f(0),無最大值，故④錯誤.

故選：C.

X2y2

11.(5分)已知雙曲線C：---=1(a>0,?>0)的兩個焦點為Fl、F,點M,N在

α2bi2

C上，且尸1F2=3MN,F?±F^V,則雙曲線C的離心率為()

V6+V2Lr-I—I—I—

A.--------B.√3+√2C.2+√2D.√5+√2

2

【解答】解：因為尸=3嬴，

所以FIF2〃MN,

由雙曲線的對稱性可知，M,N關(guān)于y軸對稱，

設(shè)FI(-c,0),F2(c,0),

所以?忌=(2c,0),

所以加=(―,0),

3

可設(shè)M(―?,yι),N(-,y?),

?3

所以FlM=(W,yι),F2N=(―?,yι),

因為FIM_LF/V,

所以Fh?F%∕=0,

即—*+y∕=o,

所以?,

因為M在雙曲線上，

C24C2

所以W■—告=1,

αzbz

整理得，c2b2-4a2c1=z9cPb2,

又?2=c2-〃2,

所以c2(c2-a2)-4α2c2=902(c2-a2),

整理得，c4-14fz2c2+9c∕4=0,

兩邊同時除以慳，得]4∕+9=0,

因為e>1,

解得e=V5+√2,

故選：D.

x

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=abvc,g(x)=be9若直線y=履(4>0)與函數(shù)/(x),g(x)

的圖象都相切，則α+拋最小值為()

A.2B.2eC.e2D.√β

【解答】解：設(shè)直線y=kx(k>0)分別與函數(shù)f(x),g(x)相切于(Xι,kxι),(x2,

kx2),

xfx

由/(x)=CdnX,g(X)=he,得/(X)=三,g(X)=be9

x2x2

，一二be—k,且α∕"xι=fcτ],be—kx2f

Xi

解得Xl=e,x2=l?

：.a=ke,b=則=ke+^≥2∣ke?捻=2e,

βDKyjK

當(dāng)且僅當(dāng)Zce=即k=?時上式等號成立.

K

?,?CL+W的最小值為2e.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(√I+白)5展開式的常數(shù)項為80,則(I=2.

vX

—Un?J-

【解答】解：展開式的第Hl項為：THl=Cg(a)5"(卷廠=Crarχ-

Λ15-5r=0,即r=3,

故常數(shù)項為：C>3=80,

?'Q=2,

故答案為：2.

14.(5分)設(shè)｛斯｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項和為S“且m=l,aι,“2,。5成等

比數(shù)列，則Sg=81.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛?！ǎ墓顬閐(d≠0),

由“ι=l,a?,aι,“5成等比數(shù)列，得(l+d)2=1X(l+4d),

SPS-Id=Q,解得d=2.

QyOQKZO

AS9=9%+芋d=9×1+芋X2=81.

故答案為：81.

%+y-2≤O

15.(5分)不等式組卜一2y-2≤0表示的區(qū)域為M,一圓面可將區(qū)域M完全覆蓋，則該

≥O

圓半徑的最小值為”.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，A(0,-1),B(2,O),C(0,2),

則∣A8∣=遍，∣AC∣=3,∣BQ=2√2,

5+8-9VlO./-,/32√ΛDΓ3j10

CoSNABC=-yθ-,SinZAλBdzC=√1-cos2?ABC=-yθ-

2×V5×2Λ∕2

設(shè)三角形A8C的外接圓的半徑為R,則R=T而=孚.

?5√IUL

zsxz-ιo^

???該圓半徑的最小值為季

_√10

故答案為：-

底面ABC。為矩形，ΛB=4√2,BC=4,點P是

以A。為直徑的半圓弧上的動點(不含A,。兩點)，面APC面ABCZ),經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),

四棱錐P-ABCD的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積為48n

【解答】解：因為AO為直徑，所以APLPO,又因為面物力，面ABCr>,

構(gòu)造直三棱柱APO-BEGSLAPVPD,如圖所示:

則四棱錐P-ABCD的外接球即為直三棱柱APD-BEC的外接球.

取AO,BC的中點，連接尸G,取FG的中點0,

則0為直三棱柱APD-BEC的外接球球心.

外接球半徑OD=J(2√2)2+22=2√3,

表面積為4τr×(2√3)2=48τr.

故答案為：48π.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形A8CO中，A8=2,BC=4,且∕ACB,ZCBA,ZBAC

依次成等差數(shù)列.

（1）求邊AC的長；

（2）求四邊形ABC。周長的最大值.

【解答】解：（1）因為∕AC8,ZCBA,NBAC依次成等差數(shù)列，

所以∕AC8+∕BAC=2NC8A,

^ZACB+ZBAC+ZCBA=ττ,

所以"84=*

又AB=2,BC=4,

則由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZCBA=12,

所以4C=2√3.

（2）由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及4CB4=全知乙4。C=等

在AAOC中，由余弦定理得AC2=A∕）2+OC2_2ADDCcosZCDA=CAD+DC）2-ADDC.

2

又因為力D?DC≤（-"DC）（當(dāng)且僅當(dāng)A。=。C時"=”成立），

3

所以一（4D+DQ2<AC2=12,

4

即AC+QCW4,

則四邊形ABCn周長最大值10.

18.（12分）某市教育部門為了解全市高三學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高三學(xué)生中隨

機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，得到了如圖所示的頻率分布

直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中，身高不低于1.69m的學(xué)生只有16名，其身高分別為1.69,

1.71,1.71,1.73,1.73,1.74,1.75,1.75,1.75,1.75,1.77,1.78,1.79,1.79,1.81,

1.83.用樣本的身高頻率估計該市高三學(xué)生的身高概率.

(1)求圖中a,b,C的值;

(2)若從該市高三學(xué)生中隨機選取3名，記S為身高在(1.50,1.70］的學(xué)生人數(shù)，求W

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若變量S滿足P(μ-ɑ<S≤μ+σ)>0.6827且P(μ-2。<S≤μ+2σ)>0.9545,

則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布N(μ,。2)的概率分布.若該市高三學(xué)生的身高滿足

近似于正態(tài)分布N(1.60,0.01)的概率分布，則認(rèn)為該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是正

常的.試判斷該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常，并說明理由.

,100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共

有15名,

以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70的概率為0.15.

記X為學(xué)生的身高，給合頻率分布直方圖可得：

2

/(1.30<X≤l.40)=∕(1.80<X≤1.90)=?θθ=0.02,

13

/(1.40<X≤1.50)=/(1.70VXW1.80)=?θθ=0.13,

?(1.50<X≤1.60)=f(1.60<XW1.70)(1-2×0.02-2×0.13)=0.35,

又由于組距為0.1,所以α=0.2,6=1.3,c=3.5.

(2)以樣本的頻率估計總體的概率可得:

從這批學(xué)生中隨機選取1名，身高在(1.50,1.70］的概率為0.35+0.35=0.7.

所以隨機變量E服從二項分布B(3,0.7),故P(?=Z)=CTO?7*?0?33Y(仁0,1,2,

3).

故E的分布列為:

ξO23

P0.0270.1890.4410.343

：.E(ξ)=3×0.7=2.1.

(3)由(2)可知,P(1.50<X≤1.70)=0.7>0.6826,

又結(jié)合(1),可得：P(1.40<X≤1.80)=1-0.02×2=0.96>0.9544,

所以這批學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布N(1.60,0.01)的概率分布，

所有應(yīng)該認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.

19.(12分)如圖所示，C為半圓錐頂點，。為圓錐底面圓心，8。為底面直徑，A為弧BO

中點，ABCO是邊長為2的等邊三角形，弦AO上點E滿足族=/而.

(1)在線段CD上是否存在點N,使得ON〃平面3EC?若存在，請求出CN的長；若

不存在，請說明理由；

(2)若二面角E-BC-O的大小為30°,求f的值.

【解答】解：(1)存在，取CO的中點M連接ON,如圖所示:

：。為圓錐底面圓心，8。為底面直徑，

.?ON∕∕BC,

又ONC平面BEC,BCc5FffiBEC,

,ON〃平面BEC,

ABCD是邊長為2的等邊三角形，

1

.?.CN=^CD=1；

(2)為弧BO中點，。是BD的中點，AE=tAD,

：.AO±BD,CO_L平面AB。，且怎(0,1),

VAOc5FffiABD,2。U平面A8Z),

：.COLAO,COLBD,

建立以。為原點，以O(shè)A、OD、OC所在直線為X軸、y軸、Z軸的空間直角坐標(biāo)系。-

xyz,如圖所示：

則O(O,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,0),D(0,1,0),C(0,0,√3),

設(shè)E(x,y,z),貝必。=(-1,1>0),AE=(X-1,y,z),

TT任一1=-t

?*AE=tADf,?y=t9EPX=1-z,y=bz=0,

z=0

：.E(17,t,0),則尾=(I7,什1,0),BC=(0,1,√3),BD=(0,2,0),

設(shè)平面BCE的一個法向量為三=(xι,yι,zι),

則任用=(1TW+("DyL0,取ZI=I,則％=_百…=空抖

(n?BC=y1÷V3z1=0

二平面BCE的一個法向量為曾=(?1+D,-√3,?),

1-t

由平面QBC的一個法向量為Sl=(1,0,0),

Y二面角￡-BC-O的大小為30°,

Λcos30o=~?粵=I=*，即(Ml)?=4,解得/=義或f=3(不合題意，

?∏?-?0A?[4空『+41^t

舍去)，

20.（12分）已知橢圓E；與+4=1（其中a>0>0）的離心率為一，直線y=x+wι與E

Qb2

交于A（xi，y↑）,B（X2，”）兩點，且xι>X2,當(dāng)a=0時，∣4B∣=f

(1)求橢圓E的方程;

14

(2)在直線X=早上是否存在點P,使得HPl=IA8∣,APLAB,若存在，求出〃ι的值;

若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)Ve=-=az=b2+c2,所以，a2=2b2

a2f

當(dāng)〃?=0時，IABl=亳=4,此時A、8關(guān)于原點對稱，直線AB的方程為y=x,

因為xι>x2,則點A在第一象限，則∣OA∣=2=√∑X1,解得χι=√∑,即點4(魚，√2),

22

將點A的坐標(biāo)代入桶圓方程可得+=1,所以，房=3,/=6,

τ2b7277b72

X2y2

因此，橢圓E的方程為二+v=1.

63

(2)聯(lián)立仔2+2y2=6可得3/+4g+2后-6=0,

iy=X+m

由A=16∕n2-12(2W2-6)=72-8w2>0,可得-3<w<3,

由韋達定理可得/+乂2=-竽，①，

2τn2-β分

XiX2=-3-'②

假設(shè)在直線X=竽上存在點P,使得HPI=H為，APLAB,

則aAPB是以NBAP為直角的等腰直角三角形，則P(竽，y2),

直線A尸的斜率為七P=紅第=汩存=-1,解得&=2/一竽，③

xl-Txl-τ

聯(lián)立①②③可得ll∕n2+28wj+17=0,解得m=-1或一不

所以，存在點P滿足題意，此時，〃=-1或一考.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=X3+30x+l,x∈[-1,1],αeR.

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［-1,1］上不單調(diào)，求”的取值范圍;

(2)求/(x)I的最大值.

【解答】解：(1)由已知得∕'(x)=3x2+3α,x∈[-1,I],

若/(x)在區(qū)間［-1,1］上不單調(diào)，貝∣］3∕+34=0在(-1,1)上有解,

3+3α>0.

故只需,解z得-1<α<0,

3?<0

故。的范圍是(-1,0)；

(2)由/(X)=3(X2+Λ),XE［-1,1］可知：

①Q(mào)W-1時，f,(x)<0,/(x)遞減，且/(-1)=-3α>0,/(1)=2+3〃，故K(X)

\max=~3。；

②-IVQVO時，f(x)=0得x=±√≡H,

/(X)>0=%∈(-L-√zR)或(√zq,1),f(x)在每個區(qū)間上遞增，

f(%)<0=>x∈(-v?ɑ/V—α),f(x)此時遞減，

而/(-1)=-3〃>0,f(-√zα)=-2α√?zα+1,f(?/?ɑ)=2α√zα+1,/(D=

2+34,

結(jié)合函數(shù)/(x)關(guān)于(0,1)對稱，則I/(x)