2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題8-幾何最值問(wèn)題解法探討

【2023年中考攻略】專(zhuān)題8：幾何最值問(wèn)題解法探討

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周

長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。

解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）

求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值;

（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的

公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例L（2023山東濟(jì)南3分）如圖，ZM0N=90o,

矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON±,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的

形狀保持不變，其中AB=2,BC=I,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離為【】

rτ/T455

A.√2+lB.√5C.-——5D.-

52

【答案】A。

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接0E、DE、0D,

Λ

VOD≤OE+DE,

當(dāng)0、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)0的距離最大，A

此時(shí)，VΛB=2,BC=I,AOE=AE=-S-AB=Io

DE==VAD2+AE2=Λ∕∣2+12=\/2,

.?.0D的最大值為：√2+k應(yīng)選A。

例2.（2023湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=4√2,NABC=45°,BD平分NABC,M、小分別是

BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是▲。

【答案】4。

【考點(diǎn)】最短路線問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定

義，特殊角的三角函數(shù)值。

A

【分析】如圖，在BA上截取BE=BN,連接EM。

YNABC的平分線交AC于點(diǎn)D,.?.∕EBM=NNBM0/?n

在aAME與aAMN中，?/BE=BN,ZEBM=ZNBM,BM=BM,

B

Λ?BME^ΔBMN(SAS)。ΛME=MN,.?CM+MN=CM+ME≥CE,,

又?.?CM+MN有最小值，.?.當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE取最小值。

VBC=4√2,∕ABC=45°,,CE的最小值為4夜sin45°=4°

ΛCM+MN的最小值是4。

例3.（2023四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為2c〃?，高為9乃加，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周

上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為▲CnI。

【答案】15%。

【考點(diǎn)】圓柱的展開(kāi)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)。-------I（B）

【分析】如圖，圓柱展開(kāi)后可見(jiàn)，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面

圓周長(zhǎng)、！高組成直角三角形。由周長(zhǎng)公式，底面圓周長(zhǎng)為4%0n,L高為L(zhǎng)

??

3兀cm,根據(jù)勾股定理，得斜線長(zhǎng)為5）。加，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線A*1--------------AJ（A）

最短為I5τVCm。

例4.（2023四川眉山3分）在aABC中，AB=5,AC=3,AD是BC邊上的中線，那么AD的取值范圍是

【答案】1<AD<4,

【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。

【分析】延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE.根據(jù)SAS證明AABD絲4ECD,得CE=AB,/

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解：/ID

延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE。

VBD=CD,ZADB=ZEDC,AD=DE,ΛΔABD^ΔECD(SAS)O

.,.CE=ABo

在aACE中，CE-AC<AE<CE+AC,即2V2ADV8。

Λl<AD<4o

練習(xí)題：

1.（2023湖北荊門(mén)3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.假設(shè)一只螞蟻從P

點(diǎn)開(kāi)

始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，那么螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【】

A.13cmB.12cmC.IOcmD.8cm

2.（2023四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm,點(diǎn)P是母線BC

2

上一點(diǎn)，且PC=-BC.一只螞蚊從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點(diǎn)P的最短距離是【】

3

A、（4H—）cmB、5cmC、3?[5cmD、7cm

π

3.（2023廣西貴港2分）如下圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC,BC的中點(diǎn),

點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP,那么ABPG的周長(zhǎng)的最小值是▲.

二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例L（2023山東萊蕪4分）在AABC中，ΛB=ΛC=5,

BC=6.假設(shè)點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，那么BP的最小值是▲.

24

【答案】A

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理。/?p

【分析】如圖，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BP'IAC時(shí)，BP取得最小值?/?p

設(shè)AP'=x,那么由AB=AC=5得CP'=5-χ,---**\

BC

又：BC=6,在RtZ?ABP'?Rt?CBP,中應(yīng)用勾股定理，得

BP,2=AB2-AP,2,BP,2=BC2-CP,2。

ΛAB2-APz2=BC2-CPf2,即52—x2=62-（6-xJ,解得χ=（。

.?.BP=，；？—（：）=^^=y,即BP的最小值是高。

例2.（2023浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD

上的任意一點(diǎn)，那么PK+QK的最小值為【】

A.1B.√3C.2D.√3+1

【答案】B?

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。

【分析】分兩步分析：AL

（1）假設(shè)點(diǎn)P,Q固定，此時(shí)點(diǎn)K的位置：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于BD

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R,連接RQ，交BD于點(diǎn)K。

由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得PC

PlKl=PK1,P∣K=PK°

由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得RK+QK>P∣Q=PlK,+QKl=PK,+QKlo

，此時(shí)的K就是使PK+QK最小的位置。

（2）點(diǎn)P,Q變動(dòng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R在AB上，即不管點(diǎn)P在BC上任一

點(diǎn)，點(diǎn)P總在AB上。

因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng)RQLAB時(shí)Pa最短。

過(guò)點(diǎn)A作AQ」DC于點(diǎn)QKVZA=120O,ΛZDAQ,=30o。，C

D

又,.?ΛD=ΛB=2,；.PQ=AQ=AD?cos300=2?-=√3?

113/

綜上所述，PK+QK的最小值為6。應(yīng)選B。//?

HPC

例3.(2023江蘇連云港12分)梯形ABCD,AD〃BC,AB±BC,AD=I,AB=2,

BC=3,

問(wèn)題1：如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQI),請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ,DC的長(zhǎng)能否相

等，為什么？

問(wèn)題2：如圖2,假設(shè)P為AB邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在

最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題3：假設(shè)P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE,請(qǐng)

探究對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題4：如圖3,假設(shè)P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行

四邊形PBQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】解：?jiǎn)栴}1：對(duì)角線PQ與DC不可能相等。理由如下：

?.?四邊形PCQD是平行四邊形，假設(shè)對(duì)角線PQ、DC相等，那么四邊形PCQD是矩形，

ΛZDPC=90°?

VAD=1,AB=2,BC=3,ΛDC=2√2?

設(shè)PB=x,那么AP=2—X,

在RtZ?DPC中，PD2+PC2=DC2,即Y+3ii+(2-χ)?+仔=8,化簡(jiǎn)得χ2-2x+3=0,

?.?△=(-2)2-4*1乂3=-8<0,二方程無(wú)解。

.?.不存在PB=x,使NDPC=90°。.?.對(duì)角線PQ與DC不可能相等。

問(wèn)題2：存在。理由如下：

如圖2,在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,

那么G是DC的中點(diǎn)。4

過(guò)點(diǎn)Q作QHJ_BC,交BC的延長(zhǎng)線于H。尸

BC~^H

圖2

VAD/7BC,ΛZADC=ZDCH,即NADP+/PDG=NDCQ+NQOL

VPD/7CQ,ΛZPDC=ZDCQo'NADP=NQCIL

又?.?PD=CQ,ΛRtΔADP^RtΔHCQ(AAS)oΛAD=HCo

VAD=1,BC=3,ΛBH=4,

???當(dāng)PQLAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小,即為4。

問(wèn)題3：存在。理由如下:

如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,

1

.DG_PD_1—

VPE√CQ,PD=DE,J

*GC^CQ-2Λ

???G是DC上一定點(diǎn)。圖3

作QHj_BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,

ADpn1

同理可證NADP=NQCH,ΛRtΔADP<^RtΔHCQ，一=—=一。

oCHCQ2

VAD=1,.?.CH=2<,ΛBH=BG+CH=3+2=5o

；.當(dāng)PQJ_AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為5。

問(wèn)題4：如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G,

-PA_AG1

VPE∕/BQ,AE=nPA,*BQ^BG-n+1

0

???G是DC上一定點(diǎn)。

作QiI〃PE,交CB的延長(zhǎng)線于IL過(guò)點(diǎn)C作CKLCD,交QH的

延長(zhǎng)線于Ko

VAD√BC,ABlBC,

JND=ZQIIC,ZDΛP+ZPAG=ZQBII+NQBG=90°

ZPΛG=ZQBG,

ADPAI

ΛZQBH=ZPADΛΔADP^ΔBHQ,/.一=一=一,

αBHBQn÷l

VAD=1,ΛBH=n+loΛCH=BH+BC=3+n+1=n+4o

過(guò)點(diǎn)D作DM,BC于M,那么四邊形ABND是矩形。

ΛBM=AD=I,DM=AB=2oJCM=BC-BM=3-1=2=DM°

ΛZDCM=45ooΛZKCH=45o°

五

ΛCK=CH?cos45°=----(n+4),

2

.?.當(dāng)PQj_CD時(shí),PQ的長(zhǎng)最小，最小值為J(n+4)0

2

【考點(diǎn)】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。.

【分析】問(wèn)題L：四邊形PCQD是平行四邊形，假設(shè)對(duì)角線PQ、DC相等，那么四邊形PCQD是矩形，然后利

用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB=x,可得方程/+夕+(2—X)?+1=8,由判別式△<(),可知此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即對(duì)

角線PQ,DC的長(zhǎng)不可能相等。

問(wèn)題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,可得G是DC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QH±BC,

交BC的延長(zhǎng)線于H,易證得RtZ?ADPgRtz?HCQ,即可求得BH=4,那么可得當(dāng)PQLAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，

即為4。

問(wèn)題3：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,PE√CQ,PD=DE,可得變=型=,，易證得Rt^ADPsRtaHCQ,

GCCQ2

繼而求得Bll的長(zhǎng)，即可求得答案。

ADp?1

問(wèn)題4：作QH√PE,交CB的延長(zhǎng)線于H,過(guò)點(diǎn)C作CKXCD,交QH的延長(zhǎng)線于K,易證得——=——=―

BHBQn+l

與4ADPS∕?BHQ,又由∕DCB=45°,可得ACKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。

例4.(2023四川廣元3分)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0),點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短

時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】

…近√21nf√2√21

A.(0,0)B.C.(—,-----)D.(-----,-----)

222222

【答案】B.

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì).

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作ABUOB,垂足為點(diǎn)BI過(guò)B，作BCj_x軸，垂足為C.

由垂線段最短可知，當(dāng)B與點(diǎn)B重合時(shí)AB最短.

???點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，.?.△AOB，是等腰直角三角形.

.?.?B;CO為等腰直角三角形.

：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),OC=CBjLOA=Lxl=L.

222

??.B坐標(biāo)為--).

22

???當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-L,--).故選B.

22

例5.(2023四川樂(lè)山3分)如圖，在aABC中，ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、

BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有以下

結(jié)論:

①ADFE是等腰直角三角形;

②四邊形CEDF不可能為正方形;

③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;

④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為√]?

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】Bo

【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。

【分析】①連接CD（如圖1）。

o

「△ABC是等腰直角三角形，ΛZDCB=ZA=45,CD=AD=DBo

VAE=CF,Λ?ADE^ΔCDF(SAS)0

ΛED=DF,ZCDF=ZEDAO

VZADE+ZEDC=90o,/EDC+/CDF=NEDF=90°。

.?.?DFE是等腰直角三角形。

故此結(jié)論正確。

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，?；由三角形中位線定理，DE平行且等于士BC。

2

四邊形CEDF是平行四邊形。

又TE'F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC,二四邊形CEDF是菱形。

又?.?∕C=90°,四邊形CEDF是正方形。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

③如圖2,分別過(guò)點(diǎn)1）,作DMLAC,DN±BC,于點(diǎn)M,N,

由②，知四邊形CMDN是正方形，.?.DM=DN°

由①，知ADFE是等腰直角三角形，.?.DE=DF.

.?.RtZkADE絲RtNkCDF(IlL)。

由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。

.四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

④由①，^DEF是等腰直角三角形，.?.DE=J∑EF.

當(dāng)DF與BC垂直，即I）F最小時(shí)，EF取最小值2加。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為尤。

故此結(jié)論正確。

故正確的有2個(gè)：①④。應(yīng)選B。

例6.（2023四川成都4分）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,按以下步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB,EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC（余下局部不再使用）；

第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M,線段

BC上任意取一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部；

第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)

紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。，使線段He與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊

形紙片.

（注：裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊）

那么拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為▲Cm,最大值為▲cm.

【答案】20；12+49。

【考點(diǎn)】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理。

【分析】畫(huà)出第三步剪拼之后的四邊形M此Nz岫的示意圖，如答圖1所示。

圖中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,

MIM2=M,G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理)。

又Y此詼〃MN2,二四邊形MNNM是一個(gè)平行四邊形，

其周長(zhǎng)為2N,N2+2M,N.=2BC+2MN≈

；BC=6為定值，；.四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大小。答?4

如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。

過(guò)G、H點(diǎn)作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，那么四邊形PBCQP

是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半。

?.?M是線段PQ上的任意一點(diǎn)，N是線段BC上的任意一點(diǎn)，

B

根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最答圖2

小值為4；

而MN的最大值等于矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，即'PB?+BC2=&+6?=2后。

,

.?四邊形MiN1N2M2的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN,

.?.四邊形MNN2M2周長(zhǎng)的最小值為12+2X4=20；最大值為12+2×2√13≈12+4√13o

例7.（2023四川樂(lè)山3分）如圖，在AABC中，ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、

BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有以下

結(jié)論：

①^DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；

④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為√]?

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】Bo

【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。

【分析】①連接CD(如圖1)。

「△ABC是等腰直角三角形，ΛZDCB=ZΛ=45o,CD=AD=DBo

VAE=CF,ΛΔADE^ΔCDF(SAS)?

ΛED=DF,ZCDF=ZEDAo

,.,ZADE+ZEDC=90o，：.ZEDC+ZCDF=ZEDF=90o。

.,.ΔDFE是等腰宜角三角形.

故此結(jié)論正確。

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，：由三角形中位線定理，DE平行且等于工BC。

2

四邊形CEDF是平行四邊形。

又?.?E?F分別為AC、BC中點(diǎn),AC=BC,.?.四邊形CEDF是菱形。

又?.?∕C=90°,.?.四邊形CEDF是正方形。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

③如圖2,分別過(guò)點(diǎn)D,作DkUAaDNlBC,于點(diǎn)M,N,

由②，知四邊形CMDN是正方形，.?.DM=DN.

由①，知4DFE是等腰直角三角形，.?.DE=DF.

ΛRtΔAI）E^Rt?CDE（HL）o

.?.由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面枳。

/.四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

④由①，ZXDEF是等腰直角三角形，,DE=√∑EF.

當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，EF取最小值2夜。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為立。

故此結(jié)論正確。

故正確的有2個(gè)：①④。應(yīng)選B。

例8.（2023浙江寧波3分）如圖，ZXABC中，ZBAC=60o,NABC=45°,AB=2√2,D是線段BC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)。0分別交AB,AC于E,F,連接EF,那么線段EF長(zhǎng)度的最小值為上—.

【答案】√3,

【考點(diǎn)】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)

值。

【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為aABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段

EF=2EH=20E?sinZE0H=20E?sin60°,當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短。如圖，連接0E,0F,過(guò)0點(diǎn)作OHj_EF,

垂足為Ho

,.,?RtΔADBΦ,NABC=45°,AB=2√2,∕7K^'''X

.?.AD=BD=2,即此時(shí)圓的直徑為2。0?\

由圓周角定理可知NEOH=g∕E0F=NBAC=60°,√z

Λ?RtΔEOHψ,EH=OE?sinZEOH=l×—=—?BDC

22

由垂徑定理可知EF=2EH=6。

例9.（2023四川自貢12分）如下圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZBΛD=120°,4AEF為正三角形，點(diǎn)E、F

分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與B.C.D重合.

（1）證明不管E、F在BC.CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF;

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC.CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和ACEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求

出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?

【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC

：四邊形ABCD為菱形，∕BAD=120°,

E

C

ZBAE+ZEAC=60o，ZFAC+ZEAC=60o，

.?.ZBΛE=ZFΛC1,

VZBAD=120o,ΛZABF=60o。

ΛΔABC和AACD為等邊三角形。

ΛZACF=60o,AC=ABoΛZABE=ZAFC(.

在AABE和AACF中，VZBΛE=ZFΛC,ΛB=ΛC,ZΛBE=ZAFC,

ΛΔABE^ΔACF(ASA)oΛBE=CF0

(2)四邊形AECF的面積不變，ACEF的面積發(fā)生變化。理由如下:

由(1)得AABEZ^ACF,那么SM=S、皿

?"?SraaSΛtΓrzS?ΛEC+S?ΛCΓzS?ΛEC+S?ABlFS?ΛBC>是定值。

作AH_LBC于H點(diǎn)，那么BH=2,

LBCAH=JBe??∕AB2-BH2=46。

S四邊形AECF=SAABC=

22

由“垂線段最短"可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.

故aAEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小,

又S?CEF=S四邊形AECF一SΔΛE1-,那么此時(shí)ACEF的面積就會(huì)最大.

SΔΛ∏≈4√3-∣?2√3?^(2√3)2-(√3)2

?*?S?CEI^=Sμq.ii.?ΛEC∣?1=G。

ΛΔCEF的面積的最大值是6。

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。

【分析】(1)先求證AB=AC,進(jìn)而求證aABC?ZXACD為等邊三角形，得NACF=60°,AC=AB,從而求證

ΔABE^ΔACF,即可求得BE=CF。

(2)由AABE咨ZXACF可得SAAK=SAACF,故根據(jù)SISi1眼"：CF=SAΛBC+SAMT=SAAMSAABE=S△謝即可得四邊形

AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.AAEF的面積會(huì)隨著AE的變化而

變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，根據(jù)S△由=S叫皿回，一S△.，那么aCEF的面積就會(huì)最

大。

例10.(2023浙江義烏10分)在銳角aABC中，ΛB=4,BC=5,ZΛCB=45o,將aABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)，得到^A∣BC∣.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求/CCA的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AA”CC1.假設(shè)4ABA∣的面積為4,求ACBG的面積;

(3)如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中,

點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P∣,求線段EPl長(zhǎng)度的最大值與最小值.

o

【答案】解：(1)■由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ZA,ClB=ZACB=45,BC=BC,,

ΛZCC∣B=ZC,CB=45°。

ΛZCC∣Λ,=ZCCιB+ZΛ,C.B=45o+45°=90°。

[2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ΔABC^?A>BC,,

ΛBA=BAl,BC=BC1,ZABC=ZAlBC∣?

BABA

—=—?-,ZABC+ZABCl=ZA1BCl+ZABC1,,ΛZABA1=ZCBC,o

BCBC1

?'SΔΛMIZZ4,SACBCI=--。

4

(3)過(guò)點(diǎn)B作BDJ_AC,D為垂足，

???△ABC為銳角三角形，.?.點(diǎn)D在線段AC上。

在RtZXBCD中，BD=BC×sin45o=-√2<>

2

①如圖1,當(dāng)P在AC匕?動(dòng)至垂足點(diǎn)D,AABC繞點(diǎn)B旋

轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB上時(shí)，EP：最小。

最小值為：EP1=BP,-BE=BD-BE=-√2-2?

2

②如圖2,當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,AABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使

卻

點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EPl最大。

最大值為：EP,=BC+BE=5+2=7o

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NACB=NACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形

的性質(zhì)，即可求得NCCA的度數(shù)。

C(P1)

圖2

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ΔABC^ΔA,BC.,易證得4ABA∣sACBα,利用相

似三,角形的面積比等于相似比的平方，即可求得acBc,的面積。

(3)由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D,ΔABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P∣在線段AB上時(shí)，EP1

最小：②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,4ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EPl最

大，即可求得線段EPl長(zhǎng)度的最大值與最小值。

例IL(2023福建南平14分)如圖，在aABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD.DE,且Nl=NB=NC.

(1)由題設(shè)條件，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論：(要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和

輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明)

答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：.

(2)假設(shè)NB=45°,BC=2,當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D不與B、C重合)，

①求CE的最大值；

②假設(shè)aADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng).

(注意：在第(2)的求解過(guò)程中，假設(shè)有運(yùn)用(1)中得出的結(jié)論，須加以證明)

【答案】解：(1)AB=ACiZAED=ZADC;ΔADE<×>ΔACD1,

(2)①?.?NB=∕C,NB=45°,.?.AACB為等腰宜角三角形。

/.AC=-BC=-×2=√2。

22

VZl=ZC,ZDAE=ZCAI),Λ?ADE<^ΔACDC

ΛAD:AC=AE:AD,：.AE=處=空J(rèn)?=也AD2。

AC√22

當(dāng)AD最小時(shí)，AE最小，此時(shí)AI)_LBC,AD=?BC=Io

2

.?.AE的最小值為也x「=立。.?.CE的最大值=41--=—

2222

②當(dāng)AD=AE時(shí)，ΛZ1=ZΛED=45",ΛZDAE=90o。<

二點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去。/

當(dāng)EA=ED時(shí)，如圖1,NEAD=N1=45°。//\

BDC

.?.AD平分∕BAC,...AD垂直平分BC。ΛBD=1(,圖ι

當(dāng)DA=DE時(shí)，如圖2,?

VΔΛDE^?ΛCD,,DA：ΛC=DE：DC?/?r

ΛDC=CA=√2?ΛBD=BC-DC=2-√2,,/\

BDC

綜上所述，當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)為1或圖2

2—>/2?

【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由∕B=∕C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由/1=NC,NAED=/EDC+NC得到NAED=/ADC；

又由NDAE=NCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得到^ADEs∕?ACD0

（2）①由NB=NC,ZB=45o可得aACB為等腰直角三角形，那么AC=?|BC=注x2=夜，由

22

Zl=ZC,ZDAE=ZCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得AADESAACD,那么有AD：AC=AE：AD,即

2?I

AE=a±=A[=Y2AD2,當(dāng)ADLBC,AD最小，此時(shí)AE最小，從而由CE=AC-AE得到CE的最大值。

AC√22

②分當(dāng)AD=AE,,EA=ED,DA=DE三種情況討論即可。

練習(xí)題：

1.（2023浙江衢州3分）如圖，OP平分/M0N,PΛ±0N于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)PΛ=2,

那么PQ的最小值為【】

A、1B、2C、31）、4

2.（2023四川南充8分）如圖,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=2,ZC=60o,M是BC的中點(diǎn).

（1）求證：4MDC是等邊三角形；

（2）將aMDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD'）與AB交于一點(diǎn)E,MC（即MC'）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)FH寸，

點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成aAEF.試探究aAEF的周長(zhǎng)是否存在最小值.如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，

請(qǐng)計(jì)算出aAEF周長(zhǎng)的最小值.

3.（2023浙江臺(tái)州4分）如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)0到直線1的距離為3,點(diǎn)P是直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

PQ切。0于點(diǎn)Q,那么PQ的最小值為【】

A.713B.√5C.3D.2

4.（2023河南省3分）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90o,AD=4,連接BD,BD±CD,ZADB=ZC.假設(shè)P

是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，那么DP長(zhǎng)的最小值為▲.

5.（2023云南昆明12分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90o,AB=IOcm,AC：BC=4：3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿

AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為ICm∕s,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BfC-A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm∕s,當(dāng)

一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）求AC、Be的長(zhǎng)；

（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X（秒），APBQ的面積為y（cm2）,當(dāng)aPBQ存在時(shí)，求y與X的函數(shù)關(guān)系式，

并寫(xiě)出自變量X的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ_LAB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與AABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M,使ABCM得周長(zhǎng)最小，假設(shè)存在，求出最小周長(zhǎng)，假設(shè)

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

三、應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（2023山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為

12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)

C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，那么螞蟻到達(dá)蜂蜜的

最

短距離為▲cm.

【答案】15.

【考點(diǎn)】圓柱的展開(kāi)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。

【分析】如圖，圓柱形玻璃杯展開(kāi)〔沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi)）后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)5V

4

18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,連接BC交MN于點(diǎn)P,M

連接BM,過(guò)點(diǎn)C作