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【2023年中考攻略】專(zhuān)題8:幾何最值問(wèn)題解法探討
在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中,當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí),求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度、圖形的周
長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差)的最大值或最小值問(wèn)題,稱(chēng)為最值問(wèn)題。
解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有:(1)應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理(含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系)
求最值;(2)應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值;(3)應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值;(4)應(yīng)用二次函數(shù)求最值;
(5)應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的
公理(含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系)求最值:典型例題:例L(2023山東濟(jì)南3分)如圖,ZM0N=90o,
矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON±,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD的
形狀保持不變,其中AB=2,BC=I,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離為【】
rτ/T455
A.√2+lB.√5C.-——5D.-
52
【答案】A。
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,勾股定理。
【分析】如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接0E、DE、0D,
Λ
VOD≤OE+DE,
當(dāng)0、D、E三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)D到點(diǎn)0的距離最大,A
此時(shí),VΛB=2,BC=I,AOE=AE=-S-AB=Io
DE==VAD2+AE2=Λ∕∣2+12=\/2,
.?.0D的最大值為:√2+k應(yīng)選A。
例2.(2023湖北鄂州3分)在銳角三角形ABC中,BC=4√2,NABC=45°,BD平分NABC,M、小分別是
BD、BC上的動(dòng)點(diǎn),那么CM+MN的最小值是▲。
【答案】4。
【考點(diǎn)】最短路線問(wèn)題,全等三角形的判定和性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,垂直線段的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定
義,特殊角的三角函數(shù)值。
A
【分析】如圖,在BA上截取BE=BN,連接EM。
YNABC的平分線交AC于點(diǎn)D,.?.∕EBM=NNBM0/?n
在aAME與aAMN中,?/BE=BN,ZEBM=ZNBM,BM=BM,
B
Λ?BME^ΔBMN(SAS)。ΛME=MN,.?CM+MN=CM+ME≥CE,,
又?.?CM+MN有最小值,.?.當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí),CE取最小值。
VBC=4√2,∕ABC=45°,,CE的最小值為4夜sin45°=4°
ΛCM+MN的最小值是4。
例3.(2023四川涼山5分)如圖,圓柱底面半徑為2c〃?,高為9乃加,點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周
上的點(diǎn),且A、B在同一母線上,用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為▲CnI。
【答案】15%。
【考點(diǎn)】圓柱的展開(kāi),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)。-------I(B)
【分析】如圖,圓柱展開(kāi)后可見(jiàn),棉線最短是三條斜線,第一條斜線與底面
圓周長(zhǎng)、!高組成直角三角形。由周長(zhǎng)公式,底面圓周長(zhǎng)為4%0n,L高為L(zhǎng)
??
3兀cm,根據(jù)勾股定理,得斜線長(zhǎng)為5)。加,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),棉線A*1--------------AJ(A)
最短為I5τVCm。
例4.(2023四川眉山3分)在aABC中,AB=5,AC=3,AD是BC邊上的中線,那么AD的取值范圍是
【答案】1<AD<4,
【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),三角形三邊關(guān)系。
【分析】延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE.根據(jù)SAS證明AABD絲4ECD,得CE=AB,/
再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解:/ID
延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE。
VBD=CD,ZADB=ZEDC,AD=DE,ΛΔABD^ΔECD(SAS)O
.,.CE=ABo
在aACE中,CE-AC<AE<CE+AC,即2V2ADV8。
Λl<AD<4o
練習(xí)題:
1.(2023湖北荊門(mén)3分)如圖,長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.假設(shè)一只螞蟻從P
點(diǎn)開(kāi)
始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn),那么螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【】
A.13cmB.12cmC.IOcmD.8cm
2.(2023四川廣安3分)如圖,圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm,AC是底面圓的直徑,高BC=6cm,點(diǎn)P是母線BC
2
上一點(diǎn),且PC=-BC.一只螞蚊從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點(diǎn)P的最短距離是【】
3
A、(4H—)cmB、5cmC、3?[5cmD、7cm
π
3.(2023廣西貴港2分)如下圖,在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,E、F、G分別為AB、AC,BC的中點(diǎn),
點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BP、GP,那么ABPG的周長(zhǎng)的最小值是▲.
二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值:典型例題:例L(2023山東萊蕪4分)在AABC中,ΛB=ΛC=5,
BC=6.假設(shè)點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng),那么BP的最小值是▲.
24
【答案】A
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,垂直線段的性質(zhì),勾股定理。/?p
【分析】如圖,根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì),當(dāng)BP'IAC時(shí),BP取得最小值?/?p
設(shè)AP'=x,那么由AB=AC=5得CP'=5-χ,---**\
BC
又:BC=6,在RtZ?ABP'?Rt?CBP,中應(yīng)用勾股定理,得
BP,2=AB2-AP,2,BP,2=BC2-CP,2。
ΛAB2-APz2=BC2-CPf2,即52—x2=62-(6-xJ,解得χ=(。
.?.BP=,;?—(:)=^^=y,即BP的最小值是高。
例2.(2023浙江臺(tái)州4分)如圖,菱形ABCD中,AB=2,NA=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD
上的任意一點(diǎn),那么PK+QK的最小值為【】
A.1B.√3C.2D.√3+1
【答案】B?
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì),線段中垂線的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,垂直線段的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),銳角
三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。
【分析】分兩步分析:AL
(1)假設(shè)點(diǎn)P,Q固定,此時(shí)點(diǎn)K的位置:如圖,作點(diǎn)P關(guān)于BD
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R,連接RQ,交BD于點(diǎn)K。
由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì),得PC
PlKl=PK1,P∣K=PK°
由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì),得RK+QK>P∣Q=PlK,+QKl=PK,+QKlo
,此時(shí)的K就是使PK+QK最小的位置。
(2)點(diǎn)P,Q變動(dòng),根據(jù)菱形的性質(zhì),點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R在AB上,即不管點(diǎn)P在BC上任一
點(diǎn),點(diǎn)P總在AB上。
因此,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì),得,當(dāng)RQLAB時(shí)Pa最短。
過(guò)點(diǎn)A作AQ」DC于點(diǎn)QKVZA=120O,ΛZDAQ,=30o。,C
D
又,.?ΛD=ΛB=2,;.PQ=AQ=AD?cos300=2?-=√3?
113/
綜上所述,PK+QK的最小值為6。應(yīng)選B。//?
HPC
例3.(2023江蘇連云港12分)梯形ABCD,AD〃BC,AB±BC,AD=I,AB=2,
BC=3,
問(wèn)題1:如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQI),請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ,DC的長(zhǎng)能否相
等,為什么?
問(wèn)題2:如圖2,假設(shè)P為AB邊上一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在
最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
問(wèn)題3:假設(shè)P為AB邊上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE,請(qǐng)
探究對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
問(wèn)題4:如圖3,假設(shè)P為DC邊上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù)),以PE、PB為邊作平行
四邊形PBQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明
理由.
【答案】解:?jiǎn)栴}1:對(duì)角線PQ與DC不可能相等。理由如下:
?.?四邊形PCQD是平行四邊形,假設(shè)對(duì)角線PQ、DC相等,那么四邊形PCQD是矩形,
ΛZDPC=90°?
VAD=1,AB=2,BC=3,ΛDC=2√2?
設(shè)PB=x,那么AP=2—X,
在RtZ?DPC中,PD2+PC2=DC2,即Y+3ii+(2-χ)?+仔=8,化簡(jiǎn)得χ2-2x+3=0,
?.?△=(-2)2-4*1乂3=-8<0,二方程無(wú)解。
.?.不存在PB=x,使NDPC=90°。.?.對(duì)角線PQ與DC不可能相等。
問(wèn)題2:存在。理由如下:
如圖2,在平行四邊形PCQD中,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,
那么G是DC的中點(diǎn)。4
過(guò)點(diǎn)Q作QHJ_BC,交BC的延長(zhǎng)線于H。尸
BC~^H
圖2
VAD/7BC,ΛZADC=ZDCH,即NADP+/PDG=NDCQ+NQOL
VPD/7CQ,ΛZPDC=ZDCQo'NADP=NQCIL
又?.?PD=CQ,ΛRtΔADP^RtΔHCQ(AAS)oΛAD=HCo
VAD=1,BC=3,ΛBH=4,
???當(dāng)PQLAB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為4。
問(wèn)題3:存在。理由如下:
如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,
1
.DG_PD_1—
VPE√CQ,PD=DE,J
*GC^CQ-2Λ
???G是DC上一定點(diǎn)。圖3
作QHj_BC,交BC的延長(zhǎng)線于H,
ADpn1
同理可證NADP=NQCH,ΛRtΔADP<^RtΔHCQ,一=—=一。
oCHCQ2
VAD=1,.?.CH=2<,ΛBH=BG+CH=3+2=5o
;.當(dāng)PQJ_AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為5。
問(wèn)題4:如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G,
-PA_AG1
VPE∕/BQ,AE=nPA,*BQ^BG-n+1
0
???G是DC上一定點(diǎn)。
作QiI〃PE,交CB的延長(zhǎng)線于IL過(guò)點(diǎn)C作CKLCD,交QH的
延長(zhǎng)線于Ko
VAD√BC,ABlBC,
JND=ZQIIC,ZDΛP+ZPAG=ZQBII+NQBG=90°
ZPΛG=ZQBG,
ADPAI
ΛZQBH=ZPADΛΔADP^ΔBHQ,/.一=一=一,
αBHBQn÷l
VAD=1,ΛBH=n+loΛCH=BH+BC=3+n+1=n+4o
過(guò)點(diǎn)D作DM,BC于M,那么四邊形ABND是矩形。
ΛBM=AD=I,DM=AB=2oJCM=BC-BM=3-1=2=DM°
ΛZDCM=45ooΛZKCH=45o°
五
ΛCK=CH?cos45°=----(n+4),
2
.?.當(dāng)PQj_CD時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,最小值為J(n+4)0
2
【考點(diǎn)】反證法,相似三角形的判定和性質(zhì),一元二次方程根的判別式,全等三角形的判定和性質(zhì),勾股
定理,平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。.
【分析】問(wèn)題L:四邊形PCQD是平行四邊形,假設(shè)對(duì)角線PQ、DC相等,那么四邊形PCQD是矩形,然后利
用矩形的性質(zhì),設(shè)PB=x,可得方程/+夕+(2—X)?+1=8,由判別式△<(),可知此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,即對(duì)
角線PQ,DC的長(zhǎng)不可能相等。
問(wèn)題2:在平行四邊形PCQD中,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,可得G是DC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QH±BC,
交BC的延長(zhǎng)線于H,易證得RtZ?ADPgRtz?HCQ,即可求得BH=4,那么可得當(dāng)PQLAB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,
即為4。
問(wèn)題3:設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G,PE√CQ,PD=DE,可得變=型=,,易證得Rt^ADPsRtaHCQ,
GCCQ2
繼而求得Bll的長(zhǎng),即可求得答案。
ADp?1
問(wèn)題4:作QH√PE,交CB的延長(zhǎng)線于H,過(guò)點(diǎn)C作CKXCD,交QH的延長(zhǎng)線于K,易證得——=——=―
BHBQn+l
與4ADPS∕?BHQ,又由∕DCB=45°,可得ACKH是等腰直角三角形,繼而可求得CK的值,即可求得答案。
例4.(2023四川廣元3分)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為0),點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段AB最短
時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】
…近√21nf√2√21
A.(0,0)B.C.(—,-----)D.(-----,-----)
222222
【答案】B.
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì).
【分析】如圖,過(guò)點(diǎn)A作ABUOB,垂足為點(diǎn)BI過(guò)B,作BCj_x軸,垂足為C.
由垂線段最短可知,當(dāng)B與點(diǎn)B重合時(shí)AB最短.
???點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng),.?.△AOB,是等腰直角三角形.
.?.?B;CO為等腰直角三角形.
:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),OC=CBjLOA=Lxl=L.
222
??.B坐標(biāo)為--).
22
???當(dāng)線段AB最短時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-L,--).故選B.
22
例5.(2023四川樂(lè)山3分)如圖,在aABC中,ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、
BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,有以下
結(jié)論:
①ADFE是等腰直角三角形;
②四邊形CEDF不可能為正方形;
③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為√]?
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】Bo
【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理,勾股定理。
【分析】①連接CD(如圖1)。
o
「△ABC是等腰直角三角形,ΛZDCB=ZA=45,CD=AD=DBo
VAE=CF,Λ?ADE^ΔCDF(SAS)0
ΛED=DF,ZCDF=ZEDAO
VZADE+ZEDC=90o,/EDC+/CDF=NEDF=90°。
.?.?DFE是等腰直角三角形。
故此結(jié)論正確。
②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),?;由三角形中位線定理,DE平行且等于士BC。
2
四邊形CEDF是平行四邊形。
又TE'F分別為AC、BC中點(diǎn),AC=BC,二四邊形CEDF是菱形。
又?.?∕C=90°,四邊形CEDF是正方形。
故此結(jié)論錯(cuò)誤。
③如圖2,分別過(guò)點(diǎn)1),作DMLAC,DN±BC,于點(diǎn)M,N,
由②,知四邊形CMDN是正方形,.?.DM=DN°
由①,知ADFE是等腰直角三角形,.?.DE=DF.
.?.RtZkADE絲RtNkCDF(IlL)。
由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。
.四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。
故此結(jié)論錯(cuò)誤。
④由①,^DEF是等腰直角三角形,.?.DE=J∑EF.
當(dāng)DF與BC垂直,即I)F最小時(shí),EF取最小值2加。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為尤。
故此結(jié)論正確。
故正確的有2個(gè):①④。應(yīng)選B。
例6.(2023四川成都4分)如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按以下步驟進(jìn)行裁剪和拼圖:
第一步:如圖①,在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB,EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下局部不再使用);
第二步:如圖②,沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部,并在線段GH上任意取一點(diǎn)M,線段
BC上任意取一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部;
第三步:如圖③,將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使線段GB與GE重合,將MN右側(cè)
紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。,使線段He與HE重合,拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊
形紙片.
(注:裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊)
那么拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為▲Cm,最大值為▲cm.
【答案】20;12+49。
【考點(diǎn)】圖形的剪拼,矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形中位線定理。
【分析】畫(huà)出第三步剪拼之后的四邊形M此Nz岫的示意圖,如答圖1所示。
圖中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,
MIM2=M,G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理)。
又Y此詼〃MN2,二四邊形MNNM是一個(gè)平行四邊形,
其周長(zhǎng)為2N,N2+2M,N.=2BC+2MN≈
;BC=6為定值,;.四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大小。答?4
如答圖2所示,是剪拼之前的完整示意圖。
過(guò)G、H點(diǎn)作BC邊的平行線,分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn),那么四邊形PBCQP
是一個(gè)矩形,這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半。
?.?M是線段PQ上的任意一點(diǎn),N是線段BC上的任意一點(diǎn),
B
根據(jù)垂線段最短,得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離,即MN最答圖2
小值為4;
而MN的最大值等于矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度,即'PB?+BC2=&+6?=2后。
,
.?四邊形MiN1N2M2的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN,
.?.四邊形MNN2M2周長(zhǎng)的最小值為12+2X4=20;最大值為12+2×2√13≈12+4√13o
例7.(2023四川樂(lè)山3分)如圖,在AABC中,ZC=90o,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、
BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,有以下
結(jié)論:
①^DFE是等腰直角三角形;
②四邊形CEDF不可能為正方形;
③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為√]?
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】Bo
【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理,勾股定理。
【分析】①連接CD(如圖1)。
「△ABC是等腰直角三角形,ΛZDCB=ZΛ=45o,CD=AD=DBo
VAE=CF,ΛΔADE^ΔCDF(SAS)?
ΛED=DF,ZCDF=ZEDAo
,.,ZADE+ZEDC=90o,:.ZEDC+ZCDF=ZEDF=90o。
.,.ΔDFE是等腰宜角三角形.
故此結(jié)論正確。
②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),:由三角形中位線定理,DE平行且等于工BC。
2
四邊形CEDF是平行四邊形。
又?.?E?F分別為AC、BC中點(diǎn),AC=BC,.?.四邊形CEDF是菱形。
又?.?∕C=90°,.?.四邊形CEDF是正方形。
故此結(jié)論錯(cuò)誤。
③如圖2,分別過(guò)點(diǎn)D,作DkUAaDNlBC,于點(diǎn)M,N,
由②,知四邊形CMDN是正方形,.?.DM=DN.
由①,知4DFE是等腰直角三角形,.?.DE=DF.
ΛRtΔAI)E^Rt?CDE(HL)o
.?.由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面枳。
/.四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。
故此結(jié)論錯(cuò)誤。
④由①,ZXDEF是等腰直角三角形,,DE=√∑EF.
當(dāng)DF與BC垂直,即DF最小時(shí),EF取最小值2夜。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為立。
故此結(jié)論正確。
故正確的有2個(gè):①④。應(yīng)選B。
例8.(2023浙江寧波3分)如圖,ZXABC中,ZBAC=60o,NABC=45°,AB=2√2,D是線段BC上的一
個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑畫(huà)。0分別交AB,AC于E,F,連接EF,那么線段EF長(zhǎng)度的最小值為上—.
【答案】√3,
【考點(diǎn)】垂線段的性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)
值。
【分析】由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為aABC的邊BC上的高時(shí),直徑AD最短,此時(shí)線段
EF=2EH=20E?sinZE0H=20E?sin60°,當(dāng)半徑OE最短時(shí),EF最短。如圖,連接0E,0F,過(guò)0點(diǎn)作OHj_EF,
垂足為Ho
,.,?RtΔADBΦ,NABC=45°,AB=2√2,∕7K^'''X
.?.AD=BD=2,即此時(shí)圓的直徑為2。0?\
由圓周角定理可知NEOH=g∕E0F=NBAC=60°,√z
Λ?RtΔEOHψ,EH=OE?sinZEOH=l×—=—?BDC
22
由垂徑定理可知EF=2EH=6。
例9.(2023四川自貢12分)如下圖,在菱形ABCD中,AB=4,ZBΛD=120°,4AEF為正三角形,點(diǎn)E、F
分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng),且E、F不與B.C.D重合.
(1)證明不管E、F在BC.CD上如何滑動(dòng),總有BE=CF;
(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在BC.CD上滑動(dòng)時(shí),分別探討四邊形AECF和ACEF的面積是否發(fā)生變化?如果不變,求
出這個(gè)定值;如果變化,求出最大(或最?。┲?
【答案】解:(1)證明:如圖,連接AC
:四邊形ABCD為菱形,∕BAD=120°,
E
C
ZBAE+ZEAC=60o,ZFAC+ZEAC=60o,
.?.ZBΛE=ZFΛC1,
VZBAD=120o,ΛZABF=60o。
ΛΔABC和AACD為等邊三角形。
ΛZACF=60o,AC=ABoΛZABE=ZAFC(.
在AABE和AACF中,VZBΛE=ZFΛC,ΛB=ΛC,ZΛBE=ZAFC,
ΛΔABE^ΔACF(ASA)oΛBE=CF0
(2)四邊形AECF的面積不變,ACEF的面積發(fā)生變化。理由如下:
由(1)得AABEZ^ACF,那么SM=S、皿
?"?SraaSΛtΓrzS?ΛEC+S?ΛCΓzS?ΛEC+S?ABlFS?ΛBC>是定值。
作AH_LBC于H點(diǎn),那么BH=2,
LBCAH=JBe??∕AB2-BH2=46。
S四邊形AECF=SAABC=
22
由“垂線段最短"可知:當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.
故aAEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小,
又S?CEF=S四邊形AECF一SΔΛE1-,那么此時(shí)ACEF的面積就會(huì)最大.
SΔΛ∏≈4√3-∣?2√3?^(2√3)2-(√3)2
?*?S?CEI^=Sμq.ii.?ΛEC∣?1=G。
ΛΔCEF的面積的最大值是6。
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,垂直線段的性質(zhì)。
【分析】(1)先求證AB=AC,進(jìn)而求證aABC?ZXACD為等邊三角形,得NACF=60°,AC=AB,從而求證
ΔABE^ΔACF,即可求得BE=CF。
(2)由AABE咨ZXACF可得SAAK=SAACF,故根據(jù)SISi1眼":CF=SAΛBC+SAMT=SAAMSAABE=S△謝即可得四邊形
AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.AAEF的面積會(huì)隨著AE的變化而
變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小,根據(jù)S△由=S叫皿回,一S△.,那么aCEF的面積就會(huì)最
大。
例10.(2023浙江義烏10分)在銳角aABC中,ΛB=4,BC=5,ZΛCB=45o,將aABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较?/p>
旋轉(zhuǎn),得到^A∣BC∣.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),求/CCA的度數(shù);
(2)如圖2,連接AA”CC1.假設(shè)4ABA∣的面積為4,求ACBG的面積;
(3)如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),在AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中,
點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P∣,求線段EPl長(zhǎng)度的最大值與最小值.
o
【答案】解:(1)■由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ZA,ClB=ZACB=45,BC=BC,,
ΛZCC∣B=ZC,CB=45°。
ΛZCC∣Λ,=ZCCιB+ZΛ,C.B=45o+45°=90°。
[2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ΔABC^?A>BC,,
ΛBA=BAl,BC=BC1,ZABC=ZAlBC∣?
BABA
—=—?-,ZABC+ZABCl=ZA1BCl+ZABC1,,ΛZABA1=ZCBC,o
BCBC1
?'SΔΛMIZZ4,SACBCI=--。
4
(3)過(guò)點(diǎn)B作BDJ_AC,D為垂足,
???△ABC為銳角三角形,.?.點(diǎn)D在線段AC上。
在RtZXBCD中,BD=BC×sin45o=-√2<>
2
①如圖1,當(dāng)P在AC匕?動(dòng)至垂足點(diǎn)D,AABC繞點(diǎn)B旋
轉(zhuǎn),使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB上時(shí),EP:最小。
最小值為:EP1=BP,-BE=BD-BE=-√2-2?
2
②如圖2,當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,AABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使
卻
點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),EPl最大。
最大值為:EP,=BC+BE=5+2=7o
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角
形的判定和性質(zhì)。
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:NACB=NACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形
的性質(zhì),即可求得NCCA的度數(shù)。
C(P1)
圖2
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ΔABC^ΔA,BC.,易證得4ABA∣sACBα,利用相
似三,角形的面積比等于相似比的平方,即可求得acBc,的面積。
(3)由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D,ΔABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P∣在線段AB上時(shí),EP1
最小:②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,4ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)R在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),EPl最
大,即可求得線段EPl長(zhǎng)度的最大值與最小值。
例IL(2023福建南平14分)如圖,在aABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上,連接AD.DE,且Nl=NB=NC.
(1)由題設(shè)條件,請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論:(要求不再添加其他字母和輔助線,找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和
輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中,不必證明)
答:結(jié)論一:;結(jié)論二:;結(jié)論三:.
(2)假設(shè)NB=45°,BC=2,當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D不與B、C重合),
①求CE的最大值;
②假設(shè)aADE是等腰三角形,求此時(shí)BD的長(zhǎng).
(注意:在第(2)的求解過(guò)程中,假設(shè)有運(yùn)用(1)中得出的結(jié)論,須加以證明)
【答案】解:(1)AB=ACiZAED=ZADC;ΔADE<×>ΔACD1,
(2)①?.?NB=∕C,NB=45°,.?.AACB為等腰宜角三角形。
/.AC=-BC=-×2=√2。
22
VZl=ZC,ZDAE=ZCAI),Λ?ADE<^ΔACDC
ΛAD:AC=AE:AD,:.AE=處=空J(rèn)?=也AD2。
AC√22
當(dāng)AD最小時(shí),AE最小,此時(shí)AI)_LBC,AD=?BC=Io
2
.?.AE的最小值為也x「=立。.?.CE的最大值=41--=—
2222
②當(dāng)AD=AE時(shí),ΛZ1=ZΛED=45",ΛZDAE=90o。<
二點(diǎn)D與B重合,不合題意舍去。/
當(dāng)EA=ED時(shí),如圖1,NEAD=N1=45°。//\
BDC
.?.AD平分∕BAC,...AD垂直平分BC。ΛBD=1(,圖ι
當(dāng)DA=DE時(shí),如圖2,?
VΔΛDE^?ΛCD,,DA:ΛC=DE:DC?/?r
ΛDC=CA=√2?ΛBD=BC-DC=2-√2,,/\
BDC
綜上所述,當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí),BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)為1或圖2
2—>/2?
【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】(1)由∕B=∕C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC;由/1=NC,NAED=/EDC+NC得到NAED=/ADC;
又由NDAE=NCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得到^ADEs∕?ACD0
(2)①由NB=NC,ZB=45o可得aACB為等腰直角三角形,那么AC=?|BC=注x2=夜,由
22
Zl=ZC,ZDAE=ZCAD,根據(jù)相似三角形的判定可得AADESAACD,那么有AD:AC=AE:AD,即
2?I
AE=a±=A[=Y2AD2,當(dāng)ADLBC,AD最小,此時(shí)AE最小,從而由CE=AC-AE得到CE的最大值。
AC√22
②分當(dāng)AD=AE,,EA=ED,DA=DE三種情況討論即可。
練習(xí)題:
1.(2023浙江衢州3分)如圖,OP平分/M0N,PΛ±0N于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),假設(shè)PΛ=2,
那么PQ的最小值為【】
A、1B、2C、31)、4
2.(2023四川南充8分)如圖,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=2,ZC=60o,M是BC的中點(diǎn).
(1)求證:4MDC是等邊三角形;
(2)將aMDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn),當(dāng)MD(即MD')與AB交于一點(diǎn)E,MC(即MC')同時(shí)與AD交于一點(diǎn)FH寸,
點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成aAEF.試探究aAEF的周長(zhǎng)是否存在最小值.如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果存在,
請(qǐng)計(jì)算出aAEF周長(zhǎng)的最小值.
3.(2023浙江臺(tái)州4分)如圖,。。的半徑為2,點(diǎn)0到直線1的距離為3,點(diǎn)P是直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
PQ切。0于點(diǎn)Q,那么PQ的最小值為【】
A.713B.√5C.3D.2
4.(2023河南省3分)如圖,在四邊形ABCD中,ZA=90o,AD=4,連接BD,BD±CD,ZADB=ZC.假設(shè)P
是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),那么DP長(zhǎng)的最小值為▲.
5.(2023云南昆明12分)如圖,在RtZXABC中,ZC=90o,AB=IOcm,AC:BC=4:3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿
AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為ICm∕s,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BfC-A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為2cm∕s,當(dāng)
一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)求AC、Be的長(zhǎng);
(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X(秒),APBQ的面積為y(cm2),當(dāng)aPBQ存在時(shí),求y與X的函數(shù)關(guān)系式,
并寫(xiě)出自變量X的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng),使PQ_LAB時(shí),以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與AABC是否相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)x=5秒時(shí),在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M,使ABCM得周長(zhǎng)最小,假設(shè)存在,求出最小周長(zhǎng),假設(shè)
不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
三、應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值:典型例題:例1.(2023山東青島3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為
12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)
C處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,那么螞蟻到達(dá)蜂蜜的
最
短距離為▲cm.
【答案】15.
【考點(diǎn)】圓柱的展開(kāi),矩形的性質(zhì),軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,勾股定理。
【分析】如圖,圓柱形玻璃杯展開(kāi)〔沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi))后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)5V
4
18寬12的矩形,作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,連接BC交MN于點(diǎn)P,M
連接BM,過(guò)點(diǎn)C作
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