湖南省2023屆高三下學(xué)期2月第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

湖南省2023屆高三下學(xué)期2月第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、已知集合A=*—≤0

,8={%∣y=ln(l-x)},則AB=()

A.(-l,l)B.[-l,l)C.(→)o,-1]D.(-∞,-l)

2、設(shè)復(fù)數(shù)Z=W刈z+24=()

c3√2

t~2~DI

3、設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布吊6,0`2>若「修<3"-3）=2?>-。+1）,則。的值為（）

A.9B.7C.5D.4

4、已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為36,方差為48,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí),其中的兩

個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤,一個(gè)錯(cuò)將24記錄為34,令一個(gè)錯(cuò)將48記錄為38.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行

更正后,重新求得樣本的平均數(shù)為方差為則（）

A.x=36,52<48B.X=36,52>48C.x>36,52<48D.Λ<36,52>48

5、已知|\+:丫2］-」］的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

k%八XJ

A.200B.280C.-200D.-280

6、在aABC中,內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為aha若

√3sinβ+2cos2-=3,—+—=SinAsinB則的外接圓的面積為（）

2bc6sinC

A.12πB.16πC.24πD.64π

7、巳知拋物線C:V=4χ的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P（5,0）的直線/交C于A,B兩點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn),記AABO與4AFO的而積分別為S1和52,則S1+352的最小值為（）

A.8√2B.20√2C.24√2D.32√2

8、讓霓［!1］，％=!（：051，。111口,則（）

5559

?.a>h>cB.a>c>lC.b>oaD.c>a>h

二、多項(xiàng)選擇題

9、已知〃是兩條不同的直線,α,夕是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若帆_La,G_L￡,則mllβB.若mJla.allβ廁mllβ

C.若InUa,"UcI,mllβ,nllβ,則allβD.若Zni_a,zn_L/?,〃_La,則〃

10、已知向量Q=(Sin3x,cos3r),0=l-cos(GX+D，1+COSGX10>0),函數(shù)

/(x)=a?b-L則()

A.若“X)的豉小正周期為π,則/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)卜管,0)對(duì)稱

B.若f(x)的圖象關(guān)于直線X=W對(duì)稱,則o可能為(

C.若〃x)在Tw上單調(diào)遞增,則。的取值范圍是(Oq

D.若/(x)的圖象向左平移專個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則。的最小值為5

11、阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得,阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三

巨匠,阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,3的距離之比為定值4(2>0且4HI)的點(diǎn)的

軌跡是圓,此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xθy中,A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)P

滿足IPAl=T.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,則下列說(shuō)法正確的是()

AC的方程為(X+4)2+V=16

B.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),則ZAPO=ABPO

C.在C上存在點(diǎn)M使得IMa=2∣M4∣

D.若0(2,2),則歸卸+21Pq的最小值為46

12、已知“力是定義在R上的函數(shù),若/(x)-4χ2是奇函數(shù)/(χ)+χ是偶函數(shù),函數(shù)

g(x)￥；)%嗎W)

∣2g(x-l),x∈[l,+∞)

A.當(dāng)x∈[l,2)時(shí),g(x)=8f-18x÷8

B.當(dāng)]∈[2,3)時(shí),g(x)=16X2-68X+72

C.=4(?∈N*)

21,-l

DELg

2

三、填空題

1713

13、若q,e2是夾角為60。的兩個(gè)單位向量,則α=與人=54-762的夾角大小為

14、若〃x)尼定義在R上的奇函數(shù),且/(x+l)是偶函數(shù),當(dāng)0≤xVl

15、在正三棱錐P-A5C中,AB=4,。是PC的中點(diǎn),且AD_LB3,則該三棱錐內(nèi)切球的

表面積為.

22

16、已知橢圓G版+、?=1的左,右焦點(diǎn)分別為Fl,Λ,?P是C上異于左,右頂點(diǎn)的一

點(diǎn)APFE外接圓的圓心為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn),則PMPO的最小值為.

四、解答題

17、已知數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S“必=4,且&="1("∈N*).

Sn2/7

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勿=-2，—■,數(shù)列他,｝的前”項(xiàng)和為，,求證:7；＜工.

(九+3)?！?2

18、在AABC中,角AAC的對(duì)邊分別為","c,且滿足至幽=2+型9.

abbsinA

(1)求角B的大??；

(2)若b=8,D為邊AC的中點(diǎn),且8。=號(hào),求ΛABC的面積.

3

19、在三棱錐尸-ABC中,平面QABL平面

ABC,PA=2θ,PB=O,AB=R,AC工PC是棱PC的中點(diǎn).

P

2

(1)求證AC;

(2)若AC=G,求直線BC與平面ADB所成角的正弦值.

20、2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽,是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)

家境內(nèi)舉行,也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足

球賽,除此之外,卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行,第二次世界大戰(zhàn)后首次由從

未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦的世界杯足球賽.小胡,小陳兩位同學(xué)參加學(xué)校組織的世界杯知

識(shí)答題拿積分比賽游戲,規(guī)則如下:小胡同學(xué)先答2道題,至少答對(duì)一道題后,小陳同學(xué)才

有機(jī)會(huì)答題,同樣也是兩次答題機(jī)會(huì),每答對(duì)一道題獲得5積分,答錯(cuò)不得分.小胡同學(xué)每

道題答對(duì)的概率均為3,小陳同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為2,每道題是否答對(duì)互不影響.

43

(1)求小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題的概率；

(2)記X為小胡和小陳同學(xué)一共拿到的積分,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21、已知雙曲線E：4-3=l(α>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,其離心率為逝,且A到E的一

a1b22

條漸近線的距離為竽.

(1)求E的方程；

(2)過(guò)P(4,0)的直線I與E的右支交于B,C兩點(diǎn),直線AB,AC與y軸分別交于M,N兩

點(diǎn).記直線PMPN的斜率分別為匕，右,試判斷他是否為定值喏是,求出該定值;若不懸

請(qǐng)說(shuō)明理由.

22、已知函數(shù)/(X)=ex+a-ln(x+l)-∈R).

(1)若a=0,討論“X)的單調(diào)性；

(2)求證:/(x)有唯一極值點(diǎn)/,且/(x)≥l.

參考答案

1、答案：A

解析:由題意知A=吟*。HTlu={x∣y=ln(l-x)}=(-∞,l),所以

AB=(TI).故選□.

2、答案：C

解析:由題意知=右(2-i)(l-i)13

Z—i,所以z+2z

1+i(l+i)(l-9^22

3、答案：B

解析:由題意,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性,得3”3-。+1=6,解得。=7.故選B.

2

4、答案：B

解析:設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)為…,%，所以+>4+IS=36,所以

X1+x2+...+x48=1728,所以7=%+/++24+48=?e,

又48=4[(玉一36)2+(―36)2**-36)2+(34-36)2+(38-36)2]

222

=^[(%1-36)+(X2-36)+...+(%48-36)+8,

122

S=?-36『+(々_36『+…+國(guó)_36)2+W.36)+(48-36)

=卻(西-36『+N-36)2+…+(%-36)2+288]>48.故選β

5、答案：D

解析:令尤=1,得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為l+α,所以l+α=4,解得α=3?

-√πY1Y(3Y.1Y(C1Y3A。IY(C1丫向nτ

所fil以rIXH--n2x—=XH--2x—=X2.x—H--2x—,2x—JMJI式

卜T八XJkXAX√VχJχ?xJ?χJ

的通項(xiàng)為Tr+l=(―1廠2*C#"2,令5_2r=T,解得廠=3;令5-2廠=3,解得r=1,所以展開(kāi)

式中的常數(shù)項(xiàng)為(T)3χ2"3C3+3χ(-l)χ25Tc;=-280.故選D.

6、答案：B

2

解析:因?yàn)椤?sinfi+2COS0=3,所以GSin8+2-SB=3,所以√3si∏β+CoSB=2,即

22

sin,+E)=I,乂Be(O,兀),所以5+3(會(huì)篇,所以3+看吟所以B=.因?yàn)?/p>

cosBcosCsinΛsinB1?T√CL~+L—b~cι~+h~-c~sinAsi∏β

---1----=------ttJfjπn

bc6sinC

小嘿*又小，所以SE*，所以在第，由正弦定理得於得所以

。=46.設(shè)AABC的外接圓的半徑為R,所以2/?=上-=8,解得H=4,所以AABC1的外

SinB

接圓的面積為兀&=i6π?故選B.

7、答案：B

解析:顯然,直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為X=My+5,Aa,y),B(x2,%)，由

m

，“2)+5得y2_4叼_20=0,所以0+y2=4m,yiy2=-20,所以y2=-型,所以

7=4xX

205II5201IIr-K1

%=——Wc=彳乂一乂=彳y+—㈤=；%,所f以

)'∣22X2

5式+1M=颯+箭≥2枷令=200,當(dāng)且僅當(dāng)4皿=號(hào)即

S]+3S,

2

EI=平時(shí)等號(hào)成立,所以H+3S2的最小值為20√2.故選B.

、答案：

8D、

解析:令/(x)=si∏Λ-XCOSιX,Λ∈θ,?.所以r(x)=cosx-(COsx-Λsinr)=xsinx>0,所以

2，

/⑴在0e上單調(diào)遞增,所以了>J(O)=O,即sin，CoS，,即a>b.令

15)555

g(x)=lnx-1=?,x>0,所以，(X)=：-得產(chǎn)=高號(hào)20,所以g(x)在(0,口)上

,、2∣"--11

單調(diào)遞增,且g⑴=0,所以當(dāng)x>l時(shí),g(x)>0,即gU=InU--^~^〉0,即

19/9il+ι

9

In段■>g.令∕z(x)=X-sinx,%>O,所以//(x)=l-cosx2O,所以〃(%)在(O,+∞)上單調(diào)遞

增,所以力卜)>〃(0),即，>sinL所以IllU>sinL即c>4?綜上,c>α>〃.故選D.

15J5595

9、答案：ABC

解析:若m_Lc,G_Lβ,則nτllβ或加u/?,故A錯(cuò)誤;若m∕∕α,?///?,K1Jmllβ或mu/?,故B

錯(cuò)誤;若mua,nua,mIlB,nllβ,則α與夕相交或allβ,故C錯(cuò)誤;由于m_Lc,〃_La,所

以m∕∕n,又加，尸,所以〃，△,故D正確.故選ABC.

10、答案：AC

解析:由向量α=(sinωx,COSωx),b=11-CoS(<yχ+［,1+cos<yχ|(?>0),

「(兀

所以/(x)=α?b-I=SinS1-cosωx+-+COS69x(1÷COSd>x)-l

_\2

=si∏69Λ+sin2ωx+cosωx+cos2ωx-?-Λ∕2sin+

對(duì)于選項(xiàng)A,T=生=π,解得。=2,令2%+二=而《eZ,所以X=M—工，ZeZ,則7(x)

ω428v7

的圖象關(guān)于點(diǎn)［-1,。］對(duì)稱,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,令5++國(guó)會(huì)則X=為方程的解,即0=弘+打?所以“不可能為

濾B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,?2Λπ--≤6;x+-≤2kπ+-"∈Z,解得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

242

c,3π

2κπ---2kπ+—「1

4——(ZeZ),又/(尤)在-生？上單調(diào)遞增,則

ωco56

衛(wèi)〉_2_

2兀π3ππ,即54ω,^ω≡(θ,-

,故C正確;

,4,ω兀,兀I2

T6一≤—

、64ω

對(duì)于選項(xiàng)D,將/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)解析式為

πωππω兀

y=V2sinωxH------1--,由y=V2sinωxH------1--為偶函數(shù),則處+四=E+々后∈Z,

1241241242

即<υ=12A+3?eZ,則ω的最小值為3,故D錯(cuò)誤.故選AC.

11、答案：ABD

2

解析:設(shè)g),喘總得g,化簡(jiǎn)得(x+4>+y2=i6,故A正確;當(dāng)

2

A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),您=?1=粵所以PO是24P8的角平分線,所以NAPO=

?OB?2?PB?

2

8更，因?yàn)?/p>

故B正確；設(shè)M(X,y),則也2+人=2J(χ+2)2+9，化簡(jiǎn)得%+y2=

9

-4+號(hào)I+(O-O)I2=g<4-*所以在C上不存在點(diǎn)M,使得IMoI=2∣M4∣,故C錯(cuò)誤;因

3

科=L所以∣P8∣=2∣E4∣,所以IPBl+2∣PDl=2∣Λ4∣+2∣PD∣≥2∣AD∣=46,當(dāng)且僅當(dāng)P

為

?pb?2

在線段AD上時(shí),等號(hào)成立,故D正確.故選ABD.

12、答案：BD

[尸W)+4；所以

解析:因?yàn)?(x)-4d是奇函數(shù),/(χ)+χ是偶函數(shù),所以

f[-X)-X=f[X)+X

/(%)=4兀2一%.任取工€[1,2),則》一16[0,1),所以

g(x)=2g(x—1)=2[4(X-1)2-(X-1)]=8X2-18X+10.?A錯(cuò)誤;任取X∈[2,3),則

x—1∈[l,2),x-2∈[θ,l),所以

^(x)=2g(x-l)=4g(x-2)=4[4(x-2)2-(x-2)]=16x2-68x+72,?BiE

2Λ+1

g

2^+1=g出+升2k-?2

確;g=gT=2"々,所以—=2∈N*).

2221

g

2

2k-?

故C錯(cuò)誤;由C的結(jié)論,g=2*<,則

2

2k-?XT)=土」.故D正確.故選BD.

∑3g=-+l+2+...+2n~2

221-22

13、答案：120o

解析:因?yàn)閑∣0是夾角為60。的兩個(gè)單位向量,所以e∣烏=IelHe21cos60。=—,所以

1H7

+2

4e一

-2-2=-

1224

例=儲(chǔ)=￥，所以c。S伍》品T，又

1?1Q

(α,?∈[0o,l80。],所以=120。,即α=34+§02與。=54-：02的夾角大小為120。.

14、答案：1—log32

解析:因?yàn)?(x+l)是偶函數(shù),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱,所以

/(τ)=/(2+x),因?yàn)椤▁)是定義在R上的奇函數(shù),所以/(f)=-∕(x),所以

/(2+x)=-∕(x),所以F(X+4)=-∕(x+2)=F(X),所以

《啜=∕[l+4x2θ)=∕(I)TUG)=I*=一喝2.

(32-16√3)π

15、答案：?------------L

3

解析:如圖，

取AC的中點(diǎn)及連接PE,BE

因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐,所以PA=PC,84=BC,又E是AC的中點(diǎn),所以

PE±AC,BE工AC,又PEnBE=E,PE,BEU平面PBE,所以ACJ_平面PBE,又PBU平

面P3E,所以ACJ,PB,又ADLBB,ACAz)=A/C,ADu平面∕?C,所以尸B_L平面

∕?C,又∕?,PCu平面％C√4所以「BLΛ4,依，Pe,又45=4,必=尸人所以

PC=PB=PA=20,所以AC?=Q42+,所以PA_LPC設(shè)正三棱錐產(chǎn)一ABC的內(nèi)切

球的半徑為R,所以;Sm?PB=∣(SΔMC+S,+SNBC+SfC)R,即

［X'X2V5X2>∕5X2?∕Σ=LXCX2夜乂2&+12夜*2&+二2￠乂2&+勾4*4§也殳)/?,解得

323122223J

R=逑二住所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積S=471R2=巴上空.

33

16、答案：-

2

解析:PM-PO=^PM^PF1+PF2)=^PM-PFi+PM-PF2),取線段PFl的中點(diǎn)G,則

用GLP耳,所以PM?Pf;=PEPFJ+GMJ=/PR,同理PM?PK=：尸兀,所以

PM?PO=1(*+PE)≥11嗎+|尸磯=9,當(dāng)且僅當(dāng)冏=PEl

=3時(shí),等號(hào)成立,

即PM?PO的最小值為2.

2

17、答案：(1)al,=(n+l)-2"

(2)見(jiàn)解析

解析：⑴由BL=葉1,得至US“=2.當(dāng)心2時(shí),S,ι=2(〃一1%τ,兩式相減,得

Sn2/1n+1n

9=*_2(〃—1)%,所以2("1)%=(〃-1”“，由于心2所以衛(wèi)=2.也■,因?yàn)?/p>

/7+1nnπ+l〃+1n

幺=2,所以［-］是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列所以q-=2x2"τ,所以

21〃+IJn+1

%=e+ι>2"?

2"1

(2)證明:由(1)知勿

(〃+3)a“(〃+1)("+3)5

Illl11

所以［----------1-----------1-----------1-----------F...H;T+TττT

2×43×54×65×7-------〃(〃+2)(∕ι+l)(π+3)

1IYl

2?i

邛+LJ___q

2(23n+2n+3J

因?yàn)椤ā蔔*,所以Lp_+■__?-------1_]<^^1+2_]=3,所以7；<之.

2(23n+2n+3)2(23)12"12

?JT

18、答案：(1)B=—

3

(2)迎

9

解析：(1)因?yàn)檐妳^(qū)=2+型9,由正弦定理得生區(qū)二+二,所以4COSC=2α+c,

abbsinAabba

由余弦定理得2b-&十，一°=2。+J即/+/一〃=一女,所以

Iab

-ac1O7r

cosB又3∈(0,兀),所以8=玲.

Iac

Q

(2)因?yàn)閎=8,。為邊AC的中點(diǎn),所以A。=CQ=4,且8。=一,在aABO中,由余弦定

3

64÷16-C2

BD2+AD--AB-

理得,cosNBD4=9,同理,在ABDC

2BDAD

2×-×4

3

中,cosZBDC=3一----.因?yàn)閆ADB+NBDC=π,所以cosZADB+cosZBDC=(),可得

2×≤×4

3

a1+C2=電^,在AASC中,由余弦定理A?=/+a2-2accosB,得64=/+α?+αc,所以

9

160人而和。1.1160.2π40√3

Cic=--,月fi斤c以nlZS,ABC的面a∕?S=-6zcsi∏βd=-×-----×sin—=-------.

9λarγ22939

19、答案：(1)見(jiàn)解析

⑵巫

7

解析：(1)證明:在?ft?b中,/>4=20,/>8=后,45=指,所以^42=依2+他2,所以

/>8,45,又平面248，平面48。,平面以8平面4SC=AB,PBu平面以民所以

PB，平面ABC,又ACU平面ABC,所以PBLAC,又AC上PC,PBnPC=P,PB,PCU

平面PBC,所以AC，平面PBC,又BCu平面PBC,所以BC_LAC.

(2)在aABC中,BC_LAC,AC=6,AB=C,所以BC=√5,NABC=二.以3為坐標(biāo)

4

原點(diǎn),直線BA,BP分別為X,z軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)8與AC垂直的直線為y軸建立空間

直角坐標(biāo)系,如圖所示.

所以3(0,0,()),A(Mo,0),C?,?,θ,P(θ,O,0b所以

“也也理也更叵∣,BA=(疝0,0),60/也巫,0].設(shè)平面408

I442JI442J')I22J

RD_?/e?/eV2_

的一個(gè)法向量是〃=(x,χz),所以〃Z^xTv3"一,令y=2,解得

n-BA=y∕βx=0

X=O,z=-收所以平面ADB的一個(gè)法向量是〃=e,2,-@.設(shè)直線BC與平面ADB所

成的角為氏所以Sine=COS(BCQ=^-i=,v-----=少,即直線BC與平面

`/阿阿γJfiXg7

AOB所成角的正弦值是巫.

解析：(1)記“小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題”為事件A,所以

P(A)=I-P(可=1-11TX(I-j=j∣,所以小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題的概率是*

(2)X的所有可能取值為0.5,10,15,20,所以P(X=O)=(I-AXk-3]=，，

P(X=5)=C弓2、21

XIaXI二

\43)24,

2

P(X=IO)=CG)23Xjl

×fι-η××1-1÷

、4>4I《

22

P(X=I5)=cJ]?2、3、?5

×3、×÷××1^i

√34√n,

4,√\41/√

2

P(X=20)=(5?2?

X

√3?4

所以X的分布列為:

X05101520

P~Γ115?

1624不124

所以EX=0x-!→5x-!→10χU+15χ2+20χL空

1624481244

2

”答案：⑴丁=1

(2)-?

48

解析：(1)設(shè)E的半焦距為C(C>0),由題意知A(-α,0),E的一條漸近線方程為y

即以-紗=0,所以/卜聞=拽,又￡=好,解得α=2,力=1,C=G,所以E的方程

√?2+(-a)25a2

X=毆+4

(2)設(shè)直線/:%=陽(yáng)+4,-2〈加〈2,3(3,?。?,。(%2，%)，由,X2，/得

-----K=1

14.

2,8m12

(加2—4)y+8w>+12=0,所