第九章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

第九章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

§9.1阻抗和導(dǎo)納§9.2阻抗和導(dǎo)納串聯(lián)和并聯(lián)§9.3電路的相量圖§9.4正弦交流電路穩(wěn)態(tài)分析§9.5正弦交流電路的功率§9.6復(fù)功率§9.7最大功率傳輸§9.1阻抗和導(dǎo)納

一、阻抗（impedance)1.定義：元件在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電壓相量與電流相量之比，記為Z。注：RLC元件電壓相量與電流相量之間的關(guān)系類似歐姆定律，電壓相量與電流相量之比是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的量，它是一個(gè)復(fù)數(shù)。二、不含源的二端網(wǎng)絡(luò)阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，阻抗的幅角

=

u-

i稱為阻抗角，它表示端口正弦電壓u(t)與正弦電流i(t)的相位差。與阻抗相似，在端口電壓與電流相量采用關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，其電流相量與電壓相量之比為一個(gè)常量，這個(gè)常量稱為導(dǎo)納，即導(dǎo)納是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納的幅角-

=

i-

u表示端口正弦電流i(t)與正弦電壓u(t)的相位差。同一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的阻抗與導(dǎo)納之間存在倒數(shù)關(guān)系，即例：LCRuuLuCi+-+-+-Z—復(fù)阻抗；R—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(阻抗的虛部)；

|Z|—復(fù)阻抗的模；

—阻抗角。關(guān)系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RXj阻抗三角形|Z|=U/I

=

u-

ij

LR+-+-+-具體分析一下R、L、C串聯(lián)電路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC

，X>0，j>0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；wL<1/wC

，X<0，j<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC

，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即

UX=22LR（U-U）U+C例：圖示電路中已知R=15

,L=12mH,C=5

F,

解：15

練習(xí)題：圖示電路中已知V1=6V，V2=8V，求各電路的V=？°°RRV1V2V（1）°°CL（2）°°RL（3）°°RC（4）V=14VV=2VV=10VV=10V例：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-Y—復(fù)導(dǎo)納；G—電導(dǎo)(導(dǎo)納的實(shí)部)；B—電納(導(dǎo)納的虛部)；

|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；

—導(dǎo)納角。關(guān)系：或G=|Y|cos

'B=|Y|sin'|Y|GBj

導(dǎo)納三角形|Y|=I/U

=

i-

uY=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠j

wC>1/wL

，B>0，j'>0，電路為容性，i領(lǐng)先u；wC<1/wL

，B<0，j'<0，電路為感性，i落后u；wC=1/wL

，B=0，j

=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考向量(wC<1/wL，

<0)

'例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為j

LR+-+-+-則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓，原因是uL，uC相位相差180°，互相抵消的結(jié)果。

-3.4°相量圖§9.2阻抗和導(dǎo)納串聯(lián)和并聯(lián)同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2例1：已知Z1=10+j6.28

,Z2=20-j31.9

,Z3=15+j15.7

。求

Zab。Z1Z2Z3ab例2圖示電路，試求各電壓電流。

已知電壓源電壓為§9.3電路的相量圖相量圖：在正弦交流電路分析中，需要一種能夠反映KCL，KVL和電壓電流關(guān)系的相量圖。同頻率的正弦量才能表示在同一個(gè)向量圖中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度選定一個(gè)參考相量(設(shè)初相位為零。)jw

L1/jwCR+-=IRL串相量圖ULRC串相量圖UCURUCUCURLC串相量圖UIIURURU串聯(lián)電路中，各元件上通過的電流相同，因此在相量分析中，應(yīng)以電流為參考相量（參考相量畫在正向?qū)嵼S位置上）。ULULCURIULURL串相量模型URIUCURC串相量模型URIULURLC串相量模型UCIL>IC時(shí)的相量圖，電壓超前總電流。ICU在RLC并聯(lián)電路中，各元件兩端加的電壓相同，因此在相量分析中，應(yīng)以電壓為參考相量。IRIILURLC并聯(lián)電路相量模型ICIRILICILCIIL<IC時(shí)的相量圖，電壓滯后總電流。ICUIRILILCIIL已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例1.解：ZZ1+_?UCUCICU

CI

URURU

abUabU

?????????1U

?a???bb2用相量圖分析例2.ooabR2R1R1+_+-+-+-移相橋電路。當(dāng)R2由0

時(shí)，解：當(dāng)R2=0，q=180；當(dāng)R2

，q=0。且R2

，|q|。21212,UUUUUU==+=??????1UUURab-=UUUCR+=??????證明：即：當(dāng)從0到變化時(shí)，U2=U1，2相對(duì)

1從180到0變化。已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：線圈的電阻R2和電感L2。已知的都是有效值，畫相量圖進(jìn)行定性分析。例3.解：R1R2L2+_+_+_q2q或解得：R1R2L2+_+_+_練習(xí)1：圖示電路。已知U=100V，求Z=？解：練習(xí)2：右圖所示電路。改變R，要求電流I不變。求L、C、

應(yīng)滿足何種關(guān)系？解：當(dāng)R=0時(shí)：當(dāng)R=

時(shí)：依題意，有（無(wú)解）練習(xí)3：圖示電路。U=380V，f=50Hz。改變C=80.95

F，電流表A讀數(shù)最小為2.59A。求電流表A1和A2讀數(shù)。解：則有相量圖：

若改變C則I2變化，當(dāng)I2=I1sin

1時(shí)I最小。

1

此時(shí)有§9.4正弦交流電路穩(wěn)態(tài)分析求正弦穩(wěn)態(tài)解是求微分方程的特解，應(yīng)用相量法將該問題轉(zhuǎn)化為求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題。引入相量運(yùn)算電路，不必列寫時(shí)域微分方程，而直接列寫代數(shù)方程。引入阻抗以后，可將所有網(wǎng)絡(luò)定理和方法都應(yīng)用于交流，直流（f=0)是一個(gè)特例。電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。一、相量模型：此式表明：就單口網(wǎng)絡(luò)的相量模型的端口特性而言，可以用一個(gè)電阻和電抗元件的串聯(lián)電路或用一個(gè)電導(dǎo)和電納元件的并聯(lián)電路來等效。R（G）不一定由電阻決定，X（B）不一定由電容、電感決定；R、X、G、B是元件及頻率的函數(shù)。Z+-無(wú)源線性+-二端網(wǎng)絡(luò)阻抗和導(dǎo)納等效關(guān)系一般情況G

1/RB

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。ooZRjXooGjBY同樣，若由Y變?yōu)閆，則有：ooZRjXooGjBY例1單口網(wǎng)絡(luò)如圖(a)所示，試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。解：例2試求圖中所示單口網(wǎng)絡(luò)在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效導(dǎo)納。解：例3單口網(wǎng)絡(luò)如圖所示，已知

=100rad/s。試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)相量模型等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。例4圖中電阻R=100

和電感L串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，等效變換為圖(b)電阻R’=1000

和電感L’并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，試求電感L之值。假如在端口并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)數(shù)值的電容(C=3

F)來抵銷電感的作用，可以使單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)1000

的純電阻。相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路(一)畫出電路的相量模型根據(jù)電路時(shí)域模型畫出電路相量模型的方法是1.將時(shí)域模型中各正弦電壓電流，用相應(yīng)的相量表示，并標(biāo)明在電路圖上。2.根據(jù)時(shí)域模型中RLC元件的參數(shù)，用相應(yīng)的阻抗(或?qū)Ъ{)表示，并標(biāo)明在電路圖上。(二)根據(jù)KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立復(fù)系數(shù)電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達(dá)式。(三)根據(jù)所計(jì)算得到的電壓相量和電流相量，寫出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。例1電路如圖所示，已知電感電流,試用相量法求電流i(t),電壓Uc(t)和Us(t)。解：

由于相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律與電阻電路中同一定律的形式完全相同，分析線性電阻電路的一些公式和方法完全可以用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中來。其差別僅僅在于電壓電流用相應(yīng)的相量替換，電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納替換。本節(jié)將舉例說明支路分析，網(wǎng)孔分析，結(jié)點(diǎn)分析，疊加定理在正弦穩(wěn)態(tài)分析中的應(yīng)用。

例2圖示(a)電路中，試求電流i1(t)。已知解：先畫出電路的相量模型，如(b)所示，其中

1.支路分析

2.網(wǎng)孔分析3.結(jié)點(diǎn)分析：為了便于列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程，畫出采用導(dǎo)納參數(shù)的相量模型，4.疊加定理：疊加定理適用于線性電路，也可以用于正弦穩(wěn)態(tài)分析。畫出兩個(gè)獨(dú)立電壓源單獨(dú)作用的電路。含獨(dú)立電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)相量模型，就其端口特性而言，可以用戴維南—諾頓定理一個(gè)獨(dú)立電壓源與阻抗的串聯(lián)來代替。三、含源單口網(wǎng)絡(luò)的戴維南—諾頓定理等效電路5.戴維寧定理：含源的單口網(wǎng)絡(luò)相量模型可以用戴維南－諾頓定理等效替代，不會(huì)影響其余部分的電壓和電流相量。例4求圖示(a)單口的戴維寧和諾頓等效電路。解：例5:電路如圖所示，求

Zab。解：外加電源法，設(shè)端口電壓、電流。?U=VI?I??UZab==

?UI?+-oo10

ab4

-j5

12I1?+-I1·ooZab10

ab4

-j5

12I1?+-I1·10

?UI?I1?I?=-j5?U=10

+4I1?I?-）+12I1?（例6:已知:V=45V求A=？?I2==?I15+

j2（3–j3）11.8

-66.8

A?I

?I1?I2+==22.4–29

AA=22.4A解：設(shè)?I2=15

0

A?IA

?I2?I1Vj2–j33

5

列寫電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程+__+21Y1Y2Y3Y4Y5例7.解：列寫電路的回路電流方程例題8、

解：SU?+_R1R2R3R43I?2I?1I?4I?SI?SUIRILjRILjRR=-+-++3221121)()(ww0)()(33112431=-+-+++IRILjRILjRRRww0j1)j1(42312332=+--++ICIRIRICRRwwSII=4?????????????例2：圖示電路。已知分別求R=75

、25

時(shí)負(fù)載電流i(t)。

解：移去待求支路R的頻域電路模型如右。1/3F1/3F當(dāng)R=75

時(shí)當(dāng)R=25

時(shí)對(duì)應(yīng)等效頻域電路模型如右。例3：圖示電路，

求電流?。解：節(jié)點(diǎn)電位法

500

*圖示電路，求電流?。解：網(wǎng)孔電流法500

?2

?3

?1例4：圖示電路。已知U=100V，R=20

，R1=6.5

。當(dāng)調(diào)C使得Ucd達(dá)到最小值，此時(shí)Ucd=30V,Rac=4

時(shí)。求Z=？解：R1調(diào)c點(diǎn)時(shí)，Rac變，若Ucd最小，則*

圖示電路。已知U=100V，R=20

，R1=6.5

。當(dāng)調(diào)C使得Ucd達(dá)到最小值，此時(shí)Ucd=30V，

Rac=4

時(shí)。求Z=？abde

+j

0若Z=Ro-jxo為容性負(fù)載，電流超前電壓，可畫相量圖。R1IR

解：若調(diào)c點(diǎn)時(shí)，使Ucd最小，則有c§9.5正弦交流電路的功率無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率(u,i關(guān)聯(lián))一、

瞬時(shí)功率(instantaneouspower)無(wú)源+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。瞬時(shí)功率實(shí)用意義不大，一般討論所說的功率指一個(gè)周期平均值。第一種分解方法：

tOUIcos

(1＋cos2t)-

UIsin

sin2t第二種分解方法：

p有時(shí)為正,有時(shí)為負(fù)；

p>0,電路吸收功率：p<0，電路發(fā)出功率；UIcos

(1-cos2t)為不可逆分量，相當(dāng)于電阻元件消耗的功率。UIsin

sin2t為可逆分量，周期性交變，相當(dāng)于電抗吸收的瞬時(shí)功率，與外電路周期性交換。

t

iOupUIcos

-

UIcos(2t)常數(shù)2倍頻二、平均功率(averagepower)P：

=

u-

i：功率因數(shù)角。對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。即

P=|Z|I2cos=RI2cos

：功率因數(shù)。P的單位：Wcosj

=P/(UI)一般地,有0

cosj1X>0,j>0,感性，滯后功率因數(shù)X<0,j<0,容性，超前功率因數(shù)例：cosj

=0.5(滯后)，則j=60o(電壓領(lǐng)先電流60o)。cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實(shí)際上是電阻消耗的功率，即為有功功率代表電路實(shí)際消耗的平均功率，它不僅與電壓電流有效值有關(guān)，而且與cosj

有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于存在儲(chǔ)能元件產(chǎn)生了阻抗角。已知：電動(dòng)機(jī)PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F。

求負(fù)載電路的功率因數(shù)。D的功率因素為0.8。+_DC例.解：4.視在功率(表觀功率)S反映電氣設(shè)備的容量。3.無(wú)功功率(reactivepower)Q表示交換功率的值，單位：var(乏)。Q>0，表示網(wǎng)絡(luò)吸收無(wú)功功率；Q<0，表示網(wǎng)絡(luò)發(fā)出無(wú)功功率。Q的大小反映網(wǎng)絡(luò)與外電路交換功率的大小。是由儲(chǔ)能元件L、C的性質(zhì)決定的QL=UIsin

=U2/XL=I2XLQC=UIsin

=U2/XC=I2XC純電阻純電感

=90°純電容

=-90°

=0QR=UIsin

=05.R、L、C元件的有功功率和無(wú)功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0對(duì)電阻，u,i同相，故Q=0，即電阻只吸收(消耗)功率，不發(fā)出功率。iuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI對(duì)電感，u領(lǐng)先

i90°,故PL=0，即電感不消耗功率。由于QL>0，故電感吸收無(wú)功功率。iuC+-PC=UIcos

=Uicos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI對(duì)電容，i領(lǐng)先

u90°,故PC=0，即電容不消耗功率。由于QC<0，故電容發(fā)出無(wú)功功率。6.電感、電容的無(wú)功補(bǔ)償作用LCRuuLuCi+-+-+-

t

iOuLuCpLpC當(dāng)L發(fā)出功率時(shí)，C剛好吸收功率，則與外電路交換功率為pL+pC。因此，L、C的無(wú)功具有互相補(bǔ)償?shù)淖饔谩?.交流電路功率的測(cè)量uiZ+-W**i1i2R電流線圈電壓線圈單相功率表原理：電流線圈中通電流i1=i；電壓線圈串一大電阻R(R>>L)后，加上電壓u，則電壓線圈中的電流近似為i2

u/R2。指針偏轉(zhuǎn)角度(由M確定)與P成正比，由偏轉(zhuǎn)角(校準(zhǔn)后)即可測(cè)量平均功率P。使用功率表應(yīng)注意：(1)同名端：在負(fù)載u,i關(guān)聯(lián)方向下，電流i從電流線圈“*”號(hào)端流入，電壓u正端接電壓線圈“*”號(hào)端，此時(shí)P表示負(fù)載吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程

I的量程

cos

(表的)測(cè)量時(shí)，P、U、I均不能超量程。例.三表法測(cè)線圈參數(shù)。已知f=50Hz，且測(cè)得U=50V，I=1A，P=3W。解：RL+_ZVAW**§9.6復(fù)功率一、復(fù)功率負(fù)載+_有功，無(wú)功，視在功率的關(guān)系：有功功率:P=UIcosj

單位：W無(wú)功功率:Q=UIsinj

單位：var視在功率:S=UI

單位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_oo+_功率三角形阻抗三角形電壓三角形電壓、電流的有功分量和無(wú)功分量：(以感性負(fù)載為例)RX+_+_+_

GB+_根據(jù)定義(放出無(wú)功)電抗元件吸收無(wú)功，在平均意義上不做功。反映了電源和負(fù)載之間交換能量的速率。無(wú)功的物理意義:復(fù)功率守恒定理：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復(fù)功率之和為零。即此結(jié)論可用特勒根定理證明。一般情況下：+_+_+_已知如圖，求各支路的復(fù)功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：2、功率因數(shù)提高設(shè)備容量S(額定)向負(fù)載送多少有功要由負(fù)載的阻抗角決定。P=ScosjS75kVA負(fù)載cosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機(jī)空載cosj

=0.2~0.3

滿載cosj

=0.7~0.85日光燈cosj

=0.45~0.6

(1)設(shè)備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還有；(2)當(dāng)輸出相同的有功功率時(shí)，線路上電流大I=P/(Ucosj

)，線路壓降損耗大。功率因數(shù)低帶來的問題：

保證負(fù)載正常工作。

不增加無(wú)用損耗。解決辦法：并聯(lián)電容，提高功率因數(shù)(改進(jìn)自身設(shè)備)。分析:j1j2LRC+_

保證負(fù)載正常工作。

不增加無(wú)用損耗。補(bǔ)償容量的確定：j1j2補(bǔ)償容量不同全——不要求(電容設(shè)備投資增加,經(jīng)濟(jì)效果不明顯)欠過——使功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同)綜合考慮，提高到適當(dāng)值為宜(0.9左右)。功率因數(shù)提高后，線路上電流減少，就可以帶更多的負(fù)載，充分利用設(shè)備的能力。再?gòu)墓β蔬@個(gè)角度來看:并聯(lián)C后，電源向負(fù)載輸送的有功UILcosj1=UIcosj2不變，但是電源向負(fù)載輸送的無(wú)功UIsinj2<UILsinj1減少了，減少的這部分無(wú)功就由電容“產(chǎn)生”來補(bǔ)償，使感性負(fù)載吸收的無(wú)功不變，而功率因數(shù)得到改善。已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滯后)。要使功率因數(shù)提高到0.9,求并聯(lián)電容C。例.P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2例2：已知：電動(dòng)機(jī)PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F，

cos

D=0.8(滯后）。求負(fù)載電路的功率因數(shù)。解：

o0220

=U設(shè)?

V08.2j0220jo==CICw?

8.3668.5

oD-=I?

oD3.1673.433.1j54.4-=-=+=CIII

???AAA??+_DCUDI??CII補(bǔ)償容量也可以用功率三角形確定：j