江蘇省無錫市四校2023-2024學年高三年級上冊12月學情調(diào)研數(shù)學試卷（解析版）

2023-2024學年度12月學情調(diào)研試卷

局二數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

L若集合A4kz￡3={巾=1嗎耳,則AB=()

A.[-2,2]B,[0,2]C.(0,2]D.[2,”)

【答案】C

【解析】

【分析】解二次不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,3,再取交集即可得解.

【詳解】由f<4,可得—2WxW2,所以A={X,2<4}=[—2,2],

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得3={小=log2x}=(0,+oo),

則Ac3=(0,2].

故選：C.

2.已知復數(shù)z滿足z(l+i)=2—2i(i是虛數(shù)單位)，則三的虛部為()

A.2B.-2iC.-2D.2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的四則運算求得z,進而求得三，由此得解.

【詳解】因為z(l+i)=2—2i,

2-2i2。-i)。-i)

所以z=KF=—2i,

(l+i)。-i)

則I=2i，所以I的虛部為2.

故選：A.

3.設平面向量。，b均為單位向量，則"a—2々=[2a+葉，是“日廠的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】

【分析】將卜-2可=|2。+,兩邊平方，化簡后即可得由此即可選出答案.

【詳解】因為卜_2,=恒+同Q時_4式石+4忖=4|tz|2+4a-Z?+|Z?|

oa-b=0oa-Lb，

所以“■-2母=慳+,”是L，的充分必要條件,

故選：C.

4.北京時間2020年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三

步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，

若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，

以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則

此橢圓軌道的離心率約為（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意直接求解出橢圓的實半軸長和半焦距，進而求解.

【詳解】由題意可知橢圓實軸長2a=200+8600+2x1740=12280,所以。=6140,

焦距2c=2a-（200+1740）x2=12280—3880=8400，所以c=4200，

c4200

所以橢圓的離心率e=—笈0.68,

a6140

故選：D.

5.兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積之比為1:2,則它們的體

積比是（）

A.l：V10B.1：A/5C.2:710D.2:75

【答案】A

【解析】

【分析】設圓錐母線長為/,小圓錐半徑為「、高為〃，大圓錐半徑為R,高為根據(jù)側(cè)面積之比可得

R=2r,再由圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的公式得到/=3r,利用勾股定理得到九〃關于一的表達式，從而將

兩個圓錐的體積都表示成一的表達式，求出它們的比值即可.

【詳解】設圓錐母線長為/，側(cè)面積較小的圓錐半徑為一，

側(cè)面積較大的圓錐半徑為R，它們的高分別為力、H,

則兀4:（兀R/）=l:2,得R=2r，

因為兩圓錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，

所以2兀醛"？,得l=3r,

再由勾股定理，得口=，/2_尸=2行廠,

同理可得〃=,尸—尺2=石廠,

所以兩個圓錐的體積之比為：

|—nr2X2A/2F|—nx4r2xy/5r\=1：V1O.

故選：A.

6.等差數(shù)列｛q｝各項均為正數(shù)，首項與公差相等,—7==百，則％023的值為（

+

A.6069B.6079C.6089D.6099

【答案】A

【解析】

【分析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為"，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法化簡方程求出d,由此

得解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d（d>0）,

因為首項外與公差d相等，所以q=〃i+（幾一=,

因為弧1恐-"*3屈,1

所以，-F=----7==6d-日)=，

=，所以d=3,

k=ia*+/，+iddd

所以a2023=2023xd=2023義3=6069,

21

正實數(shù)。,5滿足"2。)+/3-2)=4,則—+—的最小值為()

ab

C.4D.9

2

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，從而得到2a+6=2,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【詳解】因為/(x)=ln卜用i+x)+2,

所以+=ln(jx2+1+x)+2+ln(Jx2+1-x)+2=4,

故函數(shù)關于(0,2)對稱；

又/(%)的定義域為R，/(尤)=In(Jx?+1+九)+2,

所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷了(%)在R上單調(diào)遞增；

又/■(20+)(6-2)=4,所以2a+b—2=0,即2a+0=2,

人

?n7nx211f2(2b.12b2a)9

又a>O,Z?>0,故—1--=——H—\(2a+b}=-5H------1--5+2,/-------

ab21ab)2^ab)2[\ab2

當且僅當一=一,即。=人=7時，等號成立.

ab3

21Q

所以一+丁的最小值為一.

ab2

故選：B.

8.已知函數(shù)/(%)在R上都存在導函數(shù)/'(%),對于任意的實數(shù)，^=e2"當無＜0時,

/(%)-/(%)>0,若#2),Z?=ef(-1),c=5fHn|j,則a,4c的大小關系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=J學，研究g(x)的奇偶性、單調(diào)性，從而比較大小得解.

e

【詳解】令g(x)=/半，因為x<0時，/(x)-r(x)>0,

所以當x<0時，g，(x)=/'(._/(x)<0,則g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

e%

因為g(x)=J學的定義域為R，又用g=e"，則/區(qū)=正立，

eA/(-x)exe-x

所以g(_x)=/t?=/3=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

exe%

故g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

又。="；2)=g(n2),Z?=ef(-l)=g(-l)=g(l),

c=5/[ln!]=g[ln：=g(-In5)=g(ln5),

而In5>l>ln2,所以g(ln5)>g⑴〉g(ln2),即c>6>°.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題的解決關鍵是觀察條件，構(gòu)造出g(x)=華，從而得解.

e

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.若a<b且而。0,則下列結(jié)論成立的是()

A.->yB.a3<b3c.同D.2a<3b

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】舉例說明判斷AD；利用不等式性質(zhì)推理判斷BC.

【詳解】對于A,取。=-13=1,滿足。<6,止匕時工=—1<1=,，A錯誤；

ab

對于B,a<b,由不等式性質(zhì)知，成<83成立，B正確;

對于C,當a<0</?時，。同<0<6網(wǎng)，當0<a<6,0<|a|<|Z?|,則《《〈小網(wǎng),

當a</?<0時，-a>—6>0,|a|>|Z?|>0,則一a|a|>—b|b|>。，于是網(wǎng),

因此若a<Z?且,則a|a|<Z?同成立，C正確;

對于D,取a=-3/=-2,滿足。<從而2"=1〉工=3",D錯誤

89

故選：BC

圖象如圖所示，則（）

71

B.

57r

C.對任意的x都有“X）2/

12

D.“可在區(qū)間［-肛司上的零點之和為事

【答案】AB

【解析】

5兀

【分析】利用圖象求得函數(shù)了（尤）的解析式，可判斷AB選項的正誤；計算/的值，可判斷選項的

12C

正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D選項的正誤.

【詳解】由題圖可知函數(shù)/（%）的最小正周期為T=g""兀E2兀、

冗，則G=—=2,

12671

nnn

所以，〃%）=sin（2x+0）,把』)代入得1=5也|?+9),則?+0=]+2左刀■（左wZ）,得

32

夕=看+2左eZ）,

閹<一,：.（p=—，則AB選項均正確;

26

5萬

sinf2%+^-1,當冗二正時，〃）不滿足對任意的都有，錯誤;

/(%)=x=0,x12c

i-7i117rl3%

XGr-n.71,/.2x+—€-----,----,

L」6L66J

則/（%）共有4個零點，不妨設為。、b、c、d，S.a<b<c<d,

EC%C7萬c/萬、c兀c■，兀c3兀

則2aH---F2bH—=2x,2cH---F2dH—=2x—,

66{2J662

一4

兩式相加，整理得2Q+2b+2c+2d=—TC,

3

故八X）的所有零點之和為a+b+c+d=T，D錯誤，

故選：AB.

11.已知5（x2,%）是圓。：爐+9=1上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點。到直線AB的距離為；，貝U|=百

B.若JLQ3的面積為且，則4。3=二

43

C.若％超+%%=；，則點。到直線A3的距離為日

D.歸+y-1|的最大值為C+1，最小值為四-1

【答案】AC

【解析】

【分析】利用弦長公式判定選項A正確；先利用三角形的面積公式求出sin/AO5=Y3,再結(jié)合角的范圍

2

判定選項B錯誤；利用數(shù)量積的計算公式求出cos4。3=工，進而判定三角形的形狀判定選項C正確；

2

設Xi=cos8,%=sin。，且0<8<2兀，利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)判定選項D錯誤.

【詳解】對于A：易知圓。：/+/=i的半徑r=i,

因為點0到直線AB的距離d=L

2

所以|AB|=25_唐=2^^=6,

即選項A正確;

對于B：因為JL03的面積為縣

4

所以L|O4||03|sinNA03=正

24

即—sinZAOB=，解得sinZAOB=>

242

因為0<NAOB<7i,

TT27r

所以NA03=2或NA03=」,

33

即選項B錯誤；

對于C：因為百刀2+X%=g，所以。4,0B=g,

^\OA\-\OB\cosZAOB=工，即cosZAOB=

22

7T

因0<NAOB<71,所以NA03=—,

3

即，AOB是邊長為1的等邊三角形，

所以點。到直線AB的距離為走，

2

即選項C正確；

對于D：由題意設％=cos6,%=sin。，且0<6<2兀，

則玉+%—iHcose+sinS—lH&sin[e+：）—l

7T7TQjr

因為04842TD，所以一—V—，

444

則—1Ksin(6>+-)<1,-V2<42sin(6>+-)<72,

44

-V2-l<V2sin(6?+-)-l<V2-l,

4

所以oq行sin(e+殳)一1區(qū)行+1,

4

即00玉+乂一1區(qū)夜+1,

即選項D錯誤.

故選：AC.

12.在正四棱錐P—ABCD中，AB=桓,尸4=百，點。滿足PQ=PA+xA3+yA。，其中

xe[O,l],ye[0,1],則下列結(jié)論正確的有（）

A.|尸。|的最小值是J5

B.當x=l時，三棱錐P-ADQ的體積為定值

7T

c.當時，PB與所成角可能為一

6

D.當x+y=l時，A5與平面PAQ所成角正弦值的最大值為典

6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)向量關系可得。為正方形A3CD內(nèi)的點（包括邊界），設AC30=0,根據(jù)正棱錐的性質(zhì)

結(jié)合條件可得|PQ|判斷A,根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合條件可判斷B,根據(jù)線面角的求法結(jié)合條件可

判斷C,利用坐標法表示出線面角，然后利用導數(shù)求最值可判斷D.

【詳解】由PQ=PA+xAB+yA。，可得PQ—PA=AQ=xA3+yAD,其中xe[0,l],je[0,l],

所以。為正方形ABCD內(nèi)的點（包括邊界），

在正四棱錐尸一A5CD中，AB=6,PA=S，設ACBD=O,連接尸0，

則P01平面ABC。，OA=OB=l,PO=y[2,

對A,由題可知|pgNpo|=四，當Q0重合時取等號，故A正確；

對B,當x=l時，AQ=AB+yAD,即故。在線段上，

因為AD//3C,所以三角形AOQ的面積為定值，而三棱錐P-ADQ的高P0為定值，故三棱錐

P-ADQ的體積為定值，故B正確；

對C,當％=丁時，AQ=x^AB+AD^=xAC,故Q在線段AC上，

由題可知尸0,0民03，。4,尸0<^。4=0,尸。,。4<=平面巳4。，故平面PAC,

所以P0為PB在平面PAC內(nèi)的射影，NBPQ>ZBPO,

而在RtZ^POB中，tanN8P0=3=也>3,所以NBPO>工,ZBPQ>~,故依與PQ所成角

V22366

TT

不可能為一，故c錯誤；

6

對D,當x+y=l時，AQ=xAB+yAD,故。在線段上，

如圖以0為原點建立空間直角坐標系，設Q(O/O)(—1WY1),則4(1,0,0),磯0,1,0),網(wǎng)0,0,、歷卜

所以45=(-1,1,0),”=/1,0,四),4。=(-1/,0),

/、[m-AP=-a+V2c=0

設平面PAQ的法向量為相=(6"c),貝葉，

m-AQ=-a-^-tb=0

令匕=0,則加=(衣，&/),設與平面PA。所成角為。，

ABm|A/2-

所以sin。

網(wǎng).帆拒Y3t2+2

2(r-l)(3?2+2)-6r(r-l)2_(-i)(6r+4)

設/■⑺=('T)，1,1］，則/■'(/)=Z

V'3產(chǎn)+2(3『+2)2(3r+2了，

所以當/e-1，一|卜寸，/'⑺>0,/'⑺單調(diào)遞增，當摩

時，單調(diào)遞減,

所以/(<Lx=/

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)向量關系結(jié)合條件得到點Q的位置，然后結(jié)合條件利用立體幾何

知識解決即得.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題“大目1,3],%2+依+1>0，，是假命題，則實數(shù)a的最大值為.

【答案】一史

3

【解析】

【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題知命題的否定“也以1,3],/+依+140”是真命題.^f(x)=x2+ax+l(xe]l,3]),則

二。解得av—丁，故實數(shù)。的最大值為一下.

/(3)=3a+10<0,33

故答案為：-----

3

14.己知向量,卜2,人在°方向上的投影向量為—3a，則a/=.

【答案】-12

【解析】

【分析】利用投影向量公式即可得解.

【詳解】因為6在a方向上的投影向量為-3a，卜|=2,

所以仃,n=-3a，即巴0?。=一3。，所以。力=—12?

回rl4

故答案為：-12.

15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條邊

三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方

法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；L.依次進行“〃次分形"(〃eN*).規(guī)

定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“〃次分形”后所得分形

圖的長度不小于120,則〃的最小值是.(參考數(shù)據(jù)：1g2a0.3010,1g3。0.47力)

【答案】13

【解析】

4

【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項為4,公比為一的等比數(shù)列，從而可得到“〃次分

3

形''圖的長度為4義(：］,列出不等式，結(jié)合〃eN*，即可求解.

4

【詳解】依題意可得“幾次分形”圖的長度是“n-1次分形”圖的長度的一,

3

由“一次分形”圖的長度為工X4X3=4,

3

4

所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4,公比為一的等比數(shù)列，

3

所以“〃次分形''圖的長度為4x(：],

故4x[()>120.即[9]>30.兩邊取對數(shù)得(〃—l)(21g2—Ig3"l+lg3,

l+lg31+0.4771

所以“-12-----------------------土11.8,貝|”之12.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又“eN*，故”的最小整數(shù)值是13.

故答案為：13.

2In%xN1

16.已知函數(shù)/(%)={3,令g(x)=/(%)—依,當左=—e?時,有g(Xo)=O,貝!|/=

—X+2x,x<1

；若函數(shù)g(x)恰好有4個零點，則實數(shù)上的取值范圍為.

0,|

【答案】①.0或_點+2②，

【解析】

【分析】分和尤<1兩種情況，結(jié)合導函數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，求出零點；先得到0為g(x)的一個零

21nxj、

點，再參變分離，構(gòu)造/(%)=<%L)，只需左二1x)有3個零點，畫出《％)的圖象,

—尤2+2,XG(—8,0)D(0,1)

數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】當左=—e?時，g(%)=o,即/(%)+，/=0,

22

當時，21nx0+ex0=0,=21nx+ex,x>\,

9

/(X)=—+e2>0在［1,+8)上恒成立，

X

故/i(x)=21nx+e2x在［1,+GO)上單調(diào)遞增，

又Zz(l)=e2>0,故/z(x)=21nx+e2%>0在［1,+°0)恒成立，無解,

當x<l時，—x；+2%+e~x()=0,即(―x；+2+e~)Xo=0,

2

故％=0或—XQ+2+e=0,

但Je2+2>1舍去，其余兩個滿足要求,

當x=0時，-03+2義0_().左=o，故。為g(x)的一個零點,

當xwO時，令g(x)=O,

2T*

當時，-----=k,當x?yo,0)(0,1)時，春+2=k，

X

21nxj、

----，%￡1,+8)

令/(x)=?X

-X2+2,XG(-8,0)U(0,1)

當時，(x)=2-2Jnx,

X

當%>e時，f(尤)<0,單調(diào)遞減，當lWx<e時，?x)>0,r(x)單調(diào)遞增,

2

故《尤)在％=0時取得極大值，也是最大值，且/(e)=—,

e

且當尤>1時，/(x)>0恒成立,

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文

字說明，證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，NA，NB，NC的對邊別為。，b,c,若acosC+百asinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,/，求a.

/.y|

【答案】(1)A=j

⑵a=V7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式、輔助角公式化簡即可得解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理即可得解.

【小問1詳解】

因為acosC+gasinC-/?-c=0

由正弦定理得：sinAcosC+A/3sinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAcosC+gsinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

即gsinA-cosA=1，

故sin(A-g]=g,由A為三角形內(nèi)角可得A=百，

V6；266

A4——兀.

3

【小問2詳解】

0」?4—島_36

S/\ABC=-bcsmA^—bc^—^->

be=3,

由余弦定理/=Z?2+c2一2Z?ccosA=(b+c)--3bc,

又?b+c=4,代入得a=J7.

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S“+2"=24+l.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列樣+(-1)向々[(“eN*)的前幾項和人

nl

【答案】⑴an=n-2-

【解析】

【分析】(1)由S“,為關系消S”得遞推關系，再構(gòu)造等差數(shù)列求通項;

(2)由等差與等比數(shù)列特點分組求和.

【小問1詳解】

由S“+2"=2a"+l①

當〃=1時，Si+2=2〃i+l,所以％=1

當時，SI+2〃T=2/_]+1②

①②式相減得an+2"T=2%+1,即4—2a=2"^

兩邊同除以2"得，/一|詈=），

又言■=：,所以數(shù)列｛墨｝是以3為首項,3為公差的等差數(shù)歹U,

—=—I"—(n—1)=—,則a“=〃-2”T

2"222

【小問2詳解】

可知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

可知數(shù)列[(-1)用召"｝是以3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

<=[g+l+|++|V_3+(-9)+27+(-1)"+1-3"_

"I”；3[1一(一3)"

-2-1-(-3)

1131-(-3)"

=-n2+—"+

444

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，M！.底面A3CD,AD//BC,A3。.點M在棱PB上,

2

PM=2MB,點N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為P￡)的中點，求證：NQ〃平面R43；

2PN

(2)若直線E4與平面AAW所成角的正弦值為求力1的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—=-

PC3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相似可得線線平行，即可由線面平行的判定求解,

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角，即可求解.

【小問1詳解】

證明：過M作的平行線交PC于連接印),

PMPHMHPH

，又PM=2MB，:.HC^-PC,又CN=2NP,

PBPC~BC~PC33

：.NH=PN=HC,:.N為PH的中點、,又。為P￡)的中點,

:.NQ//HD,

2

5LMH=-BC=2,又A￡)=2,AD!IBC,

:.AD//MH,且AD=MW,

，四邊形MHDA是平行四邊形,

:.HD//MA,:.NQ//AM,

.?.NQz平面巴45,AMu平面？AB,；.NQ//平面MB

【小問2詳解】

以A為坐標原點，AB，AD,AP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),M(1,0,1),尸(0,0,2).C(2,3,0),A=,0,

AP=(0,0,2\PC=(2,3,-2),

設PN=/IPC=(22,32,-22)(0<2<l),

AN=AP+PN=(0>0,2)+(22,32,—2A),=(22,32,2—22)

設平面AMN的一個法向量為"=(x,y,z),

42

n-AM=—x+—z=014-62

則33令x=l,貝Uz=—2,丁=^，

n?AN=22%+32y+(2—22)z=0

4-6A

「?平面AMN的一個法向量為〃=(1,

3Z

設直線PA與平面AMN所成角為。,

n>|=|AP"|=----------1-------=21

/.sin0=|cos<AP,加川利2，+4+（中23,則

PN_1

PC-3

20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓。1、圓。2外切于點M,點"是直線。1。2與圓02的交點，在圓形

軌道a、圓a上各有一個運動質(zhì)點2，。同時分別從點M、”開始逆時針繞軌道做勻速圓周運動，點

P,。運動的角速度之比為2：1,設點Q轉(zhuǎn)動的角度為8,以。為原點，。1。2為X軸建立平面直角坐標

系.

(1)若。為銳角且sin(e—4]=走，求尸、。的坐標；

I4J10

(2)求|PQ|的最大值.

【答案】(1)小白頭；。仁』

I2525JI55J

⑵地

4

【解析】

【分析】(1)由已知條件求出cos[。-則利用正弦的兩角和公式可求出sin。=sin

從而可得cos夕，sin26?,cos26?的值，進而可求得尸、。的坐標；

(2)根據(jù)題意得P(cos20,sin2。)，g(2+cos6),sin6,),則

葉=(cos26-cos。-2y+(sin2。-sin。)？，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大信

【小問1詳解】

JT(JT7T\

因為。為銳角，所以。一丁￡一~

41441

(八口兀］0070虛4

所以sin?=sin6—H——=—x----1-------x—=一

\4；4J1021025

_______Q

所以cos6=vl-sin29=飛,

247

所以sin29=2sin。cos。=—,cos20-2cos20-1=-----,

2525

134

所以。

T9?，I25'25

【小問2詳解】

因為點F,。分別運動的角速度之比為2：1,

所以當點。轉(zhuǎn)動的角度為。時，尸轉(zhuǎn)動角度為26,

因此P(cos20,sin2。),Q(2+cos9,sin6).

\QP^=(cos23-cos0-2)2+(sin28-sin行

=cos223+cos20+4-2cos20cos0-4cos26+4cos^+sin22^+sin26^-2sin28sin0

=6-2(cos2。cos0+sin26sin，)一4cos28+4cos6

=6-4cos28+2cos0

——8cos28+2cose+10，

所以當cos6=：時，|PQ『取得最大值—8x(工］+2x-+10=—，

o\8)88

所以|PQ|的最大值為苧.

J

21.已知橢圓C:=+y2=i(〃〉i)的上頂點為A,右焦點為尸，直線"與圓

a

M：3+>2-6%一2y+7=0相切.

(1)求橢圓。的方程;

（2）若不過點A的動直線/與橢圓相交于尸，。兩點，若陽p+七0=2,求證：直線/過定點，并求出該

定點坐標.

2

【答案】（1）—+/=1

3-

（2）證明見解析，該定點坐標為

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，由點到直線的距離公式即可求解,

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，即可由斜率公式代入化簡求解.

【小問1詳解】

由題意4（0,1）,E（c,O）,則直線"的方程為：x+cy-c=0

可知圓的標準方程為（1—3『+（y—I）?=3,

.|3+c-c|

百，貝1。2=2,又匕=1，，a2=A2+c2=3,

2

【小問2詳解】

設尸&，%），Q（孫必）

若直線尸。斜率不存在，設％=則L+y2=],...%+%=（）

3一

71Vi_1Vn_1_22

左"+左A0=—-1—=；=-：=2'：.t=~\

直線P。：x=-l.

若直線尸。的斜率存在，設直線方程為>=米+加（加。1）

，%2+3丫2=3

由v=>（1+3左2）%2+6根區(qū)+3根2-3=0

y=kx+m'7

A—36加之女2—4（1+3k2）（3刃2—3）>0即3廿+1-m2>0