幾何動態(tài)性問題之動點問題-中考數(shù)學復習題練習（教師版）

專題36幾何動態(tài)性問題之動點問題（解析版）

類型一動點產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系

1.（2020秋?呼和浩特期末）如圖，AB=S,。是AB的中點，P是以點。為圓心，AB為直徑的半圓上的一

個動點（點P與點A,B可以重合），連接∕?,過月作PMLAB于點M.設AP=X,則AM=Ir2,令y

=AP-AM,下列圖象中，能表示），與X的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

思路引領：由y=AP-AM=x-#=—#(x-5)(0≤x≤5),即可求解.

解：由題意得：y—AP-AM—x—^,x'=—(X-5)(0≤x≤5),

?：a=-?,故拋物線開口向下,

當X=I時，y的最大值為一∣x?（-∣）=

故選:A.

總結(jié)提升：本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，確定函數(shù)的表達式是本題解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖北模擬）如圖①，在矩形ABe。中，AB<AD,對角線AC,8。相交于點O,動點尸由點A出

發(fā)，沿ABfBC-C力向點。運動.設點P的運動路程為X,Z?40P的面積為y,y與X的函數(shù)關(guān)系圖象

如圖②所示，則AQ邊的長為

①②

思路引領：當P點在AB上運動時，440P面積逐漸增大，當尸點到達8點時，結(jié)合圖象可得AAOP面

積最大為3,得到A8與3C的積為12；當P點在8C上運動時，AAOP面積逐漸減小，當P點到達C

點時，AAOP面積為0,此時結(jié)合圖象可知P點運動路徑長為7,得到AB與BC的和為7,構(gòu)造關(guān)于AB

的一元二方程可求解.

解：當P點在AB上運動時，面積逐漸增大，當P點到達8點時，ZkAOP面積最大為3.

11

J-AB-BC=3,BPAB*BC=12.

22

當尸點在3C上運動時，AAOP面積逐漸減小，當P點到達C點時，AAOP面積為0,此時結(jié)合圖象可

知P點運動路徑長為7,

.'.AB+BC=1.

則8C=7-AB,代入Aδ?3C=12,^AB2-7ΛB+12=0,

解得AB—4或3.

"."AB<AD,SPAB<BC,

.?.AB=3,BC=4.

即AD—4.

故答案為：4.

總結(jié)提升：本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程，

找到分界點極值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值.

3.（2022秋?荔城區(qū)校級期末）如圖，點A為雙曲線y=-（在第二象限上的動點，A。的延長線與雙曲線的

另一個交點為5,以AB為邊的矩形ABCz）滿足AB：8C=4:3,對角線AC,BD交于點、P,設尸的坐標

為（〃2,〃），則加，〃滿足的關(guān)系式為.

思路引領：連接分別過點、作軸的垂線，垂足為、證明然后利用相

OP,APXMN,4AOMS2?OPM

似三角形的性質(zhì)分析求解.

解：連接0P,分別過點A、P作X軸的垂線，垂足為M、M

：?NAMo=NPNO=90°,

T四邊形ABCO是矩形，

ΛZABC=90Q,AP=PC,

YOA=OB,

：.OP//BCfBC=WP,

ΛZAOP=ZABC=90o,AOzOP=AB:BC=4：3,

：.NAOM+∕P0N=9C,

VZAMO=90o,

ΛZAOM+ZMAO=90o,

：.ZMAO=ZPON,

：.∕?AOMS∕?OPN,

.S&AOM/4°\216

..---------=(-)=-ɑ-,

SAoPNOP9

A為雙曲線y="在第二象限上的動點，

;點.X

9

設點4的坐標為(a,--)>

1—2

*?*S/\AOM=2X(一。)X=1，

._9

?c?S^OPN=γg，

?尸的坐標為(如Λ),

19

?.SAOPN=a皿〃=?g,

.9

..77777=?,

故答案為：〃?"=需.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)/的幾何意義、相似三角形判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，恰當?shù)臉?gòu)建相

似三角形，利用面積比是相似比的平方是解題關(guān)鍵.

4.(2022秋?甘井子區(qū)校級期末)如圖，AABC中，AB=AC=6cm,BC=8cm,點P從點、B出發(fā),沿線段

BC以2c∕n/S的速度向終點C運動，點。從點C出發(fā)，沿著C-AfB的方向以3cMs的速度向終點B運

動，P,。同時出發(fā)，設點P運動的時間為f(s),4CPQ的面積為S(CTn2).

(1)SinB=；

(2)求S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

思路引領：(1)過點A作4OL8C,垂足為。，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出BO的長，再利用

勾股定理求出AD的長即可解答;

(2)分兩種情況，當0<fWl時-，當l<f<2時.

解：(1)過點A作ACBC,垂足為￡),

?"AB=AC=6cm,ADlBC,

1

?*?BD=^8C=4C7∕?,

在RtZXABQ中，AB=Gan,BD=4cm,

：.AD=>JAB2-BD2=2√5,

..AD√5

??smd8=麗=丁

故答案為：~~?

(2)過點。作QE_L8C,垂足為E,

'：AB=AC,

ΛZB=ZC,

.?.sin8=sinC=亨，

分兩種情況：當O<fW1時，

由題意得:CQ=2>t,BP=2t,

：.CP=BC-BP=8-It,

Vsr-

在RtZXCQE中，QE=CoSine=31?三=√5r,

ΛS=^CP?QE=∣?(8-2∕)?√5∕=4√5∕-√5r=-√5∕2+4√5r,

當14V2時,

：*CP=BC-BP=8-2t,

BQ=AB+AC-(CA+AQ)=12-3/.

衣LL

在RtABQE中，QE=BQSinB=(l2-3t)?-=4√5-√5∕,

[1

：.S=^CP?QE=^?(8-2z)?(4√5-√5∕)=√5t2-8√5t+16√5,

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)自變量的取值

范圍，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想.

類型二動點產(chǎn)生面積變化

5.(2022春?舒城縣校級月考)如圖所示，在矩形488中，AB=20,AD=16,點P從點A出發(fā)沿48以

每秒4個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒2個單位長度的速度向點C運

動，點尸到達終點后，P、Q兩點同時停止運動.

(I)當f=3秒時，線段OP=—.

(2)當f=—秒時，ABPQ的面積是24.

思路引領：(1)當f=3秒時，根據(jù)題意可得，AP=12,再根據(jù)勾股定理即可求解.

(2)設運動時間為f(f≤5)秒，則BP=20-4f,BQ=2f,根據(jù)ABPQ的面積是24列出方程，求解即

可.

解:(1)；當f=3秒時，4P=4X3=12,

根據(jù)勾股定理得DP=>JAP2+AD2=20.

故答案為：20.

(2)設運動時間為fCW5)秒，

此時，BP=20-4f,BQ=2t,

：的面積是24,

1

.?.-?(20-4t)?2t=24,

整理得，i2-5/+6=0,

解得：tι=2,/2=3,

.?.當f=2秒或3秒時，的面積是24.

故答案為：2或3.

總結(jié)提升：本題主要考查勾股定理、列代數(shù)式、一元二次方程的應用，根據(jù)題意找準數(shù)量關(guān)系，列出方

程是解題關(guān)鍵.

6.（2022秋?江門期末）如圖，在AABC中，/8=90°,4B=5cτn,BC=8c?"].點P從點A開始沿AB邊

向點B以Icm/s的速度移動、同時點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm∕s的速度移動，當其中一點到

達終點時，另外一點也隨之停止運動.

（OAPQB的面積能否等于9cm2?請說明理由.

（2）幾秒后，四邊形APQC的面積等于16CN2?請寫出過程.

思路引領：（1）根據(jù)△尸QB的面積等于%〃，，即可得出關(guān)于f的一元二次方程，由根的判別式A=-11

<0,可得所列方程沒有實數(shù)根，進而得出APQB的面積不等等于%a2；

（2）根據(jù)四邊形APQC的面積等于16c∕√,即可得出關(guān)于f的一元二次方程，解之即可得出，的值，結(jié)

合當，=4時，C,。點重合，即可得出結(jié)論.

解：（1）叢PQB的面積不能等于90"2,

理由如下：

?.'5÷l=5s,8÷2=4s,

運動時間Z的取值范圍為：0WrW4,

根據(jù)題意可得：AP-tm,BP-（5-t）cm,BQ-2tcm,

假設4PQ8的面積等于9c,一,

則E（5T）X2t=9,

整理得：∕2-5r+9=0,

,.?Δ=(-5)2-4×l×9=-ll<O,

.?.所列方程沒有實數(shù)根，

.,.?PQB的面積不能等于9CW2;

(2)由(1)得：AP=tcm,BP=(57)cm,BQ=2tcm,運動時間/的取值范圍為：0WfW4,

：四邊形AP0C的面積等于16c#,

11

.?~×5×8~~(5—t)×2t=16,

整理得：r2-5f+4=0,

解得”=1,(2=4,

當當，=4時，C,。點重合，不符合題意，舍去，

.?t=1,

答：Is后，四邊形APQC的面積等于16cτ∕.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，正確

列出一元二次方程；(2)牢記當A<0時，方程無實數(shù)根.

類型三動點產(chǎn)生兩點距離變化

7.(2022?安岳縣模擬)如圖所示，A,B,C,。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=Scm,動點尸，Q分

別從點4,C同時出發(fā)，點P以3cτw∕s的速度向B移動，一直到達B為止；點。以2c,“∕s的速度向。移

動.當P,。兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點。的距離是IOcm()(若一點到達終點，另一點也

隨之停止運動)

A.2s或gsB.IS或gsC.-5D.2s或FS

思路引領：設當P、。兩點從出發(fā)開始X秒時，點P和點。的距離是IOCTM,此時AP=3XS?,DQ=(16

-2x)cm,利用勾股定理即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

解：設當P、Q兩點從出發(fā)開始X秒時(XV學)，點P和點Q的距離是IOC布，

此時4P=3ΛZVM,DQ=(16-2X)cm,

根據(jù)題意得：(16-2χ-3x)2+82=102,

解得：X?=2,X2=?.

22

答：當P、Q兩點從出發(fā)開始到2秒或w秒時，點P和點。的距離是IOcm.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于X的一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，正方形ABCD中，AB=5cm,以B為圓心，Icw為半徑畫圓，點P

是。8上一個動點，連接AP,并將4尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP',連接8P',在點P移動的過程

中，BP1長度的取值范圍是cm.

思路引領：通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點P'的運動路線為以。為圓心，以1。"為半徑的圓，可知：當P'在對角

線8。上時，BP'最小；當P'在對角線8。的延長線上時，BP'最大.先證明△/?B四△「'AD,則P'

D=PB=I,再利用勾股定理求對角線8。的長，則得出BP'的長度的取值范圍.

解：如圖，當P在對角線BO上時，BP'最小；當尸'在對角線Bo的延長線上時，BP'最大.

連接BP,

①當P1在對角線8。上時，

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP1,ZPAP'=90°,

.,.ZPAB+ZBAP'=90°,

；四邊形488為正方形，

.?.A8=AQ,NBAD=90°,

：.ZBAP'+ZDAP'=90°,

.?.ZPAB=ZDAP',

ΛΔ∕?β^?P,AD,

：.P'D=PB=Xcm,

在Rt?ABD中,

?"AB=AD=5cm,

由勾股定理得：BEhJS2+52=5√2cvn,

:,BP'=BD-P'D=5√Σ-1,

BPBP'長度的最小值為(5√I-1)cm.

②當P'在對角線8力的延長線上時，

同理可得BD=5yf2cm,

：.BP'=BD+P'C=(5√2+l)cm,

即BP'長度的最大值為(5√2+l)cm.

.?.BP長度的取值范圍是(5√2-I)CnwBPW(5√2+l)cm

故答案為：(5√2-l)CnWBP'W(5√2+l)cm.

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系和最值問題，尋找點P'的運動

軌跡是本題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?海港區(qū)校級期末)如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M(2,0),與y軸交于點B(0,2),

直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于4,8兩點，D是線段AB上的一個動點，過。作X軸的垂線交二

次函數(shù)的圖象于點區(qū)則線段OE的最大值為

思路引領：根據(jù)題中條件可求出拋物線和直線的解析式，進而求出點A的坐標，根據(jù)點。是線段A8上

的一個動點，設出點。的坐標，再根據(jù)OEj_x軸，可得出點E的坐標，則可得出OE=—%∕+3,"=—±(〃?

-3)2+f,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.

解：根據(jù)題意可設拋物線解析式為：y=“(χ-2)2

把B(O,2)代入可得：44=2,解得：α=?,

?\拋物線解析式為：產(chǎn)；(X-2)2=-2x+2,

JCB(0,2)代入直線y=x+〃?可得：m=2,

.".y=x+2,

當吳-2x+2=x+2時，解得：xι=0,Λ2=6,

(6,8),

點D是線段AB上的一個動點，

,可設點。的坐標為("3w+2),且OWmW6,

；過。作X軸的垂線交二次函數(shù)的圖象于點E,

.?.點E的坐標為(m>-m2-2m+2),

2

1?1,1,Q

.".DE—m+2-(.-nr-2m+2)=——弓(/n-3)"+5,

2222

V—?<0.圖象開口向下，旦0W,“W6,

9

.?.當,〃=3時，DE有最大值，最大值為鼻；

9

故答案為：--

總結(jié)提升：本題主要考查的是二次函數(shù)之線段最大值題型，解題關(guān)鍵：一是求出拋物線與直線的解析式，

二是用含有m的式子表示出DE的長并配成頂點式.

類型四動點產(chǎn)生圖形形狀變化

10.(2022秋?陽泉期末)如圖所示，已知AABC中，BC=?6cm,AC=20cm,AB=12cro,點P是BC邊上

的一個動點，點尸從點B開始沿BfCfA方向運動，且速度為每秒2cτw,設運動的時間為f(s),若^

ABP是以AB為腰的等腰三角形，則運動時間f=.

思路引領：分情況討論：AB=BP,AB^AP,畫出圖形分別求解即可.

解：?.?8C=16CM7,4C=20C7W,AB^]2cm,

：.BC1+AB1=AC1,

.*.ZB=90o,

如圖LAB=PB=?2cm,

圖1

.?.r=12÷2=6s:

如圖2,AP=AB=Mcm,

圖2

?BC+PC=(16+20-12)Cm=24cm,

.?.t=24÷2=⑵;

如圖3,AB=BP=I2cm,

圖3

過點B作BDA.AC于D,則AO=PO,

11

?：SMBC=?×AB×BC=?×AC×BD,

???12X16=2030,

.,.BD=9.6cm,

由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=J122-

9.62=Q2cm,

ΛΛP=2AD=14.4cτw,

：.t=(16÷20-14.4)÷2=10.8s,

綜上所述，t的值是6s或12s或10.8s.

故答案為：6s或12s或10.8s.

總結(jié)提升：本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會用

分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

11.(2022秋?中原區(qū)校級期末)如圖，在矩形OA/7C中，OC=8√5,OA=16,8為C”中點，連接AB.動

點M從點。出發(fā)沿OA邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿AB邊向點8運動，兩個動點同時出發(fā)，速

度都是每秒1個單位長度，連接CM,CN,MN,設運動時間為f(0Vf<16)秒，則r=時，LCMN

為直角三角形.

°Ma

思路引領：ZXCMN是直角三角形時，有三種情況，一是/CMN=90°,二是NMNC=90°,三是NMCN

=90°,然后進行分類討論求出，的值.

解：過點N作OA的垂線，交OA于點F,交CH于點E,如圖，

：B點是CH的中點，

1

.?.BH=∣C∕7=8,

VΛ∕∕=OC=8√3,

???由勾股定理可求：AB=↑69

VAiV=/,

,BN=16-3

?ΛNE∕∕AH.

：ABENsABHA,

.BNEN

AB~AH

.16T_EN

??16—8√3,

:?EN=*(16-r),

/.F7√=8√3-EN=?r,

當NCMN=90°,

由勾股定理可求：AF=%

13

ΛMF=AM-AF=16-/一夕=16-金,

?.?NOCM+NCMO=90°,

NCMo+NFMN=90°,

：,/0CM=/FMN,

?：NO=NNFM=90°,

:ACOMsXMFN,

?OCOM

MFFN

8√3t

當NMNC=90°,

3t

CE=OF=OM^rMF=t+16-^t=16-1,

?：NMNF+∕CNE=96°,

NECN+NCNE=9C,

???/MNF=ZECNf

?：NCEN=NNFM=,

：?叢CENS∕?NFM,

.CEEN

FN-MFf

16-^^(16-t)

?N/

Ξ

.?石二^?

V0<r<16,

?*?t=8>

當NNCM=90°,

由題意知：此情況不存在，

綜上所述，ACMN為直角三角形時，U號或8.

總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性

12.(2022秋?中原區(qū)月考)如圖，在矩形A3C。中、AB^?5cm,AD=5cm,動點尸、。分別從點A、C同

時出發(fā)，點P以3cm∕s的速度向點B移動，一直到點B為止，點。以2cm∕s的速度向點。移動(點P停

止移動時，點。也停止移動).設移動時間為/(s).連接PQ，QB.

(1)當f為何值時，P、Q兩點間的距離為13c∕n?

(2)四邊形APQO的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出f的值；若不可能，請說明理由.

思路引領：(1)可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過。作QMLAB于M,如果設出發(fā)X秒后，QP=I3cm.那

么可根據(jù)路程=速度X時間，用未知數(shù)表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知數(shù)的值.

(1)利用矩形的性質(zhì)得出當AP=OQ時，四邊形AP。。為矩形求出即可；

解：(1)設出發(fā)/秒后尸、Q兩點間的距離是130".

則4P=3f,CQ=2t,作QM_LA8于M,

則PM=II5-2z-3∕∣=∣15-5/|,

(15-5t)2+52=132,

解得：t=0.6或t—5.4,

答：P、。出發(fā)0.6和5.4秒時，P,。間的距離是13c”；

(2)四邊形APDQ的形狀有可能為矩形；

理由:

當四邊形APQQ為矩形，則AP=OQ,

即3/=15-2t,

解得：r=3.

答：當R。出發(fā)3秒時四邊形APQ。為矩形.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應用，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

13.(2022春?淄川區(qū)期中)如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,NC=/0=90°,BC=16,Co=I2,AD

=21.動點P從點。出發(fā)，沿線段D4的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點。從點C出發(fā)，在

線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動.點尸，。分別從點。，C同時出發(fā)，當點P運動到

點A時，點。隨之停止運動.設運動時間為f(s),當f為何值時，以8,P,。三點為頂點的三角形為

等腰三角形？

思路引領：以B,P,。為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當PB=P。時，當PQ=8。時，當

BP=BQ時，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

解：如圖1,當PB=PQ時，作PEVBC于E,

1

.,.EQ=扣Q,

???CQ=r,

：.BQ=16-3

?*?EQ=8-3,

11

?"?EC=8-2”+'=8+可、

解得：U學

如圖2,當PQ=BQ時，作QEj_A。于E,

：.ZPEQ=ZDEQ=90o,

VZC=ZD=90o,

.?.ZC=ZD=ZDEQ=90°,

.?.四邊形QEQC是矩形，

：.DE=QC=3

：.PE=t,QE=CD=12.

在Rt中，由勾股定理，得

PQ=√t2+144.

16-?=√t2+144,

解得：r=∣;

如圖3,當BP=8。B寸，作PfLLBC于E,

'：CQ=t,

：.BP=BQ=BC-CQ=16-r,

?：PD=2t,

.?CE=2t,

.?.8E=16-2f,

在RtZ?BEP中，

(16-2/)2+122=(16-/)2,

3?-32f+144=0,

Δ=(-32)2-4×3×144=-704<0,

故方程無解.

綜上所述，仁竽或(時，以B,P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形.

BQc

?

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，一元二次方程

的解法的運用，解答時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵.

14.(2022秋?崇左期末)已知拋物線y=αx2+?r+3(a≠0)交X軸于4(1,0)和B(-3,0),交y軸于C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若〃為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使aMBC面積最大時點M的坐標；

(3)若尸是對稱軸上一動點，。是拋物線上一動點，是否存在尸、Q,使以8、C、F、。為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標.

思路引領：(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由∕?MBC的面積=SABNM+SACMN,即可求解；

(3)當BF(BC、BQ)是對角線時，由中點坐標公式列出等式，即可求解.

解：(1)把A(1,0)和2(-3,0)代入y=0χ2+?v+3(a≠0),得：

fq+hΛlV∩＞解得｛廣W

(9Q—3b+3=03=-2

拋物線解析式為y=-7-2x+3；

(2)；例為拋物線上第二象限內(nèi)一點，如圖，過點M作MNJ_x軸交BC于點M

;拋物線解析式為y=-2x+3,β(-3,0)

：.C(0,3),

.?.OC=3,OB=3,

設直線BC解析式為y=kx+b,則「。二°，

解得：｛￡=：,

3=3

???設直線BC解析式為y=x+3,

設Λ/（w,-W2-2/77+3）,N（川，m+3）,

：?MN=-τ∏2_2τπ+3_TR_3=_τn^_3τn=_（jxι+務2+—,

Q9

工當m=-小寸，MN有最大值一，

乙4

當m=-∣時，ZXMBC的面積最大，

127

?*?∕?MBC的面積=SZ?8NΛ∕+SZ?CMN=?×3×M/V=-?-,

此時點M的坐標為（一?，苧）；

(3)存在.理由如下：

：拋物線解析式為y=-7-2x+3=-(X+I)?+%

拋物線的對稱軸為直線X=-1,

設點Q(，〃，-nr-2w+3),點尸(-1,/),

當5C是對角線時，由中點坐標公式得：-3="L1,

解得：m=2,則點Q(-2,3)；

當SF是對角線時，由中點坐標公式得：-3-l=m,

解得：，”=-4,則點Q(-4,-5)；

是對角線時，由中點坐標公式得：∕M-3=-1,

解得：m=2,則點。(2,-5)；

綜上所述，點Q的坐標為(-2,3).(-4>-5),(2,-5).

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四

邊形的判定，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

類型五動點產(chǎn)生三角形相似

15.(2022秋?亳州期末)如圖RtZ?4BC的兩條直角邊AB=4cm,AC=3cs,點力沿AB從A向B運動，速

度是Icmk,同時.，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm∕s.動點E到達點C時運動終止.連接DE.

CD、AE.

(1)當動點運動秒時，△〃￡>E與AABC相似;

(2)當動點運動秒時，CDLDE.

C

ADb

思路引領：(1)分當時，當ABDES∕?BCA時,兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解即

可；

(2)如圖所示，過點E作EFlAB于F,證明48EFS求出BF=∣fc∕n,EF=^tcm,則DF=(4-

,13工

1?ACDF34-—C

號t)cm,再證明得到詬=―,即Z=—6^-,解方程即可.

解：(1)由題意得AO=fcm,BE=2tcm,則BC=AB-AD=(4-r)cm,

在RtAABC中，由勾股定理得BC=y∕AB2+AC2=5cm,

當48DESz?BAC時;

.￡￡,￡￡即二.三

??一,L、IJ—,

BDBA4-t4

解得t=~

當ABDEsABCA時，

.更一也即二

BDBC4-t5

解得t=~

綜上所述，當t=患或t=?時，Z?8∕)E與AABC相似，

208

故答案為：■或二；

137

(2)如圖所示，過點E作于凡則EF〃AC

o6

BF=-ξtcm,EF=弓fcm，

13

：.DF=BD-BF=（4一菅t）cm

VCD±DE,

INCDE=90°,

/.ZACD+ZADC=90o=∕ADC+NFDE,

：.ZACD=ZFDEf

又?：NCAD=NDFE=9C,

/.IXACDSXFDE,

?.=，KJ-=-7，

ADEFt

解得t=?.

故答案為：?.

總結(jié)提升：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是

解題的關(guān)鍵.

16.（2022秋?渠縣校級期末）如圖，直線y=-%+8與X軸、），軸分別交于點A、B,一動點尸從點A出發(fā)，

沿A一。一B的路線運動到點8停止，C是AB的中點，沿直線PC截4A08,若得到的三角形與AAOB

相似，則點P的坐標是.

y

思路引領：先由直線y=-%+8與/軸、y軸分別交于點A、B,求得A(6,0),B(0,8),再根據(jù)勾股

定理求得AB=I0,則AC=C8=5,分三種情況討論，一是點尸在OA上，且AAPCSA4OB,此時PC

pBCB

//OB可求得P0=AP=3,則P(3,0)；二是點P在。8上，則一=—,可求

9ABOB

7?77

得PB=牛,所以OB=:,則P(0,-)；三是點P在08上，且4CPBSM0B,此時PC〃。4,可求

zt?zr4Z

得OP=PB=4,則P(0,4).

4

-

3當X=O時，y=8；

4

當y=0時，則一手τ+8=0,解得x=6,

ΛA(6,0),B(0,8),

VZAOB=W0,OA=6,08=8,

：.AB=y∕0A2+OB2=√62+82=10,

???C是AB的中點，

1

：.AC=CB=^AB=5,

如圖1,點P在。4上，

，ZAPC=ZAOB,

：.PC//OB,

APAC

?__________1

??——1,

POCB

.'.PO=AP=∣OA=3,

：.P(3,0)；

如圖2,點P在上，

PBCB

AB一OBf

ABCB10×5_25

LPB=

OB^^8-=T,

7

245=-

4

7

：.P（O,-）；

4

如圖3,點P在03上，且aCP8s∕vi08,

：?/CPB=NAOB,

.?PC∕∕OAf

OPAC

?_____—1

??—―J，

PBCB

：.OP=PB=∣0B=4,

：.P（0,4）,

7

綜上所述，點P的坐標是（3,0）或（0,一）或（0,4）.

4

總結(jié)提升：此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖形與坐標、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、平行線

分線段成比例定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性質(zhì)強，應注意按點

尸的不同位置分類討論，求出所有符合題意的答案.

17.(2022秋?唐河縣期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=3cm,BC=6cm,動點M以lc∕n∕s的速度從A點

出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm∕s的速度從點。出發(fā)，沿D4向點A運動，設運動的時間

為t秒(0<r<3).

(1)當f為何值時，的面積等于矩形ABCD面積的2?

(2)是否存在某一時刻/,使得以A、N為頂點的三角形與AACD相似？若存在，求出f的值：若

不存在，請說明理由.

思路引領：(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出/840=90°,求出AM、AM根據(jù)三角形的面積公式，利用S=JX18

建立方程，解之即可；

(2)先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的f值即可說明存在，反之則不

存在.

解：(1)：四邊形ABC。是矩形，

,?AD=BC=6cm,NBAD=90°,

AM=tcm,AN=6-It(cm),

?*?S,?AMN=2AN*AM—2×(6-2/)Xt--(t—m)~+4(0≤∕≤3),

依題意得：-(r—?)?+[=2x3X6,

Z2-3f+2=0,

“=2,t2-?.

1

答：經(jīng)過1秒或2秒時，的面積等于矩形A8C。面積的一；

9

(2)設運動時間為f秒，

由題意得ON=2f(a”)，AN—(6-2f)(cm),AM—t(cm),

巖ANMASXACD,

則有A。：AN=CD:AM,即6：(6-2/)=3：t,

解得r=L5,

則有AD：AM=CDtAN,即6：1=3：(6-2t),

解得r=2.4,

答：當運動時間為1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與aACD相似.

總結(jié)提升：本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

類型六動點產(chǎn)生兩直線位置關(guān)系變化

18.(2022秋?路南區(qū)校級期末)如圖，矩形ABC。中，AB=16,BC=8,點P為AB邊上一動點，DP交

AC于點Q.

(1)求證：XhPQS∕?CDQ?,

(2)P點從4點出發(fā)沿AB邊以每秒2個單位長度的速度向B點移動，移動時間為，秒.當，為何值時，

DPLACi

思路引領：(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NoCQ=∕QAP,ZPDC^ZQPA,

進而可得判定AAPQS∕XCQQ;

(2)首先證明4D4PsAABC,結(jié)合相似三角形即可得到，的值.

(1)證明：；四邊形4BCD是矩形，

.?CD∕∕AB,

.?ZDCQ=ZQAP,ZPDC=ΛQPA,

：.MAPQS∕?CDQ?

(2)解：當f=2時，DPVAC-,

VZADC=90°,DPLAC,

/AQO=/AQP=∕ABC=90°,

，NC48+NAPQ=ZCA8+NACB=9()°,

ZAPQ=ZACB,

JADNPsXABC,

DAAP

??—，

ABBC

.82t

"16^8

解得：r=2,

即當r=2時，DPLAC.

總結(jié)提升：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有兩個角對應相等的三角形相似，相

似三角形對應邊成比例.

類型七動點產(chǎn)生最值

19.（2022秋?荊門期末）如圖，平面直角坐標系中點A（6,0）,以。4為邊作等邊AOAB,?OΛ,B1與

△OAB關(guān)于y軸對稱，M為線段。夕上一動點，則AM+BM的最小值是（）

思路引領：連接4'M.首先證明08'垂直平分線段A'B,推出4'、B關(guān)于OB'對稱，由M4+MB

=MA'+MA^A,A,可知此時當點M與O重合時，AΛ∕+BM的值最小，最小值為12.

解：連接A'M.

ΛZA,OB'=NAoB=NBOB'=60o,OA'=OB,

"：OM=OM,

.".ΔOMB^ΔOMAl(SAS),

ΛA,M=BM,ZOMA1=NoMB=90°,

：.0B'垂直平分線段A'B,

.?.A'、B關(guān)于OB'對稱，

"."MA+MB=MA+MA'^A1A,

/.當點M與。重合時，AM+BM的值最小，最小值為12,

.?.8M+AM的最小值為12.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用

所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

20.(2022?揚州三模)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,點E是AB邊上一動點，連接ED,將ED繞

點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至∣JEF,連接。F,CF,則。F+CF的最小值是()

A.4√5B.4√3C.5√2D.2√13

思路引領：連接8F,過點尸作尸GJLAB交AB延長線于點G,通過證明A4Ef)絲Z∑GFE(A4S),確定尸

點在BF的射線上運動；作點C關(guān)于BF的對稱點C,由三角形全等得到NCBF=45°,從而確定C點

在AB的延長線上；當。、F、C三點共線時，OF+CF=QC最小，在RtaAOC中，AD=A,AC=8,求

出Z)C=4√5即可.

解：連接8尸，過點F作尸GL48交48延長線于點G,

,/將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF,

.?EF±DE,EF=DE,

.,.ZEDA=ZFEG,

在△△￡：￡>和AGFE中,

/.A=乙FGE

?EDA=NFEG,

DE=EF

Λ?AED^ΔGFE(AAS),

：.FG=AE,AD=EG,

`:AD^AB,

.".AB=EG,

.?.AE=BG,

.?.BG=FG,

.?.F點在8尸的射線上運動，

作點C關(guān)于BF的對稱點C,

`:EG^DA,FG=AE,

：.AE=BG,

：.BG=FG,

.?.∕F8G=45°,

ΛZCBF=45q,

；.BF是NCBC的角平分線，

即F點在NCBC'的角平分線上運動，

二。點在AB的延長線上，

當。、F、C三點共線時，。尸+CF=OC最小，

在RtZXAQC中，AD=4,AC=8,

：.DC=y∕AD2+AC2=√42+82=4√5.

J.DF+CF的最小值為4√5,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對稱求最短路徑；能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)

化為共線線段是解題的關(guān)鍵.

21.（2021秋?殷都區(qū)期末）如圖，在aABC中，ZC<90o,NB=30°,AB=10,AC=J,。為AC的中

點，M為BC邊上一動點，將aABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0o<α≤360o）得到4A8'C,點M的對

應點為連接。M1,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OM的長度的最小值是（）

B,

C

M

M?

A.1B.1.5C.2D.3

思路引領：。為AC的中點，M為Be邊上一動點，則當。±B'C'時，OM'最短，將aABC繞點

A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°<a≤360o）的過程中，當OM'在直線AC上時，OM'最短，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得到NB=NB'=30°,BA=B'4=10,再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AM'=∣β,

A=3,而Ao=3.5,所以M'O=AM'-AO=I.5.

解：連接AM,AM1,

根據(jù)題意，點M'在以A點為圓心，AA/為半徑的圓上，

1

當AM_L8C時，AM最短，此時AM=WBA=5,

'：M'O^AM'-Ao（當且僅當M'、A、O共線時取等號），

：.M'。的最小值為5-3.5=15

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角

等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

22.（2022秋?橫縣期中）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸A。上的動點，連接EC,將線

段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°等到尸C,連接。F,則在點E運動過程中，QF的最小值是（)

A

一

A.√3B.1.5C.2√3D.6

思路引領：取線段AC的中點G,連接EG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及角的計算即可得出CD=CG以及

NFCD=NECG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS證出AFCO

AECG,進而即可得出QF=GE,再根據(jù)點G為