等差數列與等比數列-2022年高考數學訓練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數學核心考點專題訓練

專題16等差數列與等比數列

一、單選題（本大題共10小題，共50分）

1.在各項均為正數的等比數列｛a11｝中，公比q6（0,1）,若a3+a$=5,a??a6=4,數列

｛log2atl｝的前n項和為Stl,則當數列｛曰｝的前n項和取最大值時，n的值為（）

A.8B.9C.8或9D.17

【答案】C

【解析】解：???｛a11｝是等比數列且a?+a5=5,a2a6=4,公比q∈(0,1)

.(a?+?=5

la3a5=4

解得：a3=4,a5=1

??q=3,?,?s?——16

n1

則a11=16.φ-

5-π

bn=∣og2a∏=晦(16■?-)=log22=5-n

則bi=4,

-

由b∏+ιbn=5—(n÷1)—(5—n)=-1.

數列｛、｝是以4為首項，以-1為公差的等差數列.

則數列｛bQ的前n項和

n(4+5—n)n(9—n)

Sn=-2—=

Vcn≥0時;n≤9

???當n=8或9時，

γ+y+??,÷包取最大值.

12n

故選C.

2,已知數列｛atl｝的前n項和為Sn，若1，an,Sn成等差數列，則數列｛說USi育｝的前

n項和Tr,=()

A1____RIri___c1____________1_n1____1—

c??2n-l22n-lj22n+1-l2n+1-l

【答案】D

【解析】解：因為1,an,Sn成等差數列,

所以2a11=Sn÷1.

當n=1時，2a1=a1÷1,所以a1=1；

當時，+1,

n≥22atl-ι=SΓI.I

所以2atl-2arj-ι=atl,即at,=2atlτ

所以｛a11｝是以1為首項，2為公比的等比數列.

所以arι=2nτ.

所以------------=-----吏-----

y=_2----n1+—1

''(an+2-l)(an+1-l)(2∏+i-l)(2n-l)2∏-12-Γ

則Tn=I-打?打…+/-扁ZI=I-舄K故選D.

3.已知數列｛a1J的前n項和為Sn，若a[=-2a2=6,an,an+2,arι+ι為等差數列，≡S2020=

()

?4-1__--R4?1--------C4___1—D4___--

C???22020一.122018~?2202022018

【答案】D

an+ι+a∏

^an+ι

【解析】解：由題意，2an+2=an+an+ι,故%z3ti=二1——，JzLaza?=9，

an+ι-anan+l-an

所以｛ar1+1—aj是公比為一I,首項為一9的等比數歹∣J,

故a∏+ι-a∏=-9X(一：)'

則當n≥2時，an=(an-an,1)+(an_i-an_2)+...+(a2-a1)+a1=-9×+

(4?！?÷(4)°]÷6

I-(T)Z/ι?n-1

=-9×-??--+6=6×(-?),

l-(-??\2/

又a】=6也符合上式，

所以｛a∕是首項為6,公比為一(的等比數歹U，

i-(-?r

故Sn=6X7T?=4[1-(-l)]

故S2020=4—就i.

故選D.

4.若數列｛aQ為等差數列，｛brι｝為等比數列,且滿足：a?+a2020=27,b1?b2020=2,

函數f(x)滿足f(x+2)=—f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],則f(煞笠皿)=()

×1+D1010D1011×

A.eB.e2C.e^1D.e9

【答案】A

【解析】解：數列｛atl｝為等差數列，｛b11｝為等比數列，且滿足:a1+a2020=27,b1?b2020=2,

所以f(?S≡?)=f(≡≡)=fO=吟，

函數f(x)滿足f(x+2)=一f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],

?f(9)=-f(7)=f(5)=-f(3)=f(l)=e.

故選：A.

5.在各項均為正數的等比數列｛a11｝中，公比q∈(0,1),若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,

數列｛b11｝的前n項和為Sn，則++率+…+?取最大值時，n的值為()

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【解析】解：???｛arl｝是等比數列且a?+=5,a2a6=4,公比q∈(0,l),

c=

?[a?a^??a-4'解得：a3=4,a5=1,lp

la3θ5—θ2θ6—42

?*?a]=16,

因此an=16×φn-1,

,s-n

??bn=log2an=Iog2(16X?)=log22=5-n,則b1=4,

由bj1+ι—bn=5—(n÷1)—(5—n)=-1,

??.數列｛、｝是以4為首項，以-1為公差的等差數列，

則數列｛bj的前n項和Sn=叢"戶=叢押，

令C=Sn=n(9-n)=9-n,

nn2n2

VCn≥0時，n≤9,

???當n=8或9時-，&+”+???+且取最大值.

12n

故選：B.

6.己知等比數列｛a11｝的前n項和為Sn，滿足S「2S2,3S3成等差數列，且ae2=a3,若

｛(Iog3atl)2-NOg3a11｝是遞增數列，則實數人的取值范圍是()

A.(-∞,-3)B.(-3,+8)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)

【答案】B

【解析】由題意，得4S2=Sι+3S3,化簡得a?=3a3,所以公比q=1,

n22

又a[a2=a3,得a1=?,所以a∏=(∣).(log3an)-λlog3an=n+λn.

因為｛M+入n｝是遞增數列，所以(M+λn)一[(n—1)2+入(n-1)]=2n+入一1>0,n≥2,

所以人>—2n+1,得人>(―2n+l)max=-3,

故選B.

7,若數列｛a11｝滿足：n增大時，無限接近亨，則稱數列｛a11｝是黃金數列.滿足下列條

件的數列｛aj是黃金數列的是()

aa=

?-ι=1，"+ι?aa

B.a1=1,a2=3,an+2n=n+ι

a

C.??—1,3∩4-1=3∏+2D.a1=a2=1?3n+2=an÷n+ι

【答案】D

【解析】對于A：9=產=5+l=C~｝是等差數列，

an+lananIaW

故?=；+n-l=n,所以atl=%

anaι∏

所以工="1>1,

an+ιn

故｛a11｝不是黃金數列；

對一卜B：因為a1=1,a2=3,s∏+2^n=^∏+ι,

所以｛atl｝為等比數列，所以F=3故｛aQ不是黃金數列；

dn+l$

對于C：因為殂=1,an+1=an+2,所以｛arι｝為等差數列，所以arl=2n-l,

普"==1一67，n無限最大時，言-無限接近1,

≡n+ιzn+12n+ia∏+ι

故｛atJ不是黃金數列；

=1

對于D：a∏+2=atl+a11+ι兩邊同除以arι+ι可得，?+>

當n無限增大時，普無限接近于t,則產無限接近于;，

an+ιan+ιt

所以工=t+l=t=―，

t2

故｛a11｝是黃金數列.

故選D.

8.已知數列｛a∏｝滿足對1≤n≤3時，an=n,且對VnWN*,有a11+3+a∏+ι=a。+?+arι,

則數列｛n?aQ的前50項的和為（）

A.2448B.2525C.2533D.2652

【答案】B

【解析】解：由題得ar1+3+ar∣+ι=ar1+2+ar∣=…=a?+a[=4,

所以an=4-an+2=4-(4-an+4)=a∏+4,

所以｛a∏｝是周期為4的數列，且a】=1,a2=2,a3=3,a4=2,

所以a1+2a2+3a3+4a4+5asH------F50a50=a1+2a2+3a3+4a4+5a1H------F50a2

=IX(I+5+9+…+49)+2(2+6+…+50)+3(3÷7+…+47)+2(4+8÷…+

48)

13x5212x5012x52

等+2x+3X+2X=2525.

222

故選B.

9.在數列｛a∏｝中"?'Z」1且a2020=3，a2022=W，則22023=()

?.1-Ims5

A.IB.,C.?D.3

【答案】C

【解析】解：由：==+∕-(neN*,n>2),

anan-ιan+ι

可知數列｛￡｝是等差數列，

則其公差d=XJ—一?)??,

Na2O22a2O2ON

因此==十+d=g+T=3,

a2023a2022Nz

所以H2023=2-

故選C.

1111

10.已知數列｛atl｝滿足a1a2a3???an=2M,且對任意nCN*都有及+石+1+…+rCt,則

實數t的取值范圍是()

A.(∣,+∞)B.[∣,+∞)C.(∣,+∞)D.[∣,+∞)

【答案】D

【解析】解：因為數列｛an｝滿足a1a2a3???an=2M①，

所以當n≥2時，aia?a3…all-ι=2(時1)2②，

①÷②得an=2n2÷2(nτ)Z=22n-1=∣×4n.

又因為a1=2適合上式，所以數列｛atl｝的通項公式為an=^x",

因此:=(｝2nτ,

所以數歹∣j｛∕｝是以!為首項，；為公比的等比數列，

Iii1

又因為對任意n∈N*都有；a-+/+丁a+,,?+—a<t,

ιa23n

所以t?|,因此實數t的取值范圍是[|,+8).

故選D.

二、單空題(本大題共4小題，共20分)

11.若數列｛a11｝的首項由=2,且arι+ι=3an+2(n∈N*)；令b11=log3(an+1),則瓦+b2+

b?H------^blOo=--------------------?

【答案】5050

【解析】解：數列｛a11｝的首項a1=2,且a11+ι=3an+2(n∈N*),

?'?θ∏+ι+1=3(an+1),a1+1=3?

???｛arι+l｝是首項為3,公比為3的等比數列，

n

???an÷1=3,

blUwJn+I:，?b]+b2+b3+…+b?θθ=1+2+3+…+IOO=

^≡t2)=5050.

2

故答案為5050.

12.已知數列｛a"滿足an>0，前n項和為Sn，若a3=3,且對任意的kGN*,均有?c=

2a2k-1+1,a2k+1=21og2a2k+1>則a1=-----；S20=------------

【答案】1.2146.

【解析】解：因為a；k=2azi+ι,兩邊取對數得2iog2a2k=2a2k-1+1，

a

乂a2k+1=21og2a2k+1，所以a2k+1Il=2k-1+1'

BPa2k+1-a2k-1=2,k∈N*,數列｛a2kτ｝為等差數列，公差為2,

k=1時，a3—a?=2,得a1=1,

根據a2k+ι-a2kτ=2,a1=1,數列h2kτ｝為等差數列，公差為2,,首項是I,

2klt

a2ιc-ι=2k-1>a∣jj=2.所以a21c=2

所以S20=(a?+a?+,,,+a[9)+(32+a4+…+≡2o)

=(l+3+???+19)+(2+22+???+210)=100+2046=2146,

故答案為I,2146.

13.在各項均為正數的等比數列｛a11｝中，公比q∈(0,1).若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,

數列｛bn｝的前n項和為Sn，則當?+y+-??+,取最大值時∏的值為.

【答案】8或9

【解析】解：各項均為正數的等比數列｛a11｝中，若a3+a5=5,a2a6=4,

所以y=5,

?3a5—a2a6—6

由于公比q∈(0,1),

解得作U，

(a5=1

所以a5=a3q2,解得q=B.

n5ns

所以a11=a5-q^=(∣)^.

n5

由于??n=log2an=Iog2φ-=5-n.

所以數列｛、｝是以4為首項，以-1為公差的等差數列，

所以n(4+5-n)=n(9zn)

22

當nV9,n∈N+時，cn=—>0；當n=9時，Cn=0;當n>9,n∈N+時，cn<0,

故當n=9或8時，數列與+津+.??+區(qū)取得最大值.

12n

故答案為：8或9.

14.正項等比數列｛atl｝滿足a1+a3=1且2az,]a4,a3成等差數列，設bn=anan+1(n∈N*),

則bib???…bn取得最小值時的n值為.

【答案】2

【解析】解：正項等比數列同｝的公比設為q(q>0),a1+a3=

2

可得a1+a1q=

2a2,梟4，a3成等差數列，可得a4=2a2+a3,即q2-q-2=0,

解得q=2(-1舍去)，a1=i,

則an=(?2nτ=2n^3,

n3n2n

bn=anan+ι=2^-2^=??4,

12nr,24n

則趾2?...?bn=?(4-4...?4)=2τn.4i+2+→n=2-,

由H-4n=(n-2)2-4,當n=2時，bib?,…?b11取得最小值.

故答案為：2.

三、解答題(本大題共4小題，共30分)

15.已知數列｛ar∣｝滿足a】=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).

(I)證明：數列｛an+1一aQ是等比數列；

(∏)求數列｛a11｝的通項公式；

b

(HI)若數列｛bQ滿足4bLi4b2”=(an+l)∏(n∈N*),證明｛b11｝是等差數列.

【答案】解：(I)證明：???an+2=3an+1-2an,

aa

?''n+2-n+l=2(an+1—an)?

?.?a1=1,a2=3,

an+2~an+1=2(n∈N,),

an+ι-a∏

｛ar1+1-a11｝是以a?-a】=2為首項，2為公比的等比數列?

(∏)解：由(I)｛an+ι-aJ是以az—ai=2為首項，2為公比的等比數列

n11

得a∏+ι-an=2(n∈N*),.?.an=(an—an.1)+(an_1—an_2)++(a2—a1)+a1=2'^+

2n-2++2+l=2n-l(n∈N*).

bbl+b2++bn-nnbn

(Ill)證明：.JqbiTqbzTqbnT=(an+l)∏,.?.4'=2

???2[(b1+b2+???+bn)-n]=nbn,①

2[(bι+b2+???+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+l)bn+1.②

②一①，得2(b11+I-I)=(n+l)bn+1-nbn,

即(n—l)bn+1—nbn+2=O.③

nbn+2-(n+l)bn+1+2=O.④

④-③，得nbn+2-2nbn+ι+nbrι=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0,???bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),

｛b11｝是等差數列.

16.已知等差數列｛atl｝的公差不為零，a4=1,且a0a5,成等比數列，數列｛bQ的前n

項和為Sn，滿足Sn=2bn-4(n∈N*).

(I)求數列｛a11｝和｛bn｝的通項公式；

λ

(U)若數列｛Cn｝滿足：Cl=-jCn+1=Cn-J(neN*),求使得C11≥粵成立的所有n

LunIo

值.

【答案】解:(I)設等差數列｛arι｝的公差為d(d≠0),

2

由題得ag=a4a7>即(1+d)=1+3d,

整理得d2=d,解得d=l,

所以arι=a4+(n-4)d=n-3.

因為bι=2bι-4,所以bi=4,

當n≥2時，由bj1=Sn-SnT得bn=2bn-2bn.1,即b11=2bn.1,

所以｛b11｝是以4為首項，2為公比的等比數列，

所以bn=2"i.

(??)由"+I=d-/得Cn+ι—Cn=一

所以Cn=(Cn-ɑn-l)+(Cn-I-cn-2)+…+82-C+Cl=-一(￡+,+,,,÷?τ)?

設Tn=￡+￡+…+黑’

則打n=?j∣÷^7÷",÷菰W'

作差得工T==+2+工+…+工_曰=-l+≡?-J2∑±=-l-2Ξl,

IF左付2n22十23十24十十2門2n÷12十i-?2∏+142"i'

2

所以Tn=詈，所以Cn=_：_%=等.

因為Cn=詈≥野，所以(n-2)(24-n-1)≥0.

當n=l時，不滿足題意；當n=2時，滿足題意；

當n≥3時，24-n-1≥0,解得3≤nW4.

所以，滿足題意的所有n值為2,3,4.

17.已知正項數列｛arl｝滿足a】=1,an-1-an=an.1an,n≥2,等比數列｛b11｝滿足:a?=b1,

b2一b3=a?.

(1)求數列｛a"｝、｛b》的通項公式;

(2)設Tn=F+普+魯+…+*,求Tn，

anan-lan-2aI

【答案】解：(1)???｛a11｝各項為正，且arιτ-a11=arja11τ,(n≥2),

????-=L(n≥2).

dnɑn-l

???出是公差d=ι,首項2=1的等差數列，

????-=n,則a=--

a∏rιn

設等比數列｛bj的公比為q,則bi=[b?-b3=b(q-q2)=?

Z10

π1

故q-q2=?-解得q=(?故btl=b1q~=?.