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文檔簡介
備戰(zhàn)2022年高考數學核心考點專題訓練
專題16等差數列與等比數列
一、單選題(本大題共10小題,共50分)
1.在各項均為正數的等比數列{a11}中,公比q6(0,1),若a3+a$=5,a??a6=4,數列
{log2atl}的前n項和為Stl,則當數列{曰}的前n項和取最大值時,n的值為()
A.8B.9C.8或9D.17
【答案】C
【解析】解:???{a11}是等比數列且a?+a5=5,a2a6=4,公比q∈(0,1)
.(a?+?=5
la3a5=4
解得:a3=4,a5=1
??q=3,?,?s?——16
n1
則a11=16.φ-
5-π
bn=∣og2a∏=晦(16■?-)=log22=5-n
則bi=4,
-
由b∏+ιbn=5—(n÷1)—(5—n)=-1.
數列{、}是以4為首項,以-1為公差的等差數列.
則數列{bQ的前n項和
n(4+5—n)n(9—n)
Sn=-2—=
Vcn≥0時;n≤9
???當n=8或9時,
γ+y+??,÷包取最大值.
12n
故選C.
2,已知數列{atl}的前n項和為Sn,若1,an,Sn成等差數列,則數列{說USi育}的前
n項和Tr,=()
A1____RIri___c1____________1_n1____1—
c??2n-l22n-lj22n+1-l2n+1-l
【答案】D
【解析】解:因為1,an,Sn成等差數列,
所以2a11=Sn÷1.
當n=1時,2a1=a1÷1,所以a1=1;
當時,+1,
n≥22atl-ι=SΓI.I
所以2atl-2arj-ι=atl,即at,=2atlτ
所以{a11}是以1為首項,2為公比的等比數列.
所以arι=2nτ.
所以------------=-----吏-----
y=_2----n1+—1
''(an+2-l)(an+1-l)(2∏+i-l)(2n-l)2∏-12-Γ
則Tn=I-打?打…+/-扁ZI=I-舄K故選D.
3.已知數列{a1J的前n項和為Sn,若a[=-2a2=6,an,an+2,arι+ι為等差數列,≡S2020=
()
?4-1__--R4?1--------C4___1—D4___--
C???22020一.122018~?2202022018
【答案】D
an+ι+a∏
^an+ι
【解析】解:由題意,2an+2=an+an+ι,故%z3ti=二1——,JzLaza?=9,
an+ι-anan+l-an
所以{ar1+1—aj是公比為一I,首項為一9的等比數歹∣J,
故a∏+ι-a∏=-9X(一:)'
則當n≥2時,an=(an-an,1)+(an_i-an_2)+...+(a2-a1)+a1=-9×+
(4?!?÷(4)°]÷6
I-(T)Z/ι?n-1
=-9×-??--+6=6×(-?),
l-(-??\2/
又a】=6也符合上式,
所以{a∕是首項為6,公比為一(的等比數歹U,
i-(-?r
故Sn=6X7T?=4[1-(-l)]
故S2020=4—就i.
故選D.
4.若數列{aQ為等差數列,{brι}為等比數列,且滿足:a?+a2020=27,b1?b2020=2,
函數f(x)滿足f(x+2)=—f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],則f(煞笠皿)=()
×1+D1010D1011×
A.eB.e2C.e^1D.e9
【答案】A
【解析】解:數列{atl}為等差數列,{b11}為等比數列,且滿足:a1+a2020=27,b1?b2020=2,
所以f(?S≡?)=f(≡≡)=fO=吟,
函數f(x)滿足f(x+2)=一f(x)且f(x)=ex,x∈[0,2],
?f(9)=-f(7)=f(5)=-f(3)=f(l)=e.
故選:A.
5.在各項均為正數的等比數列{a11}中,公比q∈(0,1),若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,
數列{b11}的前n項和為Sn,則++率+…+?取最大值時,n的值為()
A.8B.8或9C.9D.17
【答案】B
【解析】解:???{arl}是等比數列且a?+=5,a2a6=4,公比q∈(0,l),
c=
?[a?a^??a-4'解得:a3=4,a5=1,lp
la3θ5—θ2θ6—42
?*?a]=16,
因此an=16×φn-1,
,s-n
??bn=log2an=Iog2(16X?)=log22=5-n,則b1=4,
由bj1+ι—bn=5—(n÷1)—(5—n)=-1,
??.數列{、}是以4為首項,以-1為公差的等差數列,
則數列{bj的前n項和Sn=叢"戶=叢押,
令C=Sn=n(9-n)=9-n,
nn2n2
VCn≥0時,n≤9,
???當n=8或9時-,&+”+???+且取最大值.
12n
故選:B.
6.己知等比數列{a11}的前n項和為Sn,滿足S「2S2,3S3成等差數列,且ae2=a3,若
{(Iog3atl)2-NOg3a11}是遞增數列,則實數人的取值范圍是()
A.(-∞,-3)B.(-3,+8)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)
【答案】B
【解析】由題意,得4S2=Sι+3S3,化簡得a?=3a3,所以公比q=1,
n22
又a[a2=a3,得a1=?,所以a∏=(∣).(log3an)-λlog3an=n+λn.
因為{M+入n}是遞增數列,所以(M+λn)一[(n—1)2+入(n-1)]=2n+入一1>0,n≥2,
所以人>—2n+1,得人>(―2n+l)max=-3,
故選B.
7,若數列{a11}滿足:n增大時,無限接近亨,則稱數列{a11}是黃金數列.滿足下列條
件的數列{aj是黃金數列的是()
aa=
?-ι=1,"+ι?aa
B.a1=1,a2=3,an+2n=n+ι
a
C.??—1,3∩4-1=3∏+2D.a1=a2=1?3n+2=an÷n+ι
【答案】D
【解析】對于A:9=產=5+l=C~}是等差數列,
an+lananIaW
故?=;+n-l=n,所以atl=%
anaι∏
所以工="1>1,
an+ιn
故{a11}不是黃金數列;
對一卜B:因為a1=1,a2=3,s∏+2^n=^∏+ι,
所以{atl}為等比數列,所以F=3故{aQ不是黃金數列;
dn+l$
對于C:因為殂=1,an+1=an+2,所以{arι}為等差數列,所以arl=2n-l,
普"==1一67,n無限最大時,言-無限接近1,
≡n+ιzn+12n+ia∏+ι
故{atJ不是黃金數列;
=1
對于D:a∏+2=atl+a11+ι兩邊同除以arι+ι可得,?+>
當n無限增大時,普無限接近于t,則產無限接近于;,
an+ιan+ιt
所以工=t+l=t=―,
t2
故{a11}是黃金數列.
故選D.
8.已知數列{a∏}滿足對1≤n≤3時,an=n,且對VnWN*,有a11+3+a∏+ι=a。+?+arι,
則數列{n?aQ的前50項的和為()
A.2448B.2525C.2533D.2652
【答案】B
【解析】解:由題得ar1+3+ar∣+ι=ar1+2+ar∣=…=a?+a[=4,
所以an=4-an+2=4-(4-an+4)=a∏+4,
所以{a∏}是周期為4的數列,且a】=1,a2=2,a3=3,a4=2,
所以a1+2a2+3a3+4a4+5asH------F50a50=a1+2a2+3a3+4a4+5a1H------F50a2
=IX(I+5+9+…+49)+2(2+6+…+50)+3(3÷7+…+47)+2(4+8÷…+
48)
13x5212x5012x52
等+2x+3X+2X=2525.
222
故選B.
9.在數列{a∏}中"?'Z」1且a2020=3,a2022=W,則22023=()
?.1-Ims5
A.IB.,C.?D.3
【答案】C
【解析】解:由:==+∕-(neN*,n>2),
anan-ιan+ι
可知數列{£}是等差數列,
則其公差d=XJ—一?)??,
Na2O22a2O2ON
因此==十+d=g+T=3,
a2023a2022Nz
所以H2023=2-
故選C.
1111
10.已知數列{atl}滿足a1a2a3???an=2M,且對任意nCN*都有及+石+1+…+rCt,則
實數t的取值范圍是()
A.(∣,+∞)B.[∣,+∞)C.(∣,+∞)D.[∣,+∞)
【答案】D
【解析】解:因為數列{an}滿足a1a2a3???an=2M①,
所以當n≥2時,aia?a3…all-ι=2(時1)2②,
①÷②得an=2n2÷2(nτ)Z=22n-1=∣×4n.
又因為a1=2適合上式,所以數列{atl}的通項公式為an=^x",
因此:=(}2nτ,
所以數歹∣j{∕}是以!為首項,;為公比的等比數列,
Iii1
又因為對任意n∈N*都有;a-+/+丁a+,,?+—a<t,
ιa23n
所以t?|,因此實數t的取值范圍是[|,+8).
故選D.
二、單空題(本大題共4小題,共20分)
11.若數列{a11}的首項由=2,且arι+ι=3an+2(n∈N*);令b11=log3(an+1),則瓦+b2+
b?H------^blOo=--------------------?
【答案】5050
【解析】解:數列{a11}的首項a1=2,且a11+ι=3an+2(n∈N*),
?'?θ∏+ι+1=3(an+1),a1+1=3?
???{arι+l}是首項為3,公比為3的等比數列,
n
???an÷1=3,
blUwJn+I:,?b]+b2+b3+…+b?θθ=1+2+3+…+IOO=
^≡t2)=5050.
2
故答案為5050.
12.已知數列{a"滿足an>0,前n項和為Sn,若a3=3,且對任意的kGN*,均有?c=
2a2k-1+1,a2k+1=21og2a2k+1>則a1=-----;S20=------------
【答案】1.2146.
【解析】解:因為a;k=2azi+ι,兩邊取對數得2iog2a2k=2a2k-1+1,
a
乂a2k+1=21og2a2k+1,所以a2k+1Il=2k-1+1'
BPa2k+1-a2k-1=2,k∈N*,數列{a2kτ}為等差數列,公差為2,
k=1時,a3—a?=2,得a1=1,
根據a2k+ι-a2kτ=2,a1=1,數列h2kτ}為等差數列,公差為2,,首項是I,
2klt
a2ιc-ι=2k-1>a∣jj=2.所以a21c=2
所以S20=(a?+a?+,,,+a[9)+(32+a4+…+≡2o)
=(l+3+???+19)+(2+22+???+210)=100+2046=2146,
故答案為I,2146.
13.在各項均為正數的等比數列{a11}中,公比q∈(0,1).若a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,
數列{bn}的前n項和為Sn,則當?+y+-??+,取最大值時∏的值為.
【答案】8或9
【解析】解:各項均為正數的等比數列{a11}中,若a3+a5=5,a2a6=4,
所以y=5,
?3a5—a2a6—6
由于公比q∈(0,1),
解得作U,
(a5=1
所以a5=a3q2,解得q=B.
n5ns
所以a11=a5-q^=(∣)^.
n5
由于??n=log2an=Iog2φ-=5-n.
所以數列{、}是以4為首項,以-1為公差的等差數列,
所以n(4+5-n)=n(9zn)
22
當nV9,n∈N+時,cn=—>0;當n=9時,Cn=0;當n>9,n∈N+時,cn<0,
故當n=9或8時,數列與+津+.??+區(qū)取得最大值.
12n
故答案為:8或9.
14.正項等比數列{atl}滿足a1+a3=1且2az,]a4,a3成等差數列,設bn=anan+1(n∈N*),
則bib???…bn取得最小值時的n值為.
【答案】2
【解析】解:正項等比數列同}的公比設為q(q>0),a1+a3=
2
可得a1+a1q=
2a2,梟4,a3成等差數列,可得a4=2a2+a3,即q2-q-2=0,
解得q=2(-1舍去),a1=i,
則an=(?2nτ=2n^3,
n3n2n
bn=anan+ι=2^-2^=??4,
12nr,24n
則趾2?...?bn=?(4-4...?4)=2τn.4i+2+→n=2-,
由H-4n=(n-2)2-4,當n=2時,bib?,…?b11取得最小值.
故答案為:2.
三、解答題(本大題共4小題,共30分)
15.已知數列{ar∣}滿足a】=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(I)證明:數列{an+1一aQ是等比數列;
(∏)求數列{a11}的通項公式;
b
(HI)若數列{bQ滿足4bLi4b2”=(an+l)∏(n∈N*),證明{b11}是等差數列.
【答案】解:(I)證明:???an+2=3an+1-2an,
aa
?''n+2-n+l=2(an+1—an)?
?.?a1=1,a2=3,
an+2~an+1=2(n∈N,),
an+ι-a∏
{ar1+1-a11}是以a?-a】=2為首項,2為公比的等比數列?
(∏)解:由(I){an+ι-aJ是以az—ai=2為首項,2為公比的等比數列
n11
得a∏+ι-an=2(n∈N*),.?.an=(an—an.1)+(an_1—an_2)++(a2—a1)+a1=2'^+
2n-2++2+l=2n-l(n∈N*).
bbl+b2++bn-nnbn
(Ill)證明:.JqbiTqbzTqbnT=(an+l)∏,.?.4'=2
???2[(b1+b2+???+bn)-n]=nbn,①
2[(bι+b2+???+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+l)bn+1.②
②一①,得2(b11+I-I)=(n+l)bn+1-nbn,
即(n—l)bn+1—nbn+2=O.③
nbn+2-(n+l)bn+1+2=O.④
④-③,得nbn+2-2nbn+ι+nbrι=0,
即bn+2-2bn+1+bn=0,???bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),
{b11}是等差數列.
16.已知等差數列{atl}的公差不為零,a4=1,且a0a5,成等比數列,數列{bQ的前n
項和為Sn,滿足Sn=2bn-4(n∈N*).
(I)求數列{a11}和{bn}的通項公式;
λ
(U)若數列{Cn}滿足:Cl=-jCn+1=Cn-J(neN*),求使得C11≥粵成立的所有n
LunIo
值.
【答案】解:(I)設等差數列{arι}的公差為d(d≠0),
2
由題得ag=a4a7>即(1+d)=1+3d,
整理得d2=d,解得d=l,
所以arι=a4+(n-4)d=n-3.
因為bι=2bι-4,所以bi=4,
當n≥2時,由bj1=Sn-SnT得bn=2bn-2bn.1,即b11=2bn.1,
所以{b11}是以4為首項,2為公比的等比數列,
所以bn=2"i.
(??)由"+I=d-/得Cn+ι—Cn=一
所以Cn=(Cn-ɑn-l)+(Cn-I-cn-2)+…+82-C+Cl=-一(£+,+,,,÷?τ)?
設Tn=£+£+…+黑’
則打n=?j∣÷^7÷",÷菰W'
作差得工T==+2+工+…+工_曰=-l+≡?-J2∑±=-l-2Ξl,
IF左付2n22十23十24十十2門2n÷12十i-?2∏+142"i'
2
所以Tn=詈,所以Cn=_:_%=等.
因為Cn=詈≥野,所以(n-2)(24-n-1)≥0.
當n=l時,不滿足題意;當n=2時,滿足題意;
當n≥3時,24-n-1≥0,解得3≤nW4.
所以,滿足題意的所有n值為2,3,4.
17.已知正項數列{arl}滿足a】=1,an-1-an=an.1an,n≥2,等比數列{b11}滿足:a?=b1,
b2一b3=a?.
(1)求數列{a"}、{b》的通項公式;
(2)設Tn=F+普+魯+…+*,求Tn,
anan-lan-2aI
【答案】解:(1)???{a11}各項為正,且arιτ-a11=arja11τ,(n≥2),
????-=L(n≥2).
dnɑn-l
???出是公差d=ι,首項2=1的等差數列,
????-=n,則a=--
a∏rιn
設等比數列{bj的公比為q,則bi=[b?-b3=b(q-q2)=?
Z10
π1
故q-q2=?-解得q=(?故btl=b1q~=?.
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