蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）尖子生培優(yōu)測試卷（附答案）

第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）單元測試（培優(yōu)卷）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列車標(biāo)，可看作圖案的某一部分經(jīng)過平移所形成的是（）A． B． C． D．2．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：33．（2020春?常州期中）若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，則它的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．84．（2020春?常州期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，則∠1+∠2等于（）A．40° B．60° C．80° D．140°5．（2020春?常州期中）如圖所示的四個(gè)圖形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④6．（2020春?寶應(yīng)縣期末）在△ABC中，若一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角的差，則這個(gè)三角形必定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上三個(gè)都是7．（2020春?徐州期末）如圖，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④AD∥BC且∠B＝∠D．其中，能推出AB∥DC的條件共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)9．如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④10．（2020秋?泰興市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝n（0°＜n＜45°），D、E分別為AB、AC上一點(diǎn)，將△BCD、△ADE分別沿CD、DE翻折，點(diǎn)A、B恰好重合于點(diǎn)F處，則∠ACF的度數(shù)用n表示為（）A．90°﹣2n B．12n C．45°﹣n 二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．如圖，直線c與a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直線a與b平行，直線a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是°．12．（2020春?揚(yáng)中市期中）如圖是一塊長方形的場地，長AB＝72m，寬AD＝31m，從A、B兩處入口中的路寬都為1m，兩小路匯合處路寬為2m，其余部分種植草坪，則草坪面積為m2．13．（2020春?江陰市期末）在一個(gè)多邊形中，小于120度的內(nèi)角最多有個(gè)．14．（2020春?江陰市期末）△ABC兩邊a＝3，b＝6，則第三邊c的取值范圍為．15．如圖，l1∥l2，AB⊥l1，垂足為O，BC交l2于點(diǎn)E，若∠ABC＝125°，則∠1＝°．16．如圖，把一副三角板如圖擺放，點(diǎn)E在邊AC上，將圖中的△ABC繞點(diǎn)A按每秒3°速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第秒時(shí)，邊BC恰好與邊DE平行．17．（2020春?常州期末）如圖，AB∥CD，∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，若∠AEC＝80°，則∠AGC＝°．18．（2020春?盱眙縣期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AC，分別交AB、AD于點(diǎn)F、G．則下列結(jié)論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正確的有．三、解答題（本大題共8小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．已知一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角的和與它的外角之和為1620°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)n．20．在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，三角形ABC的位置如圖所示，現(xiàn)將三角形ABC平移，使點(diǎn)A移至點(diǎn)D的位置，點(diǎn)E、F分別是B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的三角形DEF；（2）若連接BE、CF，則這兩條線段之間的關(guān)系是；（3）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出過點(diǎn)A且平行于BC的直線AM．21．如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠2，CF平分∠DCE．（1）試判斷直線AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若∠1＝80°，求∠3的度數(shù)．22．如圖，DE平分∠ADF，DF∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上，點(diǎn)A，D，B在一直線上，連接BF．（1）若∠ADF＝70°，∠ABF＝25°，求∠CBF的度數(shù)；（2）若BF平分∠ABC時(shí)，求證：BF∥DE．23．（2020春?淮安區(qū)期中）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動(dòng)三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為°，△AOB．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．24．（2020春?常州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)P，連接CP，過點(diǎn)P作DE⊥CP分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB與∠ADP度數(shù)；（2）探究：通過（1）的計(jì)算，小明猜測∠APB＝∠ADP，請(qǐng)你說明小明猜測的正確性（要求寫出過程）．25．（2020春?句容市期末）已知AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E的位置如圖1所示．①若∠ABE＝60°，∠CDE＝80°．則∠F＝°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是．（3）若點(diǎn)E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且∠E≥12∠F+45°，設(shè)∠F＝α，則α的取值范圍為26．（2020春?丹陽市校級(jí)期末）如圖1，直角△DEF的直角邊DF與直角△ABC的斜邊AB在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD⊥AB于點(diǎn)D，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）圖1中∠ACD＝°，CD、EF所在直線的位置關(guān)系是；（2）如圖2，①若DE、DF分別交AC邊于點(diǎn)P、Q，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠DPC，則∠DPC＝°；此時(shí)∠DPC、∠DQC的數(shù)量關(guān)系為：；②當(dāng)α＝°時(shí)，EF⊥BC；當(dāng)α＝°時(shí)，DE∥BC；（友情提醒：可利用圖3畫圖分析）（3）如圖4，在旋轉(zhuǎn)過程中，若頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部（不含邊界），邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點(diǎn)M、N．①寫出α的度數(shù)范圍：；②用含α的代數(shù)式表示∠2，則∠2＝°；此時(shí)∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為：；③若∠2≥∠1，則α的度數(shù)范圍為：．參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．D【分析】確定一個(gè)基本圖案按照一定的方向平移一定的距離，連續(xù)作圖即可設(shè)計(jì)出美麗的圖案．根據(jù)平移變換的定義判斷即可．【解析】選項(xiàng)A，B，C不能由基本圖形平移得到，選項(xiàng)B是由基本圖形圓平移得到，故選：D．2．A【分析】根據(jù)直角三角形的定義一一判斷即可．【解析】A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B=37×B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和公式即可求解．【解析】設(shè)邊數(shù)為n，∵多邊形的內(nèi)角和公式為：（n﹣2）×180°，∴多邊形的每個(gè)內(nèi)角為：(n-2)×180°n∵多邊形的外角和公式為：360°，∴多邊形的每個(gè)外角為：360°n∵一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰?fù)饨堑?倍，∴(n-2)×180°n∴n＝6，故選：C．4．C【分析】證明∠1+∠2＝2∠A即可解決問題．【解析】連接AA′．∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠A＝40°∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，故選：C．5．C【分析】根據(jù)“同位角”的意義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】根據(jù)“同位角”的意義，圖①、圖②、圖④中的∠1和∠2是同位角，故選：C．6．B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求解△ABC的一內(nèi)角為90°，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．【解析】設(shè)∠A＝∠B﹣∠C，則∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，故選：B．7．C【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一推理即可．【解析】①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），所以①正確；②∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，所以②錯(cuò)誤；③∵∠B＝∠DCE，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），所以③正確；④∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），所以④正確．其中，能推出AB∥DC的條件共有①③④3個(gè)．故選：C．8．C【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定判斷即可．【解析】①∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD＝∠DAC，∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確．②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∴EB⊥DB，故②正確，③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠∵∠BAC+2∠ACB＝180°，∴12∠BAC+∠ACB∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正確，④∵∠BEC＝180°-12（∠MBC+∠NCB）＝180°-12（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°∴∠BEC＝90°-12∠∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正確，⑤不妨設(shè)BD平分∠ADC，則易證四邊形ABCD是菱形，推出△ABC是等邊三角形，這顯然不可能，故錯(cuò)誤．故選：C．9．B【分析】①正確．利用平行線的性質(zhì)證明即可．②正確．首先證明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．③錯(cuò)誤．假設(shè)結(jié)論成立，推出不符合題意即可．④正確．證明∠DFB＝45°即可解決問題．【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正確，∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝∠GCD，故②正確，假設(shè)AC平分∠BCG，則∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，∴∠ECG＝∠CEG＝45°，顯然不符合題意，故③錯(cuò)誤，∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC=12（∠ACB+∠ABC）＝45°，12∴∠DFB=12∠CGE，故故選：B．10．A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到AD＝FD＝BD，推出D是AB的中點(diǎn)，可得CD=12AB＝AD＝BD，想辦法求出∠【解析】由折疊可得，AD＝FD＝BD，∴D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝AD＝∴∠ACD＝∠A＝n，∠BCD＝∠B＝90°﹣n，∴∠BCF＝2∠BCD＝180°﹣2n，∴∠ACF＝180°﹣2n﹣90°＝90°﹣2n，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．30°【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，求出旋轉(zhuǎn)后∠2的同位角的度數(shù)，然后用∠3減去∠1即可得到直線a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【解析】如圖．∵∠3＝∠2＝70°時(shí)，a∥b，∴要使直線a與b平行，直線a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是70°﹣40°＝30°．故答案為：30．12．2100m2．【分析】從圖中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一個(gè)長方形，然后根據(jù)題意求出長和寬，最后可求出面積．【解析】由圖片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一個(gè)長方形，且這個(gè)長方形的長為72﹣2＝70m，這個(gè)長方形的寬為：31﹣1＝30m，因此草坪的面積＝70×30＝2100平方米．故答案為：2100．13．5個(gè)．【分析】先由多邊形的每個(gè)內(nèi)角小于120°求出每一個(gè)外角大于60°，再根據(jù)多邊形的外角和為360°，可知邊數(shù)≤360°÷60°．【解析】∵多邊形的內(nèi)角小于120°，∴外角大于60°，∴這個(gè)多邊形小于120°的內(nèi)角的個(gè)數(shù)＜360°÷60°＝6，∴在一個(gè)多邊形中，小于120度的內(nèi)角最多有5個(gè)．故答案為：5．14．3＜c＜9．【分析】由△ABC兩邊a＝3，b＝6，根據(jù)已知三角形兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，即可求得答案．【解析】∵△ABC兩邊a＝3，b＝6，∴根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：6﹣3＜c＜3+6，即：3＜c＜9．故答案為：3＜c＜9．15．35°．【分析】過B作BF∥l2，利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠FBC，然后求出∠FBC的度數(shù)即可．【解析】過B作BF∥l2，∵l1∥l2，∴BF∥l1∥l2，∴∠ABF＝∠2，∠1＝∠FBC，∵AB⊥l1，∴∠2＝90°，∴∠ABF＝90°，∵∠ABC＝125°，∴∠FBC＝35°，∴∠1＝35°，故答案為：35．16．35或95【分析】根據(jù)題意結(jié)合BC與DE在A點(diǎn)同側(cè)或異側(cè)時(shí)畫出圖形．利用平行線的性質(zhì)得出即可．【解析】如圖1所示：當(dāng)B′C′∥DE時(shí)，由題意可得：∠B′＝∠DFA＝60°，∠D＝45°，則∠FAD＝75°，故∠CAF＝15°，則∠BAF＝105°，故邊BC恰好與邊DE平行時(shí)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為：1053如圖2，當(dāng)B″C″∥DE時(shí)，由（1）同理可得：∠BAB″＝75°，則BA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了360°﹣75°＝285°，則在旋轉(zhuǎn)的過程中：第2853=95（秒）時(shí)，邊BC恰好與邊綜上所述：在第35或95秒時(shí)，邊BC恰好與邊DE平行．故答案為：35或95．17．140°．【分析】過G作GM∥AB，過E作EN∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠BAG＝∠AGM，∠MGC＝∠DCG，∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠NEC，然后設(shè)出未知數(shù)，利用方程思想解決問題即可．【解析】過G作GM∥AB，過E作EN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GM，EN∥AB∥CD，∴∠BAG＝∠AGM，∠MGC＝∠DCG，∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠NEC，∵∠GAF：∠FAE：∠EAB＝∠GCF：∠FCE：∠ECD＝1：2：4，∴設(shè)∠GAF＝x°，∠FAE＝2x°，∠EAB＝4x°，∠GCF＝x°，∠FCE＝2x°，∠ECD＝4x°，∴∠BAG＝7x°，∠GCD＝7x°，∠AEN＝4x°，∠NEC＝4x°，∴∠AGM＝7x°，∠MGC＝7x°，∠AEC＝8x°，∵∠AEC＝80°，∴8x＝80，∴x＝10，∴∠AGC＝14x°＝140°，故答案為：140．18．①③④．【分析】①正確．證明∠BAD+∠CAD＝90°即可．②錯(cuò)誤．如果EA＝EC，則結(jié)論成立，無法判斷EA＝EC，故錯(cuò)誤．③正確．利用三角形的外角的性質(zhì)，角的和差定義即可解決問題．④正確．證明∠B＝∠CAD即可解決問題．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正確，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正確，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正確，無法判定∠AEF＝∠BEF，故②錯(cuò)誤；故答案為：①③④．三、解答題（本大題共8小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后求解即可．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，由題意得，（n﹣2）?180°+360°＝1620°，解得n＝9．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)n是9．20．（2）BE＝CF，BE∥CF；【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)即為（2）利用圖象法解決問題即可．（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【解析】（1）如圖，△DEF即為所求．（2）觀察圖象可知：BE＝CF，BE∥CF．故答案為：BE＝CF，BE∥CF．（3）如圖，線段AM即為所求．21．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠2＝∠CDF．證出∠1＝∠CDF，即可得出AE∥BF；（2）求出∠ECD＝100°，由角平分線定義得∠ECF＝50°，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】（1）AC∥BD．理由如下：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDF，∴AE∥BF；（2）∵∠1＝80°，∴∠ECD＝180°﹣∠1＝180°﹣80°＝100°，∵CF平分∠ECD，∴∠ECF=12∠∵AC∥BD，∴∠3＝∠ECF＝50°．22．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件即可求出∠CBF的度數(shù)；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ADF，再根據(jù)BF平分∠ABC，DE平分∠ADF，可得∠ADE＝∠ABF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明BF∥DE．【解析】（1）∵DF∥BC，∴∠ABC＝∠ADF＝70°，∵∠ABF＝25°，∴∠CBF＝70°﹣25°＝45°；（2）證明：∵DF∥BC，∴∠ABC＝∠ADF，∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADF，∴∠ADE=12∠ADF，∠ABF∴∠ADE＝∠ABF，∴BF∥DE．23．（1）是（2）是【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．（2）求出∠OAC即可解決問題．（3）分三種情形分別求出即可．【解析】（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：是．（3）①當(dāng)∠CAB＝3∠ABC，時(shí)，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③∠ACB＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．24．【分析】（1）首先說明PC平分∠ACB，推出∠CDE＝45°，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．（2）證明∠APB＝135°，∠ADP＝135°即可．【解析】（1）∵∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE=12∠ACB∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA=12∠ABC＝25°，∠PAB=1∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）結(jié)論：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，PA分別是∠ABC，∠BAC的角平分線，∴∠PBA=12∠ABC，∠PAB=1∴∠APB＝180°-12（∠ABC+∠BAC）＝180°∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．25．（1）若點(diǎn)E的位置如圖1所示．①若∠ABE＝60°，∠CDE＝80°．則∠F＝70°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是∠BED+2∠BFD＝360°．（3）若點(diǎn)E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且∠E≥12∠F+45°，設(shè)∠F＝α，則α的取值范圍為30°≤α【分析】（1）①過F作FH∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABF+∠CDF＝∠BFD，再通過角平分線定義得結(jié)果；②過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABF+∠CDF＝∠BFD，∠ABE+∠CDE＝∠BED，再通過角平分線定義得結(jié)果；（2）過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABF+∠CDF＝∠BFD，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再根據(jù)角平分線得結(jié)論；（3）過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CDF﹣∠ABF＝∠BFD，∠CDE﹣∠ABE＝∠BED，再根據(jù)角平分線得∠BED＝2∠BFD＝2α，結(jié)合已知條件∠BED≥12∠BFD+45°，得α的下限值，再根據(jù)∠CDE為銳角，結(jié)合∠BFD與∠CDF的大小關(guān)系求得【解析】（1）①過F作FH∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH＝∠BFD，∵∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．∴∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF，∵∠ABE＝60°，∠CDE＝80°，∴∠SBF＝30°，∠CDF＝40°，∴∠BED＝70°，故答案為70°；②∠BED＝2∠BFD．理由如下：過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH＝∠BFD，∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．∴∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF，∴∠BED＝2∠BFD；（2）過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖2，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FH∥GH，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＝180°﹣∠BEG，∠CDE＝180°﹣∠DEG，∴∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH＝∠BFD，∠ABE+∠CDE＝360°﹣（∠BEG+∠DEG）＝360°﹣∠BED，∵∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．∴∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF，∴360°﹣∠BED＝2∠BFD；故答案為：∠BED+2∠BFD＝360°；（3）過點(diǎn)F作FH∥AB，過點(diǎn)E作EG∥AB，如圖3，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FH∥GH，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠AB