（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 不等式 第45課 一元二次不等式(含分式不等式) 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第45課一元二次不等式(含分式不等式)(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修5P75例1改編)不等式-3x2+6x>2的解集為.【答案】【解析】將不等式-3x2+6x>2轉(zhuǎn)化為3x2-6x+2<0，所以不等式的解集為.2.(必修5P80習(xí)題11改編)不等式<0的解集為.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71習(xí)題7改編)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，則a=，b=.【答案】-4.(必修5P78例3改編)某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，日銷售量x(單位：件)與貨價p(單位：元/件)之間的關(guān)系為p=160-2x，生產(chǎn)x件所需成本C=500+30x元.若使得日獲利不少于1300元，則該廠日產(chǎn)量所要滿足的條件是.【答案】[20，45]【解析】由題意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80習(xí)題8改編)若不等式x2-2x+k2-2>0對于任意的x∈[2，+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】(-∞，-)∪(，+∞)【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，設(shè)f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，當(dāng)x≥2，可求得f(x)max=2，則k2>f(x)max=2，所以k>或k<-.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，則不等式的解的各種情況如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個相異實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實(shí)數(shù)根x1=x2=-無實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}2.求解一元二次不等式的三個步驟：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象；(3)寫出一元二次不等式的解集.3.分式不等式<0(a<b)的解集為{x|a<x<b}.分式不等式>0(a<b)的解集為{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R的條件是.二次不等式ax2+bx+c<0的解集為R的條件是.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個擊破一元二次不等式及分式不等式的解法例1解下列關(guān)于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)≤3.【思維引導(dǎo)】(1)本題考查一元二次不等式的解法，求解時注意與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象相結(jié)合.(2)由于是分式不等式，所以要移項(xiàng)通分，不能直接去分母.所以有-3≤0，通分得≤0，即≥0，又≥0等價于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0對應(yīng)方程的根為x1=0，x2=，由口訣“大于取兩邊，小于取中間”得不等式的解為x≥或x<0.【解答】(1)原不等式轉(zhuǎn)化為6x2+5x-1>0，方程6x2+5x-1=0的解為x1=，x2=-1.根據(jù)y=6x2+5x-1的圖象，可得原不等式的解集為.(2)原不等式變形為-3≤0，即≥0，所以原不等式的解集為.【精要點(diǎn)評】(1)可通過解相應(yīng)一元二次方程的根，再畫出相應(yīng)二次函數(shù)的圖象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有兩種方法：方法一是轉(zhuǎn)化變形為<0(a<b)或者>0(a<b)的形式，方法二是針對分母的正負(fù)進(jìn)行討論；如第(2)題，就可以轉(zhuǎn)化成再分別求解.變式1解下列關(guān)于x的不等式.(1)x-3>-2；(2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0).【解答】(1)解不等式x-3>-2，可得>2或<1.由>2，得x>4；由<1，得x<1且x≥0，即0≤x<1.所以不等式的解集為{x|x>4或0≤x<1}.(2)原不等式轉(zhuǎn)化為(x-a)(x-a2)<0.當(dāng)a2>a，即a>1時，不等式的解集為{x|a<x<a2}；當(dāng)a2<a，即0<a<1時，不等式的解集為{x|a2<x<a}；當(dāng)a2=a，即a=1時，不等式的解集為.變式2已知關(guān)于x的不等式<1.(1)當(dāng)a=1時，解該不等式；(2)當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，解該不等式.【解答】(1)當(dāng)a=1時，不等式化為<1，化為<0，所以1<x<2，解集為{x|1<x<2}.(2)由<1，得<0，即(ax-2)(x-1)<0.當(dāng)=1，即a=2時，解集為；當(dāng)>1，即0<a<2時，解集為；當(dāng)<1，即a>2時，解集為；當(dāng)a=0時，解集為{x|x>1}；當(dāng)a<0時，解集為{x|x<或x>1}.三個“二次”的關(guān)系例2已知函數(shù)f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域?yàn)閇0，+∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<m的解集為(n，n+10)，求實(shí)數(shù)m的值.【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域?yàn)閇0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=，因?yàn)椴坏仁絝(x)<m的解集為(n，n+10)，所以2x2+bx+<m，即2x2+bx+-m<0的解集為(n，n+10)，設(shè)方程2x2+bx+-m=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=-，所以|x1-x2|====10，解得m=50.【精要點(diǎn)評】(1)一元二次不等式解的兩個邊界就是一元二次方程的根，二次函數(shù)的零點(diǎn)，也就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)若x1，x2為ax2+bx+c=0(a≠0)兩根，則|x1-x2|====.變式(2015·惠州期末)若不等式x2-ax-b<0的解集為(2，3).(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求不等式bx2-ax-1>0的解集.【解答】(1)由題設(shè)可知不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3}.所以2和3是方程x2-ax-b=0的兩個根，由韋達(dá)定理得解得(2)不等式bx2-ax-1>0，即為-6x2-5x-1>0，不等式-6x2-5x-1>0可化為6x2+5x+1<0，即(2x+1)(3x+1)<0，解得-<x<-，所以所求不等式的解集為{x.例3(1)已知方程x2+ax+2=0的兩根都小于-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若α，β是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的兩個根，且α<2<β，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【思維引導(dǎo)】數(shù)形結(jié)合的方法，即利用一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)之間的關(guān)系：(1)(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因?yàn)閤2+ax+2=0的兩根都小于-1，所以所以2≤a<3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，則此二次函數(shù)的圖象開口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-3).【精要點(diǎn)評】利用二次函數(shù)的圖象分析一元二次方程的根的問題，通常要考查其開口方向、判別式、對稱軸及端點(diǎn)處函數(shù)值的符號.恒成立問題求參數(shù)例4如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】[0，4]【解析】當(dāng)a=0時，原不等式變?yōu)?≥0，恒成立，符合題意；當(dāng)a≠0時，由ax2-ax+1≥0恒成立，得解得0<a≤4.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4].變式已知當(dāng)x∈(0，+∞)時，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】令t=3x(t>1)，則由已知得函數(shù)f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的圖象恒在x軸的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，2+2).1.(2015·江蘇卷)不等式<4的解集為.【答案】(-1，2)【解析】由題意得x2-x<2-1<x<2，故解集為(-1，2).2.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零點(diǎn)為2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集為.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零點(diǎn)為2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，進(jìn)而函數(shù)g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因?yàn)閍>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集為{x|-3<x<-2}.3.(2014·常州期末)已知函數(shù)f(x)=若f(f(-2))>f(k)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【答案】(lo9，4)【解析】由題設(shè)知f(x)=所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等價于f(k)<9，即或解得k∈(lo9，4).4.若關(guān)于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且僅有4個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)a≤0時，不等式ax2+x-2a<0的解集中有無數(shù)個整數(shù)解，因此a>0.設(shè)f(x)=ax2+x-2a，因?yàn)閒(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，則f(1)=1-a<0，4個整數(shù)解應(yīng)為1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假設(shè)錯誤，故0<a≤1，所以4個整數(shù)解應(yīng)為0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5.(2015·泰州二模)已知函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，+∞)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為.【答案】{1}【解析】由定義域?yàn)镽，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域?yàn)閇0，+∞)，則函數(shù)y=x2-2x+a的圖象只能與x軸有1個交點(diǎn)，所以Δ=4-4a=0，則a=1，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第89~90頁.【檢測與評估】第八章不等式第45課一元二次不等式(含分式不等式)一、填空題1.(2015·廣東卷)不等式-x2-3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示)2.不等式<0的解集為.3.(2015·汕頭期末)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2}，則實(shí)數(shù)a+b=.4.(2014·蘇北五市模擬)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5.若關(guān)于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6.若一元二次不等式ax2-ax+b<0的解集為(m，m+1)，則實(shí)數(shù)b=.7.對于滿足0≤a≤4的實(shí)數(shù)a，使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范圍是.8.(2014·蘇州期末)已知函數(shù)f(x)=那么不等式f(x2-x+1)<12的解集為.二、解答題9.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足(x-4a)(x-a)<0，其中a>0；命題q：實(shí)數(shù)x滿足x2-4x+3≤0.(1)若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10.國家為了加強(qiáng)對煙酒的生產(chǎn)管理，實(shí)行征收附加稅政策.現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不征收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶.若政府征收附加稅，每銷售100元征稅R元(叫作稅率R%)，則每年產(chǎn)銷量將減少10R萬瓶.要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅不少于112萬元，R應(yīng)怎樣確定?11.(2015·大同期末)已知關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集為(-∞，-1]∪[2，+∞)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)解關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.當(dāng)x∈(-∞，-1]時，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.13.(2015·南京三模)已知a，t為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2-2x+a，且對任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若對每一個正實(shí)數(shù)a，記t的最大值為g(a)，則函數(shù)g(a)的值域?yàn)?【檢測與評估答案】第八章不等式第45課一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集為(-4，1).2.3.0【解析】因?yàn)榻饧癁?-1，2)，所以由韋達(dá)定理可得解得所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由題意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因?yàn)锳∩B=，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.【解析】當(dāng)x=0時，不等式變?yōu)?a<0，因?yàn)榇瞬坏仁降慕饧癁?，所以a≥0；當(dāng)x≠0時，不等式可化為a<=，因?yàn)榇瞬坏仁降慕饧癁?，所以a≥，又|x|+≥2，所以≤，所以a≥.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6.0【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可知所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等價于x2+ax-4x-a+3>0，所以a(x-1)+x2-4x+3>0，令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3，則函數(shù)f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一條直線，所以要使f(a)=a(x-1)+x2-4x+3>0，則有f(0)>0，f(4)>0，即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x的取值范圍為(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f(x)=是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，f(3)=12，所以原不等式等價于x2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f(x2-x+1)<12的解集為(-1，2).9.(1)由(x-4a)(x-a)<0，a>0，得a<x<4a.當(dāng)a=1時，1<x<4，即p為真命題時，實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|1<x<4}.由x2-4x+3≤0，得1≤x≤3.所以q為真時，實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|1≤x≤3}.若p∧q為真，則1<x≤3，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1，3].(2)設(shè)A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要條件，則BA，所以<a<1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.10.設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收稅金為70x·R%(萬元)，且x=100-10R.由題意知70(100-10R)·R%≥112，化簡得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知稅率定在2%到8%之間，年收入附加稅不少于112萬元.11.因?yàn)閍x2+(a-2)x-2≥0的解集為(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的兩根為x=-1或x=2，所以-1×2=，解得a=1.(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3對x∈R恒成立，則(a-2)x2+(a-2)x+1≥0對x∈R恒成立.因此，①當(dāng)a=2時，不等式變?yōu)?≥0