4.5.2 用二分法求方程的近似解（三大題型）（原卷版）

4．5．2用二分法求方程的近似解【題型歸納目錄】題型一：用二分法求近似解的條件題型二：用二分法求方程近似解的過(guò)程題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：二分法1、二分法對(duì)于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長(zhǎng)度盡量小；②、的值比較容易計(jì)算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的．對(duì)于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．3、關(guān)于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長(zhǎng)度達(dá)到某個(gè)確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個(gè)規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度小于時(shí)停止二分；此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)值作零點(diǎn)近似值．【典型例題】題型一：用二分法求近似解的條件例1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)校考期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

例3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

變式2．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．題型二：用二分法求方程近似解的過(guò)程例4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用二分法求方程的近似解．（精確度為0.1，可以使用計(jì)算器）例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)在區(qū)間上一些點(diǎn)的函數(shù)值.由此可判斷：方程的一個(gè)近似解為(精確度0.1)．x11.251.3751.40651.4380.165x1.51.6251.751.87520.6251.9822.6454.356例6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點(diǎn).變式5．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）用二分法求方程在上的近似解，取中點(diǎn)，則下一個(gè)有根區(qū)間是．變式6．（2023·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┯谩岸址ā鼻蠓匠淘趨^(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是．變式7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間是．變式8．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)近似解．（精確度為0.1）變式9．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到）.【方法技巧與總結(jié)】（1）依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間（這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長(zhǎng)度盡可能的小，區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)，計(jì)算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的長(zhǎng)度符合精確度要求（這個(gè)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對(duì)值是否達(dá)到給定的精確度），才終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值（為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過(guò)程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程例7．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求曲線和直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（誤差不超過(guò)0.01）．例8．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的近似值（誤差不超）．例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在在上恰有一個(gè)零點(diǎn)．試用二分法來(lái)計(jì)算這個(gè)零點(diǎn)的更精確的近似值（誤差不超過(guò)0.001）．變式10．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用二分法求方程在區(qū)間上的根的近似值（誤差不超過(guò)0.01）．變式11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下:據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程的一個(gè)近似解為（誤差不超過(guò)0.01）.變式12．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是．變式13．（2023·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）利用二分法計(jì)算函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)，第一次操作后確認(rèn)在內(nèi)有零點(diǎn)，那么第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).【方法技巧與總結(jié)】利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖：【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下:那么方程的一個(gè)近似解（誤差不超過(guò)0.02）為（）A．1.4375 B．1.375C．1.25 D．1.4222．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值的精確度為0.001，若只從二等分區(qū)間的角度來(lái)考慮，則對(duì)區(qū)間至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來(lái)至少需要計(jì)算（

）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．A．2 B．3 C．4 D．56．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（

）A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的增函數(shù)，在用二分法尋找零點(diǎn)的過(guò)程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，又，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)內(nèi)的近似解的過(guò)程中，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，則該方程的根所在的區(qū)間是（

）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)二、多選題9．（2023·山東臨沂·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)B．函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)C．函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)D．函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)不可能同時(shí)在區(qū)間內(nèi)10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）(多選題)已知函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且函數(shù)的唯一零點(diǎn)同在內(nèi)，則與符號(hào)不同的是（

）A． B．C． D．11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某同學(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算、的值，第二次計(jì)算的值，第三次計(jì)算的值，則．14．（2023·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間次數(shù)最少為次．15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)區(qū)間利用兩次“二分法”，可確定所在的區(qū)間為．16．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值時(shí)，驗(yàn)證了，取區(qū)間的中點(diǎn)，得，那么此時(shí)零點(diǎn)（填區(qū)間）．四、解答題17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)圖象是連續(xù)曲線的函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)增長(zhǎng)快慢的差異，判斷方程至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．用二分法求方程的一個(gè)近似解．（精確度為0.01）18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣（質(zhì)量稍輕），現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，請(qǐng)問(wèn)：你最多稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）判斷函數(shù)在區(qū)