（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第22課 同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第22課同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修4P16例1改編)已知cosα=，且α∈，那么tanα=.【答案】-【解析】由cosα=，α∈，得sinα=-，所以tanα=-.2.(必修4P18練習(xí)4改編)已知tanα=3，且α為第三象限角，那么sinα=.【答案】-【解析】由題意，構(gòu)造方程組解得sinα=±.因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵詓inα=-.3.(必修4P23習(xí)題11改編)若tanα=3，則=.【答案】【解析】===.4.(必修4P23習(xí)題20改編)若sinα+cosα=，則sin3α+cos3α=.【答案】【解析】sinαcosα=[(sinα+cosα)2-(sin2α+cos2α)]=，則sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=×=.5.(必修4P17例3改編)已知α是第一象限角，那么tanα·=.【答案】1【解析】tanα·=tanα·=·=1.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式1.平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1.2.商數(shù)關(guān)系：tanα=.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值例1(1)已知sinx=，求cosx與tanx的值.(2)已知3sinα=-cosα，求的值.【思維引導(dǎo)】(1)結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式直接求解，但是要注意分類(lèi)討論.(2)所求式是關(guān)于sinα與cosα的齊次式，若將分式的分子、分母同除以cos2α，則所求式用tanα表示，從而求值；也可以用tanα表示sinα，cosα，一般地，關(guān)于sinα，cosα的齊次式都可化為關(guān)于tanα的函數(shù)式.【解答】(1)因?yàn)閟inx=，所以cosx=±=±=±，當(dāng)cosx=時(shí)，tanx=；當(dāng)cosx=-時(shí)，tanx=-.(2)因?yàn)?sinα=-cosα，所以tanα=-，原式===-.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)已知sinα的值，利用平方關(guān)系求cosα的值時(shí)，如果α的范圍沒(méi)有確定，cosα的值有兩種可能；(2)在求tanα的值時(shí)，要分類(lèi)討論；(3)在利用齊次式求值時(shí)，一定要湊齊次式.【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.若tanα=2，則=.【答案】【解析】原式==.2.若sinx=2cosx，則sin2x+1=.【答案】【解析】由已知得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.3.若cosα+2sinα=-，則tanα=.【答案】2【解析】由將①變形代入②得(sinα+2)2=0，所以sinα=-，cosα=-，所以tanα=2.4.已知tanx=2.(1)求的值；(2)求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值.【解答】(1)===.(2)2sin2x-sinxcosx+cos2x===.利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)、證明例2求證：=.【解答】方法一：由cosx≠0，知sinx≠-1，所以1+sinx≠0.于是，左邊=====右邊，所以原式成立.方法二：因?yàn)?1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx，且1-sinx≠0，cosx≠0，所以=.方法三：因?yàn)?===0，所以原式成立.方法四：因?yàn)閏osx≠0，左邊=====右邊.所以原式成立.變式化簡(jiǎn)：.【解答】原式====sinα+cosα.sinθ±cosθ及sinθcosθ的關(guān)系問(wèn)題例3已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=-，求tanθ的值.【思維引導(dǎo)】利用sinθ+cosθ的值可以求得sinθcosθ的值，進(jìn)而可以知道tanθ的值，注意到0<θ<π，因此解題時(shí)應(yīng)特別留意角θ的范圍.【解答】因?yàn)閟inθ+cosθ=-，兩邊平方得1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=-<0.則sinθcosθ===-，解得tanθ=-或tanθ=-.因?yàn)棣取剩詓inθ>0，cosθ<0.又sinθ+cosθ=-<0，所以|sinθ|<|cosθ|，所以|tanθ|<1，故tanθ=-.【精要點(diǎn)評(píng)】本題容易出錯(cuò)，原因在于注意到sinθcosθ=-<0，故tanθ<0.但兩解是否都滿(mǎn)足條件，還應(yīng)考慮sinθ+cosθ=-<0，所以得到|sinθ|<|cosθ|，從而得解.本題還可以根據(jù)已知條件求sinθ-cosθ的值，然后再求sinθ與cosθ的值，進(jìn)而求得tanθ的值.變式已知sinαcosα=，且<α<，那么cosα-sinα的值為.【答案】-【解析】因?yàn)?lt;α<，所以cosα<sinα，所以cosα-sinα<0.而(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=1-2×=，所以cosα-sinα=-.1.已知α是第二象限角，sinα=，那么cosα=.【答案】-2.若tanα=2，則sinαcosα=.【答案】【解析】sinαcosα===.3.化簡(jiǎn)：sin2α+cos2αsin2β+cos2αcos2β=.【答案】1【解析】原式=sin2α+cos2α(sin2β+cos2β)=sin2α+cos2α=1.4.設(shè)α是第三象限角，若tanα=，則cosα=.【答案】-5.已知sinθ+cosθ=，則sinθ-cosθ的值為.【答案】-【解析】方法一：因?yàn)?<θ<，所以cosθ>sinθ，即sinθ-cosθ<0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以2sinθcosθ=，所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-=，所以sinθ-cosθ=-.方法二：因?yàn)閟inθ+cosθ=，且θ∈，所以θ+，sinθ+cosθ=sin=，即sin=.又cos===，所以sinθ-cosθ=-(cosθ-sinθ)=-cos=-.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升已知sinθ，cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的兩個(gè)根，且<θ<2π，求θ的大小.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】因?yàn)閟inθ，cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的兩個(gè)根，所以…………4分由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，得m2=1+2×，解得m=. ………………6分又因?yàn)?lt;θ<2π，所以sinθcosθ=<0，所以m=.………8分所以所以………………12分又因?yàn)?lt;θ<2π，所以θ=.……………14分趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第43~44頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第22課同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式一、填空題1.(2015·福建卷)若sinα=-，且α為第四象限角，則tanα的值為.2.已知α是第二象限角，那么-sinα=.3.若α為鈍角，且sinα=，則tanα=.4.已知tanα=-2，那么sinα=.5.已知sinα-cosα=，α∈(0，π)，那么tanα=.6.若sinθ=，cosθ=，則m=，tanθ=.7.若α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=，則tanα=.8.化簡(jiǎn)：=.二、解答題9.已知α是第四象限角，化簡(jiǎn)：+.10.已知關(guān)于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦值，求實(shí)數(shù)m的值.11.求證：=.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.已知0<α<，若cosα-sinα=-，求的值.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第22課同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式1.-【解析】由sinα=-，且α為第四象限角，得cosα==，則tanα==-.2.03.-【解析】因?yàn)棣翞殁g角，且sinα=，所以cosα=，所以tanα=-.4.±【解析】由tanα=-2，得=-2，所以sinα=-2cosα.又sin2α+cos2α=1，所以sin2α+=1，所以sin2α=，所以sinα=±.5.-1【解析】由sinα-cosα=，得1-2sinαcosα=2，所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=0，所以sinα=-cosα，所以tanα=-1.6.0或8-或-【解析】由+=1，得4m2-32m=0，解得m=0或8.當(dāng)m=0時(shí)，sinθ=-，cosθ=，tanθ=-；當(dāng)m=8時(shí)，sinθ=，cosθ=-，tanθ=-.7.-【解析】由sinα+cosα=，及sin2α+cos2α=1，得25sin2α-5sinα-12=0，因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角，所以sinα=，cosα=-，tanα=-.8.-1【解析】原式=====-1.9.因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，所以sinα<0，cosα>0.原式=+=+=+=+=-.10.設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α，β，則有α+β=，所以cosα=sinβ.在方程4x2-2(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.又因?yàn)閏osα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβ·cosβ=，所以由以上兩式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.當(dāng)m=時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意；當(dāng)m=-時(shí)，cosα+co