（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第27課 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第27課三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修4P37例1改編)函數(shù)y=sin的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】(k∈Z)【解析】令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).2.(必修4P33例4改編)函數(shù)y=tan的定義域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)?2x≠kπ+，則x≠--(k∈Z)，所以定義域?yàn)?3.(必修4P32練習(xí)6改編)函數(shù)y=cos的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】(k∈Z)【解析】令-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z)，得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，故所求單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).4.(必修4P32習(xí)題5改編)函數(shù)y=2sinx的值域?yàn)?【答案】[1，2]【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值1；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最大值2.5.(必修4P30例2改編)設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx-1的最大值和最小值，則M+m=.【答案】-2【解析】因?yàn)?1≤cosx≤1，所以-≤cosx-1≤-.所以M=-，m=-.所以M+m=-2.正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)解析式y(tǒng)=sinxy=cosxy=tanx定義域RR值域[-1，1][-1，1]R零點(diǎn)x=kπ，k∈Zx=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z對(duì)稱(chēng)軸x=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z無(wú)周期性T=2πT=2πT=π單調(diào)增區(qū)間 (k∈Z)[2kπ-π，2kπ](k∈Z)(k∈Z)單調(diào)減區(qū)間 (k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)無(wú)【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破三角函數(shù)的定義域與值域例1(1)函數(shù)y=+lg(2sinx-1)的定義域?yàn)?(2)函數(shù)y=的值域?yàn)?【思維引導(dǎo)】(1)函數(shù)有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，真數(shù)大于0，以及分母非零.(2)本小題是由三角函數(shù)構(gòu)成的一次分式函數(shù)，考查三角函數(shù)與一次分式函數(shù)的性質(zhì)，可以利用sinx的有界性和一次分式函數(shù)y=的有關(guān)性質(zhì)求解.【答案】(1)(k∈Z)(2)【解析】(1)由題意得解得所以即x∈(k∈Z).(2)因?yàn)閥==1-，所以當(dāng)sinx=-1時(shí)，ymin=1+=，所以值域?yàn)?【精要點(diǎn)評(píng)】(1)通過(guò)列不等式組得到關(guān)于x的不等式，即可求出函數(shù)的定義域.(2)還可以將sinx表示為y的函數(shù)：sinx=(y≠1)，利用sinx的有界性，即可得到-1≤<1，從而求出y的取值范圍.變式(1)函數(shù)y=lgsinx+的定義域?yàn)?(2)函數(shù)y=的值域?yàn)?【答案】(1)(2)∪[3，+∞)【解析】(1)由2kπ<x≤+2kπ，k∈Z.(2)方法一：易得y==1+.因?yàn)?1≤cosx≤1，所以y≤或y≥3，故函數(shù)的值域?yàn)椤萚3，+∞).方法二：由題意得cosx=.因?yàn)?1≤cosx≤1，所以-1≤≤1，解得y≤或y≥3，所以函數(shù)的值域?yàn)椤萚3，+∞).例2求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.【思維引導(dǎo)】注意到sinx+cosx與sinxcosx兩者之間的關(guān)系，可設(shè)sinx+cosx=t，則有sinxcosx=，從而得到關(guān)于t的二次函數(shù)，注意變量t的取值范圍.【解答】設(shè)sinx+cosx=t，-≤t≤，且sinxcosx=，所以y=+t==，所以當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-1；當(dāng)t=時(shí)，ymax=+.故所求函數(shù)的值域?yàn)?【精要點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)值域的常用方法有：①將函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)的形式，然后根據(jù)定義域求出值域即可；②采用反函數(shù)法，利用sinx和cosx的有界性求值域；③采用換元法，轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求解，但應(yīng)特別注意所換新元的范圍.變式函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值和最小值分別是.【答案】，1【解析】由題知y=-2+，因?yàn)椤躼≤，所以≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=時(shí)，ymax=；當(dāng)sinx=1時(shí)，ymin=1.三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3已知向量a=，b=(sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值.【思維引導(dǎo)】先將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，然后再求解.【解答】(1)f(x)=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，則-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).(3)當(dāng)x∈時(shí)，2x-，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最小值f(0)=-；當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最大值f=1.所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1，-.【精要點(diǎn)評(píng)】一般地，此類(lèi)問(wèn)題需要把較為復(fù)雜的三角函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+C的形式，然后再求周期、最值或單調(diào)區(qū)間等.其中最小正周期T=，單調(diào)區(qū)間與相應(yīng)正弦(或余弦、正切)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，求最值時(shí)可借助三角函數(shù)的圖象.變式已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，且其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=.(1)求φ的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解答】(1)因?yàn)閤=是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以sin=±1.所以+φ=kπ+，k∈Z.因?yàn)?π<φ<0，所以φ=-.(2)由(1)知φ=-，所以f(x)=sin.令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.1.函數(shù)y=|sinx|的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】(k∈Z)【解析】作出y=|sinx|的圖象，由圖象可知，單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).2.函數(shù)y=2sin2x-3sin2x的最大值是.【答案】+1【解析】y=2×-3sin2x=-cos2x-3sin2x+1=-sin(2x+φ)+1，所以函數(shù)的最大值為+1.3.函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值是.【答案】-4.(2015·南通二調(diào))若函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，則實(shí)數(shù)ω的值為.【答案】【解析】由題意得·=2，解得ω=.5.(2015·南通期末)已知函數(shù)f(x)=sin，若y=f(x-φ)是偶函數(shù)，則φ=.【答案】【解析】f(x-φ)=sin=sin.因?yàn)閥=f(x-φ)是偶函數(shù)，所以-2φ=+kπ(k∈Z)，所以φ=--.又因?yàn)?<φ<，所以φ=.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第53~54頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第27課三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、填空題1.函數(shù)y=的定義域?yàn)?2.函數(shù)y=tan的定義域?yàn)?3.函數(shù)y=的值域?yàn)?4.若函數(shù)f(x)=2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值為，則ω=.5.(2014·蘇州調(diào)研)若函數(shù)f(x)=sin(x+θ)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，則θ=.6.函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期是.7.已知當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin，給出下列命題：①f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)；②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③f(x)的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)；④把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象.其中正確的命題是.(填序號(hào))二、解答題9.(2014·福建卷)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<，且sinα=，求f(α)的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.10.(2015·北京卷)已知函數(shù)f(x)=sinx-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最小值.11.已知函數(shù)f(x)=a+b.(1)若a=-1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇5，8]，求a，b的值.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.若函數(shù)y=cos(ω∈N*)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則ω的最小值為.13.已知函數(shù)y=sin在區(qū)間[0，t]上至少取得兩次最大值，則正整數(shù)t的最小值為.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第27課三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.，k∈Z【解析】由cosx-≥0，得cosx≥，所以2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z.2.【解析】因?yàn)?x≠kπ+，k∈Z，所以x≠-kπ-，k∈Z，即x≠kπ-，k∈Z.3.【解析】由y=得cosx=，所以≤1，即(y-2)2≤(y-1)2，解得y≥.4.【解析】由0≤x≤，得0≤ωx≤<，則f(x)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值為，所以2sin=，且0<<，所以=，即ω=.5.【解析】因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，所以sin=±1，而0<θ<，所以θ=.6.π7.-8.③④【解析】對(duì)于①，f=sin=sin=，不是最值，所以x=不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故該命題錯(cuò)誤；對(duì)于②，f=sin=1≠0，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心，故該命題錯(cuò)誤；對(duì)于③，函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π，當(dāng)x∈時(shí)，令t=2x+，顯然函數(shù)y=sint在上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，所以該命題正確；對(duì)于④，把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin=sin2x，是奇函數(shù)，所以該命題正確.故填③④.9.(1)因?yàn)?<α<，sinα=，所以cosα=，所以f(α)=×-=.(2)因?yàn)閒(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin，所以f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.10.(1)因?yàn)閒(x)=sinx+cosx-=2sin-，所以f(x)的最小正周期為2π.(2)因?yàn)?≤x≤，所以≤x+≤π.當(dāng)x+=π，即x=時(shí)，f(x)取得最小值.所以f(x)在區(qū)間上的最小值為f=-.11.f(x)=a(1+cosx+sinx)+b=asin+a+b.(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=-sin+b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z)，得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)，所