2023-2024學年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

2023-2024學年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學九年級（上）期中數(shù)學

試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）.

I.（4分）8的倒數(shù)是（）

A.-8B.8C.—D.1

88

2.（4分）下列南開中學建筑簡圖中，是軸對稱圖形的是（)

。

圖

書館

口

口

口

3.（4分）如圖，△ABC與ADEF位似,點。為位似中心，位似比為1：2,BC=2,則

EF的長度為（）

4.（4分）下列計算正確的是（）

A.x+x2=xiB.(a+1)a=a1+\

C.2x+3y=5xyD.

5.（4分）估計（2加-&）+的值應在（）

A.0和1之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

6.（4分）如圖，用圓圈按照一定的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案有5個圓圈，第②個圖

案有8個圓圈，第③個圖案有11個圓圈，…，按此規(guī)律拼下去，則第⑧個圖案中圓圈的

7.（4分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段,

中間有個方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方

圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的山，中間有一塊正方形水池，

測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠.如

果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了.如圖，設正方形的

邊長是x步，則列出的方程是（）

8.（4分）如圖，拋物線y=ox2+%x+c的對稱軸為直線1=2,與x軸的一個交點坐標為（3,

0）,下列說法：①46c>0；②4“+匕=0；③c=3a；④若點弓，y］），（4,y2）在拋

物線上，則力〈”.其中正確的個數(shù)為（)

y

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.（4分）如圖，正方形ABCQ的邊長為4,E為CD邊中點,G為BC邊上一點，連接AE,

DG,相交于點￡若典則FE的長度是（）

A.B.C.—D.—

9727

10.（4分）在多項式a-He-d-e中，任選兩個字母，在兩側(cè)加括號，稱為第一輪“加

括號操作”.例如,選擇b,d進行“加括號操作”，得到a-（b+c-d）-e=a-b-c+d

-e.在第一輪''加括號操作”后的式子中進行同樣的操作，稱為第二輪“加括號操作”，

按此方法，進行第〃（〃21）輪“加括號操作”.以下說法：

①存在某種第一輪“加括號操作”的結(jié)果與原多項式相等；

②總存在第k（左21）輪“加括號操作”，使得結(jié)果與原多項式的和為0;

③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結(jié)果.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將正確答案直接填寫在答題卡

中對應的橫線

11.（4分）計算：|&-11+3°=.

12.（4分）若五邊形的內(nèi)角中有一個角為60°,則其余四個內(nèi)角之和為.

13.（4分）有四張完全一樣正面分別寫有漢字“我”“愛”“南”“開”的卡片，將其背

面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回.洗勻后再從中隨機

抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率

是.

14.（4分）如圖，和都是等腰直角三角形，NBAC=ND4E=90°,。是

BC上一點，連接CE.若研=2m，BD=l,則DE的長度為.

15.（4分）如圖，點A是反比例函數(shù)y1上（x>0）圖象上的一點，過點A作軸于

x

點。，點C為x軸負半軸上一點且滿足。。=2OC,連接AC交y軸于點B,連接A。，

若SABOA=2,則k的值為.

x+a<2x+5

16.（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組12+x、至少有4個整數(shù)解，且關(guān)于），的

1^2L>X-2

分式方程汩-=1-7的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和

1-yy-1

為.

17.（4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E是C。的中點，連接AE,將△AOE沿AE

折疊得△AFE,連接BD,分別交AF于點M,交AE于點N、若AF±CD于點G,股=我，

A

則AN的長度為

18.(4分)如果一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位自然數(shù)abed(c#d)，滿足2(a-b)

=c+",則稱這個四位數(shù)為“倍差等和數(shù)”.例如：四位數(shù)5171,???7W1,2X(5-1)

=7+1,二5171是“倍差等和數(shù)”；又如：四位數(shù)6321,；2義(6-3)=2+1,A6321

不是“倍差等和數(shù)”.最大的“倍差等和數(shù)”為；將“倍差等和數(shù)”用=有

的個位數(shù)字去掉后得到一個三位數(shù)，該三位數(shù)和M的個位數(shù)之差能被7整除，令G(M)

=c'-a-d+b,若為整數(shù)，則滿足條件的數(shù)M的最小值為.

三、解答題：(本大題2個小題，19題8分，20題10分，共18分)解答時每小題必須給

出必要的演算過程

19.(8分)計算：

(1)(x+1)(x-1)(2-x)；

(2)

Ua+4,-a+4

20.如圖，四邊形4BC。是平行四邊形，BO是對角線.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在邊A。的下方作射線AE,使/DAE=/1,射線4E

分別交于點O,交BC的延長線于點E,連接￡>￡.(只保留作圖痕跡)

(2)在(1)所作的圖形中，證明：AB=DE.(請完成下面的填空)

證明：???四邊形ABCO是平行四邊形，

；?①,

NDAE=ZAEB,NADB=②，

\"Z\=ZDAE,

：.③，ZADB=ZDAE,

：.OB=OE,④，

<.,⑤，

：.^ABO^ADEO(SAS),

：.AB=DE.

AD

四、解答題：（本大題6個小題，每小題10分，共60分）解答時每小題必須給出必要的

演算過程或推理步

21.今年是“一帶一路”倡議提出的10周年，為加深群眾對該戰(zhàn)略精神的認識，幫助大家

了解沿線國家風土人情和合作發(fā)展成果，小南聯(lián)合社區(qū)黨員在甲、乙兩小區(qū)開展了“一

帶一路”宣講活動，并圍繞宣講內(nèi)容進行了問卷競答.從甲、乙兩小區(qū)中各隨機抽取20

份問卷競答成績（成績均為整數(shù)，滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和

分析，下面給出了部分信息：

抽取的乙小區(qū)不含7分及8分的所有競答成績：6,6,6,6,6,6,9,10,10.

甲乙小區(qū)競答成績統(tǒng)計表

小區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

甲7.75a940%

乙7.457.5bm

根據(jù)以上.信息，解答下列問題；

（1）請?zhí)羁眨篴=,b=,m=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為甲、乙兩小區(qū)的競答成績誰更好？請說明理由（寫出一條理

由即可）;

（3）若甲小區(qū)收回200份競答問卷，乙小區(qū)收回180份競答問卷，估計這些問卷中兩小

區(qū)競答成績?yōu)閮?yōu)秀的總份數(shù)是多少？

甲小區(qū)競答成績折線統(tǒng)計圖

22.小南從北關(guān)中學返回天津前，用300元購入青蓮紫筆記本和鐵藝胸針兩種紀念品若干,

其中青蓮紫筆記本總費用比鐵藝胸針總費用的2倍少60元.

(1)求購買青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的總費用各為多少元？

(2)小南發(fā)現(xiàn)，兩種紀念品的單價和為10元，青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的數(shù)量相同，

請幫助他算出紀念品的總個數(shù).

23.如圖1,在梯形ABCC中，ZA=ZB=90°,AB=6,BC=2AD=S,點E在邊4B上

且AE=2.動點P,Q同時從點E出發(fā)，點P以每秒1個單位長度沿折線E-A-D方向

運動到點。停止，點Q以每秒2個單位長度沿折線E-B-C方向運動到點C停止.設

運動時間為r秒，XPQC的面積為y.

(1)請直接寫出y關(guān)于f的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；

(2)如圖2,在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性

質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出△PQC的面積大于15時的t的取值范

圍.

36?~~i—T--1—?—?

?????

圖1圖2

24.校慶期間，小南同學從天津到北關(guān)中學瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事.他

從沙坪壩火車站出站后，導航給出兩條線路，如圖：①A-E-O-M；②A-B-C-M.經(jīng)

勘測，點E在點A的北偏西45°方向400&米處，點。在點E的正北方向200米處，

點M在點。的正東方向250米處，點8在點E的正東方向，且在點A的北偏東30°方

向，點C在點。的正東方向，且在點B的北偏西37°方向.

(1)求防的長度；(結(jié)果保留根號)

(2)由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明

他應該選擇線路①還是線路②？(參考數(shù)據(jù)&弋1.41,百gL73,sin37°弋0.6,cos37°

M).8,tan37°心0.75)

25.如圖，在平面直角坐標系中，直線yXlx-3與拋物線了=2乂20③X+C交于

33

B(2A/3,b)>C兩點，與x軸交于點A.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點尸是直線4c下方拋物線上的一動點，過點P作尸￡>〃AC交y軸于點。，求CD^PD

的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，將該拋物線沿射線AC方向平移2個單位長度，點例為平移后

的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點M使得A,P,M,N為頂點的四邊形是

菱形，請寫出所有滿足條件的點N的坐標，并寫出其中一個點N的坐標的求解過程.

26.在△ABC中，ZACB=90°,。是8c上一點.

(1)如圖1，E是A8中點，tanNBCE=1，CE=5,皿=3遙，求線段8。的長度；

(2)如圖2,CA=CB,點F在線段A。上，將線段CF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線

段CG,連接8G,交AC于點“，當NC4O=2/ABG時，試猜想AF與CH的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點用在CF上，點N在CG上，F(xiàn)M=CN,連接MW,

若CF=2A/7，直接寫出&MN+NG的最小值?

圖1圖2圖3

2023-2024學年重慶市沙坪壩區(qū)南開中學九年級（上）期中數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）

1.（4分）8的倒數(shù)是（）

A.-8B.8C.—D.——

88

【分析】利用倒數(shù)的定義判斷即可.

解:8的倒數(shù)是看，

故選：C.

【點評】此題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.（4分）下列南開中學建筑簡圖中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做

軸對稱圖形，由此即可判斷.

解：4、B、C中的圖形不是軸對稱圖形，故A、B、C不符合題意；

。中的圖形是軸對稱圖形，故D符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義.

3.（4分）如圖，ZSABC與△OE尸位似，點。為位似中心，位似比為1：2,BC=2,則

EF的長度為（）

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABCs/XOEF,相似比為1：2,然后根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)求解.

解：:△ABC與△QEF位似，點。為位似中心，位似比為1：2,

:.MBCSADEF,相似比為1：2,

EF=\：2,

即2：EF=l：2,

解得EF=4,

即EF的長度為4.

故選:B.

【點評】本題考查了位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線

相交于一點；位似比等于相似比.

4.（4分）下列計算正確的是（）

A.x+x2—^B.（a+1）a—a2+l

C.2r+3y=5盯D.b*b2=h-i

【分析】利用合并同類項的法則，單項式乘多項式，同底數(shù)幕的乘法的法則對各項進行

運算即可.

解：4、不能計算，故A不符合題意；

B、（4+1）a—a2+a,故B不符合題意；

C、2x+3y不能計算，故C不符合題意；

D、b'b2=b\故。符合題意;

故選：D.

【點評】本題主要考查合并同類項，單項式乘多項式，同底數(shù)事的乘法，解答的關(guān)鍵是

對相應的運算法則的掌握.

5.（4分）估計（2遍短）?&的值應在（)

A.0和1之間B.I和2之間C.2和3之間D.3和4之間

【分析】先將原式進行計算，然后進行估算即可.

解：原式=2料-1=0工-1,

V9<12<16,

工3<任<4,

?'?2<V72-1<3,

即原式的值在2和3之間，

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的運算及無理數(shù)的估算，將原式進行正確的計算是解題的關(guān)

鍵.

6.（4分）如圖，用圓圈按照一定的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案有5個圓圈，第②個圖

案有8個圓圈，第③個圖案有11個圓圈，…，按此規(guī)律拼下去，則第⑧個圖案中圓圈的

個數(shù)為（）

①②③

A.20B.23C.26D.29

【分析】根據(jù)前3個圖中的個數(shù)找到規(guī)律，再求解.

解：第①個圖案中有2+lX3=5個圓圈，

第②個圖案中有2+2X3=8個圓圈，

第③個圖案中有2+3X3=11個圓圈，

…,

則第⑧個圖案中圓圈的個數(shù)為：2+8X3=26,

故選：C.

【點評】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，找到變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段,

中間有個方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方

圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，

測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠.如

果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了.如圖，設正方形的

邊長是x步，則列出的方程是（）

A.IT（x+3）2-N=72B.兀華+3）2-X2=72

C.TT（X+3）2-/=36D.K（y+3）2-x2=36

【分析】直接利用圓的面積減去正方形面積，進而得出答案.

解：設正方形的邊長是x步，則列出的方程是：n（1^3）2-^=72.

故選：B.

【點評】此題主要考查了垂徑定理的應用、正方形的性質(zhì)以及由實際問題抽象出一元二

次方程，正確表示出圓的面積是解題關(guān)鍵.

8.（4分）如圖，拋物線y=or2+法+c的對稱軸為直線犬=2,與x軸的一個交點坐標為（3,

0）,下列說法：①昉c>0；②44+6=0；③c=3a；④若點皮，y］），（4,中）在拋

物線上，則》<以.其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則岫＜0,00,即可求解;

②拋物線的對稱性為直線x=2=即可求解；

2a

③由拋物線的對稱性知，其和x軸的另外一個交點的坐標為：（3,0）,即可求解；

④點皮，離對稱軸的距離小于（4,力）離對稱軸的距離，故）“＜也?

解：①拋物線的對稱軸在），軸右側(cè)，則必＜0,c＞0,故"c＜0,故①錯誤，不符合題

忌；

②拋物線的對稱性為直線x=2=-裊，則匕=-4a,故②正確，符合題意；

2a

③由拋物線的對稱性知，其和x軸的另外一個交點的坐標為：（3,0）,

則拋物線的表達式為：y=a（x-1）（x-3）=a（JC2-4x+3）,

當x=0時，y—3a—c,故③正確，符合題意；

④點育，離對稱軸的距離小于（4,經(jīng)）離對稱軸的距離，故力＜＞2,符合題意；

故選：C.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和系數(shù)

的關(guān)系的應用，注意：當。＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，當〃＜0時，二次函數(shù)的

圖象開口向下.

9.（4分）如圖，正方形A8CD的邊長為4,E為CD邊中點,G為BC邊上一點，連接AE,

DG,相交于點F.若冬=含，則在的長度是（）

FG5

A.B.C.—D.—

9727

【分析】作交CZ）于H,則果=與=去根據(jù)E為CD邊中點，得黑=《

HCFG5ED9

再根據(jù)FH〃AO,得景喘得，根據(jù)勾股定理得AE=2代，所以所=2緡.

解：如圖，作FH〃BC交8于H,

則四=m=士

HCFG5

為C。邊中點，

?HE1

ED9

"."FH//AD,

.FE=HE=1

??市一應F

：AE=^4^+22=，

:.FE=^^

9

故選：A.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，正方形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例是

解題的關(guān)鍵.

10.（4分）在多項式a-6+c-4-e中，任選兩個字母，在兩側(cè)加括號，稱為第一輪“加

括號操作”.例如，選擇4d進行''加括號操作"，得到a-（b+c-d）-e^a-b-c+d

-e.在第一輪“加括號操作”后的式子中進行同樣的操作，稱為第二輪“加括號操作”，

按此方法，進行第，？5）1）輪“加括號操作”.以下說法：

①存在某種第一輪“加括號操作”的結(jié)果與原多項式相等；

②總存在第ka》i）輪“加括號操作”，使得結(jié)果與原多項式的和為o；

③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結(jié)果.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據(jù)說法舉出例子論證，以證明其正確與否.

解：①題目中說存在著一個式子第一輪“加括號操作”的結(jié)果與原多項式相等，

舉出正例：選擇c、e進行“加括號操作”得到a-匕+（c-d-e）—a-b+c-d-e,與原

多項式相等，

故說法正確；

②總存在第火(⑶)輪"加括號操作”，使得結(jié)果與原多項式的和為0,

:無論選擇哪兩個字母，。的正負是不發(fā)生改變的，

...任何一輪“加括號操作”與原多項式相加是無法消去〃的，

...存在第k(^1)輪“加括號操作”，使得結(jié)果與原多項式的和為0是錯誤的；

③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結(jié)果，

舉出反例：選擇方、e進行“加括號操作"，得到a-(b+c-d-e)—a-b-c+d+e,

選擇8、d進行“加括號操作"，得到a-(b+c-d)-e—a-b-c+d-e,

選擇b、c進行“加括號操作"，得到a-(b+c)-d-e=a-b-c-d-e,

選擇c、e進行“加括號操作"，得至a-b+(c-d-e)=a-b+c-d-e,

選擇“、e進行”加括號操作"，得到4-b+c-(d-e)—a-b+c-d+e,

結(jié)果大于四種，故說法錯誤，

故選B.

【點評】本題考查了推理能力，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)其說法舉出相應的正例跟反例.

二、填空題：(本大題8個小題，每小題4分，共32分)請將正確答案直接填寫在答題卡

中對應的橫線

11.(4分)計算：|&-11+30=_a

【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

解：172-11+3°

=&-1+1

=&,

故答案為：

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)幕，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

12.(4分)若五邊形的內(nèi)角中有一個角為60°,則其余四個內(nèi)角之和為480。.

【分析】根據(jù)已知條件，利用多邊形的內(nèi)角和公式列式計算即可.

解：(5-2)X1800-60°

=540°-60°

=480°,

故答案為：480°.

【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

13.（4分）有四張完全一樣正面分別寫有漢字“我”“愛”“南”“開”的卡片，將其背

面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回.洗勻后再從中隨機

抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率是《.

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”

和“開”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

解：畫樹狀圖如下：

開始

我愛南開我愛南開我愛南開我愛南開

共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的結(jié)果有

2種，

，抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率為三=《.

168

故答案為：

O

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答

本題的關(guān)鍵.

14.（4分）如圖，AABC和△AQE都是等腰直角三角形，NBAC=/D4E=90°,。是

8C上一點，連接CE.若杷=2&，BD=1,則的長度為_/元_.

A

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB=AC,NB=NAC8=45°,AD=AE,BC

=料48=4,則NBAO=NCAE,利用SAS證明△48。絲△ACE,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得出/ACE=45°,CE=\,則NDCE=90°,根據(jù)勾股定理求解即可.

解：；aABC和△AOE都是等腰直角三角形，NBAC=ND4E=90°,

：.AB=AC,ZB=ZACB=45°,AD=AE,

：.NBAD=/CAE,

在△AB。和△ACE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

AD=AE

A（SAS）,

.*.ZB=ZACE=45°,BD=CE=l,

：.ZDCE=NAC8+N4cE=90°,

；△ABC是等腰直角三角形，AB=2近,

:.BC=?1AB=4,

：.CD=BC-BD=3,

?*-O￡=VCD2-K：E2=：V32+12=VW>

故答案為：Vio-

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟

記全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（4分）如圖，點A是反比例函數(shù)y」L（x〉0）圖象上的一點，過點A作AO_Lx軸于

x

點。，點C為x軸負半軸上一點且滿足OO=2OC,連接AC交y軸于點8,連接AO,

若S&BOA=2,則k的值為12.

【分析】先求得4D=3OB,即可求得S?OO=3S?OB=6,然后利用反比例函數(shù)系數(shù)k

的幾何意義即可求得％的值.

解：???ADLc軸于點Q,

：.AD//y^,

：./\COB^/\CDA,

.OBCO_1

,*AD=CD-T

???3OB=A。，

?"SAAOD=3&AOB=6,

'?S^AOD—^k,

:.k=12,

故答案為：12.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標

特征，得到關(guān)于火的方程是解題的關(guān)鍵.

x+a〈2x+5

16.（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組J2+x、至少有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的

分式方程各二包口二7的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為一

1-yy-1

4.

【分析】不等式組整理后，根據(jù)至少有4個整數(shù)解，確定出。的范圍，再由分式方程解

為非負數(shù)，確定出滿足題意整數(shù)。的值，求出之和即可.

'Y>

解：不等式組整理得：/，

x<2

解得：a-5<x^2,

???不等式組至少有4個整數(shù)解，即-1,0,1,2,

?二。-5V-1,

解得：〃V4,

分式方程去分母得：2y-a=\-y+4,

解得：尸弩，

分式方程解為非負數(shù)，

二要>0且等九

解得：〃2-5且〃2-2,

??a的范圍是-5W〃V4且-2,

則整數(shù)解為-5,1,之和為-4.

故答案為：-4.

【點評】此題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式組，一元一

次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.

17.（4分）如圖，四邊形ABC￡＞是菱形，點E是CD的中點，連接AE,將△ADE沿AE

折疊得連接BD,分別交AF于點M,交AE于點N、若AF±CD于點G,那八歷，

A

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，得出/4NM的度數(shù)，然后連接AC,FN,

構(gòu)造與已知線段有關(guān)的平行線分線段成比例，最后連接FC和尸。，通過等腰直角三角形

的性質(zhì)，得出OA和FN的數(shù)量關(guān)系，從而求出AN的長度.

解：連接AC交8。于O,連接CF,DF,NF,過C作NF垂線，交NF于點H,如圖：

由折疊的性質(zhì)可知：FN=DN,DE=EF,ZFAE^ZDAE,NDNE=NFNE,

由菱形的性質(zhì)可知：OA=OC,ACLBD,NADB=NCDB,

在△AOG中，NAG￡）=90°,ZADG+ZAGD+ZGAD=]80°,

AZADG+ZGAD=90°,

AZNAD+ZADN^—ZADG+—ZGAD^45Q,

22

/ANM=NM4D+/4￡W=45°,

...△AON為等腰直角三角形,

：.AO=ON,

又,：/DNE=NANM=45°,

.".ZDNF=90°,

：.FNLBD,

：.AC//FN,

又：OA=OC=ON,CHLFN,

四邊形C”NM為正方形，

:.NH=OC=ON,

,:EF=DE,E是CD中點，

J.CFVDF,

,:DN=FN,FNLBD,

???△DFW也是等腰直角三角形,

：.ZDFN=45°,

：.ZCFH=45°,

:?CH=FH,

：.FN=2ON=2OAf

\*AO//FN,

.AO=OM=1

??麗―而―,'

:.OM=LMN=^

22

：.ON=^^~,

2

:.AN=?0N=3.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成

比例，難度中檔，繪制合理的輔助線是本題解題的關(guān)鍵.

18.(4分)如果一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為。的四位自然數(shù)忘,滿足2(4-b)

=c+d,則稱這個四位數(shù)為“倍差等和數(shù)”.例如:四位數(shù)5171,???7WL2X(5-1)

=7+1,；.5171是“倍差等和數(shù)”；又如:四位數(shù)6321,V2X(6-3)=2+1,A6321

不是“倍差等和數(shù)”.最大的“倍差等和數(shù)”為9731；將“倍差等和數(shù)"M=abcd

的個位數(shù)字去掉后得到一個三位數(shù)，該三位數(shù)和M的個位數(shù)之差能被7整除，令G(M)

=c'-a-d+h,若為整數(shù)，則滿足條件的數(shù)M的最小值為5331

【分析】當“倍差等和數(shù)”為最大時，最高數(shù)位只能為9,分析討論即可的結(jié)論；若焉y

為整數(shù)，根據(jù)已知條件分析討論即可.

解：當“倍差等和數(shù)”為最大時，

則最高位上a=9,

設b=8則c+d=2(4-b)=2,

?:盡d,

舍去，

此時設b=7.則c+d=4,

則c=3,d=l時最大，

此時四位數(shù)為9731；

：.G(M)=1或2或3或4或6或12,

V2(。-b)=c+d,

:?G(M)=c2-a-d2+h=c2-d2-(a-b)=(c+d)(c-d)-(a-b)=(2c

2J-1)Qa-b),

-2c-2d-1為奇數(shù)，

：.G(M)是偶數(shù)，排除1、3兩種可能，

①當G(M)=2時，a-b=\,2c-2d-1=2,

，c+d=2(a-b)=2,c-d=l,c=l,不合題意舍去，

②當G(M)=4時，若〃-0=2,2c-2d-1=1,

則c+d=4,c-d=\,(不合題意舍去)，

③G(M)=6時，若a-h=1,2c-2d-1=3,

則c+d=2,c-d=2,

：：.c=2,d=0,(不合題意舍去)，

若a-h=3,2c-2d-1=1.

則c+d=6,c-d=l,

得，(不合題意舍去)，

④當G(M)=12時，

若a-b=2,2c-2d-\=3,

貝ijc+d=4,c-d=2,c=3,d=l,

若a-b=6,2c-2d-1=1則c+d=12,c-d=1,(不合題意舍去)，

綜上所述c、d只有一種可能即c=3,d=l,

此時a-b=2,

設4=3,b=l此時abc-J=313-1=312,不能被7整除舍去，

設a=4,b—2此時abc-d=423-1=422不能被7整除舍去，

設〃=5,h=3,此時abc-4=533-1=532,

.??532+7=76,能被7整除，

.?.M的最小值為:5331,

故答案為：9731,5331.

【點評】本題考查整式的加減，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，分析討論確定〃、反以d的范

圍是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題2個小題，19題8分，20題10分，共18分）解答時每小題必須給

出必要的演算過程

19.（8分）計算:

(1)(x+1)(x-1)+x(2-x)；

⑵(T、.a2-6a+9

a+4a+4

【分析】（1）先展開，再合并同類項即可:

（2）先通分算括號內(nèi)的，把除化為乘，再分解因式約分.

解：（1）原式=/-1+2X-N

=2x-1；

（2）原式=a+4-7a+4

a+4(a-3)2

a~3a+4

a+4(a-3)2

1

a-3

【點評】本題考查整式，分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則和分

式的基本性質(zhì).

20.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，8。是對角線.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在邊的下方作射線AE,使ND4E=N1,射線AE

分別交8D于點O,交8c的延長線于點E,連接（只保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖形中，證明：AB=DE.（請完成下面的填空）

證明：二?四邊形ABC。是平行四邊形，

KDIIBC①,

/DAE=/AEB,ZADB=N1②,

Zl=ZDAE,

N1=NAE3③,ZADB=ZDAEt

OB=OE,OA=OD?,

/AOB=/DOE⑤,

/\ABO^/\DEO(SAS),

AB=DE.

【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法作NZME=N1即可.

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定可得答案.

【解答】（1）解：如圖，射線AE即為所求.

(2)證明：???四邊形A8CQ是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB9ZADB=Z1,

VZ1=ZDAE,

：.Z\=ZAEB,ZADB=ZDAEf

：.OB=OE,OA=ODf

???NAOB=/DOE,

：./\ABO^ADEO(SAS),

：.AB=DE,

故答案為：?AD//BC-,②Nl；?Z1=ZAEB；④0A=。。；⑤NAOB=NDOE.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

四、解答題：（本大題6個小題，每小題10分，共60分）解答時每小題必須給出必要的

演算過程或推理步

21.今年是“一帶一路”倡議提出的10周年，為加深群眾對該戰(zhàn)略精神的認識，幫助大家

了解沿線國家風土人情和合作發(fā)展成果，小南聯(lián)合社區(qū)黨員在甲、乙兩小區(qū)開展了“一

帶一路”宣講活動，并圍繞宣講內(nèi)容進行了問卷競答.從甲、乙兩小區(qū)中各隨機抽取20

份問卷競答成績（成績均為整數(shù)，滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和

分析，下面給出了部分信息：

抽取的乙小區(qū)不含7分及8分的所有競答成績：6,6,6,6,6,6,9,10,10.

甲乙小區(qū)競答成績統(tǒng)計表

小區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

甲7.75a940%

乙7.457.5bm

根據(jù)以上.信息，解答下列問題；

（1）請?zhí)羁眨篴=8,b=6,m=15；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為甲、乙兩小區(qū)的競答成績誰更好？請說明理由（寫出一條理

由即可）；

（3）若甲小區(qū)收回200份競答問卷，乙小區(qū)收回180份競答問卷，估計這些問卷中兩小

區(qū)競答成績?yōu)閮?yōu)秀的總份數(shù)是多少？

甲小區(qū)競答成績折線統(tǒng)計圖

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率的意義求解即可：

（2）從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率的比較可得答案；

（3）分別計算甲小區(qū)和乙小區(qū)收回的競答問卷乘以優(yōu)秀率即可.

解：（1）甲小區(qū)競答成績從小到大排列處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為等=8,因

此中位數(shù)是8,即。=8,

乙小區(qū)競答成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是6分，因此眾數(shù)是6,即匕=6,

乙小區(qū)的優(yōu)秀率為父-義100%=15%,即%=15；

20

故答案為：8,6,15；

（2）我認為甲小區(qū)的競答成績更好，

理由如下：因為甲、乙兩小區(qū)的競答成績中，甲小區(qū)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率

都大于乙小區(qū)，因此我認為甲小區(qū)的競答成績更好；

（3）200X40%+180X15%=107（份），

答：估計這些問卷中兩小區(qū)競答成績?yōu)閮?yōu)秀的總份數(shù)是107份.

【點評】本題考查折線統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及用樣本估計總體，理解統(tǒng)計

圖中數(shù)量之間的關(guān)系是正確計算的前提，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是得出正確答案

的關(guān)鍵.

22.小南從北關(guān)中學返回天津前，用300元購入青蓮紫筆記本和鐵藝胸針兩種紀念品若干，

其中青蓮紫筆記本總費用比鐵藝胸針總費用的2倍少60元.

（1）求購買青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的總費用各為多少元？

（2）小南發(fā)現(xiàn)，兩種紀念品的單價和為10元，青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的數(shù)量相同，

請幫助他算出紀念品的總個數(shù).

【分析】（1）設購買鐵藝胸針的總費用是x元，則購買青蓮紫筆記本的總費用是（2%-

60）元，根據(jù)購買兩種紀念品的總費用為300元，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之

可求出購買鐵藝胸針的總費用，再將其代入（2%-60）中，即可求出購買青蓮紫筆記本

的總費用：

（2）設購買y本青蓮紫筆記本，則購買y個鐵藝胸針，利用單價=總價+數(shù)量，結(jié)合兩

種紀念品的單價和為10元，可列出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出〉的值，

再將其代入2y中，即可求出結(jié)論.

解：（1）設購買鐵藝胸針的總費用是x元，則購買青蓮紫筆記本的總費用是（2x-60）

兀，

根據(jù)題意得：2x-60+x=300,

解得：x=120,

AZr-60=2X120-60=180.

答：購買青蓮紫筆記本的總費用是180元，購買鐵藝胸針的總費用是120元；

（2）設購買y本青蓮紫筆記本，則購買y個鐵藝胸針，

根據(jù)題意得：儂+儂=10,

yy

解得：y=30,

經(jīng)檢驗，）=30是所列方程的解，且符合題意，

，2y=2X30=60.

答：小南共購買兩種紀念品60個.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找

準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程.

23.如圖1,在梯形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=6,BC=2A￡>=8,點E在邊AB上

且AE=2.動點P,Q同時從點E出發(fā)，點P以每秒1個單位長度沿折線E-A-O方向

運動到點D停止，點Q以每秒2個單位長度沿折線E-B-C方向運動到點C停止.設

運動時間為/秒，AAQC的面積為y.

（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；

（2）如圖2,在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性

質(zhì)；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出△PQC的面積大于15時的i的取值范圍

y

36