極簡統(tǒng)計(jì)學(xué)（中文版）

極簡統(tǒng)計(jì)學(xué)中文版目錄\h第1章數(shù)據(jù)整理的基礎(chǔ)知識(shí)\h第1章前言\h平均數(shù)\h除法的兩個(gè)意義\h（A）除法的意義（1）——將一個(gè)整體平分\h（B）除法的意義（2）——將整體平均分成數(shù)個(gè)等份\h比例\h相同單位的比例為包含除\h不同單位的比例為等分除\h圖表\h（1）柱狀圖：表示大小\h（2）折線圖：表示變化\h（3）餅圖：表示比例\h（4）帶狀圖：比較比例\h在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用\h數(shù)據(jù)與變量\h實(shí)質(zhì)型數(shù)據(jù)\h量化數(shù)據(jù)\h頻數(shù)分布表\h觀察頻數(shù)分布表時(shí)的注意事項(xiàng)\h矩形圖\h繪制矩形圖時(shí)的注意事項(xiàng)\h代表值\h研究數(shù)據(jù)的離散性\h最大值與最小值\h四分位數(shù)\h箱形圖\h第2章數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)知識(shí)\h第2章前言\h平方根\h根號(hào)（）\h平方根的計(jì)算\h簡化平方根\h代數(shù)式的規(guī)則\h分配律\h分配律在心算中的實(shí)際運(yùn)用\h多項(xiàng)式展開\h乘法公式\h多項(xiàng)式展開的練習(xí)\h在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用\h方差\h標(biāo)準(zhǔn)差\h偏差\h第3章用于研究關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)\h第3章前言\h函數(shù)\h函數(shù)與圖像的關(guān)系\h函數(shù)與原因和結(jié)果的關(guān)系\h一次函數(shù)\h關(guān)于斜率的正負(fù)與圖形\h一次函數(shù)圖像代數(shù)式的求法\h二次函數(shù)的基礎(chǔ)\h圖形的平移\h配方法與二次函數(shù)的圖像\h配方法的要素\h配方法\h二次函數(shù)圖像的畫法\h二次函數(shù)的最大值與最小值\h二次函數(shù)與二次方程式\h因式分解法\h解的公式\h圖形與判別式的關(guān)系\h二次不等式\h在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用\h點(diǎn)位圖\h關(guān)于相關(guān)關(guān)系的注意點(diǎn)\h相關(guān)系數(shù)\h求導(dǎo)相關(guān)系數(shù)\h相關(guān)系數(shù)\h相關(guān)系數(shù)的理論背景\h直觀理解相關(guān)系數(shù)\h相關(guān)系數(shù)取最大值與最小值\h第4章分析離散數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)\h第4章前言\h階乘\h排列\(zhòng)h關(guān)于0！\h組合\h關(guān)于的注意點(diǎn)\h二項(xiàng)系數(shù)\h集合\h概率\h和事件與積事件\h獨(dú)立試驗(yàn)\h重復(fù)試驗(yàn)\h等差數(shù)列\(zhòng)h數(shù)列\(zhòng)h等差數(shù)列的和\h等比數(shù)列\(zhòng)h等比數(shù)列的和\h∑記號(hào)\h∑記號(hào)的意義\h∑記號(hào)的基本性質(zhì)\h∑記號(hào)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用\h隨機(jī)變數(shù)與概率分布\h平均值\haX+b的平均值\h隨機(jī)變數(shù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差\haX+b的方差與標(biāo)準(zhǔn)差\h隨機(jī)變數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化\h和的平均值\h積的平均值\h和的方差\h二項(xiàng)分布\h第5章分析連續(xù)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)\h第5章前言\h對(duì)于“無限”的理解\h什么是無限\h極限\h歐拉常數(shù)e\h積分\h阿基米德的求積法\h積分的符號(hào)與意義\h在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用\h連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)與概率密度函數(shù)\h概率密度函數(shù)的性質(zhì)\h連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的平均值與方差\h正態(tài)分布\h標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\h正態(tài)分布表\h什么是推測統(tǒng)計(jì)\h使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行“推算”\h使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行“檢驗(yàn)”\ht檢驗(yàn)\h練習(xí)題答案\h第1章\h第2章\h第3章\h第4章\h第5章第1章數(shù)據(jù)整理的基礎(chǔ)知識(shí)第1章前言總的來說，統(tǒng)計(jì)就是將收集到的數(shù)據(jù)（數(shù)值）進(jìn)行整理并加以分析的學(xué)問。注釋：數(shù)據(jù)與數(shù)值的意思是相同的。在中小學(xué)通常稱之為“數(shù)值”，到了高中以后大多稱之為“數(shù)據(jù)”。本書將統(tǒng)一寫作“數(shù)據(jù)”。在這一章，我們先學(xué)習(xí)整理數(shù)據(jù)過程中必須要掌握的平均、比例以及圖表等概念的相關(guān)知識(shí)。這些內(nèi)容雖說都是小學(xué)數(shù)學(xué)水平，不過也別抱著“這種簡單的知識(shí)我都知道”的心態(tài)掉以輕心。你還別不信，來看看這道題目吧。問題對(duì)某初中三年級(jí)100名學(xué)生的身高進(jìn)行測量，計(jì)算出的平均值為163.5cm。以此結(jié)果為依據(jù)，對(duì)以下命題進(jìn)行判斷。正確的在前面的空格中畫√，錯(cuò)誤的畫×?！酰?）身高在163.5cm以上和163.5cm以下的學(xué)生各有50名?！酰?）將這100名學(xué)生的身高相加求和，結(jié)果等于163.5×100=16350cm□（3）將學(xué)生身高以10cm為單位分成若干區(qū)間，如身高在“130～140cm”“140～150cm”……那么身高在“160～170cm”這個(gè)區(qū)間的學(xué)生人數(shù)最多。（選自：日本數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主頁）這是日本數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)在2011年，針對(duì)全國約6000名大學(xué)生進(jìn)行的“大學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)調(diào)查”中的第一道題。結(jié)果顯示，這道題的正確率為76%。當(dāng)時(shí)，媒體以“大學(xué)生平均4人中就有一人不會(huì)”為熱點(diǎn)進(jìn)行了大肆報(bào)道。這道題，你有自信答對(duì)嗎？（該題答案將在本章最后揭曉。）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，“比例”這一知識(shí)點(diǎn)，是很讓學(xué)生頭疼的一個(gè)難點(diǎn)。國家教育政策研究所在2013年進(jìn)行的“全國學(xué)生學(xué)習(xí)能力與狀況調(diào)查”結(jié)果顯示，有關(guān)除法的問題，正確率排在最后一位。要準(zhǔn)確理解“比例”這一概念，就必須從根本上理解除法的兩個(gè)意義。但根據(jù)我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，即便是成年人，能正確理解“除法的兩個(gè)意義”的也只有寥寥數(shù)人而已?！氨壤边@個(gè)概念，是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，而且“比例”與“概率”之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，只要在理解上稍有偏差，就可能為今后學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)埋下禍根。接下來，我們?cè)僬f說圖表。將數(shù)據(jù)加以整理，并以圖表形式呈現(xiàn)出來，可以說圖表是一種方便大家理解的有力工具。但是，若選錯(cuò)圖表，導(dǎo)致你使用的圖表與想呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)或內(nèi)容不相匹配，不但不能起到方便理解的作用，反而會(huì)讓人越看越亂，甚至造成誤導(dǎo)。相信某些讀者朋友們有過這種經(jīng)歷，公司開會(huì)時(shí)，上司憤怒地指責(zé)你：“用這種圖表，你覺得誰能看懂？”被這樣責(zé)罵，還不是因?yàn)闆]有選擇恰當(dāng)?shù)膱D表。歡迎加入書社,每日海量書籍,大師課精彩分享微信:dedao555綜上所述，在這一章節(jié)，我們就重新學(xué)習(xí)一遍“平均”“比例”以及“圖表”等整理數(shù)據(jù)所需的基礎(chǔ)知識(shí)吧！平均數(shù)“平均”一詞，顧名思義，是指將事物平等、均等分配的意思。例如，有如下三個(gè)長方形，高度分別為2、7、3。要想讓這三個(gè)長方形一樣高（平均），要怎么做呢？將高度為“7”的長方形切斷，然后分給其他兩個(gè)長方形，如圖所示：使高度一致后，我們得到了一個(gè)大的長方形。這個(gè)長方形的縱向長度為平均數(shù)（長），橫向長度為個(gè)數(shù)（寬），面積就是總數(shù)。即：那么，由此可以得到將以上內(nèi)容，用代數(shù)整理。將所有的數(shù)據(jù)列為：x1，x2，x3，…，xn數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)為n。用這些數(shù)據(jù)的總和除以n就是平均數(shù)。在數(shù)學(xué)中一般用“x”表示平均數(shù)，即在字母上方添加一橫來表示。平均數(shù)的定義那么，馬上來練習(xí)一下吧！例題1-1下表為兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績，分別是有6人的A組與有5人的B組。求出兩組各自的平均分?！窘馕觥緼組平均分B組平均分兩組的平均分都是50分。像這樣數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（人數(shù)）不同的多組數(shù)據(jù)之間，也可以相互比較。但是，仔細(xì)觀察兩組數(shù)據(jù)中每個(gè)人的分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：A組的分?jǐn)?shù)中，低于平均分、與平均分持平以及高于平均分三個(gè)領(lǐng)域的學(xué)生各有2名，分布較均勻；而B組的分?jǐn)?shù)中，未達(dá)到平均分的有4人，高于平均分的僅有一人。由此可見，B組中是100分的學(xué)生拉高了整組的平均分。在這些數(shù)據(jù)中，還有許多通過平均數(shù)無法發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，作為顯示數(shù)據(jù)特征的數(shù)值，除了平均數(shù)以外，還會(huì)使用中位數(shù)與眾數(shù)（這些概念將在后面進(jìn)行詳述）。接下來，我們要學(xué)習(xí)的是“除法的兩個(gè)意義”。這部分內(nèi)容在我的另一本書《數(shù)學(xué)好的人是如何思考的》中提及過，但這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是理解概率和比例這兩個(gè)概念的前提，因此在這里再詳細(xì)給大家介紹一遍。除法的兩個(gè)意義我們先做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。如下圖所示，有6個(gè)圓。用這些圓，將6÷3=2表現(xiàn)出來。因?yàn)榇祟}不存在唯一的正確答案，所以大家可以放開思維，任意遐想。如果可以，讓家人、朋友也一起來做做這道題吧。做完之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的答案。（A）（B）你畫的是哪一種圖形呢？恐怕大多數(shù)同學(xué)都畫成了（A）圖吧。不過，一定也有一部分人畫成了（B）。就像一開始所說的，此題不存在唯一的正確答案，兩種畫法都是正確的，都表示出了6÷3=2的意思。（A）除法的意義（1）——將一個(gè)整體平分假設(shè)有如下問題：“現(xiàn)有6個(gè)包子。如果3個(gè)人平分，每人能得到多少個(gè)？”在這種情況下，當(dāng)然是通過6÷3=2計(jì)算得出，“每人可以得到2個(gè)”?！鞍?個(gè)包子平均分成3份，每份為2個(gè)”就是這則除法運(yùn)算的意義。類似這樣，將一個(gè)整體平均分配的除法，專業(yè)術(shù)語叫作“等分除”。反過來做乘法，可以如下計(jì)算：2（每份的量）×3=6也就是說，（A）的思維模式，也可以理解成“以求出每份所含的量為目的”的計(jì)算。（B）除法的意義（2）——將整體平均分成數(shù)個(gè)等份我們將問題改變一下：“現(xiàn)在有6個(gè)包子。一盒裝3個(gè)打包，需要多少個(gè)盒子？”這次，通過與（A）部分相同的計(jì)算：6÷3=2可以得出“需要2個(gè)盒子”的答案。但是，此次計(jì)算的意義就變成了：“將6個(gè)物品以3個(gè)1份平均分，可以得到2份”，或者可以說成“6個(gè)包含3個(gè)2份”。類似這種，將整體分成數(shù)個(gè)等份的除法，專業(yè)術(shù)語叫作“包含除”。與之前一樣，將此計(jì)算理解成乘法的逆計(jì)算，（B）的思維方式是：3×2（份數(shù)）=6即在“每份的量”為3的情況下，求“份數(shù)”的計(jì)算。到底哪一個(gè)更正確呢？再強(qiáng)調(diào)一遍，這兩種對(duì)除法的理解都是正確的。關(guān)鍵是要清楚地認(rèn)識(shí)到，除法有（A）和（B）兩種意義。除法的兩個(gè)意義a÷n=p（A）將a分成n等份，則每份有p個(gè)?！镜确殖浚˙）將a按照每份有n個(gè)等分，則可以分成p份（a有p份的n個(gè)）?！景空f了這么多，大家可能會(huì)覺得這些都是很簡單的知識(shí)。但是，如果沒有分清二者的區(qū)別，在加減乘除運(yùn)算法則中，會(huì)對(duì)除法的理解模糊不清，導(dǎo)致無法很好地掌握“比例”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以一定要重視哦！準(zhǔn)備已經(jīng)足夠充分，下面將正式開始學(xué)習(xí)“比例”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。比例首先，從比例的定義開始講起。比例的定義比例=比較量÷基準(zhǔn)量來看一道簡單的例題吧。例題1-2某個(gè)班級(jí)共有50人，其中男生有30人。求男生在班級(jí)中所占的比例?！窘馕觥吭谶@道題中，比較量（男生數(shù)量）為30人，基準(zhǔn)量（班級(jí)總?cè)藬?shù)）為50人，則30÷50=0.6從而得出，男生占比為0.6（60%）。以上解析，只是單純地把數(shù)值帶入比例的定義式中做了除法，大家不一定能從根本上理解比例這個(gè)概念。為了充分理解比例的概念，我們來重新思考一下。相同單位的比例為包含除相同單位的比例可以理解為包含除。在上一例題中，可以理解成在50人的班級(jí)中，包含0.6（60%）份男生，也就是30個(gè)男生。相同單位的比例，即包含除的比例，其實(shí)是比較量（部分）在基準(zhǔn)量（全體）中所占的比率。不同單位的比例為等分除假設(shè)一家超市中有兩種牛奶出售。A是400ml，賣120日元；B是900ml，賣300日元。哪種牛奶性價(jià)比更高呢？因?yàn)橐?guī)格不同，所以單純比較價(jià)格是無法比較性價(jià)比的。有意思的是，遇到這種情況，比例可以起到相當(dāng)大的作用。使用比例，就可以在同樣的基準(zhǔn)上比較大小。現(xiàn)在，將規(guī)格（容積）作為基準(zhǔn)量，使用比例來比較一下價(jià)格吧。這道題中的比例為：由此可以計(jì)算出，A為：B為：但是，將這些除法（分?jǐn)?shù)）的意義按照包含除理解的話，就變成120日元是400ml的0.3個(gè)……這讓人難以理解。其實(shí)，將不同單位的比例思考成等分除，意思就很清楚了。那么，算式就可以理解為，將120日元等分為400份，也就是A牛奶的1ml價(jià)格為0.3日元。這正是等分除的概念。同樣的，對(duì)于B：可以得出，B牛奶的1ml價(jià)格為0.333…日元。根據(jù)1ml這一相同單位的牛奶價(jià)格，可以得知A商品性價(jià)比更高。一般情況下，等分除概念中的比例表示的是單位量（如1ml，1s，1g等）。綜上所述，不同單位的比例，即等分除概念中的比例，表示的是單位量的大小。同樣都是比例，相同單位的比例是包含除不同單位的比例是等分除我個(gè)人覺得，有些解釋會(huì)讓人產(chǎn)生“比例是一個(gè)很復(fù)雜（或者讓人難以理解）的概念”的感覺。如果你對(duì)比例有一種“貌似知道，但是貌似又有些不懂”的印象，那么你可能還沒有將這二者加以區(qū)分。因?yàn)?，如果你徹底理解了包含除和等分除的概念，就很容易理解比例的概念。下面來做一道例題吧。這道題是國家教育政策研究所在2013年進(jìn)行的“全國學(xué)習(xí)能力與狀況調(diào)查”中，針對(duì)小學(xué)六年級(jí)學(xué)生提出的問題。順便說一句，這道題的正確率為50.2%，是所有問題中正確率最低的。例題1-3現(xiàn)有A與B兩塊木板。下表中列出了兩張木板上各自的人數(shù)與面積。木板上的人數(shù)與木板的面積為了調(diào)查哪塊木板上更擁擠，做了以下計(jì)算。A：12÷6=2B：8÷5=1.6從以下四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)正確的選項(xiàng)（）。1.因?yàn)槊科椒矫椎娜藬?shù)分別為2人與1.6人，故A比較擁擠。2.因?yàn)槊科椒矫椎娜藬?shù)分別為2人與1.6人，故B比較擁擠。3.因?yàn)槊總€(gè)人所占的面積分別為2m2與1.6m2，故A比較擁擠。4.因?yàn)槊總€(gè)人所占的面積分別為2m2與1.6m2，故B比較擁擠。（出自：國家教育政策研究所首頁）【解析】“A：12÷6=2”與“B：8÷5=1.6”都是用人數(shù)除以面積。因?yàn)槭遣煌瑔挝坏谋壤?，即等分除的比例，所以，該算式是表示作為基?zhǔn)單位的面積（此題中為1m2）對(duì)應(yīng)其數(shù)值大小的比例。也就是說，通過“A：12（人）÷6（m2）=2（人/m2）”計(jì)算出A木板上平均每平方米為2人，通過“B：8（人）÷5（m2）=1.6（人/m2）”可以計(jì)算出B木板上平均每平方米為1.6人。自然，A木板比較擁擠。正確答案是1。圖表在這一部分中，我們選擇最具代表性的4種圖表（分別是柱狀圖、折線圖、餅圖與帶狀圖）進(jìn)行介紹。各自的特點(diǎn)如下：圖表的特點(diǎn)：（1）柱狀圖：表示大?。?）折線圖：表示變化（3）餅圖：表示比例（4）帶狀圖：比較比例（1）柱狀圖：表示大?。ǔ鎏帲簹庀缶重吭峦话l(fā)強(qiáng)風(fēng)次數(shù)）柱狀圖是一種用于比較數(shù)量大小的圖表。上圖是氣象局1991年～2008年統(tǒng)計(jì)的共508次突發(fā)強(qiáng)風(fēng)現(xiàn)象，按月整理之后繪制出的圖表。從此圖可以看出，7月～10月之間是突發(fā)強(qiáng)風(fēng)的多發(fā)期。另一方面，強(qiáng)風(fēng)突發(fā)事件在多發(fā)期，也就是7月～10月的四個(gè)月，發(fā)生次數(shù)約占總體發(fā)生次數(shù)的60%，但是這個(gè)數(shù)字很難從此圖中看出來。（2）折線圖：表示變化（出處：氣象局丨天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率驗(yàn)證結(jié)果）折線圖是一種用于表示數(shù)據(jù)變化與推移的圖表。上圖為氣象局根據(jù)1985年～2013年間東京地區(qū)氣象預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確度數(shù)據(jù)整理繪制出的圖表。人們常說“天氣預(yù)報(bào)不大準(zhǔn)啊”，但是從此表可以看出，近年來的準(zhǔn)確率有很大的提高。順便說一句，右側(cè)的“最高氣溫預(yù)報(bào)誤差”一項(xiàng)，縱軸向上方向的數(shù)值是遞減的，就是想通過這種看起來從左至右逐漸上升的形狀，讓人更直觀地感受到天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率有所改善。但是，在觀察折線圖的時(shí)候，有一個(gè)需要特別注意的地方，那就是圖表繪制者可以（在某種程度上）改變讀者對(duì)數(shù)據(jù)變化程度的印象。比如，上面的“預(yù)報(bào)準(zhǔn)確度”的折線圖左側(cè)的縱軸數(shù)值范圍為“75%～90%”、右側(cè)的縱軸是“1.0～2.5”。如果將這兩個(gè)值的間隔變大，即便是相同的數(shù)據(jù)，讀者也會(huì)覺得數(shù)據(jù)變化幅度不是很大。反之，若將這個(gè)值的間隔縮小，就會(huì)使讀者覺得數(shù)據(jù)發(fā)生了明顯的變化。在觀察折線圖的時(shí)候，務(wù)必要注意這一點(diǎn)。注：（1）中的柱狀圖也可以通過在圖表中的數(shù)值間隔上“下功夫”，改變讀者的印象。（3）餅圖：表示比例（出處：能源白皮書2013版）餅圖適用于表示在一個(gè)整體中每個(gè)項(xiàng)目各占多少比例。此餅圖為日本能源廳取自“能源白皮書2013版”中的“世界可開采煤炭儲(chǔ)量”的數(shù)據(jù)而做成的餅狀圖。從這張圖可以看出，全球8609億噸的煤炭總量中，美國的儲(chǔ)量占比（27.6%）為第一位，其次為俄羅斯（18.2%），第三為中國（13.3%）。餅狀圖一般從時(shí)鐘的12點(diǎn)位置開始，按照比例從大到小的順序?qū)⒏鱾€(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排序。上圖是將各項(xiàng)按照地域相近的條件進(jìn)行排序的。（4）帶狀圖：比較比例（數(shù)據(jù)來源：“國情調(diào)查”與“人口預(yù)計(jì)”。）（注：2012與2013年數(shù)據(jù)為4月1日數(shù)據(jù)，其余為10月1日數(shù)據(jù)）（出處：統(tǒng)計(jì)局）帶狀圖通常用于根據(jù)年份等條件，比較同一項(xiàng)目的占比變化情況。這張帶狀圖是日本總務(wù)省統(tǒng)計(jì)局根據(jù)3個(gè)不同年齡段人口占比的數(shù)據(jù)變化情況繪制出的圖表。從此圖可以很明顯地看出“0～14歲”區(qū)間人口占比的減少和高齡人口（65歲以上）占比的增加。但是，帶狀圖中占比的增加（減少）不代表其絕對(duì)數(shù)值增加（減少），這一點(diǎn)需要多加注意。若整體數(shù)值不同，則無法從占比的增減來判斷絕對(duì)數(shù)值的增減。例題1-4下表整理了某音像商店的會(huì)員人數(shù)在某一時(shí)間段內(nèi)的變化情況。音像店的店長想在主頁上宣傳自己店面生意火爆，因此想將上面的數(shù)據(jù)做成一份圖表。請(qǐng)回答以下問題。（1）為了能夠讓客人了解會(huì)員人數(shù)的變化，應(yīng)該選擇哪種圖表？（）①柱狀圖②折線圖③餅圖④帶狀圖（2）為了讓客人覺得本店生意火爆，可以在哪兩方面下功夫？（）①將縱軸的數(shù)據(jù)間隔增大②將縱軸的數(shù)據(jù)間隔減?、蹖M軸的長度變長④將橫軸的長度變短【解析】（1）因?yàn)橐w現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化，所以使用②折線圖。（2）說實(shí)話，會(huì)員人數(shù)增長并不多……所以僅僅以此數(shù)據(jù)來讓客人覺得本店生意火爆就必須要下點(diǎn)兒功夫。先將四個(gè)選項(xiàng)分別做成圖表看看。【選擇①與③】【選擇②與③時(shí)】[選擇①與④時(shí)][選擇②與④時(shí)]通過繪制出的圖表可以看出，同樣的數(shù)據(jù)，在同時(shí)選擇②與④，即將縱軸的數(shù)據(jù)間隔減小，將橫軸的長度變短之后，會(huì)員增加的感覺最明顯。有人可能會(huì)覺得這是在耍小聰明，這種被“做過手腳”的折線圖在現(xiàn)實(shí)中其實(shí)隨處可見。所以，不要因?yàn)閽吡艘谎圻@種折線圖，就妄下論斷哦！《練習(xí)題》練習(xí)題1-1現(xiàn)有代號(hào)為A～E的5個(gè)人，其身高數(shù)據(jù)如下表。請(qǐng)求出這5人的平均身高。【解析】根據(jù)可以得出其他解法：根據(jù)各項(xiàng)數(shù)值與最小值（B的160cm）的差，也可以用如下方法解析。可以算出則練習(xí)題1-2請(qǐng)回答以下問題。（1）A的伙食費(fèi)平均每天500日元，那么他從周一到周五的伙食費(fèi)一共多少錢？（2）平均每天完成10道習(xí)題，那么一本共有250道習(xí)題的練習(xí)冊(cè)，用多少天可以做完？【解析】（1）周一到周五有5天。由可以得出：（2）根據(jù)可以得出：注：如果以下①～③算式能快速轉(zhuǎn)換，就會(huì)發(fā)現(xiàn)用起來十分方便練習(xí)題1-3A有11支鉛筆，B有35只鉛筆。若讓兩人擁有同樣數(shù)量的鉛筆，那么B要給A多少支鉛筆？【解析】此題可以理解為“將兩人的鉛筆數(shù)量變?yōu)橐粯?將兩人的鉛筆總數(shù)平分”，故首先求二人鉛筆的平均數(shù)。B一開始有35支，所以可以計(jì)算：35-□=□（支）得出，B應(yīng)該給A□支鉛筆。練習(xí)題1-4以下除法是包含除還是等分除？（1）距離÷時(shí)間=速度（2）距離÷速度=時(shí)間【解析】（1）現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)人3小時(shí)前進(jìn)了12km。在這種情況下，距離÷時(shí)間=速度，列成算式就是12÷3=4因此，速度為4km/小時(shí)。也就是說，時(shí)速其實(shí)是。在3個(gè)小時(shí)前進(jìn)了12km的情況下，平均每小時(shí)前進(jìn)的距離，也就是將12km分成3等份。那么，以上的“12÷3=4”可以理解為“將12進(jìn)行3等分的話每份為4”的除法運(yùn)算。綜上所述，“距離÷時(shí)間=速度”是。（2）現(xiàn)在我們假設(shè)，一個(gè)人以3km/小時(shí)的速度走了12km。由此，根據(jù)距離÷速度=時(shí)間，得出12÷3=4所用時(shí)間為4小時(shí)。時(shí)速3km是指每小時(shí)前進(jìn)3km，所以，只要求出12km是3km的多少倍，即可得出前進(jìn)12km需要多少時(shí)間。即，以上的“12÷3=4”其實(shí)是“在12中包含了4個(gè)3”的除法運(yùn)算。綜上所述“距離÷速度=時(shí)間”為。練習(xí)題1-5（1）原價(jià)5000日元的毛衣，現(xiàn)在打7折，請(qǐng)問現(xiàn)在售價(jià)為多少？（2）毛衣現(xiàn)降價(jià)20%出售，現(xiàn)在的售價(jià)為5600日元。請(qǐng)問，毛衣的原價(jià)是多少？【解析】（1）因?yàn)樗栽诒绢}中，據(jù)此可以計(jì)算：（2）首先明確一點(diǎn)，“降價(jià)20%=定價(jià)的80%”。練習(xí)題1-6請(qǐng)回答以下關(guān)于圓周率（π）的問題。（1）“直徑×圓周率=圓周長”中，圓周率是什么和什么的比例？（2）利用（1）中的條件，證明圓周率大于3小于4。【解析】（1）根據(jù)直徑×圓周率=圓周長可以得出所以，圓周率是將直徑作為，將圓周長作為的比例。即，圓周率是與的比例（2）根據(jù)（1）得出的結(jié)論，圓周率是圓周長與直徑的比例，為了粗略計(jì)算圓周率的值，我們將圓周長用與其相近的長度來代替?，F(xiàn)如下圖所示，在半徑為1的圓內(nèi)畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形，再畫一個(gè)圓的外接正方形。從圖中可以看出，正六邊形周長<圓周長<外接正方形周長。而根據(jù)第（1）中的結(jié)論，將其除以直徑得到得出3<圓周率<4注釋：古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德用圓的內(nèi)接與外接兩個(gè)正九十六邊形，將圓周率的范圍縮小至以前，東京大學(xué)的入學(xué)考試中出現(xiàn)過“證明圓周率大于3.05”的試題，可以用圓的內(nèi)接正十二邊形求解。詳細(xì)方法請(qǐng)參閱《寫給全人類的數(shù)學(xué)魔法書》一書第177頁的“綜合問題：10種解題思路的運(yùn)用”。練習(xí)題1-7選出以下情況最適用的圖表。請(qǐng)從A～D中選擇相應(yīng)的選項(xiàng)。（1）表示比例（2）比較比例（3）表示大?。?）表示變化A.柱狀圖B.折線圖C.餅圖D.帶狀圖【解析】基本問題，請(qǐng)參照概念。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用數(shù)據(jù)與變量到目前為止，我們使用了很多次“數(shù)據(jù)”這個(gè)詞。但是，在日常生活中，“數(shù)據(jù)”卻是一個(gè)很曖昧的詞，往往會(huì)成為誤解的根源。我們?cè)賮砹私庖幌隆皵?shù)據(jù)”與“變量”的定義。例如：【例題1-1】中A組6個(gè)人的考試分?jǐn)?shù)分別為：506040307050（分）這6個(gè)數(shù)值組成的整體被稱為“數(shù)據(jù)”，而測量對(duì)象對(duì)應(yīng)的單個(gè)條目（例題中為考試分?jǐn)?shù)）被稱為“變量”。注：變量也被稱作“變數(shù)”。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，嚴(yán)格來說變量與變數(shù)是兩個(gè)用途不同的術(shù)語，但在本書范圍內(nèi)可以通用。實(shí)質(zhì)型數(shù)據(jù)“實(shí)質(zhì)型數(shù)據(jù)”也被稱作“分類數(shù)據(jù)”。例如血型、喜歡的食物、所支持的政黨等無法用數(shù)字來衡量的變量（實(shí)質(zhì)變量）所組成的數(shù)據(jù)。實(shí)質(zhì)型數(shù)據(jù)（分類數(shù)據(jù)）即便每個(gè)項(xiàng)目都有編號(hào)，比如“1：A型、2：B型、3：O型、4：AB型”或“第1名：漢堡肉、第2名：拉面、第3名：壽司、第4名：烤肉”等，但是將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行加減運(yùn)算的話卻完全沒有意義。注：本書之后不再涉及實(shí)質(zhì)型數(shù)據(jù)。量化數(shù)據(jù)當(dāng)一些變量（量化的變量）做加減運(yùn)算有意義時(shí)，由這些變量組成的數(shù)據(jù)被稱作“量化數(shù)據(jù)”。量化數(shù)據(jù)可以被細(xì)分為兩個(gè)類別，分別為：骰子的數(shù)字、汽車的數(shù)量、人數(shù)等只能取跨越型數(shù)值的數(shù)據(jù)（離散型數(shù)據(jù)）；身高、體重、時(shí)間等可以取連續(xù)數(shù)值的數(shù)據(jù)（連續(xù)型數(shù)據(jù)）。又是“離散型數(shù)據(jù)”又是“連續(xù)型數(shù)據(jù)”的，剛開始接觸這兩個(gè)術(shù)語的時(shí)候，可能會(huì)很不習(xí)慣，而且覺得難以理解?！半x散型數(shù)據(jù)”是指兩個(gè)相鄰的項(xiàng)之間沒有可取值的數(shù)據(jù)。比如骰子的數(shù)字1和2之間沒有“1.5”，或者對(duì)汽車的數(shù)量進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，10輛與11輛之間也沒有“10.5輛”。將數(shù)據(jù)放在數(shù)軸上時(shí)，只能取跨越型數(shù)值的數(shù)據(jù)是“離散型數(shù)據(jù)”。但是，測量身高時(shí)，在170cm與171cm之間，有身高為170.5cm的人是很正常的事，而且，如果對(duì)測量結(jié)果要求嚴(yán)格的話，在170.5cm與170.6cm之間，還會(huì)有身高170.55cm的人。像這樣，不管怎么細(xì)分，永遠(yuǎn)都有更多可取數(shù)值的數(shù)據(jù)為“連續(xù)型數(shù)據(jù)”。歡迎加入書社,每日海量書籍,大師課精彩分享微信:dedao555整理數(shù)據(jù)時(shí)，最基本的步驟如下：整理數(shù)據(jù)的步驟（1）整理頻數(shù)分布表（2）制作矩形圖頻數(shù)分布表首先，我們先來看幾個(gè)術(shù)語?！そM：將數(shù)據(jù)以相同間隔分開的區(qū)間?！そM中值：各組上下限中間的數(shù)值。·頻數(shù)：各組中包含數(shù)值的數(shù)量。·相對(duì)頻數(shù)：各組數(shù)據(jù)頻數(shù)在總頻數(shù)中的占比?！だ塾?jì)相對(duì)頻數(shù)：逐級(jí)相對(duì)頻數(shù)相加的和。頻數(shù)分布表就是將每組中的頻數(shù)、相對(duì)頻數(shù)、累計(jì)相對(duì)頻數(shù)等做成一張表……就算這么說估計(jì)也不明白吧？實(shí)際操作一遍就能理解了。我們這就來實(shí)際做一做。N數(shù)學(xué)培訓(xùn)班對(duì)40名學(xué)生進(jìn)行了突擊測驗(yàn)（滿分為100分）。測驗(yàn)成績?nèi)缦卤硭荆篘數(shù)學(xué)班的突擊測驗(yàn)結(jié)果即使看了這個(gè)表，仍然無法看出數(shù)據(jù)整體的傾向與特征。于是N先生將其整理成了頻數(shù)分布表。為此我們現(xiàn)將數(shù)據(jù)按照分?jǐn)?shù)由低到高重新排列。N數(shù)學(xué)班的突擊測驗(yàn)結(jié)果（按分?jǐn)?shù)排列）為了制作頻數(shù)分布表，下面要做的就是決定各組的組段值。像“10～15分”“15～20分”這樣，以每5分為一組，或者是“0～20分”“20～40分”這樣，以每20分為一組，都可以。不過需要注意的是，每組的數(shù)值范圍太小的話，表格會(huì)變得過于復(fù)雜；反之?dāng)?shù)值范圍過大則無法清楚地看出數(shù)據(jù)的傾向特征。在該數(shù)據(jù)中，最低分為13分，最高分為97分，我們可以以10分間隔為一組（比如10～20分）。岡田老師分組取組段值時(shí)，可以參照下面的JIS（日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的簡稱。——編者注）標(biāo)準(zhǔn)。將包含最大值與最小值在內(nèi)的數(shù)據(jù)，分成5～20組時(shí)，用最大值與最小值之差（R）除以1、2、5（或者是10、20、50；0.1、0.2、0.5）等各備選范圍，選擇結(jié)果在5～20范圍內(nèi)的數(shù)。如果有兩個(gè)不同的結(jié)果，那么，最大值與最小值之差大于100則取小，反之則取大。具體來說就是：·在1、2、5、10、20、50等數(shù)值中選擇適當(dāng)?shù)闹?，作為組段值?！⒔M數(shù)控制在5～20之間?！ぷ⒁飧鹘M中的單項(xiàng)，不能過多或過少。依照上面的數(shù)據(jù)計(jì)算：R（范圍）：97-13=84那么84÷1=8484÷2=4284÷5=16.884÷10=8.484÷20=4.2商在“5～20”范圍內(nèi)的，分別是除以5和除以10兩個(gè)結(jié)果?，F(xiàn)在，數(shù)據(jù)中共有40個(gè)數(shù)值，最大值與最小值之差小于100，應(yīng)該取大，即選擇“10”，這就是JIS標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用。N數(shù)學(xué)班突擊測驗(yàn)的結(jié)果（頻數(shù)分布表）觀察頻數(shù)分布表時(shí)的注意事項(xiàng)（1）頻數(shù)分布表中無法體現(xiàn)數(shù)據(jù)中每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)值。例如，之前的數(shù)據(jù)中，“40～50分”一組的數(shù)據(jù)中實(shí)際包括“43、44、44、48”4個(gè)數(shù)值，但是，在頻數(shù)分布表中，這一組的組中值為“45”，就是說，在頻數(shù)分布表中，這些數(shù)都被認(rèn)為是“45”。該組數(shù)由組中值代表。（2）相對(duì)頻數(shù)是指“該組數(shù)的頻數(shù)在整組數(shù)據(jù)頻數(shù)中的占比”，所以計(jì)算方法是：“40～50分”這一組的相對(duì)頻數(shù)就是（3）除了觀察“某組數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)總體中所占的百分比是多少”，有時(shí)候也想知道“在這組數(shù)據(jù)以下（或以上）的數(shù)，在數(shù)據(jù)總體中所占的百分比為多少”。這個(gè)時(shí)候，就需要看累計(jì)頻數(shù)了。例如，以上數(shù)據(jù)中“10～60分”這一區(qū)間的累計(jì)頻數(shù)為0.025+0.075+0.125+0.100+0.175=0.500因?yàn)榻Y(jié)果是0.500，所以60分以下的學(xué)生人數(shù)占了全體學(xué)生人數(shù)的50%。矩形圖制作出頻數(shù)分布表后，比單純看原始數(shù)據(jù)更容易抓住數(shù)據(jù)的部分整體特征。但是數(shù)學(xué)不大好的同學(xué)看了這個(gè)表，可能不會(huì)有任何感覺。為了將數(shù)據(jù)整體的特征更加直觀地表現(xiàn)出來，這時(shí)候就要用到矩形圖。矩形圖是將頻數(shù)分布表的組用橫軸表示、將頻數(shù)用縱軸表示繪制出的柱狀圖。下圖是以“N數(shù)學(xué)班突擊測驗(yàn)結(jié)果”的頻數(shù)分布表的數(shù)據(jù)制成的矩形圖。折線部分表示累計(jì)相對(duì)頻數(shù)。做成矩形圖之后，數(shù)據(jù)整體的特征立即變得一目了然。這次的測驗(yàn)結(jié)果中，“50～60分”與“80～90分”分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多，學(xué)生的成績有些兩極分化。這是最讓N老師頭疼的地方。通過折線部分體現(xiàn)出的，不僅僅是某組及其以下的數(shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)組中的占比。例如下圖中，在每組數(shù)的頻數(shù)完全一致的情況下，折線圖就會(huì)呈現(xiàn)一條直線。還有，在如下圖所示的矩形圖中，數(shù)據(jù)分布的正中央為最大值，矩形圖呈現(xiàn)出猶如山丘一般的規(guī)則形狀時(shí)，折線圖呈S型（其實(shí)是將字母S拉伸之后的形狀）。繪制矩形圖時(shí)的注意事項(xiàng)（1）作圖時(shí)，在最開始的組之前與最后的組之后，各空出一組的距離。這是為了讓圖表的最大值（90～100分）與最小值（10～20分）看起來更加清晰明確。（2）一般來說，矩形圖中相鄰的兩組，數(shù)柱之間沒有空格。代表值將數(shù)據(jù)制作成容易理解的圖表（矩形圖）的方法，相信大家已經(jīng)掌握了。不過，還有更加簡潔地表示數(shù)據(jù)傾向特征的方法，那就是在接下來的部分中要學(xué)習(xí)的代表值。關(guān)于代表值，最常用的，是在之前的章節(jié)中介紹過的平均數(shù)。相信在各位讀者中，一定有人在學(xué)生時(shí)代聽老師說過這樣的話：“這次考試，咱們班平均分是62，隔壁班卻是70分。你們最近是不是太松懈了啊？”在這種情況下，平均分就代表了全班成績的好壞。但是，我在上學(xué)的時(shí)候年少氣盛，心里默默地想：“全年級(jí)排名第一和第二的兩個(gè)學(xué)霸田中和鈴木都在隔壁班，光比平均分算什么啊，真是！”由此可見，平均分是將總分平均分配得到的值。算平均分的時(shí)候，若是有特別高的高分或者特別低的低分，平均分也會(huì)因此上下波動(dòng)。其實(shí)在【例題1-1】中，A組與B組雖然平均分相同，但是B組是因?yàn)?00分的學(xué)生拉高了平均分。除了平均數(shù)可以作為代表值，中位數(shù)和眾數(shù)也可以。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)由大到小排列時(shí)，位于最中間的數(shù)值。求法如下（注意，數(shù)據(jù)總數(shù)為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)求法不同）。中位數(shù)的求法我們來計(jì)算【例題1-1】中的中位數(shù)。例題1-5下表為兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績，求出兩組數(shù)據(jù)各自的中位數(shù)?！窘馕觥渴紫葘山M數(shù)據(jù)按大小排列。A組：304050506070B組：30404040100數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況：A組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)（6個(gè)），則，中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)值的平均值。數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的情況：B組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)（5個(gè)），則，中位數(shù)是正中間的數(shù)值。A組與B組的平均分雖然同樣都為50分，但是B組的中位數(shù)比較小。像B組這樣，數(shù)據(jù)存在偏離值（與其他數(shù)值相比，很明顯偏大或偏小的值）的情況，平均值會(huì)因?yàn)槠x值的影響偏大或偏小。在這種情況下，更多時(shí)候會(huì)使用更加適合的中位數(shù)來代替平均數(shù)，作為數(shù)據(jù)的代表值。接下來是眾數(shù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。還是以上面的數(shù)據(jù)為例，找出A組和B組數(shù)據(jù)的眾數(shù)吧。將各組中每個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的人數(shù)整理后得出：由此得出：A組的眾數(shù)：50（分）B組的眾數(shù)：40（分）注：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多，即頻數(shù)最高的數(shù)據(jù)的值。有的同學(xué)容易將最高的頻數(shù)誤解為眾數(shù)，注意不要搞混了哦。岡田老師在量化數(shù)據(jù)中，通常不會(huì)要求統(tǒng)計(jì)某個(gè)具體數(shù)值的頻數(shù)。一般來說，會(huì)在決定了每組數(shù)值的間隔后，取頻數(shù)最高（矩形圖中，柱的高度最高）的組數(shù)來作為頻數(shù)。眾數(shù)這一概念，在概率分布（之后介紹）方面的意義，比數(shù)據(jù)本身的意義更重要，特別是在正態(tài)分布中。中位數(shù)=眾數(shù)=平均數(shù)研究數(shù)據(jù)的離散性下表列出了【例題1-1】中數(shù)據(jù)的各代表值（平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)）。如果你已經(jīng)理解了各代表值的意義，通過這個(gè)表就能看出“B組中有個(gè)別成績特別好的學(xué)生”。即便如此，光從這些代表值中也很難看出“數(shù)據(jù)的離散程度”。那么，想要知道數(shù)據(jù)的離散性，應(yīng)該怎么做呢？比較常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。為了理解這兩個(gè)概念，還需要一些額外的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些內(nèi)容將在下一章中向大家詳細(xì)介紹。在這里，我們先介紹被稱為“5大要數(shù)”的5個(gè)更易理解的概念。最大值與最小值研究數(shù)據(jù)離散程度，最簡單的方法就是找出其最大值與最小值。A組：304050506070B組：30404040100A組的最小值為30，最大值為70；B組的最小值為30，最大值為100。分別求出兩組數(shù)據(jù)最大值與最小值的差，即A組的范圍=70-30=40（分）B組的范圍=100-30=70（分）由此可以得出，B組數(shù)據(jù)差較大。但是，光看最大值、最小值以及差這些數(shù)據(jù)，無法了解到“B組有一個(gè)人得了很高的分”這一信息。為了更加深入詳細(xì)地研究數(shù)據(jù)的離散程度，我們要引入四分位數(shù)這一概念。四分位數(shù)四分位數(shù)是指，將數(shù)據(jù)從小到大排列并分成4等份后，處于3個(gè)分割點(diǎn)上的數(shù)。這3個(gè)四分位數(shù)按照從小到大的順序分別被稱為第一四分位數(shù)、第二四分位數(shù)和第三四分位數(shù)。第二四分位數(shù)和數(shù)據(jù)的中位數(shù)是一致的。大家可以參考以下圖表，理解這個(gè)概念。四分位數(shù)的求法如下所示：四分位數(shù)的求法（1）找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值。（2）找出數(shù)據(jù)的中位數(shù)→第二四分位數(shù)。（3）求出中位數(shù)前半部分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)→第一四分位數(shù)。（4）求出中位數(shù)后半部分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)→第三四分位數(shù)。奇數(shù)個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)和偶數(shù)個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)，求法不太相同。我們還使用【例題1-1】的A組（偶數(shù)）與B組（奇數(shù)）數(shù)據(jù)，這次求它們的四分位數(shù)。數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的情況：研究數(shù)據(jù)整體的離散性時(shí)，最大值、最小值以及3個(gè)四分位數(shù)被稱為“5大要數(shù)”。A組與B組數(shù)據(jù)的5大要數(shù)如下表所示：通過這張表可以看出，A組5大要數(shù)呈現(xiàn)出了等差關(guān)系；B組的情況則是：第一四分位數(shù)-最小值=35-30=5第二四分位數(shù)-第一四分位數(shù)=40-35=5第三四分位數(shù)-第二四分位數(shù)=70-40=30最大值-第三四分位數(shù)=100-70=305大要數(shù)之間的差各不相同，特別是從第二四分位數(shù)開始上漲的幅度開始變大，由此可以得出，中位數(shù)以上的數(shù)據(jù)比起中位數(shù)以下的數(shù)據(jù)更加離散。但是，如果讓數(shù)學(xué)不大好的同學(xué)通過這個(gè)表得出以上結(jié)論，是不是太難為他了？這個(gè)時(shí)候……對(duì)！該是圖表出場的時(shí)候了！箱形圖我們已經(jīng)知道，5大要數(shù)可以用來研究數(shù)據(jù)的離散性。所以，我們可以將5大要數(shù)列出來，制成箱形圖。具體如下：被5大要數(shù)切分成的各區(qū)間，各包含了整體數(shù)據(jù)值的約25%，若每個(gè)區(qū)間的長度均等，則意味著數(shù)據(jù)整體的離散性是均勻的。反之，若各區(qū)間長度不均，則表明數(shù)據(jù)的離散程度有所偏離。接下來，我們就把A組數(shù)據(jù)與B組數(shù)據(jù)做成箱形圖吧。另外，圖中的“+”表示平均分（50分）。做出箱形圖后，可以很明顯地看出：與A組相比，B組的數(shù)據(jù)間隔明顯更大。還有一個(gè)明顯的特征，那就是A組數(shù)據(jù)分布均勻，B組有較多數(shù)據(jù)集中在中位數(shù)（第二四分位數(shù)）的后面，中位數(shù)之前的數(shù)據(jù)只有寥寥幾個(gè)。我們?cè)儆昧硪唤M數(shù)據(jù)來做一個(gè)示范，N數(shù)學(xué)班的突擊測驗(yàn)結(jié)果，這組數(shù)據(jù)在之前介紹頻數(shù)分布表和矩形圖時(shí)用過。N數(shù)學(xué)班的突擊測驗(yàn)結(jié)果（按分?jǐn)?shù)由低到高排列）以上數(shù)據(jù)的5大要數(shù)如下表所示（有興趣的同學(xué)可以自己算一下試試哦）。平均分是61.375（分）。將上面的表格做成箱形圖。那么，根據(jù)這個(gè)箱形圖可以得出哪些結(jié)論呢？從N數(shù)學(xué)班測驗(yàn)結(jié)果的箱形圖，可以得出的結(jié)論：（1）半數(shù)學(xué)生的成績?cè)?0分～80分之間。（2）成績排名在倒數(shù)25%的學(xué)生，分?jǐn)?shù)差距很大。（3）成績排名在倒數(shù)25%～50%的學(xué)生，分?jǐn)?shù)差距較小。（4）成績排名在前25%的學(xué)生成績差距較小。順便提一下，以上數(shù)據(jù)的矩形圖是這樣的：由此不難看出，矩形圖中顯示頻數(shù)高的部分，在箱形圖中的長度則比較短?！救毡緮?shù)學(xué)協(xié)會(huì)問題答案】（1）因?yàn)槠骄怠僦形粩?shù)，所以是×。（2）因?yàn)槠骄鶖?shù)×人數(shù)=總數(shù)，所以是√。（3）從平均值無法看出數(shù)據(jù)的離散程度（頻數(shù)分布），所以是×。第2章數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)知識(shí)第2章前言開門見山，本章內(nèi)容的目的是，幫助同學(xué)們理解并掌握“標(biāo)準(zhǔn)差”這一概念，即“數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的離散程度”。在第1章中學(xué)習(xí)的代表值與矩形圖，是對(duì)于數(shù)據(jù)的初步“分析”。與其說分析，不如說是“整理方法”來得更貼切。而標(biāo)準(zhǔn)差不僅用于進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析，在本書的進(jìn)階內(nèi)容“推測統(tǒng)計(jì)”中也經(jīng)常用到，是一個(gè)非常重要的概念。就算把標(biāo)準(zhǔn)差稱為統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心基礎(chǔ)，也毫不夸張。掌握標(biāo)準(zhǔn)差的前提，是要理解平方根（式的計(jì)算等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。）與分配律，以及多項(xiàng)這些雖然都是初二、初三時(shí)候的數(shù)學(xué)知識(shí)，不過，最近在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上栽跟頭的人很多。那些從算數(shù)（小學(xué)數(shù)學(xué)）一直到初一水平的數(shù)學(xué)都沒問題的同學(xué)，一看見（根號(hào)），肯定會(huì)有“這個(gè)好像不會(huì)”的想法，看到稍微復(fù)雜一些的代數(shù)式（比如多項(xiàng)式）之后，可能也會(huì)緊張地出冷汗吧。不過，不用擔(dān)心。以我的經(jīng)驗(yàn)來看，確實(shí)有很多同學(xué)沒有切實(shí)掌握本章的內(nèi)容。反過來想，只要掌握了這部分知識(shí)，肯定可以跨過這道坎。現(xiàn)在，不要畏懼，不要猶豫，準(zhǔn)備好紙筆，開始學(xué)習(xí)吧！平方根首先我們來復(fù)習(xí)一下平方根的概念?！捌椒健笔侵赶嗤膬蓚€(gè)數(shù)相乘，而“根”則是指這個(gè)數(shù)本身。平方根的定義如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)叫作a的平方根。換言之，a的平方根是的解。例如，在a=4的情況下，x2=ax2=4得到22=4（-2）2=4所以x=2或x=-2（x=±2）由此得出，4的平方根為2或-2（有兩個(gè)哦）。注：一般來說，當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，其平方根有正負(fù)兩個(gè)數(shù)?？梢詫蓚€(gè)數(shù)放在一起寫作“±〇”，“±”讀作“正負(fù)”根號(hào)（）我們已經(jīng)知道，4的平方根是2或-2。那么5的平方根又是多少呢？5的平方根即平方后等于5的數(shù)。因?yàn)?2=432=9所以5的平方根（正數(shù)）應(yīng)該在2與3之間。但是，僅僅知道這一點(diǎn)也太過籠統(tǒng)了，我們?cè)僮屑?xì)計(jì)算一下。2.22=4.42.32=5.29可以看出，5的平方根（正數(shù)）在2.2與2.3之間。再細(xì)化一點(diǎn)，則是：2.232=4.97292.242=5.0176唔……這樣看來，5的平方根（正數(shù)）在2.23與2.24之間呢，那么，再細(xì)分的話……其實(shí)不管怎么細(xì)分（不管小數(shù)點(diǎn)后求出多少位），5的平方根也不可能求出小數(shù)點(diǎn)最后一位。但是5的平方根確是真實(shí)存在的，只是我們不知道到底是多少而已。我們將4、9、16這類平方根為整數(shù)的數(shù)字，稱作平方數(shù)（也叫完全平方數(shù)）。除去平方數(shù)以外，其他數(shù)的平方根無法用有限小數(shù)及分?jǐn)?shù)來表示。其實(shí)，5的平方根為：2.2360679774997896964091736687313…在小數(shù)點(diǎn)后有無數(shù)位。注：“平方數(shù)以外的數(shù)，平方根無法用有限小數(shù)與分?jǐn)?shù)表示”這一命題可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來證明。關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”請(qǐng)參照《寫給全人類的數(shù)學(xué)魔法書》第144頁。雖然無法用有限小數(shù)與分?jǐn)?shù)來表示，但是，非平方數(shù)的平方根卻是真實(shí)存在的。為了表示非平方數(shù)的平方根，于是數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了。的定義如下：（根號(hào)）a的正平方根寫作，讀作“根號(hào)a”。使用（根號(hào)）來表示平方根時(shí)，可以寫成這樣：a的平方根是和若a的平方根為x2=a的解，則所以說，5的平方根為。話說回來，4的平方根是±2。但是使用平方根之后就是。咦？這么說4的平方根有兩種寫法？正是如此！當(dāng)根號(hào)下的數(shù)為平方數(shù)（某個(gè)整數(shù)平方之后的數(shù)）時(shí)，用以下方法可以將根號(hào)去掉。去除根號(hào)）的方法當(dāng)a>0時(shí)，想要去掉根號(hào)，最好記住一些平方數(shù)（某些整數(shù)平方之后的數(shù)）。如果能一直記到15的平方，計(jì)算起來就會(huì)很方便了。我們來做做例題吧。例題2-1不使用（根號(hào)）來表示以下數(shù)字?！窘馕觥浚?）（2）（3）（4）注：（4）也可以用以下解法平方根的計(jì)算用表示的數(shù)字，因?yàn)闊o法用分?jǐn)?shù)或有限小數(shù)表示，所以在計(jì)算（特別是加減運(yùn)算）的時(shí)候，必須像做代數(shù)題一樣。做乘除法時(shí)，可以很直觀地理解其中的意義。注：如果無法理解乘除法為何如此計(jì)算，請(qǐng)看下面的注釋?，F(xiàn)在假設(shè)x是a的正平方根，y是b的正平方根，即由此計(jì)算做除法的時(shí)候，理解成倒數(shù)的乘法，可以得到同樣的結(jié)果。需要注意的是，不同數(shù)字的平方根的加減運(yùn)算，如：以上運(yùn)算是不對(duì)的，不可以進(jìn)行這樣的邏輯運(yùn)算。將具體的數(shù)值代入計(jì)算，就可以證明上述式子是錯(cuò)誤的。由此可以得出結(jié)果很明顯。同樣，在減法中，結(jié)果很明確：簡化平方根在這里，介紹一下簡化平方根運(yùn)算的方法。簡化平方根在a>0，b>0的情況下，注：一般來說，|a|（a是負(fù)數(shù)時(shí)為-a）。因?yàn)檫@里a>0，所以=a我們來具體操作一下。例題2-2請(qǐng)進(jìn)行以下計(jì)算?！窘馕觥浚?）（2）（3）（4）代數(shù)式的規(guī)則今后常會(huì)用到代數(shù)式，那么我們就來確認(rèn)一下代數(shù)式中的一些規(guī)則吧。代數(shù)式的規(guī)則規(guī)則1：省略乘號(hào)（×）。a×b=ab規(guī)則2：表示代數(shù)與數(shù)字的積時(shí)，數(shù)字寫在前面。a×3=3a規(guī)則3：相同代數(shù)的積用乘方代替。a×a=a2規(guī)則4：出現(xiàn)除法時(shí)，不用除號(hào)（÷）改用分?jǐn)?shù)表示。需要注意的是，“1”和“-1”與代數(shù)相乘時(shí)省略。1×a=a（-1）×a=-a【例】分配律在這一節(jié)中要學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式計(jì)算（多項(xiàng)式的展開及因式分解），被稱作分配律。以下是分配律的基本法則。歡迎加入書社,每日海量書籍,大師課精彩分享微信:dedao555分配律（m+n）x=mx+nx帶入具體的數(shù)字看看吧。因?yàn)锳×B與B×A相同，所以也可以寫成這樣：通過下面的圖，可以更直觀地理解分配律這一概念。這個(gè)大長方形的整體面積是（m+n）x，兩個(gè)小長方形的面積分別是mx+nx。從圖中可以看出，大長方形的面積等于兩個(gè)小長方形面積的和。很明顯可以得出：（m+n）x=mx+nx由此證明，這個(gè)式子是成立的喲。例題2-3使用分配率計(jì)算以下式子?！窘馕觥浚?）（2）（3）使用分配律之后，計(jì)算會(huì)變得非常簡單。分配律在心算中的實(shí)際運(yùn)用如果能熟練使用分配律，兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算幾乎都可以心算。比如面對(duì)“請(qǐng)計(jì)算56×7”的問題時(shí)，大多數(shù)人會(huì)拿出紙筆甚至是計(jì)算器。在這種情況下，使用分配律的話，其實(shí)可以心算。不過這種方法可能需要一些練習(xí)，但在熟練之后就會(huì)變得很簡單。方法如下：56×7=（50+6）×7=50×7+6×7=350+42=392如果是“68×4”的計(jì)算，是這樣的：68×4=（60+8）×4=60×4+8×4=240+32=272如果是“79×4”則可以在分配律中使用減法，方法如下：79×4=（80-1）×4=80×4-1×4=320-4=316多項(xiàng)式展開下面我們來思考一下，（m+n）（x+y）怎樣用分配律展開。（m+n）（x+y）=mx+my+nx+ny注：像是x、2x、ny、nx2等不含加減號(hào)，并以數(shù)字與代數(shù)的積表示的式子，被稱作單項(xiàng)式。多項(xiàng)式則是類似“nx2+x-ny”這樣，對(duì)單項(xiàng)式做加減運(yùn)算的式子。通過下面的圖可以比較直觀地理解“（m+n）（x+y）”的計(jì)算原理。大長方形的面積=（m+n）（x+y）四個(gè)小長方形的面積總和=mx+my+nx+ny因?yàn)椋箝L方形的面積等于四個(gè)小長方形的面積，所以（m+n）（x+y）=mx+my+nx+ny這個(gè)等式今后經(jīng)常會(huì)用到，所以最好能夠記住哦！乘法公式對(duì)于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，下面總結(jié)了一些重點(diǎn)的公式（這些公式很常用）。多項(xiàng)式的乘法公式（1）（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab（2）（x+a）2=x2+2ax+a2（3）（x-a）2=x2-2ax+a2（4）（x+a）（x-a）=x2-a2【證明】多項(xiàng)式展開的練習(xí)計(jì)算多個(gè)多項(xiàng)式的乘積，要用到“多項(xiàng)式展開”。讓我們使用先前的公式來練習(xí)一下多項(xiàng)式的展開吧。例題2-4（1）（x+2）（x+3）（2）（x+7）2（3）（x-1）2（4）（x+9）（x-9）（5）（a-5）（a+3）（6）（-y-1）（y-1）【解析】（5）和（6）稍作變化，就可以套用公式了。下面我們來挑戰(zhàn)更加復(fù)雜的多項(xiàng)式展開。例題2-5將以下多項(xiàng)式以x為自變量整理。（1）（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2（2）（x2-x+3y）（x2-x-3y）+4（2x+y）2【解析】“以x為自變量整理”是指，將式子整理成〇x2+△x+□的形式，即將x以外的代數(shù)當(dāng)作系數(shù)，之后將各項(xiàng)按照x的指數(shù)，從大到小進(jìn)行排列。注：系數(shù)是指代數(shù)前的數(shù)字（如2x中的2），而所謂x的指數(shù)是指x右上角的小數(shù)字（如x3的3），是相乘的x的個(gè)數(shù)。（1）先用乘法公式將各項(xiàng)展開，然后再按照x的降冪排列。（2）要點(diǎn)為，將前半部分中的“x2-x”作為一個(gè)整體提出。永野老師上面的計(jì)算比較麻煩吧？不過（1）這類計(jì)算，是為之后講方差做基礎(chǔ)推導(dǎo)，同學(xué)們克服一下哦！《練習(xí)題》練習(xí)題2-1將下列數(shù)中的（根號(hào)）去掉?！窘馕觥课覀儗⒈鎰e2～11的倍數(shù)的方法整理如下。其中，7和11的倍數(shù)的辨別方法比較麻煩，直接做除法反而更方便。倍數(shù)的辨別方法2的倍數(shù)：尾數(shù)為偶數(shù)。3的倍數(shù)：各位數(shù)相加的和為3的倍數(shù)。4的倍數(shù)：末尾兩位數(shù)為4的倍數(shù)或整百數(shù)。5的倍數(shù)：尾數(shù)為0或5。6的倍數(shù)：尾數(shù)為偶數(shù)，且各位數(shù)的和為3的倍數(shù)。7的倍數(shù)：（將個(gè)位數(shù)字去掉之后的數(shù)）-（個(gè)位數(shù)字的兩倍）=7的倍數(shù)。例：581這個(gè)數(shù)按照以上法則計(jì)算為：58-1×2=56，因?yàn)?6是7的倍數(shù)，所以581是7的倍數(shù)。8的倍數(shù)：末尾3位的數(shù)字和為8的倍數(shù)，或者是整千數(shù)。9的倍數(shù)：各位數(shù)的和為9的倍數(shù)。10的倍數(shù)：尾數(shù)為0。11的倍數(shù)：“奇數(shù)位的和”-“偶數(shù)位的和”=11的倍數(shù)。例：2816這個(gè)數(shù)按照以上法則計(jì)算為：（8+6）-（2+1）=11。因?yàn)?1是11的倍數(shù)，所以2816是11的倍數(shù)。練習(xí)題2-2以下數(shù)軸上的A、B、C、D對(duì)應(yīng)著、、、四個(gè)數(shù)。求出A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)的數(shù)?！窘馕觥看祟}的解題思路是，找到中數(shù)字的前后平方數(shù)（某個(gè)整數(shù)平方之后的數(shù)）。因?yàn)?lt;，所以同理，得出，同理由此得出由此得出，練習(xí)題2-3請(qǐng)回答以下問題?，F(xiàn)有一塊288m2的土地，求出其邊長（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）。取=1.41?！窘馕觥繉⒄叫蔚倪呴L設(shè)為x，則x2=□因?yàn)閤>0，所以所以得出x≈□（m）練習(xí)題2-4請(qǐng)巧算以下算式。【解析】直接計(jì)算的話會(huì)非常復(fù)雜。在這里，巧妙使用分配律可以簡化運(yùn)算。怎么樣？用分配律巧算之后，變得簡單多了吧，幾乎都可以心算了。練習(xí)題2-5請(qǐng)求出下圖灰色部分的面積。（取圓周率為3.14。）【解析】同學(xué)們可能會(huì)問：“為什么圓周率取3.14呢？”說明一下，這只是練習(xí)分配律的習(xí)題，取3.14是為了使計(jì)算簡化。要求的面積是“大扇形面積-小扇形面積”。假設(shè)所求面積為S的話：練習(xí)題2-6將以下式子展開，并按x的降冪排列。（1）2x（3a2-2ax+x2）（2）（x+1）2（x-2a）（3）（x-a-1）（x+a+1）（4）（x-1）（x-3）（x+1）（x+3）【解析】（1）先用分配律將式子展開，然后按照x的降冪排列。（2）把（x+1）2展開后，將（x-2a）視為一個(gè)整體提出，使用分配律進(jìn)行運(yùn)算。（3）使用平方差公式（x-A）（x+A）=x2-a2來解這道題。此處將（a+1）視為A，則得到：（4）調(diào)整一下計(jì)算順序，還是使用（x-A）（x+A）=x2-a2這個(gè)公式。這里將x2設(shè)為X，則練習(xí)題告一段落，大家辛苦了！下面，我們就來看看，到目前為止學(xué)到的分配律、平方根與多項(xiàng)式展開的知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用吧！在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用四分位數(shù)與箱形圖→以中位數(shù)為基準(zhǔn)來表示數(shù)據(jù)的離散程度。方差與標(biāo)準(zhǔn)差→以平均數(shù)為基準(zhǔn)來表示數(shù)據(jù)的離散程度。方差我們這一小節(jié)的目標(biāo)是，以平均數(shù)為基準(zhǔn)研究數(shù)據(jù)的離散程度。我們還用上一章中【例題1-1】的數(shù)據(jù)為例。A組：506040307050B組：40304040100首先，我們將兩組數(shù)據(jù)與其平均值（兩組都是50）的差做成表格。A組（平均分：50）B組（平均分：50）下面求出兩組各自的“分?jǐn)?shù)-平均分”的平均數(shù)。分?jǐn)?shù)-平均分的平均數(shù)：兩組的結(jié)果居然都是0。其實(shí)這并不是偶然，在上一章的【練習(xí)題1-1】的巧解中也有提到。平均數(shù)的另一種求法是平均數(shù)=基準(zhǔn)值+與基準(zhǔn)值的差的平均數(shù)所以，以平均數(shù)作為基準(zhǔn)值的時(shí)候，“與基準(zhǔn)值的差的平均數(shù)”為0是理所當(dāng)然的。也就是說，以“分?jǐn)?shù)-平均分”的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，是無法看出以平均數(shù)為基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)的離散程度的。原因是“分?jǐn)?shù)-平均數(shù)”的結(jié)果中有正有負(fù)，相加之后全都互相抵消，無法得出數(shù)據(jù)與平均數(shù)之間的差距。在這種情況下，為了使“分?jǐn)?shù)-平均分”的差即使為負(fù)也能顯示出差值，可以將“分?jǐn)?shù)-平均分”的值平方之后，再取平均數(shù)。A組B組（分?jǐn)?shù)-平均分）2的平均數(shù)即便是負(fù)數(shù)，平方之后也會(huì)變成正數(shù)。這樣計(jì)算下來，就可以很清楚地看出A、B兩組的差別了。這種以平均數(shù)為基準(zhǔn)，“（與平均數(shù)的差）2的平均數(shù)”被稱作方差。方差的求導(dǎo)步驟如下：方差的求法（1）求出數(shù)據(jù)的平均值。（2）求出（各數(shù)值-平均值）的值。（3）求出（各數(shù)值-平均值）2的值。（4）求出（各數(shù)值-平均值）2的平均值。一般來說x1，x2，x3，…，xn這樣有n個(gè)值的一組數(shù)據(jù)，其方差寫作Vx，可以如下表示：方差的定義注：代表平均數(shù)。使用下面將要學(xué)習(xí)的∑（求和）后，可以用下面這個(gè)簡單的式子來表示，敬請(qǐng)期待！標(biāo)準(zhǔn)差通過方差我們可以看出，數(shù)據(jù)與其平均值之間的差距很適合用來研究以平均數(shù)為基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)離散程度。不過，也存在以下兩個(gè)問題：（1）數(shù)值有時(shí)會(huì)變得過大（2）單位變?yōu)樵葐挝坏钠椒街暗腁與B兩組數(shù)據(jù)中A組的方差=166.66…（分2）B組的方差=640（分2）如果單看這兩個(gè)數(shù)據(jù)，很多人會(huì)產(chǎn)生疑問：“這是什么分?jǐn)?shù)，滿分是多少啊？”“分2是什么鬼……”而且，就算是兩組數(shù)據(jù)互相對(duì)比，可以看出A組數(shù)值相對(duì)于平均數(shù)較為集中，但是，若沒有B組這一參照對(duì)象，還是會(huì)覺得A組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的差距很大。上面的兩個(gè)問題有一個(gè)很簡單的解決辦法，相信大家已經(jīng)想到了吧。因?yàn)榉讲钍菍?shù)據(jù)與平均值的差平方后求出的平均數(shù)，所以我們直接將方差開根號(hào)就可以了。方差開根號(hào)后的值叫作標(biāo)準(zhǔn)差。下面，我們來求出A、B兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差吧。A組的標(biāo)準(zhǔn)差約為13，B組的標(biāo)準(zhǔn)差約為25。標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)出的數(shù)據(jù)離散程度更接近數(shù)據(jù)中的數(shù)值。標(biāo)準(zhǔn)差也有計(jì)算公式。x1，x2，x3，…，xn一組包含n個(gè)值的數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式如下：標(biāo)準(zhǔn)差的定義這樣看起來，公式貌似很復(fù)雜，其實(shí)只是將方差開了根號(hào)而已。以平均數(shù)為基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)離散程度用方差與標(biāo)準(zhǔn)差來表示再合適不過，美中不足的是，計(jì)算比較復(fù)雜。針對(duì)這一點(diǎn)，我們將方差的公式推導(dǎo)一下，盡量將計(jì)算簡化。我們利用乘法公式（3）（x-a）2=x2-2ax+a2得出這樣一來求導(dǎo)公式就變得非常簡單了。方差的簡單計(jì)算公式（方差=平方的平均-平均的平方）既然我們推導(dǎo)出了這個(gè)公式，那么標(biāo)準(zhǔn)差的公式自然也可以變得很簡單。即：我們用這個(gè)公式來計(jì)算一下之前A組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差。岡田老師需要注意的是，在“多峰性分布”（即有數(shù)個(gè)峰值）的數(shù)據(jù)中，難以考證方差與標(biāo)準(zhǔn)差。因?yàn)?，在這種數(shù)據(jù)中，有很多數(shù)值與平均值相差較大，以平均數(shù)為基準(zhǔn)的數(shù)值難以確切表明數(shù)據(jù)與平均值的關(guān)系。偏差恐怕沒人不知道“偏差”（這個(gè)概念是日本特有的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)?！幷咦ⅲ┻@個(gè)詞語吧。上學(xué)的時(shí)候，每次模擬測驗(yàn)的結(jié)果上都有這個(gè)數(shù)字（貌似這不是個(gè)給大家留下好印象的詞語）。但是偏差的求法以及其正確的含義估計(jì)很多人都不知道，大家對(duì)于偏差的普遍印象是：“如果平均值是50，達(dá)到60的話就很優(yōu)秀了，達(dá)到70就很牛了，反之低于40的話就完蛋了……”之前學(xué)習(xí)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，是用來表示數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較小的時(shí)候，就表示數(shù)據(jù)大多數(shù)集中于平均值附近，偏差不大。同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差也是用于測量數(shù)據(jù)中某個(gè)值的“特殊”程度的指標(biāo)。偏差一般是以50為標(biāo)準(zhǔn)，將分?jǐn)?shù)與均分的差距和標(biāo)準(zhǔn)差相比后擴(kuò)大10倍。其公式如下：偏差的計(jì)算公式岡田老師舉個(gè)例子，A同學(xué)在很難的考試中得分70分，偏差為75分；而在簡單的考試中與A同學(xué)分?jǐn)?shù)一樣的B同學(xué)，偏差為50分。在這種情況下，雖然A、B兩個(gè)同學(xué)分?jǐn)?shù)相同，不過我們可以斷言，A同學(xué)的測驗(yàn)成績很好，是難得的高分；而B同學(xué)的成績則很一般。偏差的優(yōu)點(diǎn)就在于，可以比較和測量標(biāo)準(zhǔn)不同的數(shù)據(jù)。下面我們用B組的數(shù)據(jù)來計(jì)算一下100分的同學(xué)的偏差值。B組：30404040100根據(jù)之前的結(jié)果，B組的平均分為50，標(biāo)準(zhǔn)差為。果然，100分的同學(xué)很優(yōu)秀呢。在入學(xué)測驗(yàn)中，測驗(yàn)大多數(shù)人成績的分布情況和“高斯分布（又叫正態(tài)分布?！幷咦ⅲ狈浅＝咏Ｔ诟咚狗植贾?，所有數(shù)據(jù)中有68.26%的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差小于1。注：高斯分布將在后面詳細(xì)介紹。第3章用于研究關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)第3章前言如果現(xiàn)在某個(gè)商販告訴你：“買了這個(gè)壺，立馬就會(huì)有好事發(fā)生哦。”那么這個(gè)商販?zhǔn)邪司攀莻€(gè)騙子。你或許會(huì)想：“現(xiàn)在誰還會(huì)被這種弱智的騙局套進(jìn)去啊！”但若是下面的情況呢？“買這本教材回去學(xué)習(xí)就會(huì)說英語了哦！”“這種飲料喝了就能瘦哦！”“聽了這個(gè)講座就會(huì)變得很有錢哦！”雖然這些也很值得懷疑，不過也有很多人會(huì)心動(dòng)：“真的假的??？”我們每天都能在大街小巷看到的這類廣告就是證據(jù)。為了判斷這些文案究竟是真實(shí)的，還是有欺詐嫌疑的夸張廣告，我們要先對(duì)兩個(gè)要素的關(guān)系進(jìn)行分析。比如：“是否購買某教材與英語能力的關(guān)系”“某飲料的攝入量與體重的關(guān)系”“是否參加某講座與所持財(cái)產(chǎn)的關(guān)系”……我們所要研究的，就是以上例子中的兩個(gè)要素是否存在關(guān)聯(lián)性。在本章中，我們將學(xué)習(xí)一些基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)方法（點(diǎn)位圖與關(guān)聯(lián)性），以研究數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性。要理解點(diǎn)位圖，就必須掌握一次函數(shù)及其圖像的性質(zhì)。而且關(guān)聯(lián)性這一概念并非一個(gè)簡單的知識(shí)點(diǎn)，要切實(shí)理解這一知識(shí)點(diǎn)，就必須將二次函數(shù)的最大值與最小值、二次方程的判別式與二次不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)打牢。這些知識(shí)在高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)單元里占了很大一部分，所以這一章的知識(shí)點(diǎn)與內(nèi)容要好好咀嚼才能徹底理解。歡迎加入書社,每日海量書籍,大師課精彩分享微信:dedao555總的來說，本章的中心內(nèi)容就是“函數(shù)”（后文詳述）。對(duì)原因與結(jié)果的關(guān)系的理解和對(duì)函數(shù)的理解其實(shí)是存在關(guān)聯(lián)的，而且這并非僅僅是為了理解統(tǒng)計(jì)學(xué)中的關(guān)聯(lián)性這一概念，也是思考一些理論知識(shí)的基礎(chǔ)，非常重要。初高中學(xué)習(xí)的函數(shù)基礎(chǔ)不太牢靠，以及靠死記硬背應(yīng)試的同學(xué)們，一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)這一章。本人也將在篇幅允許的范圍內(nèi)，盡可能詳細(xì)地介紹這部分知識(shí)。函數(shù)大家知道“函數(shù)”這個(gè)詞的具體含義嗎？“函”是“投函”的函，代表著“箱子”的意思?！昂瘮?shù)”其實(shí)是“箱數(shù)”的意思。那什么叫作“箱數(shù)”呢？這就如同一個(gè)有著箱子外觀的運(yùn)算機(jī)器，將某個(gè)數(shù)值輸入到“箱子”里（比如說x），那么經(jīng)過“箱子”的處理，就會(huì)出現(xiàn)另外一個(gè)值（比如說y）。正是因?yàn)橛羞@一過程，所以我們才生動(dòng)形象地稱之為“箱數(shù)”。y是x的函數(shù)，在數(shù)學(xué)中寫作“y=f（x）”。y作為x的函數(shù)，有以下兩個(gè)必要條件。y作為x的函數(shù)成立的條件（A）對(duì)應(yīng)x的y值有且只有一個(gè)。（B）x（在一定范圍內(nèi)）可以取任意值。我們來想象一下上班途中見過的自動(dòng)售貨機(jī)。若是按下相同的按鈕，自動(dòng)售貨機(jī)卻根據(jù)日期掉落不同的飲料，你還會(huì)在這個(gè)售貨機(jī)上買東西嗎？除了想體驗(yàn)賭博樂趣的人以外，大家?guī)缀醵疾粫?huì)在這個(gè)機(jī)器買飲料吧。（A）條件的意思是：輸入一個(gè)值，輸出的值毫無規(guī)律可言，那么這個(gè)“箱子”與“函數(shù)”的“函”其實(shí)是不相符的，所以就不能被稱為函數(shù)。如果自動(dòng)售貨機(jī)有數(shù)個(gè)按鈕，其中有損壞的或是假冒按鈕，會(huì)怎么樣呢？在炎炎夏日，總算找到了一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)，口渴難耐的你準(zhǔn)備買一瓶功能飲料暢飲一番，卻發(fā)現(xiàn)按鈕按不了了，估計(jì)你會(huì)想把這機(jī)器給砸了。（B）的條件是指：對(duì)于輸入而言，若有的選項(xiàng)不可用，那么就不能被稱為函數(shù)。函數(shù)與圖像的關(guān)系y=f（x）的圖像是由可以帶入式子的點(diǎn)（滿足式子的點(diǎn)）組成的圖形（即這些點(diǎn)的集合）。就是說，將a值代入后得到的點(diǎn)（a,f（a））一定在y=f（x）的圖像上。這聽起來雖然理所當(dāng)然，卻非常重要，所以特別強(qiáng)調(diào)一下。函數(shù)與原因和結(jié)果的關(guān)系到目前為止，我們對(duì)函數(shù)的理解都是“輸入x值后，得到y(tǒng)的結(jié)果”。在這里稍微擴(kuò)展一下，將函數(shù)中的x當(dāng)作原因，把y當(dāng)作結(jié)果來理解的話，就可以將其與因果關(guān)系聯(lián)系起來。此時(shí)，很重要的一點(diǎn)是，我們必須確認(rèn)（A）（B）兩個(gè)條件中的（A）條件是否成立。因?yàn)椋ˋ）條件是保證因果關(guān)系成立的條件……這么解釋，理解起來很困難吧，那我就詳細(xì)說明一下。通常，原因與結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系有以下四種類型。（i）對(duì)于某個(gè)原因?qū)е碌慕Y(jié)果是唯一的，且導(dǎo)致某個(gè)結(jié)果的原因也是唯一的。（ii）對(duì)于某個(gè)原因?qū)е碌慕Y(jié)果是唯一的，但導(dǎo)致某個(gè)結(jié)果的原因并非唯一。（iii）對(duì)于某個(gè)原因?qū)е碌慕Y(jié)果并非唯一，但導(dǎo)致某個(gè)結(jié)果的原因是唯一的。（iv）對(duì)于某個(gè)原因?qū)е碌慕Y(jié)果并非唯一，且導(dǎo)致某個(gè)結(jié)果的原因也并非唯一。那么，對(duì)于我們來說，哪種類型才是良好的因果關(guān)系呢？首先，（i）型關(guān)系不必多說，是難得的良好關(guān)系。對(duì)于某種因果關(guān)系而言，如果已知其關(guān)系如（i）的類型，不僅知道某個(gè)原因可以預(yù)料到結(jié)果，而且還可以根據(jù)已得到的“結(jié)果”找出其原因。那（ii）型關(guān)系呢？因?yàn)閷?duì)于某一個(gè)原因來說，結(jié)果是完全可以預(yù)料的，為了得到我們想要的結(jié)果，可以放心地做出相應(yīng)的選擇。但是，結(jié)果所對(duì)應(yīng)的原因無法確定的話，稍微有一些不理想。（iii）的情況就有些讓人苦惱了。根據(jù)已知的結(jié)果可以找出其原因，雖然說并非毫無用處，但是對(duì)于某個(gè)原因來說，其結(jié)果無法確定，著實(shí)令人不安。從前沒有手機(jī)的時(shí)代，給女朋友家的固定電話打過去，有時(shí)候女朋友不在家，甚至有時(shí)候是女朋友的父親接電話……（iii）這種類型就是會(huì)給人帶來緊張與不安的感覺。（iv）的不確定性就更高了。在這種情況下，很難找出原因與結(jié)果之間的關(guān)系。相信大家已經(jīng)明白了，對(duì)于函數(shù)來說，（i）與（ii）的情況是比較良好的因果關(guān)系。且函數(shù)的必要條件（A）是指x（原因）與y（結(jié)果）之間、（i）與（ii）關(guān)系成立的條件。例題3-1以下列出的x與y的關(guān)系中，y是否是x的函數(shù)？（1）面積為16cm2的長方形，長為xcm，寬為ycm。（2）某人的年齡是x歲，身高是ycm。（3）某彩票售賣點(diǎn)去年買到大獎(jiǎng)號(hào)碼的有x人，今年買到大獎(jiǎng)號(hào)碼的有y人。（4）200頁的書，已讀的頁數(shù)為x頁，未讀的頁數(shù)為y頁?！窘馕觥浚?）長方形的面積為“長×寬”，在這種情況下xy=16可以得出例如，x=2cm時(shí)，可以確定y=8cm。所以y是x的函數(shù)。（2）很明顯不是函數(shù)。在人的成長期，隨著年齡的增長身高也會(huì)增長，不過身高并不是一個(gè)可以由年齡決定的值。（3）也不是函數(shù)。有時(shí)你可能會(huì)看到某彩票銷售點(diǎn)做出“一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)?wù)叩牟势背鲎员镜辍钡男麄?，這個(gè)店之前出過一等獎(jiǎng)的彩票，并不代表以后也會(huì)出現(xiàn)。雖然想要個(gè)好彩頭的心情可以理解，不過根據(jù)某個(gè)店去年得大獎(jiǎng)的人數(shù)無法推測或確定今年得大獎(jiǎng)的人數(shù)，所以這不是函數(shù)。（4）將y用x表示，可以得到：y=200-x很明顯，x的值確定后，y的值也是確定的，所以y是x的函數(shù)。岡田老師下面我想介紹一點(diǎn)超出本書范疇的知識(shí)。我們假設(shè)“某年度首都地區(qū)盛夏的天數(shù)為x天，這一年度首都地區(qū)啤酒的總銷售額為y日元”。嚴(yán)格來說，y并非x的函數(shù)，但是，在某種程度上可以預(yù)測，盛夏的天數(shù)越多，啤酒的銷量就越高。類似這樣在數(shù)據(jù)上并非嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，可以概括為[y是x的函數(shù)+誤差]按照這個(gè)邏輯，了解x與y的關(guān)系，就可以預(yù)測y（啤酒銷售額）的值。這種情況下使用的分析方法，叫作回歸分析（回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法?！幷咦ⅲ?。大家對(duì)函數(shù)有更加全面的認(rèn)識(shí)了嗎？一次函數(shù)和二次函數(shù)是本章的重點(diǎn)。大家要牢記它們各自的特征哦！一次函數(shù)當(dāng)y為x的一次函數(shù)時(shí)，一般寫作：y=ax+b（a、b為定數(shù)）注：x作為輸入值，取各種不同的值時(shí)，y作為輸出值，會(huì)根據(jù)x的變化而變化。另一方面，a與b是“定數(shù)”。例如a=2，b=3時(shí)，一次函數(shù)就寫作（例）y=2x+3若b=0，則y=ax此時(shí)的圖像是怎樣的呢？在初中成績很好的同學(xué)應(yīng)該馬上回憶起：“啊，這是y與x成比例的關(guān)系式。圖形……應(yīng)該是通過坐標(biāo)軸原點(diǎn)的直線！”沒錯(cuò)，確實(shí)是這樣的。對(duì)于那些抱有“??？是這樣的嗎？”疑問的同學(xué)，我們來做一個(gè)簡單的例題吧?，F(xiàn)在假設(shè)y=2x代入x值后，算出y的具體值，對(duì)應(yīng)的列表如下所示。根據(jù)上表可以得知，“y=2x”的圖像（至少）過這7個(gè)點(diǎn)：（-2，-4）（-1，-2）（0，0）（1，2）（2，4）（3，6）（4，8）在以x為橫軸，y為縱軸的坐標(biāo)上，將這7個(gè)點(diǎn)標(biāo)出，然后用平滑的線條將7個(gè)點(diǎn)連接起來。由圖像可以看出，確實(shí)是一條通過原點(diǎn)的直線。但是這只是將滿足“y=2x”的7個(gè)點(diǎn)平滑地連接起來而已，并非證明了“y=2x”的圖像是通過原點(diǎn)的直線。一般來說，當(dāng)y=ax時(shí)，其圖像為通過原點(diǎn)的直線的證明方法如下：首先，根據(jù)y=ax,x=0的時(shí)候y=0，證明圖像是經(jīng)過原點(diǎn)的。而在x≠0的時(shí)候可作如下變形：因?yàn)閍是定數(shù)，①表示為一定的值。這在坐標(biāo)圖上是什么意思呢？現(xiàn)在，我們將坐標(biāo)圖上的點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)的直線為斜邊作成如下的三角形。數(shù)學(xué)中一般用下面的等式表示“斜率”：而的值一定，則表示原點(diǎn)與y=ax上任意點(diǎn)連接的直線斜率都是一定的。這就表示y=ax上的任意點(diǎn)（x,y）在通過原點(diǎn)的一條直線上。那么，y=ax+b又是怎樣的呢？“y=ax+b”是在“y=ax”的基礎(chǔ)上加上了b，所以說y=ax+b的圖形就是將y=ax的圖形沿y軸提升（平行移動(dòng)）之后的圖像。一次函數(shù)的知識(shí)我們先介紹到這里。一次函數(shù)當(dāng)y是x的一次函數(shù)時(shí)：一般式：y=ax+b（a、b為定數(shù)）圖形：直線（a為斜率，b是y軸截距）注：“y軸截距”指的是“直線與y軸相交的點(diǎn)”。例題3-2求出下面一次函數(shù)的斜率以及與y軸的截距，并畫出圖形。（1）y=3x-1（2）y=2-2（x-1）【解析】（1）此函數(shù)是一般式的形式，從式子可以直接看出，斜率為3，y軸截距為-1。圖像是直線，給出直線的兩個(gè)點(diǎn)，就能畫出來。所以我們代入適當(dāng)?shù)闹担ㄈ菀子?jì)算的值），計(jì)算出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后將兩個(gè)點(diǎn)連接起來就可以了。當(dāng)x=0時(shí)?y=3·0-1=-1當(dāng)x=1時(shí)?y=3·1-1=2可以得出，圖像是通過（0，-1）（1，2）兩點(diǎn)的直線。（2）此式并非是“y=ax+b”的形式，我們用前面提到過的分配律將其展開。y=2-2（x-1）=2-2x+2=-2x+4這樣就變成了一般式的形式。斜率為-2，y軸截距為4。同上x=0時(shí)?y=-2·0+4=4x=1時(shí)?y=-2·1+4=2可以得出，圖形是通過（0，4）（1，2）兩點(diǎn)的直線。將（1）與（2）的圖像畫在同一坐標(biāo)軸上，如下所示：關(guān)于斜率的正負(fù)與圖形在這里，要注意一下斜率這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。上面的問題（2）中，一次函數(shù)的斜率“-2”，為負(fù)值。所有圖像是呈下降趨勢的。一般來說，一次函數(shù)斜率的正負(fù)與圖像的關(guān)系如下所示：永野老師理解一次函數(shù)對(duì)“點(diǎn)位圖”的理解很有幫助！一次函數(shù)圖像代數(shù)式的求法最后，我們通過下面的例題，學(xué)習(xí)一下在已知斜率和圖像上面某點(diǎn)的情況下，求導(dǎo)代數(shù)式的方法。例題3-3求出斜率為并通過（3，4）這一點(diǎn)的一次函數(shù)的代數(shù)式。【解析】這道用初中數(shù)學(xué)就能解答出來的題，我們?cè)谶@里用高中二年級(jí)的解法解答。取斜率為a，通過點(diǎn)（p,q）的直線上的任意一點(diǎn)（x,y），作出以上直角三角形。則：進(jìn)一步求導(dǎo)得出：得出的這個(gè)式子就是斜率為a，且通過點(diǎn)（p,q）的式子。在本題中，斜率為，通過的點(diǎn)為（3，4），即將這些數(shù)值代入②式，則得到：所以直線的式子為：注：初中的解法是：先將要求的直線寫成這條直線通過（3，4），所以將其代入③得到斜率為a且通過點(diǎn)（p,q）的式子為y=a（x-p）+q永野老師相關(guān)系數(shù)為1或-1時(shí)，x與y的關(guān)系是最明顯的。我們可以用上面的式子進(jìn)行說明。在這之后，有數(shù)十頁內(nèi)容都是理解“相關(guān)系數(shù)r值的范圍在-1～1之間”這一概念的。因?yàn)閮?nèi)容涉及比較廣，我們先來看一下這些知識(shí)內(nèi)容的流程關(guān)系圖。大家可能會(huì)比較驚訝，為了證明一個(gè)式子，竟然需要這么多數(shù)學(xué)知識(shí)。這正是相關(guān)系數(shù)的理論讓人覺得很難的原因。下面將對(duì)這些知識(shí)逐一詳細(xì)介紹，請(qǐng)努力學(xué)習(xí)哦！二次函數(shù)的基礎(chǔ)當(dāng)y是x的二次函數(shù)時(shí)，一般如下表示：y=ax2+bx+c（a,b，c是定數(shù)）注：與一次函數(shù)一樣，x與y可以帶入各種值，而a、b、c則是定數(shù)。例如a=3，b=2，c=1的情況下，二次函數(shù)式如下所示：y=3x2+2x+1在這里當(dāng)b=0，c=0的時(shí)候，式子就變成了y=ax2還記得這個(gè)式子的圖形嗎？對(duì)，是通過原點(diǎn)的拋物線。我們來確認(rèn)一下?，F(xiàn)在假設(shè)y=x2從上表中可以看出，y=x2的圖像（至少）通過以下7個(gè)點(diǎn)：（-3，9）（-2，4）（-1，1）（0，0）（1，1）（2，4）（3，9）這段內(nèi)容好熟悉啊……這次我們也將這7個(gè)點(diǎn)放在x與y的坐標(biāo)軸上（在坐標(biāo)軸上標(biāo)出來），然后將其用平滑地線連接起來。這樣的曲線叫作拋物線（即拋出物體時(shí)，物體的路徑曲線）。注：這個(gè)圖形也和一次函數(shù)一樣，僅僅是用平滑的線條連接了7個(gè)點(diǎn)而已，并非證明了y=ax2的圖像是拋物線。嚴(yán)格來說，要證明y=ax2的圖像為拋物線，需要用到微分。但是在這里詳細(xì)介紹的話，本章內(nèi)容就太過冗雜了，所以暫時(shí)先不講解，請(qǐng)大家先記住y=ax2的圖像是通過原點(diǎn)的拋物線。一般情況下，y=ax2在a為正數(shù)的時(shí)候，圖像是通過原點(diǎn)且開口向上的拋物線；反之，a為負(fù)數(shù)的情況下，圖像也是通過原點(diǎn)，但是拋物線的開口向下。圖形的平移下面，我們將y=ax2這一以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形，x方向+py方向+q進(jìn)行平移。假設(shè)y=ax2上的點(diǎn)（x,y）移動(dòng)到了（X,Y），根據(jù)圖形，則可以得到：整理后得到將其代入y=ax2③（X,Y）的關(guān)系式。因?yàn)椋╔,Y）是圖形平移以后拋物線上的點(diǎn)，所以③滿足平行后的圖形，即為移動(dòng)后圖形的式子。原來y=ax2的圖形以原點(diǎn)（0，0）為原點(diǎn)，故移動(dòng)后的拋物線頂點(diǎn)為（p,q）。二次函數(shù)y=a（x-p）2+q的圖像（1）形狀與y=ax2相同。（2）頂點(diǎn)為（p,q）永野老師這部分雖然比較難，不過一定要透徹理解二次函數(shù)的概念才能繼續(xù)學(xué)習(xí)后面的知識(shí)點(diǎn)，所以大家多多研讀，務(wù)必要掌握哦！注：③中的（X,Y）就這樣變成（x,y），可能很多人會(huì)有些詫異。之前平行移動(dòng)后的（X,Y）只是為了區(qū)別于（x,y），沒有其他的意義。而③中也不會(huì)再出現(xiàn)容易混淆的情況，所以移動(dòng)后的點(diǎn)以（x,y）表示。例題3-4將以下（1）～（3）的二次函數(shù)與（A）～（C）的圖形相對(duì)應(yīng)?！窘馕觥浚?）可以得出，這是頂點(diǎn)為（3，2）、開口向上的拋物線，所以為（B）。（2）根據(jù)可以得到，圖形是頂點(diǎn)為（0，-1）、向