不等式基本性質教學設計

不等式基本性質教學設計作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師，時常要開展教學設計的準備工作，教學設計把教學各要素看成一個系統(tǒng)，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優(yōu)化。寫教學設計需要注意哪些格式呢？以下是小編精心整理的不等式基本性質教學設計，歡迎大家分享。不等式基本性質教學設計1一、教材分析1、本節(jié)課的地位、作用和意義基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（小）值的基礎，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產等有比較廣的實際應用。2、本節(jié)課的教學重點和難點我通過解讀新課標和分析教材，認為：重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。突破難點的'方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。二、教學目標分析1、知識與技能目標（2）理解的幾何意義。（3）能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%2、過程方法與能力目標（1）探索并了解均值不等式的證明過程。（2）體會均值不等式的證明方法。3、情感、態(tài)度、價值觀目標（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，勇于提出問題、分析問題的習慣?！疤骄俊被静坏仁降淖C明（1）【三維目標】：一、知識與技能1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；二、過程與方法三、情感、態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣【教學重點與難點】：【學法與教學用具】：2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）【授課類型】：新授課【課時安排】：1課時【教學思路】：一、創(chuàng)設情景，揭示課題1.提問：與哪個大？2.基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。二、研探新知重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當且僅當時，等號成立。證明:所以不等式基本性質教學設計2一、教學設計理念：這節(jié)課的目標定位分為三個層面：本節(jié)課我設計了五個環(huán)節(jié)：①變教學生學會知識為指導學生會學知識；導入新課師同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？?【三維目標】：一、知識與技能二、過程與方法本節(jié)課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數(shù)量關系進行求解這個中心。三、情感、態(tài)度與價值觀1.引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德?！救S目標】：一、知識與技能二、過程與方法三、情感、態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣二、重點、難點解讀三、知識點精析一、教學目標1．知識與技能探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式2．過程與方法通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結合及轉化的數(shù)學思想．3．情感、態(tài)度與價值觀：三、教學資源普通高中數(shù)學課程標準（實驗）人教a版教材必修5中學數(shù)學周刊20xx年第10期百度四、教學方法與手段啟發(fā)學生探究，多媒體輔助教學五、教學過程（一）創(chuàng)設情境：你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？設計意圖：創(chuàng)設問題情境，為問題的引出做鋪墊（二）新知探究：圖1將風車抽象成圖2當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?圖2即時,正方形efgh縮為一個點,這時有2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；【教學重點】應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件【教學過程】1.課題導入基本不等式的幾何背景：教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系2.講授新課1．探究圖形中的不等關系將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的.邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。2．得到結論：一般的，如果3．思考證明：你能給出它的證明嗎？不等式基本性質教學設計3知識與技能：理解并掌握不等式的三個性質，能運用性質，用不等號連接某些代數(shù)式，進行不等式的變形。過程與方法：經(jīng)歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果，培養(yǎng)學生自主分析問題，解決問題的能力，養(yǎng)成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。情感態(tài)度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。教學難點：正確運用不等式的性質。教學重點：理解并掌握不等式的性質3。教學過程：一、創(chuàng)設情境引入新課利用一臺平衡的天平提出問題，引入新課1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平會有什么變化？2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的`砝碼，天平會有什么變化？3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數(shù)，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數(shù)呢？通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關系。二、合作交流探究新知1、問題情景：數(shù)學老師比語文老師年齡小。1、10年后誰的年齡大？2、20年之后呢？3、5年之前呢？假設數(shù)學，語文兩位老師的年齡分別為a，b，則aa+10a+20a—52、探索與發(fā)現(xiàn)一組：已知5>3，則5+23+25—23—2二組：已知—1—1—33—3想一想不等號的方向改變嗎？3、歸納：不等式的性質1：不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變如果a＜b，那么a+c如果a＞b，那么a+c>b+c，a—c>b—c。不等號方向不改變！4、大膽猜想不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變不等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（不為零），不等號的方向呢？5、探索與發(fā)現(xiàn)已知4一組：4×26×（—2）；4÷26÷（—2）。思考不等號方向改變嗎？不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數(shù)，不等號方向改不改變和什么有關？6、不等式的性質2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac7、不等式的性質3：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。如果a>b，且c如果a三、鞏固提高拓展延伸例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什么（學生口答）（1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；（2）因為a+8＞4，所以a＞—4；（3）因為4a＞4b，所以a＞b；（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；（5）因為3＞2，所以3a＞2a．（1）正確，根據(jù)不等式基本性質3．（2）正確，根據(jù)不等式基本性質1．（3）正確，根據(jù)不等式基本性質2．（4）正確，根據(jù)不等式基本性質1．（5）不對，應分情況逐一討論．當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質2）當a=0時，3a=2a．當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質3）考考你！0>4，哪里錯了？已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時除以（n—m），得0>4。等式與不等式的性質1、不等式的三個性質。2、等式與不等式的性質對比。先前后比較，再定不等號四、總結歸納1、等式性質與不等式性質的不同之處；2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題．學生通過總結，可以幫助自己從整體上把握本節(jié)課所學知識培養(yǎng)良好的學習習慣，也為下節(jié)課學好解不等式打下基礎。五、布置作業(yè)1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題2、選做題：教科書第134頁習題9。1第7題．不等式基本性質教學設計4教學分析本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展。在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。通過本節(jié)課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用。對不等關系的相關素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來。在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望。根據(jù)本節(jié)課的教學內容，應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系。要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識。三維目標1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系。2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍。3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美。重點難點教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍。教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小。課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課。思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系。這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢？讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著。這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課。推進新課新知探究提出問題1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關系？2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系。你能舉出一些實際例子嗎？3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系？4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系？用邏輯用語怎樣表達這個關系？活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同。不等關系強調的是關系，可用符號“>”“b”“a教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系。在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容。實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。實例4：兩點之間線段最短。實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。實例6：限速40km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h.實例7：某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢？學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系。那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|實例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的'脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論。討論結果：(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大。(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b應用示例例1(教材本節(jié)例1和例2)活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法。點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應讓學生熟練掌握。變式訓練1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4與4a3(a-b).活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點。解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]∴a4-b4點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用。變式訓練已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小?；顒樱阂容^任意兩個數(shù)或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系。解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.當y當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論。例3建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由。活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。點評：一般地，設a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.變式訓練已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8與a4+a5大小不確定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能訓練1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.02.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立。2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.課堂小結1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結，從實數(shù)的基本性質的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中。2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方。鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究。作業(yè)習題3—1A組3;習題3—1B組2.設計感想1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化。經(jīng)驗告訴我們：課堂上應根據(jù)具體情況，選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式。各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動。也就是說，世上沒有萬能的教學方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。2.本節(jié)設計注重了難度控制。不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷來是高考的重點與