2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 3 不等式 二級(jí)結(jié)論講練 學(xué)案

專(zhuān)題3不等式

二級(jí)結(jié)論1：均值不等式鏈

2//T-a+b/?a1^b1

【結(jié)論闡述】『VYabV丁≤H~（a>O,b>O,當(dāng)且僅當(dāng)折〃時(shí)取等號(hào)）

ah

【應(yīng)用場(chǎng)景】以“和”（平方和、調(diào)和）為本質(zhì)特征的“平均數(shù)”與以“積”為本質(zhì)特征的“平

均數(shù)”相互轉(zhuǎn)化.主要用于求函數(shù)最值、證明不等式，但要注意三個(gè)條件：①“一正”，即

項(xiàng)項(xiàng)為正；②“二定”，即兩項(xiàng)之積“或和為定值”；③“三相等”，即項(xiàng)項(xiàng)相等時(shí)才能使“=”

號(hào)成立.

【典例指引1】

1.若x，y為正數(shù)，貝+（2y+￡|一的最小值是（）

A.B.7C.16D.

【答案】C

【分析】將完全平方式展開(kāi)，重組，利用基本不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】?.20,y>0,

=4+4+8=16,

當(dāng)且僅當(dāng)4/=1，4）2=1，把=匕，即χ=y=立時(shí)，取等號(hào)，

XyyX2

此時(shí)+（2y+，）取最小值，最小值為16.

故選：C.

【典例指引21

2.設(shè)4>0,b>O,o2+y=1,則4ji+）的最大值是.

【答案】迷

4

【分析】已知〃2+4=1,故應(yīng)用基本不等式變.√Γ不為可以用/+￡?表示的形式，觀察知除個(gè)正

就可以了

【詳解】解：/+。=1=/+

222

____2b2+l

Λ^√I+?2=√2?a?J^^-≤√2---------2_=亞W=邁，

V2244

當(dāng)且僅當(dāng)a=、忙/,即α=立力=立時(shí)等號(hào)成立.

V222

故答案為：—.

4

【針對(duì)訓(xùn)練】

一、單選題

（2023?天津.南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）

41

3.已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足--+—=1,則。+處的最小值為（）

a+h?+l

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析】令α+"α+f+一，用α+f+l分別乘小+異τ=l兩邊再用均值不等式求解即可.

41

【詳解】因?yàn)榱?時(shí)=1，且助為正實(shí)數(shù)

771/77八/4lCI+h4(/?+1)

所rr以κla+〃+〃+l=(a+b+〃+l)(------+-------)λ=4λ+-------÷-------+1

a+bZ?+lb+?a+b

a+b4(?+l)=9'當(dāng)且僅當(dāng)需=鬻即α="2時(shí)等號(hào)成立.

≥5+2,

h+?a+b

所以4+2b+l≥9,a+2b≥8.

故選：B.

（2023?遼寧鞍山?一模）

4.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下:

當(dāng)且僅當(dāng)臺(tái)5時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)

設(shè)。，b,χfy>0,則幺+(〃+「)

Xyx+y

291

/⑴=LK（℃<5）的最小值為（)

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.

【詳解】因α,b,X,y>0,則L幺，當(dāng)且僅當(dāng)@=2時(shí)等號(hào)成立,

Xyx+yxy

又O<x<LEP1—2x>O,

2

2232(2+3)223即X=I時(shí)取“=”,

于是得/(無(wú))=丁+~k≥,I=25,當(dāng)且僅當(dāng)S=

2xlr-2x2x÷c(l-2;x)、2x1-2X

291

所以函數(shù)/&)=一+「「(°<工<7)的最小值為25?

XI-ZX2

故選：B

（2023?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）

41

5.?a>0,b>O,且一+丁=1,則“6的最小值為（）.

ab

A.16B.4C.—D.一

164

【答案】A

【分析】根據(jù)基本不等式計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)椤?gt;0、?>O,所以t+L≥2?l±χL=4/上,βpi≥4—,所以≥4,即αb≥16,

ab?abVabVab

4I

當(dāng)僅當(dāng)二=；,即α=8,萬(wàn)=2時(shí)，等號(hào)成立.

故選：A.

（2023?廣東茂名?二模）

6.己知/=3/-23，?∈R）,貝∣J∣3”一切的最小值為（）

A.0B.1C.2D.√2

【答案】C

r.r.μ=?∣3a+b

【分析】由/>2=3/-2可得(6"+6)(6。-與=2,令〈r,表示出“力,再由

V=y∣3a-b

(3a-b)2=9α2-6<zfe+?2=(l-?-)√+(l+?-)v2+χ∕v,結(jié)合不等式知識(shí)，即可求得答案.

【詳解】由^=3/-2可得：3/一^=2,故（α+與（石。一切=2

6

μ=?∕3a+ba=-(μ+v)

令,則

V=>∕3a-b?=∣(A^V)

因?yàn)?3α-b)2=9a2-6ab+b2=(I一+(1++μv

≥2J(l一等)(1÷?)//v+μv=2μv=4，

所以∣3T∣≥2,即∣3a-b∣的最小值為2,

故選：C.

(2023?浙江湖州?模擬預(yù)測(cè))

7.已知。>0力>0,定義”(α,b)=max[n+22R,,+2"},則”(。向的最小值是()

A.5B.6C.8D.1

【答案】A

H(a,b)≥a+2i-b

【分析】利用定義得到,9,,兩個(gè)不等式相加后利用基本不等式可求出結(jié)果.

H(a,b)≥-+2fb

a

2b

f91[H(a,b)≥a+2-

【詳解】由定義，(9)=max"22，,一+2〃，得，97，，

IaJH(a,b)≥-+2h

、a

所以2H(a,6)24+22f+?+2"=α+2+22"+2"22j"?2+2√Ξr7^=6+4=10,

aaVa

a=—[a=2>

當(dāng)且僅當(dāng)a,即時(shí)，取等號(hào).

Q2-b_2*[0=1

所以H(a,A)≥5,即H(α,%)的最小值為.

故選：A

二、多選題

(2023?河北保定?一模)

8.下面描述正確的是()

A.己知α>0,?>0,且α+b=l,則log?α+1%：≤-2

B.函數(shù)/(x)=∣lgΛ∣,若0<α<6,且/(α)=∕(b),則α+2Z>的最小值是2&

I2

C.C知一~j~+°-，=l(x>O,y>0),貝∣J3x+y的最小值為2+2√i

人I1Nr人I-V

7

D.已知f+9一工一丁一孫+2=()(χ>0,y>0),則孫的最小值為W

【答案】AC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，利用

對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；C,用“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)D,將

χ2÷∕-χ-γ-^÷2=0,轉(zhuǎn)化為(工+?_(1+#=3切-2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,丁。>0,b>O1a+b=l,*??=a+b≥2y[abJ.ab<?,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=:

42

時(shí)取等號(hào)，Iog2a+Iog2b=Iog2cιb<Iog2i=-2,ΛA正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)楸?1,所以。+2匕=。+—,又OVaV1,所以由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)

a

9

Ma)=〃+,在(0,1)上單調(diào)遞減，所以∕z(α)∈(3,+∞),即。+?>3,故B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)題意,已知3x+y=(x+l)+(2x+y)T,則

[(x+l)+(2x+y)]島+募I=3+智+半W≥3+2√5,當(dāng)且僅當(dāng)2±4羋⑴，即

x÷l2x+yx+12x+y

x=*,y=l時(shí)，等號(hào)成立，所以3x+y≥2+20,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,f+y2-χ-y一孫+2=0=(χ+y)2-(X+y)=3肛一2,?X+j=Z>0,所以產(chǎn)一^之一^,

1

χ+y=—,

2

所以3孫一2≥-*≥1此時(shí).γ無(wú)解，所以選項(xiàng)D不正確,

xy=-

12

故選：AC.

(2023?廣東肇慶?二模)

9.已知χ2+y2=ι,χ∈R,y∈R,且Λy≠O,則()

A.?x+y?≤y∕2

b??χy?>^

C.Iog2∣x∣+Iog2Iyl≤-l

d??+r2

【答案】AC

【分析】根據(jù)基本不等式逐個(gè)分析判斷

【詳解】?.?i=x2+y2≥2xy,2≥x2+y2+2xy≥0,

∣x+y∣2=產(chǎn)+y2+2xy∣≤2,

Λμ+y∣≤√2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=等或x=y=-*時(shí)取等號(hào)，故A正確；

222

V1=√+y=∣λ∣+∣y∣≥2∣ΛJ>∣,Λ∣Λ>?∣<∣,當(dāng)且僅當(dāng)X=產(chǎn)也或χ=y=一立時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤;

222

Vlog,∣x]+log,I?l=Iog2∣xy∣≤log2^=-l,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=也或x=y=-立時(shí)取等號(hào)?，故C正確；

222

由選項(xiàng)B的解析可知?I≤g,所以國(guó)≤等，所以卡廣憶所以百+#2)斤2應(yīng)，當(dāng)且

僅當(dāng)x=y=e或x=y=-立時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

22

故選：AC

（2023?江蘇?鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）

10.已知”為均為正數(shù)且α+6='+g,下列不等式正確的有（）

ab

A.a?∣a+2by[b≥3B.?[a+?∕b≥2C.a+2?[b≥3D.γ+-≥3

ba

【答案】BCD

【分析】由已知條件可得而=1,然后逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】由a+/〉='+。，得a+6=畔，

abab

所以ab（a+匕）一（a+匕）=0,（α+0）（αb-l）=0

因?yàn)?。力均為正?shù)，所以必=1,

rτ

對(duì)于A,β√^+2Z>√?=√Σ+√4?>2√√^?^=2≠?F=2√2-

當(dāng)且僅當(dāng)J/=質(zhì)，即α=次力=擊時(shí)取等號(hào)，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,6+42屬后=2√^=2,當(dāng)且僅當(dāng)G=",即α=b=l時(shí)取等號(hào)，所以B正確,

對(duì)于C,因?yàn)楸?1,所以。=1,所以α+2折J+2妍=淌/+血+√^≥3?-??fb??[b=3,

當(dāng)且僅當(dāng)兩τ=?,即α=b=l時(shí)取等號(hào)，所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)槎?1,所以3+2=《±吆=/+〃+/>23療了工=3,當(dāng)且僅當(dāng)∕=b,即q=∕,=ι時(shí)

baab

取等號(hào)，所以D正確，

故選：BCD

（2023?江蘇?南京市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）

11.已知。，6為正實(shí)數(shù)，且而=3√^花—4拉，則2a+b的取值可以為（）

A.1B.4C.9D.32

【答案】BD

【分析】根據(jù)基本不等式可得3√^Ξ花-4及≤g詈，進(jìn)而求得2α+8≥32或?<2α+648,再結(jié)

合選項(xiàng)判斷即可

【詳解】因?yàn)?。?為正實(shí)數(shù)，√^=3√2^T?-4√2,所以3月法-40=而=

√22√2

當(dāng)且僅當(dāng)Za=O時(shí)等號(hào)成立，即3√^與-4√Σ≤=等，所以(勿+6)-6國(guó)勿+6+16≥0,所以

?a+b≥4插或y∣2a+bK2母,因?yàn)椤?為正實(shí)數(shù)，向=3j2α+b-4√Σ,所以3j2α+b-40>0,

故選：BD.

(2023?江蘇?阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè))

12.設(shè)0,6為兩個(gè)正數(shù)，定義α,。的算術(shù)平均數(shù)為A?6)=等，幾何平均數(shù)為G(a,。)=奴.上

個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家DHLehmer提出了“Lehmer均值”，即45,％)=奈葛?，其中P為

有理數(shù).下列結(jié)論正確的是()

A.Zυ5(^,?)≤?1(^,?)B.Zυ(α,0)<G(α,力)

C.L2(a,b)≤A(a9b)D.Ln+l[a,b)<Ln(a9b)

【答案】AB

【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個(gè)選項(xiàng).

,?∕?+λ∕?,

【詳解】對(duì)于A,、5(。為)=」_+，=友≤k(a,b)=皆,當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)，等號(hào)成立，故A

?[a4b

正確；

.2_2ab2b

對(duì)于B,'9')=「I=R4—而=Gab),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

a2+?2a2^b2+a2^-b2^a2+b2+2ab(tz+?)2a+b

對(duì)于CL(a,b)=---------=--------------------->------------------=-----------=-------=A(a,b),當(dāng)且僅當(dāng)。=6

22(a+b)2(〃+。)2(〃+力)2

時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

對(duì)于D,當(dāng)〃=1時(shí)，由C可知，L2(a,b)≥^-^(a,b),故D不正確.

故選：AB

二級(jí)結(jié)論2：兩個(gè)經(jīng)典超越不等式

【結(jié)論闡述】(D對(duì)數(shù)形式：x>l+lιu(x>O),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.

(2)指數(shù)形式：e?x+l(XeR),當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)，等號(hào)成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex>x+l>x>[+↑nx(x>0且XWl)

上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的原型是來(lái)自于泰勒級(jí)數(shù)：er=l+x+-++—+—^——xn+1,

一_2!

丫23—+I

n+lA

ln(l+Λ>x--+--+(-l)-+θ(x^),截取片段：e>x+l(xeR),ln(l+x)<x(x>-l),當(dāng)且

23〃+1v7

僅當(dāng)X=O時(shí)，等號(hào)成立；進(jìn)而：InxMx-I(QO),當(dāng)且僅當(dāng)戶(hù)1時(shí)，等號(hào)成立.

【應(yīng)用場(chǎng)景】對(duì)于這兩個(gè)不等式的得到都是源于高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開(kāi)，他們的變形式

還有：ln(-+l]≤-,lnx≥l-■-,?n?≤?-1,—~!?≤lnx≤x-l等，這些都高考命題的題點(diǎn).

?XJXXXXX

【典例指引1]

(2022?江蘇蘇州?高三期末)

13.已知α>8+l>l則下列不等式一定成立的是()

A.I力-α∣>bB.α4—>bτ—

11ah

Cb+1e"C1...

C.------<------D.a+?nb<b+?na

a-?Ina

【答案】C

【分析】錯(cuò)誤的三個(gè)選項(xiàng)ABD可以借助特殊值法進(jìn)行排除，C可以利用求導(dǎo)得出證明.

【詳解】取"=10/=8,則歸4<〃，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

取α=3,b=—,aH—=h+-,則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

Sab

取α=3,b=?,則α+lnh=3,?+lnα=l+ln3<l+lne?2=3,BPa+?nb>b+?na,

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

關(guān)于C選項(xiàng)，先證明一個(gè)不等式：e*≥x+l,令y=e'-x-l,y'=e'-1,

于是χ>o時(shí)y'>o,y遞增；x<o時(shí)y'<o,y遞減；

所以X=O時(shí)，y有極小值，也是最小值e0-0-l=0,

于是y=e'-x-l≥O,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取得等號(hào)，

由e*≥x+l,當(dāng)x>-l時(shí)，同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，x≥ln(x+l),

再用XT替換X,得到x-l≥lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l取得等號(hào)，

由于α>6+l>l,得到e">b+l,?na<a-l,\*>1>絆，即2±l<fL,

Inaeβ-lIna

C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【典例指引2]

(2022?安徽?高三月考)

14.已知函數(shù)/(%)="-αv-l(α∈R).

(1)若對(duì)Dx>0,都有/(力>0,求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

⑵若“、b>0,5-a+b=?,求證：對(duì)任意XNO,都有：e'≥(l+or)(l+法).

【答案】(l))≤l

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)。的取值分類(lèi)討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,即可確定實(shí)數(shù)4的

取值范圍；

⑵利用⑴的結(jié)論,構(gòu)造不等式e"21+αr>0,*≥l+bx>O,兩式相乘結(jié)合條件即可證明

ex≥(l+0r)(l+?x).

(1)

由x>O時(shí)：/(x)=eA-l-αr>0

又：f?x)=ex-a,

①若α≤1時(shí)，由X>O,故e*>1,

所以對(duì)任意x>O,都有：r(x)=e'-4>O

此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,+向上單調(diào)遞增，故對(duì)任意x>O,都有：〃力=，-1-依>〃0)=0滿(mǎn)足條件

②若α>l時(shí)，由x>O,故：/'(x)=e*-4=0=x=ln4

故可得：

X(-?o,lnɑ)InQ(Inez,-HX))

.f(?)-0+

/(?-)、極小值

故函數(shù)/(x)在(O,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,物)上單調(diào)遞增，

故：“1114)<〃0)=0不滿(mǎn)足條件以>0,都有/(x)>0,

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為α≤l.

(2)

由(1)可知，當(dāng)α=l時(shí)，對(duì)任意x≥0,都有：/(x)=e'-l-x>O,

故對(duì)任意x≥0,都有：e*≥l+x,

又〃、b>0,故對(duì)任意XN0,都有：eav≥l+αr>O,eb'≥l+bx>O

又α+b=l,故：eax?ehx=eax+hx=^a+b]x=ex≥(?+ax)(?+hx)

故對(duì)任意x20,都有：ex≥(∣+αr)(l+for).

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)值恒大于零求參數(shù)的范圍以及用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問(wèn)題，解答時(shí)要

注意分類(lèi)討論的思想方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及最值，解答的關(guān)鍵是證明函數(shù)不等

式時(shí)，能靈活地借用第一問(wèn)的結(jié)論.

【針對(duì)訓(xùn)練】

(2022?廣東韶關(guān)?一模)

15.已知"=e""i∕=sinl,C=Cosl,則()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=e'-X-1,利用導(dǎo)數(shù)證明e*-x-l≥O,進(jìn)而比較“力大小，再根據(jù)正余弦函

數(shù)性質(zhì)比較b>c大小即可得答案.

【詳解】解：當(dāng)XJf,孚,si?u>cosx,又l∈jf,當(dāng)，所以SinI>cosl,故6>c

144；(44J

記f(x)=e'-x-l,所以尸(X)=e'-l,

令T(x)<O,得x<0,令附x)>0,得x>0,

所以/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+⑹單調(diào)遞增.

所以/(x)≥"0)=0,即e*-x-l≥O,當(dāng)X=O時(shí)取等號(hào).

所以α=e疝I>(sinl-l)+l=sinl=?,

所以c<∕><..

故選：C.

(2022?山西運(yùn)城聯(lián)考)

uf

16.已知命題。：3x>0,lnx>x-li命題夕：VxeR,e21則下列命題中為真命題的是()

A.FMB.PAqC.PLqD.TPVq)

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)比較lnx,x-l在(0,+8)上的大小關(guān)系，判斷命題P真假，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷命

題q真假，進(jìn)而判斷各復(fù)合命題的真假即可.

【詳解】令y=lnx-x+l且定義域?yàn)?0,+∞),則y=?L-i,

X

所以(0,1)上y'>0,y遞增；(1,鐘)上y'<0,y遞減；

所以y≤yl,τ=0,即InX≤x-l,又VXeR,恒成立，

所以命題P為假命題，命題q為真命題，則為真命題，F(xiàn)為假命題，

故一^Aq為真,p^4?p^F?-I(PV<7)為假.

故選：A.

(2022?廣東肇慶?)

17.下列不等式中，不恒成立的是()

A.ej,+2≥x+3(xe∕?)B.(x+l)2>ln(x+l)(x>-l)

C.In(X+2)≤x+l(x>-2)D.e`≥sinx+，(XeR)

8

【答案】D

【分析】對(duì)于A：由于e*..x+l,即可判斷A是否正確；對(duì)于B：由于f>lnx,即可判斷B是否正

確；對(duì)于C：由于lnχ,x-l,即可判斷C是否正確；對(duì)于D：取X=-乃，,τ=—<—=sin(-Λ,)+—,

eπ88

即可判斷D是否正確.

【詳解】對(duì)于A：令，(X)=e"—(x+l),

f'M=ex-?,

所以當(dāng)X>O時(shí)，T(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時(shí)，∕,(x)<0,“X)單調(diào)遞減，

所以/(x)?J(0)=0,

所以6、..X+1,

所以/2..X+3,故A正確;

對(duì)于B：令/(x)=/-InX,

一1.2√-l

f(?)-2x—，

XX

所以在(o,Y2)上，rax。，/(X)單調(diào)遞減，

2

在(亞，+8)上，∕V)>0,"X)單調(diào)遞增，

2

所以/(x)..∕(-^-)=(-^-)2-ln(?^-)=?-ln~=In?/e-In>0,

所以一＞?n?,

所以(x+l)2>ln(x+l),(x>-l),故B正確;

對(duì)于C：令/(x)=InX-(X-1),

當(dāng)x>ι時(shí)，∕,ω<o,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)O<x<l時(shí)，∕,(x)>O,/'(X)單調(diào)遞增，

所以/(X)，，/(1)=0,

所以InX-(X-I)?0,

所以In%,X-I,

所以In(X+2Kx+l,故C正確；

對(duì)于D：取X=-I,得Jrcj=Sin(Tr)+：,故D錯(cuò)誤，

e,88

故選：D

(2022?安徽?東至縣第二中學(xué))

18.下列不等式正確的個(gè)數(shù)有()個(gè).

①e*2x+l;②X-INlnX；③XX+∣>(x+l)*,(x>e)

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

【分析】對(duì)于①，構(gòu)造函數(shù)f(x)=e*-x-l,再討論其最小值即可；對(duì)于②，利用①的結(jié)論即可判斷;

InY

對(duì)于③，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=-(x>e),討論其單調(diào)性即可.

X

【詳解】對(duì)于①，令/(x)=e'-x-l,fXx)=ex-↑,則“外在(一*0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,

=F(O)=O,

Vx≡R,ex-X-I≥0,即e*≥x+l,①正確：

由e'≥x+l知，ei≥x(x>O)恒成立,則有IneT≥lnx,即x-l≥lnx成立,②正確；

對(duì)于③，令∕7(x)=g(x>e),I(X)=上坐<0,即〃(X)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

X廠(chǎng)

FIrhJnXln(x+l)..…

Tfijx+l>x><?,則--->-------<≠>(x+l1)l1nx>xln1(zx+l)ιx<=>I1nxx+i>l1nz(x+l),

Xx+1

所以有XAl>Q+l)Fx>e),③正確.

故選：D

19.下列四個(gè)命題中的假命題為()

A.Vx∈R,ex≥x+lB.Vx∈R,e~x≥-x+l

1

1-1

C.HXo>0,Inx0>x0-1D.HrO>0,In—>?1

?

【答案】C

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷AB選項(xiàng)的真假性，利用特殊值判斷D選項(xiàng)的真假性，利用導(dǎo)數(shù)判斷C選項(xiàng)

的真假性.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)F(X)=d—x—1,f(x)=ex-l,所以/(x)在區(qū)間(τ,0)上/(x)<0,/(x)遞減,

在區(qū)間(0,丘)上/(x)>0,/(x)遞增，所以/(x)在X=O處取得極小值也即是最小值/⑼=0,所

以/(x)≥0,即/≥χ+l在R上恒成立，將X改為T(mén),則有e-,≥-x+1在R上恒成立.所以AB選項(xiàng)為

真命題.

當(dāng)A0=L時(shí)，ln'=l,X0-KO,此時(shí)In'>x0-l,所以D選項(xiàng)為真命題.

exo?

11_r

構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-x+l(x>0),g'(x)=--l=^^,所以/(x)在區(qū)間(0,1)上/(x)>0,g(x)

遞增，在區(qū)間在a)上/(x)<0,/(x)遞減,所以g(x)在X=I處取得極大值也即是最大值g(l)=O,

所以g(x)≤O,即InX≤x-1在(O,+向上恒成立.所以C選項(xiàng)為假命題.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題真假性的判斷，屬

于中檔題.

20.下列不等式中正確的是

①SinX<x,x∈(0,+∞);②e*≥x+l,x∈R;(3)lnx<x,x∈(0,+∞).

A.①③B.①②③C.②D.①②

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，依次對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于①：令y=sinx-x,x∈(0,+8),則y=cosx-l≤。恒成立，

則y=sinx-x,xe(O,+8)是減函數(shù)，所以有y<0恒成立，

所以SinXCX,x∈(0,+∞)成立，所以①正確；

對(duì)于②：ex≥x+l,xeR,令y=e*-x-l,y'=e"-l,

當(dāng)x<0時(shí)，>'<0,當(dāng)x>0時(shí)，y'>0,

所以函數(shù)y=∕-χ-l在(-8,0)上是減函數(shù)，在(0,+8)上是增函數(shù),

所以在X=O處取得最小值，所以y≥e°-0-l=0,

所以e'≥x+l,xeR成立，所以②正確；

I1-X

對(duì)于③，InXCX,Xe(O,+∞),令y=lnx-x,有>'=一一1=------,

XX

所以有當(dāng)o<χ<ι時(shí)，y'>0,當(dāng)X>1時(shí)，y'<o,

所以函數(shù)y=Inx-X在X=I時(shí)取得最大值，即y=lnx-x≤0-l<0,

所以InX<x,Xe(O,+∞)恒成立，所以③正確；

所以正確命題的序號(hào)是①②③，

故選B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)判斷不等式能否恒成立的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性，確定函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題目.

(2022?浙江?高三月考)

21.證明以下不等式：

(l)e*≥x+l；

(2)In%≤x-1；

(3)e*τ>ln(x+l).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)令/(x)=e'-(x+l),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/S)的單調(diào)性，得到/(x)≥/(0)=0,即可證

得e*≥X+1;

(2)?g(x)=∣nx-(x-l),