第36屆全國中學生（高中）物理競賽復賽模擬題（第3套）

全國中學生物理競賽復賽模擬試題第三套

-二段跳（20分）

許多游戲中都有“二段跳”的機制，這一機制當然違背了牛頓力學。以下討論中姑且認為

除二段跳瞬間，其他時刻物體都遵守牛頓力學。

超級雷里奧掌握了二段跳技能。假定起跳后瞬間，雷里奧的初速率為”0，速度方向可任意

選擇；在空中時，雷里奧可選擇在任一時刻發(fā)動“二段跳”（只能發(fā)動一次），發(fā)動時長忽略不

計，發(fā)動后瞬間，雷里奧的速度發(fā)生突變，其速率重置為。0,速度方向則可任意選擇。雷里奧

在空中時，除發(fā)動二段跳瞬間外，其他時刻雷里奧均遵守重力場中的斜拋運動規(guī)律。

如圖所示，雷里奧（視為質點）欲從下臺跳上高臺（忽略高臺豎直方向的厚度），高臺比雷

里奧起跳點高臺子比起跳點向左伸出得更多，起跳點位于高臺邊緣正下方右側工處。由于

雷里奧不可能穿墻而過（會被擋?。?，因此正常來說無論雷里奧的初速度多大，他都不可能跳上

高臺。但如果使用二段跳，則有可能按圖示軌跡跳上去。

若要使雷里奧能通過二段跳跳上此高臺，求Z須滿足的條件。重力加速度g已知。

（為簡單起見，假定晅即雷里奧第一次跳躍時不可能撞上“天花板”）

二宇宙的未來（20分）

宇宙未來的命運，取決于宇宙的動力學演化過程，這一過程必須在廣義相對論框架下進行,

但我們在經典牛頓力學框架下也可以做一個不嚴（科）格（學）的估算：

假設宇宙由大量非相對論性物質組成，總質量為當t=o,也就是現在，宇宙具有半徑

為Ro的球形邊界，物質在其中均勻分布，所有物質均具有背離球心的退行速度，速度大小與其

到球心的距離成正比，比例系數為哈勃常數為

（1）試論證：在之后的演化中，宇宙中的物質始終均勻分布；且同一時刻，各處物質退行

速度始終與其到球心的距離成正比。求出比例系數（稱為哈勃參數H）以宇宙物質密度p為自變

量的函數關系式。

（2）討論當8o取不同值時，宇宙未來將會有怎樣的命運。

（3）如果宇宙將會發(fā)生收縮，求出宇宙能夠達到的最大半徑Rmax，以及宇宙從力=0到收

縮為一個奇點的時間（假設當宇宙邊緣收縮達到相對論性速度時，半徑已經很接近0,從而無需

考慮相對論效應）。

2

三花邊裙擺(20分)

圓錐擺是大家所熟悉的物理模型，長度為，的不可伸長輕繩，懸吊著質量為小的質點小球,

環(huán)繞懸掛點所在豎直直線，維持不變的水平高度與角速度進行旋轉。如下圖所示。

(1)如果圓錐擺環(huán)繞中軸穩(wěn)定運動的時候，輕繩和豎直方向之間的夾角為詼，試給出此時

質點環(huán)繞中軸的角動量J和角速度。的表達式，重力加速度g為已知量。

(2)在穩(wěn)定運動的某個瞬間，對小球施加如圖所示的微小沖量L沖量方向在輕繩與中軸

所確定的平面內，與輕繩方向垂直。這之后，輕繩與中軸的夾角0將會在環(huán)繞過程中，周期性的

薛隊長為了在一階近似的條件下計算這一夕的變動周期，選取環(huán)繞中軸以。轉動的旋轉非慣

性參考系考慮問題。根據質點加在。變動的切向上的受力情況，可以列出方程

mid=mCl2lsinQcos9—mgsin0

考慮到是在出角度基礎上的微小變化，因此，記

。%+a

其中

a《為

于是

a=0

考慮一階近似

....?da

daa=0

根據以上思路繼續(xù)進行計算，薛隊長給出了周期4。

雷神在看到上述解答后，表示了憤怒。指出這一解答過程有嚴重的錯誤，得到的以不是正

確的周期。請大家借助雷神的智慧，指出上述解答的錯誤之處。

(3)試計算出正確的周期T。

3

四飛得更高(20分)

本題討論空氣在豎直方向的熱力學性質與運動特征。

我們知道，大氣主要由N2、。2分子組成，平均摩爾質量為〃=29g/mol,地面附近大氣壓

52

為1atm=1.01325x10Pa,重力加速度為g=9.81m/s,普適氣體常量R=8.31J/(mol-K)o

為了方便計算，以下不科學地假定：空氣不導熱，陽光照射不直接給空氣傳熱，空氣中不

存在風或湍流。

(1)在無比干旱的沙漠中。試估算：海拔每升高100米，氣溫降低量低于多少度，才能保

證大氣是穩(wěn)定的。也就是說，空氣中的一個氣團受到擾動而具有一個向上或向下的小速度后,

會傾向于回到原位置，而不會一條路走到黑。

(2)假設氣溫按照上一問中的臨界條件分布。地面附近氣溫為25。a由于某處水分蒸發(fā),

產生一個相對濕度為70%,溫度、壓強與周圍大氣一致的氣團。試描述該氣團之后的運動情況,

并求出其速度與高度的定量關系。

計算過程中，可以忽略水蒸汽對空氣定容摩爾熱容的影響。。?60。。之間的水飽和蒸汽

壓入(mmHg)與溫度t(℃)滿足Antoine方程：

1750.286

hip,=8.10765-

t+235.0

水銀密度為PHg=13.6x103kg/m3,水的摩爾質量為“HzO=18g/moL

(3)計算上述氣團中的水蒸汽開始發(fā)生凝結的高度。

4

五旋轉吧！導體棒(20分)

從前有一個半徑為R的實心長圓柱中性導體(長度忽略邊緣效應)，以均勻的角速

度3繞自己的中軸旋轉，內部的自由電子紛紛被向外甩去，整個導體逐漸達到一種新的、穩(wěn)定的

電荷分布……

這時，又有一件事打破了自由電子的寧靜：我們將導體放在了磁感應強度Bo平行于圓柱中

軸的勻強磁場中。在各種力的作用下，自由電子再次重新排布，使整個導體最后達到一種終極

穩(wěn)定的電荷分布。很明顯，這個分布關于圓柱中軸具有旋轉對稱性，在中軸方向也具有平移不

變性。因此，我們將距離中軸r處的電荷體密度記作p(r)。

下面，我們計算p(r)的影響，并最終導出它的形式。

(1)試求距離中軸r處的電場強度大小E(r)與總的磁感應強度大小這里假設布滿均

勻環(huán)形電流的薄壁圓筒在其內部產生的磁感應強度處處相等。

(2)分析導體內一個自由電子的受力情況，并由此寫出p(r)應滿足的方程。

(3)求解上述方程，得出p(r)用A、3、3及自變量r表示的形式。

5

六靜電致液滴解體(20分)

無重力空間中懸浮有一個半徑為R的導電球形液滴，該液體攜帶電荷量為Q、表面張力系

數為受靜電排斥力的影響，當液滴攜帶電荷量Q太大時，液體可能會因排斥力而失穩(wěn)、解

體。以下各問嘗試分析失穩(wěn)條件：

(1)假設液滴輕微偏離球形，變成一個旋轉長橢球，橢球表面方程如下：

其中a、&均為已知參數。已知旋轉長橢球的表面積公式如下：

S=27rb2(1+芹arcsine)

其中e=￡=配三是橢球的離心率。試求長橢球液滴的表面張力勢能。

aa

(2)試求14問中這一長橢球的電容，以及變成長橢球后液滴的電勢能。

提示：一根有限長均勻直導線產生電場的等勢面恰為長橢球形。______

C\/o2_.2

(3)假設液體輕微偏離球形而變成旋轉長橢球，離心率e=-=——-《1)試將前兩

aa

問中求得的電勢能、表面張力勢能表達式按離心率小量展開；并分析什么情況下帶電液滴穩(wěn)定,

什么情況下失穩(wěn)。

6

七“孔”中窺像(20分)

如圖所示，5、5是兩個凸透鏡，Q是物點，Q所在的與光軸垂直的平面為物平面，DD是

光闌，已知焦距力=2a,=a，圖中標示各距離為s=10a,I=4a,d=6a；此外，透鏡與

光闌半徑的關系為ri=丁2=3/3=3r。其中r=lcm,a=20cm。請在幾何光學近軸范圍內考

慮下列問題，并忽略像差和衍射效應。圖中橫向與縱向的長度比例不同。

物

平

面

D7

(1)求像平面的位置，以及物平面上Q點上方2cm處的u點所對應的像“點的位置；

(2)物平面上Q點發(fā)出的光有的部分能夠到達像平面上的像點。點，而有的部分則不能。

那么，能夠到達像點的由Q點發(fā)出的光，與光軸的可能最大夾角為多大？

(3)對于物平面上的任意一個發(fā)光點P,如果其發(fā)出的某一條光線可以通過光闌0