《5.1.1 相交線》教案、導學案、同步練習

第五章相交線與平行線《5．1.1相交線》教案【教學目標】1．理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認；(重點)2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程；(重點、難點)3．通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養(yǎng)學生的識圖能力．【教學過程】一、情境導入同學們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側面有許多相交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交．這些都給我們以相交線、平行線的形象．在我們生活中，蘊涵著大量的相交線和平行線．那么兩條直線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？二、合作探究探究點一：對頂角和鄰補角的概念【類型一】對頂角的識別下列圖形中∠1與∠2互為對頂角的是()解析：觀察∠1與∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同時滿足有公共頂點，且∠1的兩邊是∠2的兩邊的反向延長線．故選C.方法總結：判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線．【類型二】鄰補角的識別如圖所示，直線AB和CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是________．解析：根據鄰補角的概念判斷：有一個公共頂點、一條公共邊，另一邊互為延長線．∠1和∠2、∠1和∠4都滿足有一個公共頂點和一條公共邊，另一邊互為延長線，故為鄰補角．故答案為∠2和∠4.方法總結：鄰補角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補．但需要注意的是：互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的角不一定是鄰補角．探究點二：對頂角的性質【類型一】利用對頂角的性質求角的度數(shù)如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．解析：根據對頂角的性質，可得∠AOC與∠BOD的關系，根據OA平分∠COE，可得∠COE與∠AOC的關系，根據鄰補角的性質，可得答案．解：由對頂角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由鄰補角的性質得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.方法總結：解決此類問題的關鍵是在圖中找出對頂角和鄰補角，根據兩種角的性質找出已知角和未知角之間的數(shù)量關系．【類型二】結合方程思想求角度如圖，直線AC，EF相交于點O，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內，∠BOE＝eq\f(1,2)∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度數(shù)．解析：因為已知量與未知量的關系較復雜，所以想到列方程解答，根據觀察可設∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根據對頂角和鄰補角找到等量關系，列方程．解：設∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB與∠BOC互為鄰補角，∴∠AOB＝180°－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝eq\f(1,2)∠AOB＝90°－eq\f(3,2)x.∵∠DOE＝72°，∴90°－eq\f(3,2)x＋x＝72°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°.方法總結：在相交線中求角的度數(shù)時，就要考慮使用對頂角相等或鄰補角互補．若已知關系較復雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關系時，可列方程解決角度問題．【類型三】應用對頂角的性質解決實際問題如圖，要測量兩堵墻所形成的∠AOB的度數(shù)，但人不能進入圍墻，如何測量？請你寫出測量方法，并說明幾何道理．解析：可以利用對頂角相等的性質，把∠AOB轉化到另外一個角上．解：反向延長射線OB到E，反向延長射線OA到F，則∠EOF和∠AOB是對頂角，所以可以測量出∠EOF的度數(shù)，∠EOF的度數(shù)就是∠AOB的度數(shù)．方法總結：解決此類問題的關鍵是根據對頂角的性質把不能測量的角進行轉化．探究點三：與對頂角有關的探究問題我們知道：兩直線交于一點，對頂角有2對；三條直線交于一點，對頂角有6對；四條直線交于一點，對頂角有12對……(1)10條直線交于一點，對頂角有________對；(2)n(n≥2)條直線交于一點，對頂角有________對．解析：(1)仔細觀察計算對頂角對數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，得出結論，代入數(shù)據求解．如圖①，兩條直線交于一點，圖中共有eq\f(（4－2）×4,4)＝2對對頂角；如圖②，三條直線交于一點，圖中共有eq\f(（6－2）×6,4)＝6對對頂角；如圖③，四條直線交于一點，圖中共有eq\f(（8－2）×8,4)＝12對對頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點，那么對頂角共有eq\f(（20－2）×20,4)＝90(對)．故答案為90；(2)利用(1)中規(guī)律得出答案即可．由(1)得n(n≥2)條直線交于一點，對頂角的對數(shù)為eq\f(2n（2n－2）,4)＝n(n－1)．故答案為n(n－1)．方法總結：解決探索規(guī)律的問題，應全面分析所給的數(shù)據，特別要注意觀察符號的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據的變化特征．三、板書設計兩條直線相交eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(鄰補角,對頂角,對頂角相等))求角的大小【教學反思】本節(jié)課通過對學生身邊熟悉的事物引入，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學與我們的生活密不可分；學生經歷合作探究過程獲得新知，并能用所學的新知識來解決實際問題．這樣教學更能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提升學生的能力，促進學生的發(fā)展《5.1.1相交線》導學案【學習目標】：1.結合具體情境，理解鄰補角、對頂角的概念，并能運用它們的性質進行角的計算及解決簡單實際問題.2.通過觀察和動手操作，培養(yǎng)實驗操作能力，總結解決問題的方法和經驗.3.激情投入，善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，感受學習數(shù)學的樂趣.【重點】：鄰補角、對頂角的概念及其性質.【難點】：利用鄰補角、對頂角的定義和性質求角的大小或找角的關系.【自主學習】一、知識鏈接1.有公共點的兩條直線叫做，公共點稱為.2.如果兩個角的和為180°，則稱這兩個角，即若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2，反之亦然.3.同角（或等角）的補角，即若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，∠1∠2二、新知預習1.（1）量一量：用量角器量圖中∠1、∠2、∠3、∠4的度數(shù).（2）這些角中互補的角有哪些？相等的角有哪些？互補：；相等：.（3）圖中與∠1和∠2的位置特征相同的角還有；與∠1和∠3的位置特征相同的角還有.2.自主歸納：（1）鄰補角、對頂角的定義：兩條直線相交所成的四個角中，如果兩個角有，它們的另一邊，具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角；如果兩個角有，它們的兩邊，具有這種位置的兩個角叫做互為鄰補角.（2）鄰補角、對頂角的性質：互為鄰補角的兩個角，互為對頂角的兩個角.三、自學自測1.如圖所示的各對角中，∠1和∠2互為對頂角的是（）2.以下說法正確的是（）A.一個角的鄰補角只有一個B.相等的兩個角是對頂角C.對頂角一定是相等的兩個角D.互為鄰補角的兩個角相等【課堂探究】要點探究探究點1：鄰補角與對頂角的概念【找一找】（1）∠1的鄰補角是什么？一個角的鄰補角一般有幾個？（2）∠3的對頂角是什么？圖中有幾組對頂角？分別把它們找出來.典例精析例1.下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）方法總結:對頂角是由兩條相交直線構成的，只有兩條直線相交時，才能構成對頂角．探究點2：鄰補角與對頂角的性質問題1：互為鄰補角的兩個角和是多少度？問題2：你能否利用問題1中的結論推導出互為對頂角的兩個角之間具有相等關系？已知：直線AB與CD相交于O點(如圖),試說明:∠1=∠3，∠2=∠4.解：典例精析例2.（教材P3例1變式）如圖，直線a，b相交于點O.（1）若∠1+∠3=60o，則∠1,∠2,∠3,∠4各個角的度數(shù)分別為_______________；（2）若∠2是∠1的3倍，則∠1,∠2,∠3,∠4各個角的度數(shù)分別為__________________；（3）若1:2=2:7，則∠1,∠2,∠3,∠4各個角的度數(shù)分別為______.方法總結：關鍵是找出圖中隱含的角之間的關系，然后利用方程思想解決.例3..如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數(shù)..針對訓練1.如圖，直線AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°，找出圖中與∠1相等的角.2.如圖，直線AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出圖中與∠2互補的角.二、課堂小結兩直線相交歸類位置關系名稱數(shù)量關系∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠11.有公共頂點2.有一條公共邊3.另一邊互為反向延長線鄰補角鄰補角互補∠1和∠3、∠2和∠41.有公共頂點2.沒有公共邊3.兩邊互為反向延長線對頂角對頂角相等【當堂檢測】1.下列各圖中，∠1，∠2是對頂角嗎？2.找出圖中∠AOE的鄰補角及對頂角,若沒有請畫出.3.如圖,直線AB，CD，EF相交于點O.(1)寫出∠AOC,∠BOE的鄰補角；(2)寫出∠DOA,∠EOC的對頂角；(3)如果∠AOC=50°,求∠BOD，∠COB的度數(shù).4.（應用題）在下圖中，花壇轉角按圖紙要求這個角（紅色標注的角）為135°；施工結束后，要求你檢測它是否合格？請你設計檢測的方法.5.如圖,直線AB,CD相交于點O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，求∠BOD的度數(shù).6.【拓展題】觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角)⑴如圖a，圖中共有對對頂角；⑵如圖b，圖中共有對對頂角；⑶如圖c，圖中共有對對頂角；⑷研究⑴～⑶小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關系，若有n條直線相交于一點，則可形成對對頂角；⑸若有10條直線相交于一點，則可形成對對頂角.第五章相交線與平行線5.1.1《相交線》同步練習一、填空題（共15小題）1、下列各圖中的∠1和∠2是對頂角的是（）A、B、C、D、2、如圖所示，直線a，b相交于點O，若∠1等于50°，則∠2等于（

）A、50°B、40°C、140°D、130°3、如圖，∠1＝15°，∠AOC＝90°，點B，O，D在同一直線上，則∠2的度數(shù)為（）A、75°B、15°C、105°D、165°4、如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠AOD，若∠AOC＝35°，則∠BOD等于（）A、145°B、110°C、70°D、35°5、如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝80°，則∠AOE的度數(shù)是（）A、40°B、50°C、80°D、100°6、下列圖形中∠1與∠2是對頂角的是（

）A、B、C、D、7、如圖，三條直線a,b,c相交于點O，則∠1+∠2+∠3等于（

）A、90°B、120°C、180°D、360°8、如圖所示，直線AB和CD相交于點O，OE、OF是過點O的射線，其中構成對頂角的是（

）A、∠AOF和∠DOEB、∠EOF和∠BOEC、∠COF和∠BODD、∠BOC和∠AOD9、如圖，∠PON＝90°，RS是過點O的直線，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（

）A、50°B、40°C、60°D、70°10、下列語句正確的是（

）A、相等的角是對頂角B、不是對頂角的角都不相等.C、不相等的角一定不是對頂角D、有公共點且和為180°的兩個角是對頂角.11、如圖所示，∠1和∠2是對頂角的圖形有(

)A、1個B、2個C、3個D、4個12、如圖所示，三條直線AB，CD，EF相交于一點O，則∠AOE+∠DOB+∠COF等于(

)A、150°B、180°C、210°D、120°13、下列說法正確的有(

)①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.A、1個B、2個C、3個D、4個14、如圖所示，直線AB和CD相交于點O，若∠AOD與∠BOC的和為236°，則∠AOC的度數(shù)為(

)A、62°B、118°C、72°D、59°15、如圖所示，直線L1，L2，L3相交于一點，則下列答案中，全對的一組是(

)A、∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°；B、∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°C、∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°；D、∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°二、填空題（共5小題）16、如圖，直線a、b相交于點O，∠1＝50°，則∠2＝________度．?17、如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，若∠DOF＝30°，∠AOE＝20°，則∠BOC＝________°.18、已知∠1與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3＝________°.19、如圖，直線AO與CD交于點O，射線OM平分∠AOC，若∠AOC=76°，則∠COM=________

°.?20、下列說法中：①因為∠1與∠2是對頂角，所以∠1＝∠2；②因為∠1與∠2是鄰補角，所以∠1＝∠2；③因為∠1與∠2不是對頂角，所以∠1≠∠2；④因為∠1與∠2不是鄰補角，所以∠1+∠2≠180°.其中正確的有________（填序號）三、解答題（共5小題）21、如圖所示，直線AB、CD、EF相交于點O，∠AOE＝40°，∠BOC＝2∠AOC，求∠DOF.22、∠1＝∠2，∠1+∠2＝162°，求∠3與∠4的度數(shù)．23、如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，OG平分∠COF，∠1＝30°，∠2＝45°．求∠3的度數(shù)．24、如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE平分∠AOC，射線OF⊥CD于點O，且∠BOF=32°，求∠COE的度數(shù)．25、如圖所示，直線a，b，c兩兩相交，∠1＝2∠3，∠2＝65°，求∠4的度數(shù).答案解析部分一、填空題（共15小題）1、【答案】D【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角．選項A和選項C中∠1和∠2均沒有公共端點，所以不是對頂角．選項B中∠1和∠2有公共端點，但是兩條邊不是互為反向延長線，所以選項B錯誤．選項D滿足對頂角的所有條件，所以選D．【分析】掌握對頂角的概念是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．2、【答案】A【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】兩直線相交，對頂角相等．圖中∠1和∠2是對頂角，∠1＝50°，所以∠2＝50°．選A．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．3、【答案】C【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝75°，∵∠2+∠BOC＝180°，∴∠2＝105°．故選C．【分析】掌握鄰補角的性質是解答本題的關鍵．本題考查鄰補角．4、【答案】B【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】∵射線OC平分∠DOA．∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠COA＝35°，∴∠DOA＝70°，∴∠BOD＝180°－70°＝110°，故選：B．【分析】掌握鄰補角的性質是解答本題的關鍵．本題考查鄰補角．5、【答案】A【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】根據角平分線的定義計算．∵∠BOC＝80°，∴∠AOD＝∠BOC＝80度．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD＝80°÷2＝40度．故選A．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．6、【答案】D【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角．由此可以推導出：只有選項D中的∠1和∠2是對頂角．所以選D．【分析】掌握對頂角的定義是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．7、【答案】C【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】兩條直線相交，對頂角相等．由圖可知，∠1+∠2+∠3的對頂角＝180°，所以∠1+∠2+∠3＝180°，所以選C．【分析】掌握對頂角和性質解答本題的關鍵．本題考查對頂角的性質．8、【答案】D【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角．根據對頂角的含義及圖形，即可選出正確選項D．【分析】掌握對頂角和性質解答本題的關鍵．本題考查對頂角的性質．9、【答案】B【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】根據對頂角的性質，結合圖形，我們可以得知：∠MOQ＝∠PON＝90°．又因為∠MOQ＝∠MOS＋∠2，所以∠2＝∠MOQ－∠MOS；因為∠MOS與∠1是對頂角，所以∠MOS＝50°，所以∠2＝90°－50°＝40°，所以選B．【分析】掌握對頂角和性質解答本題的關鍵．本題考查對頂角的性質．10、【答案】C【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角．由此可以推導出：對頂角一定相等，不相等的角一定不是對頂角．但是，有些相等的角，并不是對頂角，所以選項A和B錯誤；對頂角相等，但并不一定互補，所以選項D錯誤；所以選C．【分析】掌握對頂角和性質解答本題的關鍵．本題考查對頂角的性質．11、【答案】A【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角．根據對頂角的概念，從圖中去判斷，只有一組為對頂角，所以選A．【分析】掌握對頂角的概念是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．12、【答案】B【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】因為∠COF與∠EOD是對頂角，所以∠AOE+∠DOB+∠COF等于∠AOE+∠DOB+∠EOD＝∠AOB，因為A、O、B三點共線，所以其和為180°．所以選B．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．13、【答案】B【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】有公共端點且兩條邊互為反向延長線的兩個角為對頂角，互為對頂角的兩個角相等．所以，可以判斷①③正確，②錯誤．若兩個角不是對頂角，但是兩個角也有可能相等，所以④錯誤．所以選B．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．14、【答案】A【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】若∠AOD與∠BOC的和為236°，則∠AOC與∠BOD的和為360°－236°＝124°．因為∠AOC與∠BOD是對頂角，所以∠AOC＝∠BOD＝124°÷2＝62°．所以選B．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．15、【答案】D【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】∠1與∠3是對頂角，∠1＝∠3＝180°－30°－60°＝90°．根據對頂角的概念，從圖中還可以直接看出∠2＝60°，∠4＝30°．所以選D．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．二、填空題（共5小題）16、【答案】50【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】直接根據對頂角相等即可求解∵直線a、b相交于點O，∴∠2與∠1是對頂角.∵∠1＝50°，∴∠2＝∠1＝50°．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．17、【答案】130【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】根據平角定義和∠DOF＝30°，∠AOE＝20°先求出∠AOD的度數(shù)，再根據對頂角相等即可求出∠BOC的度數(shù)．∵∠DOF＝30°，∠AOE＝20°，∴∠AOD＝180°-∠DOF-∠AOE＝180°-30°-20°＝130°，∴∠BOC＝∠AOD＝130°．【分析】掌握對頂角和鄰補角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角和鄰補角．18、【答案】180【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】根據鄰補角定義可知，∠1+∠3＝180°，由對頂角的性質：對頂角相等可得∠1＝∠2，所以∠2+∠3＝180°（等量代換）．【分析】掌握對頂角和鄰補角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角和鄰補角．19、【答案】38【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】直接根據對頂角相等，得到∠AOC＝∠BOD＝76°．又因為OM平分∠AOC，所以∠COM＝76°÷2＝38°．【分析】掌握對頂角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角．20、【答案】①【考點】對頂角、鄰補角【解析】【解答】①滿足對頂角的性質，所以正確，②鄰補角是特殊位置的補角，由互補的性質可知其和應180°，而不是∠1＝∠2，所以不正確；③中的∠1與∠2不是對頂角是從位置上看的，但它們在數(shù)量上是可以相等，所以也不正確；④的原因同③.所以本題填①.【分析】掌握對頂角和鄰補角的性質是解答本題的關鍵．本題考查對頂角和鄰補角．三、解答題（共5小題）21、【答案】解：設∠AOC＝x°，則∠BOC＝(2