蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu) 專題7.10平行線的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（壓軸篇重難點培優(yōu)30題）（原卷版+解析）

今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！/今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！專題7.10平行線的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（壓軸篇，重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2023春·七年級單元測試）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，延長EP交CD于點G，點H是MN上一點，且GH⊥EG，過點P作PQ∥AB，則PF與2．（2022春·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）小明同學(xué)在完成七年級下冊數(shù)學(xué)第1章的線上學(xué)習(xí)后，遇到了一些問題，請你幫他解決一下．(1)如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立嗎？請說明理由．(2)如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．3．（2018春·江蘇揚州·七年級揚州市竹西中學(xué)階段練習(xí)）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側(cè)運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？计谥校﹫D1是蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)書封底上的一幅幾何圖形，本學(xué)期同學(xué)們已經(jīng)對這幅圖形有了一定認(rèn)識，小明同學(xué)在復(fù)習(xí)的時候又進(jìn)行了變式研究，請解決下列問題．【課本問題】（1）如圖1，△ABC中，點D在BC邊上，直線DG∥AB交AC于點G，E在AB邊上，F(xiàn)在BC邊上，∠ADG與∠AEF互補，AD與【變式探究】（2）在（1）的條件下，如圖2，AD是△ABC的角平分線，延長CA與FE，交于點H，直線DG與EF的延長線交于點K，∠K=∠H相等嗎？為什么？5．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a?3b|+(a?3)2=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN(1)求a、b的值；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．6．（2022春·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度數(shù)．（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，直接寫出∠G的度數(shù)．7．（2022春·江蘇蘇州·七年級校考階段練習(xí)）已知AB∥CD，點E在AB與CD之間．(1)圖1中，試說明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；(2)圖2中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，請利用（1）的結(jié)論說明：∠BED＝2∠BFD．(3)圖3中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，請直接寫出∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A(1)試說明：∠AEH=∠F；(2)若∠B=40°，∠F=25°，則∠DEF=________．9．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）已知直線AB∥CD，EF是截線，點M在直線AB、(1)如圖，連接GM，HM．求證：∠M=∠AGM+∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．請直接寫出∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，若射線GH平分∠BGM，點N在MH的延長線上，連接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN10．（2020春·江蘇南京·七年級校考期中）已知的三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)和是180°，如圖是兩個三角板不同位置的擺放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．(1)當(dāng)AB∥DC時，如圖①，求(2)當(dāng)CD與CB重合時，如圖②，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，當(dāng)∠DCB等于______度時，AB∥11．（2022春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．(1)如圖1，點P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時，求∠APC．(2)如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．12．（2022春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的邊AC于點D，E為直線AC上一點，過點E向直線AC的右邊作射線EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分線EG交射線BD于點(1)如圖1，∠ABC=40°，點E與點A重合，求∠G的度數(shù)；(2)若∠ABC=α，①如圖2，點E在DC的延長線上，求∠G的度數(shù)（用含有α的式子表示）；②點E在直線AC上滑動，當(dāng)存在∠G時，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直接用含α的式子表示∠G的度數(shù)．13．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點Р滿足∠ABP=38°，G是CD上任一點，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結(jié)論：①∠DGP?∠MGN的值不變；②14．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）去年汛期期間，防汛指揮部在某重要河流的一段危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是15度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是5度/秒．假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)若燈B射線先轉(zhuǎn)動4秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(2)如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若燈A射出的光束與燈B射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．15．（2022春·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)校考期中）如圖：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度數(shù)．16．（2022春·江蘇南京·七年級南京外國語學(xué)校?？计谥校τ谄矫鎯?nèi)的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k>0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補周角，若∠M=90°,∠N=45°，則∠N為∠M的6系補周角．(1)若∠H=80°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為__________°．(2)在平面內(nèi)AB∥CD，點E是平面內(nèi)一點，連接BE、DE．①如圖1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n>1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，寫出你的解題思路并求出此時的k值（用含n的式子表示）．17．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．18．（2022·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，已知MN∥PQ，點A是直線MN上一個定點，點B在直線PQ上運動，設(shè)∠ABQ=α，在射線AM上取一點C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．(1)如圖1，當(dāng)∠BAN=108°+α?xí)r，α=______°；(2)作∠ABQ的平分線BE，若BE⊥CD，垂足為E，如圖2，求α的值；(3)作∠ACD的角平分線CF，若CF與AB相交，當(dāng)CF與AB的夾角是60°時，直接寫出α的值：______19．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）【數(shù)學(xué)抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1=∠2．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？20．（黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)虹橋中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試題）已知，∠ATM+∠DRN=180°．(1)如圖1，求證AB∥CD：(2)如圖2，點E位平面內(nèi)一點，連接BE、CE，求證：∠E=∠C+∠B；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作線段EF，連接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，過點B作BG∥EF交CE于點G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF?BG=2，且△BEF的面積為36時，求線段EF的長．21．（重慶市銅梁區(qū)銅梁區(qū)巴川初級中學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在直線AB與①如圖3，點B在點A的左側(cè)，若∠ABC=36°，求∠BED的度數(shù)．②如圖4，點B在點A的右側(cè)，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）22．（廣東省東莞市松山湖實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）請作答：(1)圖1，圖2均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，∠ACB=90°，DF∥CG，AB與FD相交于點E，有一動點P在邊BC上運動，連接PE，PA，記∠PED=∠α，①如圖1，當(dāng)點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，當(dāng)點P在B，D兩點之間運動時，∠APE與∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由；(2)當(dāng)點P在C，D兩點之間運動時，若∠PED，∠PAC的角平分線EN，AN相交于點N，請直接寫出∠ANE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．23．（河北省衡水市武邑縣武羅學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點，∠AEC＝90°保持不變，移動頂點E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點，Q為直線CD上一動點，且點Q不與點C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．24．（山西省忻州市代縣2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖1，AB∥CD，點E為直線AB，(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度數(shù)．(2)如圖2，點F在BA的延長線上，連接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度數(shù)：(3)如圖3，在（2）的條件下，過點F作∠BFG=∠BFE，交EC的延長線于點G，延長EF交CD于點H，過點F作FI∥BE交CD于點I．當(dāng)FH平分∠IFG時，請直接寫出25．（江蘇省宿遷市泗陽縣2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖1，AB,AC被直線BC所截，點E是線段BC上一點，過點E作DE∥AB，連接BD,∠A=∠D=60°．(1)BD與AC平行嗎？為什么？(2)將線段BD沿著直線BC進(jìn)行平移，平移后得到的對應(yīng)線段記為線段FG，連接EG；①當(dāng)線段FG在E點下方時，如圖2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度數(shù)．②在整個平移的過程中，當(dāng)∠EGF=3∠DEG時，求∠EGF的度數(shù)．26．（江蘇省無錫市濱湖區(qū)2020-2021學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖①，已知直線a∥b，點O、C分別是直線a、b上的定點，點A從點O出發(fā)，沿射線OA的方向平移，點B從點C出發(fā)，沿射線CB的方向平移，且始終滿足∠BCO＝∠BAO＝100°．(1)求證：AB∥CO；(2)如圖②，若OF平分∠BOC，點E是直線b上的一個動點．①當(dāng)∠AOB＝30°，且△EOB中有兩個內(nèi)角相等時，求∠EOF的度數(shù)；②當(dāng)∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF時，求∠ABO的度數(shù)．27．（廣東省廣州市白云區(qū)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點A，B，C，D四點共線，點E，F(xiàn)，G，H四點共線．BG，CF相交于點I，點J是直線AD與EH之間的一個動點，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．(1)求證：AD∥EH；(2)若BJ平分∠DBG，F(xiàn)J平分∠CFH，請?zhí)剿鞑⒆C明∠BIF和∠BJF之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若∠GBJ=13∠GBD28．（北京市第一六一中學(xué)2021—2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬練習(xí)）如圖1，已知直線EF與直線AB交于點E，直線EF與直線CD交于點F，EM平分∠AEF交直線CD于點M，且∠FEM＝∠FME．點G是射線MD上的一個動點（不與點M、F重合），EH平分∠FEG交直線CD于點H，過點H作HN∥EM交直線AB于點N，設(shè)∠EHN＝圖1圖2(1)求證：AB//(2)當(dāng)點G在點F的右側(cè)時，①依據(jù)題意在圖1中補全圖形；②若β＝80°，則α＝(3)當(dāng)點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．29．（北京市第十九中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，直線a∥b，點A為直線a上的動點，點B為直線a、b之間的定點，點C為直線上的定點．(1)當(dāng)點A運動到圖1所示位置時，容易發(fā)現(xiàn)∠ABC,∠DAB,∠BCE之間的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)BA⊥BC時，作等邊△BPQ，BM平分∠ABP，交直線a于點M，BN平分∠QBC，交直線b于點N，將BPQ繞點B轉(zhuǎn)動，且BC始終在∠PBQ的內(nèi)部時，∠DMB+∠ENB的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由；(3)點F為直線a上一點，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分線交直線a于點G，當(dāng)點A在直線a上運動時（A，B，C三點不共線），探究并直接寫出∠FBG與∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系．（本問中的角均為小于180°的角）30．（浙江省溫州市永嘉縣崇德實驗學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖1，直線AB∥CD，△ABE的頂點E在AB與(1)若∠ABE=150°，①當(dāng)∠CDE=2∠EDM時，求∠BED的度數(shù).②如圖2，作出∠CDE的角平分線DF，當(dāng)DF平行于△ABE中的一邊時，求∠BED的度數(shù).(2)如圖3，∠CDE的角平分線DF交EB的延長線于點H，連結(jié)BF，當(dāng)∠ABH=2∠HBF，12∠BED今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！/今后的某一天，你會感謝曾經(jīng)努力的自己！

專題7.10平行線的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（壓軸篇，重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2023春·七年級單元測試）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1+∠2=180°．(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，延長EP交CD于點G，點H是MN上一點，且GH⊥EG，過點P作PQ∥AB，則PF與【答案】(1)AB∥CD，見解析(2)平行，理由見解析【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可得到結(jié)論；（2）先求得∠EPF=90°，則EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：AB∥CD理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴AB∥（2）解：由（1）知，AB∥∴∠BEF+∠EFD=180°．

∵AB∴∠EPQ=∠BEP=1∴∠FPQ=∠PFD=1∴∠EPQ+∠FPQ=∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，∴PF∥【點睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)是解題解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)在完成七年級下冊數(shù)學(xué)第1章的線上學(xué)習(xí)后，遇到了一些問題，請你幫他解決一下．(1)如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立嗎？請說明理由．(2)如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)成立，理由見詳解(2)45°【分析】（1）過E點作EN∥AB，根據(jù)CD∥AB，可得EN∥CD，根據(jù)平行的性質(zhì)有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，結(jié)合∠（2）根據(jù)CD∥AB，可得∠FAD=∠ADC，根據(jù)BE、DE分別平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠（1）成立，理由如下：過E點作EN∥∵EN∥AB，∴EN∥∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，結(jié)論得證；（2）∵CD∥∴∠FAD=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，∴∠ABE=12∠ABC=根據(jù)（1）的結(jié)論可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，即∠BED的度數(shù)為45°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，構(gòu)筑輔助線EN是解答本題的關(guān)鍵．3．（2018春·江蘇揚州·七年級揚州市竹西中學(xué)階段練習(xí)）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側(cè)運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由見解析(3)當(dāng)P在BD延長線上時，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長線上時，∠CPA=β-α【分析】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)求∠APC即可；（2）過P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110．（2）解：∠APC=α+β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）解分兩種情況：當(dāng)P在BD延長線上時，過P作PE∥AB交AC于E，如圖所示，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，即∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長線上時，過P作PE∥AB交AC于E，如圖所示，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，即∠CPA=β-α．綜上，當(dāng)P在BD延長線上時，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長線上時，∠CPA=β-α．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．4．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？计谥校﹫D1是蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)書封底上的一幅幾何圖形，本學(xué)期同學(xué)們已經(jīng)對這幅圖形有了一定認(rèn)識，小明同學(xué)在復(fù)習(xí)的時候又進(jìn)行了變式研究，請解決下列問題．【課本問題】（1）如圖1，△ABC中，點D在BC邊上，直線DG∥AB交AC于點G，E在AB邊上，F(xiàn)在BC邊上，∠ADG與∠AEF互補，AD與【變式探究】（2）在（1）的條件下，如圖2，AD是△ABC的角平分線，延長CA與FE，交于點H，直線DG與EF的延長線交于點K，∠K=∠H相等嗎？為什么？【答案】（1）AD∥EF，理由見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADG=∠BAD，結(jié)合∠ADG與∠AEF互補可得∠BAD+∠AEF=180°，然后根據(jù)平行線的判定即可得出AD∥（2）根據(jù)角平分線定義可得∠BAD=∠CAD，根據(jù)AD∥EF可得∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，進(jìn)而得出∠H=∠ADG，再根據(jù)DG∥AB得出∠K=∠ADG，從而得出∠【詳解】解：（1）AD∥理由：∵DG∥∴∠ADG=∠BAD，∵∠ADG與∠AEF互補，∴∠ADG+∠AEF=180°，∴∠BAD+∠AEF=180°，∴AD∥（2）∠K=∠H．理由：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，∴∠H=∠ADG，∵DG∥∴∠K=∠ADG，∴∠K=∠H．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a?3b|+(a?3)2=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN(1)求a、b的值；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．【答案】(1)a=3，b=1(2)t=10或t=85(3)2∠BAC=3∠BCD【分析】（1）根據(jù)|a?3b|+(a?3)2=0，得a?3b=0，a?3=0，即可求出a（2）設(shè)t秒后，兩束燈光平行，①當(dāng)燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前；②當(dāng)燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后；根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出兩束燈光互相平行的時間；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動的時間為t秒，得∠CBD=t，∠CAN=180°?3t，根據(jù)∠BAN=45°，得∠BAC=∠BAN?∠CAN=45°?(180°?3t)；過點C作HG∥QP，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠BCA=∠CAN+∠CBD；根據(jù)∠ACD=90°，得∠BCD=∠ACD?∠BCA，即可得到∠BAC和∠BCD的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵|a?3b|+∴|a?3b|≥0，(a?3)∴a?3b=0，a?3=0∴a=3，b=1（2）解：設(shè)t秒后，兩束燈光平行①當(dāng)燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前∴3t=(20+t)×1解得t=10②當(dāng)燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后∴3t?3×60+(20+t)×1=180°解得t=85∴當(dāng)t=10或t=85秒后，兩束燈光互相平行．（3）解：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動的時間為t秒∴∠CBD=t，∠CAN=180°?3t∵∠BAN=45°∴∠BAC=∠BAN?∠CAN=45°?(180°?3t)∴∠BAC=3t?135°過點C作HG∥QP∴HG∥QP∥MN∴∠HCB=∠CBD，∠HCA=∠CAN∴∠BCA=∠CBD+∠CAN∴∠BCA=t+(180°?3t)=180°?2t又∵∠ACD=90°∴∠BCD=90°?∠BCA∴∠BCD=90°?(180°?2t)=2t?90°∴∠BAC∶∠BCD=(3t?135°)∶2t?90°∴∠BAC∶∠BCD=3(t?45°)∶2(t?45°)∠BAC∶∠BCD=3∶2∴2∠BAC=3∠BCD．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握：任何一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，a26．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度數(shù)．（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，直接寫出∠G的度數(shù)．【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°【分析】（1）如圖，過點P作PN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解；（2）過P點作PN∥AB，則PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，進(jìn)而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；（3）過點G作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）解：如圖，過點P作PN∥AB，∴∠1＝∠AEP，∵∠AEP＝40°，∴∠1＝40°，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠2＋∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°?120°＝60°．∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，即∠EPF＝100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：如圖，過P點作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）如圖，過點G作AB的平行線GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，∴∠HGE＝∠AEG＝12∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝12∠由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，∴∠HGF＝12（∠EPF＋∠AEP∴∠EGF＝∠HGF?∠HGE＝12（∠EPF＋∠AEP）?12∠AEP＝12∵∠EPF＝50°，∴∠EGF＝25°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇蘇州·七年級校考階段練習(xí)）已知AB∥CD，點E在AB與CD之間．(1)圖1中，試說明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；(2)圖2中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，請利用（1）的結(jié)論說明：∠BED＝2∠BFD．(3)圖3中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，請直接寫出∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE(2)∠BED=2∠BFD(3)∠BED=360°-2∠BFD【分析】（1）圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，根據(jù)AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，進(jìn)而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）圖2中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明：∠BED=2∠BFD；（3）圖3中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：如圖1中，過點E作EG∥AB，則∠BEG=∠ABE，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，即∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）解：圖2中，因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=2∠BFD．（3）解：∠BED=360°-2∠BFD．圖3中，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，因為BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因為DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，由（1）得：因為AB∥CD，所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=360°-2∠BFD．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．8．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A(1)試說明：∠AEH=∠F；(2)若∠B=40°，∠F=25°，則∠DEF=________．【答案】(1)見解析(2)85°【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)及平角的定義可求解∠2的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．（1）解：∵∠DEH+∠EHG=180°∴DE∥AC∴∠1=∠C，∠2=∠DGC∵∠C=∠A，∠1=∠2∴∠A=∠DGC∴AB∥DF∴∠AEH=∠F（2）解：∵AB∥DF，∴∠CDF=∠B=40°，∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=70°，∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．故答案為：85°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）已知直線AB∥CD，EF是截線，點M在直線AB、(1)如圖，連接GM，HM．求證：∠M=∠AGM+∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM=∠HGQ．請直接寫出∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，若射線GH平分∠BGM，點N在MH的延長線上，連接GN，若∠AGM=∠N，∠M=∠N+12∠FGN【答案】(1)詳見解析(2)∠M＋∠HQG＝180°(3)60°【分析】（1）如圖1，過點M作MR∥AB，可得（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠CHM=∠MHG，由（1）知∠M=∠AGM+∠MHC，等量代換得到∠M=∠MQG，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖3，令∠AGM=2α，∠CHM=β，則∠N=2α，∠M=2α+β，過點H作HT∥GN，可得∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2（1）如圖1，過點M作MR∥又∵AB∥∴CD∥∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR＋∠RMH＝∠AGM＋∠CHM．（2）∠M＋∠HQG＝180°，理由：∵M(jìn)H是∠CHG的平分線，∴∠CHM＝∠MHG，由（1）知∠M＝∠AGM＋∠MHC，∵∠MQG＝∠HGQ＋∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，∴∠M＝∠MQG，∵∠MQG＋∠HQG＝180°，∴∠M＋∠HQG＝180°．（3）如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α＋β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴∠FGM＝12∠BGM＝12（180°－∠AGM）＝90°－∴∠AGH＝∠AGM＋∠FGM＝2α＋90°－α＝90°＋α，∵∠M＝∠N＋12∠FGN∴2α＋β＝2α＋12∠FGN∴∠FGN＝2β，過點H作HT∥則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT＋∠GHT＝2α＋2β，∠CHG＝∠CHM＋∠MHT＋∠GHT＝β＋2α＋2β＝2α＋3β，∵AB∥CD，∴∠AGH＋∠CHG＝180°，∴90°＋α＋2α＋3β＝180°，∴α＋β＝30°，∴∠GHM＝2（α＋β）＝60°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．10．（2020春·江蘇南京·七年級?？计谥校┮阎娜切蔚娜齻€內(nèi)角的度數(shù)和是180°，如圖是兩個三角板不同位置的擺放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．(1)當(dāng)AB∥DC時，如圖①，求(2)當(dāng)CD與CB重合時，如圖②，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，當(dāng)∠DCB等于______度時，AB∥【答案】(1)30°(2)DE∥AC(3)15【分析】（1）根據(jù)AB∥DC，運用平行線的性質(zhì)，求得∠DCB的度數(shù)；（2）根據(jù)∠ABE+∠BAC=180°，運用平行線的判定，得出DE∥AC；（3）根據(jù)AB∥CE，求得∠ECB=30°，再根據(jù)∠DCE=45°，求得∠DCB的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=180°-90°-60°=30°，∵AB∥DC，∴∠DCB=∠B=30°；（2）解：DE∥AC．當(dāng)CD與CB重合時，∠CDA=∠CBA=30°，∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，∵∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAC=180°，∴DE∥AC；（3）解：當(dāng)AB∥CE時，∠B=∠ECB=30°，又∵∠DCE=45°，∴∠DCB=45°-30°=15°．故答案為：15．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來得出角的數(shù)量關(guān)系．11．（2022春·江蘇揚州·七年級校考階段練習(xí)）已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．(1)如圖1，點P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時，求∠APC．(2)如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)∠APC=80°；(2)∠AKC=12∠(3)∠AKC=12∠【分析】（1）先過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進(jìn)行計算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=12∠APC，進(jìn)而得到∠AKC=（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=12∠APC，進(jìn)而得到∠AKC=（1）解：如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；（2）解：∠AKC=12∠APC理由：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12（∠BAP+∠DCP）=1∴∠AKC=12∠APC（3）解：∠AKC=12∠APC理由：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK-∠DCK=12∠BAP-12∠DCP=12（∠BAP-∠DCP）=1∴∠AKC=12∠APC【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行計算．12．（2022春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的邊AC于點D，E為直線AC上一點，過點E向直線AC的右邊作射線EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分線EG交射線BD于點(1)如圖1，∠ABC=40°，點E與點A重合，求∠G的度數(shù)；(2)若∠ABC=α，①如圖2，點E在DC的延長線上，求∠G的度數(shù)（用含有α的式子表示）；②點E在直線AC上滑動，當(dāng)存在∠G時，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直接用含α的式子表示∠G的度數(shù)．【答案】(1)65°(2)①45°?12α；②變化，【分析】(1)過G作GM∥BC交AB于點M，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可得∠MGB=∠GBC=1(2)①過G作GM∥BC交AB于點M，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可得∠MGB=∠GBC=1(1)解：如圖1，過G作GM∥BC交AB于點∵EF∥∴EF∥∴∠EGM=∠FEG，∠MGB=∠GBC．∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠GBC=1∵EF∥∴∠CEF=∠ACB=90°．∵EG平分∠CEF，∴∠FEG=1∴∠AGB=∠EGM+∠MGB=∠FEG+∠GBC=65°．(2)解：①如圖2，過G作GM∥BC交AB于點∵EF∥∴EF∥∵BD平∠ABC，EG平分∠CEF，∴∠GBC=12∠ABC=∴∠BGE=∠MGE?∠MGB=∠FEG?∠GBC=45°?1②變化；當(dāng)點E在點D的上方時，方法同(1)可得，∠G=45°+1當(dāng)點E在點D的下方時，方法同①可得，∠G=45°?1故當(dāng)存在∠G時，其度數(shù)發(fā)生變化，度數(shù)為45°?12α【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線和采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點Р滿足∠ABP=38°，G是CD上任一點，PO平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結(jié)論：①∠DGP?∠MGN的值不變；②【答案】（1）AB∥【分析】（1）由AC平分DAB，12，可得∠2=∠BAC,進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，進(jìn)而由∠MGN=∠MGP-∠【詳解】解：（1）AB∥理由如下：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠2，∴AB∥（2）②正確如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠BPG+∠B，∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=12∠BPG∵AB∥∴∠1=∠DGP，∴∠MGP=1∵PQ∥∴∠NGP=∠GPQ=1∴∠MGN=∠MGP?∠NGP=1∴②∠MGN的度數(shù)不變．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理與平行線的性質(zhì)和判定定理，理清角的和差倍分關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）去年汛期期間，防汛指揮部在某重要河流的一段危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是15度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是5度/秒．假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)若燈B射線先轉(zhuǎn)動4秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(2)如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若燈A射出的光束與燈B射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【答案】(1)2秒或17秒(2)不變，2∠BAC=3∠BCD【分析】（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒時兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前；②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后．分別求得x的值即可．（2）設(shè)燈A轉(zhuǎn)動的時間為x秒，根據(jù)角的和差關(guān)系分別用含x的代數(shù)式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到兩角的數(shù)量關(guān)系．(1)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒時兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜x＜12時，15x＝(x＋4)×5，解得x＝2；②12＜x＜24時，180?15(x?12)＝(4＋x)×5，解得x＝17；③24＜x＜32時，15(x?24)＝(4＋x)×5，解得x＝38，38＞32，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動2秒或17秒時兩燈的光束互相平行．(2)設(shè)燈A轉(zhuǎn)動的時間為x秒，則∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．∴∠CAN＝180°?15x，∴∠BAC＝45°?（180°?15x）＝15x?135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°?10x．∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°?∠BCA＝10x?90°＝10（x?9°），∵∠BAC＝15x?135°＝15（x?9°），∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·江蘇鹽城·七年級景山中學(xué)校考期中）如圖：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)58°【分析】（1）要證明EF//BH，可通過∠E與∠EBH互補求得，利用平行線的性質(zhì)說明∠EBH=∠CHB可得結(jié)論；（2）要求∠CHO的度數(shù)，可通過平角和∠FHC求得，利用（1）的結(jié)論及角平分線的性質(zhì)求出∠FHB及∠BHC的度數(shù)即可．【詳解】（1）證明：∵∠HCO=∠EBC，∴EB//HC，∴∠EBH=∠CHB．∵∠BHC+∠BEF=180°，∴∠EBH+∠BEF=180°．∴EF//BH；（2）解：∵∠HCO=∠EBC，∴∠HCO=∠EBC=64°，∵BH平分∠EBC，∴∠EBH=∠CHB=1∵EF⊥AO，EF//BH，∴∠BHA=90°，∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．∴∠CHO=180°?∠FHC=180°?122°=58°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)等知識點，理解題意學(xué)會分析是解決此類問題的關(guān)鍵．16．（2022春·江蘇南京·七年級南京外國語學(xué)校?？计谥校τ谄矫鎯?nèi)的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k>0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補周角，若∠M=90°,∠N=45°，則∠N為∠M的6系補周角．(1)若∠H=80°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為__________°．(2)在平面內(nèi)AB∥CD，點E是平面內(nèi)一點，連接BE、DE．①如圖1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n>1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，寫出你的解題思路并求出此時的k值（用含n的式子表示）．【答案】(1)70°(2)①75°；②當(dāng)BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k=2n【分析】（1）根據(jù)題中新定義列出方程求解，即可得出答案．（2）①過點E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，由∠D=60°，∠B是∠E的3系補周角，列出∠B的方程，即可求出∠B的度數(shù)．②根據(jù)k系補周角的定義先確定點P的位置，再結(jié)合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解與n的關(guān)系即可求解．（1）解：設(shè)∠H的4系補周角為x，根據(jù)題意，有80＋4x＝360解得x＝70°．故答案為：70°．（2）①解：如圖，過點E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD,EF∥AB∴EF∥CD，∵∠D=60°，∴∠D=∠DEF=60°，∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，即∠B+60°=∠BED∵∠B是∠BED的3系補周角，∴∠BED+3∠B=360°，∴∠B+60°+3∠B=360°，∴∠B=75°．②解：當(dāng)BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，此時k=2n．若∠BPD是∠F的k系補周角，則∠F＋k∠BPD=360°，∴k∠BPD=360°－∠F，由圖可知∠ABF+∠CDF+∠F=360°，即∠ABF+∠CDF=360°?∠F，∴k∠BPD＝∠ABF+∠CDF，又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，∴k∠BPD＝n∠ABE＋n∠CDE，∵∠BPD＝∠PHD＋∠PDH，AB∥CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，∴∠PHD＝∠ABH＝12∠ABE，∠PDH＝12∴k2＝∠ABE+∠CDE＝n∴k=2n．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定、角平分線的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)80°(2)∠P=360°?∠1?∠2；證明見詳解(3)140°【分析】（1）過點P作MN∥（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；（3）分別過點P、點G作MN∥AB、（1）解：如圖過點P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∵∠1=130°，∠2=150°，∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∴∠EPN+FPN=360°?130°?150°=80°．∵∠P=∠EPN+∠FPN，∴∠P=80°．故答案為：80°；（2）解：∠P=360°?∠1?∠2，理由如下：如圖過點P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∵∠EPN+∠FPN=∠P，∠P=360°?∠1?∠2．（3）如圖分別過點P、點G作MN∥AB∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠NPG+∠PGR=180°，∠RGF+∠2=180°．∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，∠PGR+∠RGF=∠PGF，∠1+∠2=325°，∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°∴∠PGF=540°?325°?75°=140°故答案為：140°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，已知MN∥PQ，點A是直線MN上一個定點，點B在直線PQ上運動，設(shè)∠ABQ=α，在射線AM上取一點C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D．(1)如圖1，當(dāng)∠BAN=108°+α?xí)r，α=______°；(2)作∠ABQ的平分線BE，若BE⊥CD，垂足為E，如圖2，求α的值；(3)作∠ACD的角平分線CF，若CF與AB相交，當(dāng)CF與AB的夾角是60°時，直接寫出α的值：______【答案】(1)36(2)76°(3)94°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及鄰補角定義求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及角平分線定義求解即可．（1）解：∵M(jìn)N∥PQ，∴∠MAB=∠ABQ=α，∵∠MAB+∠BAN=180°，∴∠BAN=180°-α，∵∠BAN=108°+α，∴α=36°，故答案為：36；（2）解∶∵M(jìn)N∥PQ，∴∠CDB=∠ACD=52°，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∴∠EBD=90°-∠CDB=38°，∵BE是∠ABQ的平分線，∴∠ABQ=2∠EBD=76°，即α=76°；（3）如圖，作∠ACD的角平分線CF，CF與AB相交于點G，∠AGC=60°，∵∠ACD=52°，CF為∠ACD的角平分線，∴∠ACG=12∠ACD∵M(jìn)N∥PQ，∴∠GFB=∠ACG=26°，∵∠FGB=∠AGC=60°，∴∠GBF=180°-∠FGB-∠GFB=180°-60°-26°=94°，即∠ABQ=94°，∴α=94°，故答案為：94°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）【數(shù)學(xué)抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角相等，即∠1=∠2．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變．若入射光線m與反射光線n平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角∠ABC為多少度？【答案】(1)見解析；(2)90°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換、平角的概念即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的概念及等量代換即可求得答案．(1)證明：由題可知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AB//CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠5=180°?∠1?∠2，∠6=180°?∠3?∠4，∴∠5=∠6，∴m//n；(2)∠ABC=90°，由題可知AD//CE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD//CE，∴∠DAC+∠ACE=180°，又∵∠1+∠2+∠DAC=180°，∠3+∠4+∠ACE=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠B=90°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平角的概念，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．20．（黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)虹橋中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試題）已知，∠ATM+∠DRN=180°．(1)如圖1，求證AB∥CD：(2)如圖2，點E位平面內(nèi)一點，連接BE、CE，求證：∠E=∠C+∠B；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作線段EF，連接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，過點B作BG∥EF交CE于點G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF?BG=2，且△BEF的面積為36時，求線段EF的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)EF=10【分析】（1）根據(jù)同角的補角相等，得出∠ATR=∠DRN，再根據(jù)平行線的判定即可得出答案；（2）過點E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD得出AB∥（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知角度之間的關(guān)系，得出∠FEH=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BGH=∠FBH=90°，從而得出BG⊥EC，EF⊥EC，根據(jù)三角形的面積公式得出BG+EF=18，結(jié)合已知條件EF?BG=2，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵∠ATM+∠DRN=180°，∠ATM+∠ATR=180°，∴∠ATR=∠DRN，∴AB∥（2）證明：過點E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠B+∠C．（3）解：∵∠BEF+∠EFB+∠EBF=180°，∴∠FEH+∠HEB+∠EFB+∠EBF=180°，∵∠EFB=∠EBF，∠BEH=2∠ABE，∴∠FEH+2∠ABE+2∠EBF=180°，即∠FEH=180°?2∠ABE+∠EBF∵∠ABE+∠EBH=∠ABF=45°，∴∠FEH=180°?2×45°=90°，∵BG∥EF，∴∠BGH=∠FBH=90°，∴BG⊥EC，EF⊥EC，∴S===2BG+EF∵△BEF的面積為36，∴36=2BG+EF∴BG+EF=18①，∵EF?BG=2②，①+②得：∴EF=10．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行公理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，補角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明BG⊥EC，EF⊥EC．21．（重慶市銅梁區(qū)銅梁區(qū)巴川初級中學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在直線AB與①如圖3，點B在點A的左側(cè)，若∠ABC=36°，求∠BED的度數(shù)．②如圖4，點B在點A的右側(cè)，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)∠EAB；∠DAC(2)360°(3)①43°；②(205?【分析】（1）由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得結(jié)果；（2）過C作CF∥（3）①過E作EG∥AB，利用角平分線的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝【詳解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；故答案為：∠EAB；∠DAC（2）解：過C作CF∥∵AB∥∴CF∥∴∠D+∠FCD=180°，∵CF∥∴∠B+∠FCB=180°，∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）解：①過E作EG∥∵AB∥∴EG∥∴∠GED＝∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∴∠GED＝∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∵GE∥∴∠BEG＝∴∠BED＝②過E作PE∥∵AB∥∴PE∥∴∠PED＝∵BE平分∠ABC，∠ABC＝∴∠ABE＝∵AB∥∴∠ABE+∠PEB=180°，∴∠PEB＝∴∠BED＝【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行線的傳遞性以及角平分線的概念，作出輔助線構(gòu)造平行線導(dǎo)角是解決本題的關(guān)鍵．22．（廣東省東莞市松山湖實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）請作答：(1)圖1，圖2均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，∠ACB=90°，DF∥CG，AB與FD相交于點E，有一動點P在邊BC上運動，連接PE，PA，記∠PED=∠α，①如圖1，當(dāng)點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，當(dāng)點P在B，D兩點之間運動時，∠APE與∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由；(2)當(dāng)點P在C，D兩點之間運動時，若∠PED，∠PAC的角平分線EN，AN相交于點N，請直接寫出∠ANE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①∠APE=∠α+∠β；②∠APE=∠β?∠α，理由見解析(2)∠ANE=【分析】（1）①過點P作PQ∥DF，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β再根據(jù)∠APE=∠QPE+∠QPA即可得；②過點P作PQ∥DF，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β，再根據(jù)∠APE=∠QPA?∠QPE即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠β過點N作NQ∥DF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得（1）解：①∠APE=∠α+∠β，理由如下：如圖，過點P作PQ∥DF，如圖所示：∴∠QPE=∠α，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠QPA=∠β，∴∠APE=∠QPE+∠QPA=∠α+∠β；②∠APE=∠β?∠α，理由如下：如圖，過點P作PQ∥DF，∴∠QPE=∠α，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠QPA=∠β，∴∠APE=∠QPA?∠QPE=∠β?∠α．（2）解：∠ANE=1∵EN，AN分別平分∠PED，∠PAC，∴∠NED=12∠PED=如圖，過點N作NQ∥DF，∴∠QNE=∠NED=1∵DF∥CG，∴NQ∥CG，∴∠QNA=∠NAC=1∴∠ANE=∠QNE+∠QNA=1【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，過拐點作平行線，利用平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（河北省衡水市武邑縣武羅學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點，∠AEC＝90°保持不變，移動頂點E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點，Q為直線CD上一動點，且點Q不與點C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見解析(2)∠BAE+12∠MCD(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結(jié)論AB∥CD；（2）過點E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得答案；（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠BAE+12∠MCD過點E作EF∥AB，如圖所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝12∠MCD∴∠BAE+12∠MCD（3）解：分兩種情況分類討論，第一種情況如圖，當(dāng)點Q在射線CD上運動時，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二種情況如圖，當(dāng)點Q在射線CD的反向延長線上運動時（點C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC+∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵需要根據(jù)題意作出相關(guān)的輔助線，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)從而判斷角之間的大小關(guān)系，同時注意運用分類討論的思想方法．24．（山西省忻州市代縣2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖1，AB∥CD，點E為直線AB，(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度數(shù)．(2)如圖2，點F在BA的延長線上，連接BE，