安徽省合肥市沿河中學2022-2023學年高二數學理模擬試卷含解析

安徽省合肥市沿河中學2022-2023學年高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列各數中與1010（4）相等的數是（）A．76（9） B．103（8） C．2111（3） D．1000100（2）參考答案：D【考點】進位制．【專題】算法和程序框圖．【分析】把所給的數化為“十進制”數即可得出．【解答】解：1010（4）=1×43+0×42+1×41+0×40=68（10）．對于D：1000100（2）=1×26+1×22=68（10）．∴1010（4）=1000100（2）．故選：D．【點評】本題考查了不同數位進制化為“十進制”數的方法，屬于基礎題．2.已知直線若與關于對稱，則方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.A. B. C. D.參考答案：D分析：根據公式，可直接計算得詳解：，故選D.點睛：復數題是每年高考的必考內容，一般以選擇或填空形式出現，屬簡單得分題，高考中復數主要考查的內容有：復數的分類、復數的幾何意義、共軛復數，復數的模及復數的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負號導致出錯.4.經過點A（，﹣1），且傾斜角為60°的直線方程為（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=0參考答案：A【考點】直線的點斜式方程．【專題】計算題；轉化思想；直線與圓．【分析】求出直線的斜率，代入點斜式方程，再轉化為一般式，可得答案．【解答】解：傾斜角為60°的直線斜率為，故經過點A（，﹣1），且傾斜角為60°的直線方程為：y+1=（x﹣），即x﹣y﹣4=0，故選：A．【點評】本題考查的知識點是直線的點斜式方程，直線的斜率，難度不大，屬于基礎題．5.若,則等于（

）A．

B．

C． D．參考答案：A6.已知f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），則數列{an}的通項公式為（）A．an=n﹣1 B．an=n C．an=n+1 D．an=n2參考答案：C【考點】數列的求和．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列．【分析】由f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），“倒敘相加”即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（1）+f（0）]=2（n+1），∴an=n+1．故選：C．【點評】本題考查了數列“倒敘相加”求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7.曲線y=x2+ax+b在點（0，b）處的切線方程是x﹣y+1=0，則（）A．a=1，b=﹣1

B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=1

D．a=﹣1，b=﹣1參考答案：C8.設函數f（x）的定義域為R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），當x∈[0，1]時，f（x）=x3．則函數g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間[﹣，]上的所有零點的和為（）A．7 B．6 C．3 D．2參考答案：A【考點】52：函數零點的判定定理．【分析】根據f（x）的對稱性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3條對稱軸，x=0，x=1，x=2，根據三角函數的對稱性可知y=|cos（πx）|也關于x=0，x=1，x=2對稱，故而g（x）在[﹣，]上3條對稱軸，根據f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函數圖象，判斷g（x）在[﹣，]上的零點分布情況，利用函數的對稱性得出零點之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）關于x=1對稱，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根與x=0對稱，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2為周期的函數，∴f（x）在[﹣，]上共有3條對稱軸，分別為x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）關于x=0，x=1，x=2對稱，∴x=0，x=1，x=2為g（x）的對稱軸．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函數圖象如圖所示：由圖象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1個零點．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7個零點，設這7個零點從小到大依次為x1，x2，x3，…x6，x7．則x1，x2關于x=0對稱，x3，x5關于x=1對稱，x4=1，x6，x7關于x=2對稱．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故選：A．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.840和1764的最大公約數是（

）A．84

B．

12

C．

168

D．

252參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.動點在圓x2+y2=1上運動，它與定點B（-2，0）連線的中點的軌跡方程是

▲

.

參考答案：略12.以橢圓短軸的兩個頂點為焦點，且過點A（4，﹣5）的雙曲線的標準方程是．參考答案：【考點】雙曲線的標準方程．【分析】求出橢圓短軸的兩個頂點，可得雙曲線的焦點，再利用雙曲線的定義求出2a，即可求出雙曲線的標準方程．【解答】解：橢圓短軸的兩個頂點為（0，±3），∴雙曲線的焦點為（0，±3）．∵雙曲線過點A（4，﹣5），∴2a==2，∴a=，∵c=3，∴b==2，∴所求雙曲線的標準方程是．故答案為：．13.已知平面上有兩定點A、B，該平面上一動點P與兩定點A、B的連線的斜率乘積等于常數，則動點P的軌跡可能是下面哪種曲線：①直線；②圓；③拋物線；④雙曲線；⑤橢圓_____（將所有可能的情況用序號都寫出來）參考答案：①②④⑤【分析】本題可設，然后以所在直線為x軸，以的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則，設P的坐標為，由題意，，即．然后對m進行分類分析即可得出答案?！驹斀狻吭O，以所在直線x軸，以得垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則，設P的坐標為，則，由題意，，即．當時，方程化為，表示直線；當時，方程化為，表示圓；當時，方程化為，表示雙曲線；當且時，方程化為，表示橢圓，所以動點P的軌跡可能是：①直線；②圓；④雙曲線；⑤橢圓．故答案為：①②④⑤．【點睛】本題考查點的軌跡問題，主要考查直線、圓以及圓錐曲線的軌跡問題，能否明確每一種軌跡方程的特征是解決本題的關鍵，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題14.如圖所示，流程圖中輸出的含義是．

參考答案：點到直線的距離略15.設a，b，c為單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為________．參考答案：16.計算，可以采用以下方法：構造恒等式，兩邊對x求導，得，在上式中令x=1，得．類比上述計算方法，計算=

．參考答案：n（n+1）?2n﹣2【考點】F3：類比推理．【分析】對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，兩邊同乘以x整理后再對x求導，最后令x=1代入整理即可得到結論．【解答】解：對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，兩邊同乘以x得：xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n?x?（1+x）n﹣1，再兩邊對x求導得到：Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2在上式中令x=1，得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n?2n﹣1+n（n﹣1）?2n﹣2=n（n+1）2n﹣2．故答案為：n（n+1）2n﹣2．【點評】本題主要考查二項式定理的應用．是道好題，解決問題的關鍵在于對Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，兩邊同乘以x整理后再對x求導，要是想不到這一點，就變成難題了．17.設函數的導函數，則的值等于________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題．【分析】解三角形的特征是把題目中所給的條件全部集合到一個三角形中，依次解出邊、角，達到解三角形的目的．方法一通過充分利用D是中點，構造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求邊AC，下則可用正弦定理求出sinA；方法二根據所給的條件巧妙地建立了一個直角坐標系，將三角問題轉化到向量中研究，大大降低了分析問題的難度，首先是求出了，兩個向量，利用公式求出了兩個向量的夾角A的余弦，再求正弦．此法越過了構造新三角形，使得方法易想．方法三與方法一類似構造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中點這一性質構造出了一個平行四邊形，使得求三角形的另兩邊的邊長時視野開闊，方法也較巧妙．【解答】解：解法一：設E為BC的中點，連接DE，則DE∥AB，且DE=AB=，設BE=x．由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE?EDcos∠BED，5=x2++2××x，解得x=1，x=﹣（舍去）．故BC=2，從而AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB=，即AC=又sinB=，故=，sinA=．解法二：以B為坐標原點，為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限．由sinB=，則=（cosB，sinB）=（，），設=（x，0），則=（，）．由條件得||==．從而x=2，x=﹣（舍去）．故=（﹣，）．于是cosA===．∴sinA==．解法三：過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD=DP，連接AP、PC．過P做PN⊥BC交BC的延長線于N，則HB=ABcosB=，AH=，BN====，而HB=，∴CN=，HC=，AC==．故由正弦定理得=，∴sinA=．【點評】構造法解三角形，如果條件不在一個三角形中時首先要做的就是把這些條件轉化到一個新構造出來的三角形中，此三角形與要研究的三角形之間必有確定的關系，通過解新三角形來達到解要研究三角形的目的．利用三角與向量之間的關系轉化到向量中去也是解三角形的一個好辦法，此法大大降低了解三角形時思維的深度，方法較好，數學解題中的一個重要能力就是靈活轉化，本題能起到培養(yǎng)答題者轉化化歸意識的一道好題．19.已知a＞0，b＞0．（1）求證：+≥；（2）若c＞0，求證：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有兩個負數．參考答案：【考點】R6：不等式的證明；R9：反證法與放縮法．【分析】（1）利用分析法證明；（2）假設a≤b≤c，利用不等式的性質判斷三個數的正負即可．【解答】證明：（1）要證：≥，只需證：≥，只需證：（2a+b）2≥8ab，即證：4a2+b2﹣4ab≥0，即證：（2a﹣b）2≥0，顯然上式恒成立，故≥．（2）假設0＜a≤b≤c，顯然a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c＜0，b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a＜0，∴在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有兩個負數．20.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢。（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？www.（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？參考答案：(1)

(2)

(3)1200元略21.已知函數是(－∞,+∞)上的增函數，.（1）若，求證：；（2）判斷（1）中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論.參考答案：(1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上單調遞增，∴f(a)≥f(－b)．同理，a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命題：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.下面用反證法證之．假設a＋b<0，那么：由a+b<0,得a<-b,∴f(a)<f(-b)由a+b<0,得b<-a,∴f(b)<f(-a)兩式相加即得：f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．這與已知矛盾，故有a＋b≥0.逆命題得證．

22.已知圓x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圓外一點M（4，﹣8），過M作圓的割線交圓于A、B兩點，若|AB|=4，求直線AB的方程．參考答案：【