甘肅省武威市2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

武威市教育局第一次高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)(理科)

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合A*'“},B=伸x>4},則他A)CBl)

A.[5,2)B，(a,？C.(2,+∞)D.[2,+∞)

K答案，B

K解析》

K祥解》解不等式求出集合AB,得到?A,再根據(jù)交集定義計(jì)算(?A)cB即可.

K詳析H由4=3,〉4}得區(qū)4=卜卜20}=[_2,2],

8={x∣8x>4}={xk>g>,得(aA)CB=(g,2.

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(L-1),則(z+2)(z+2i)=()

A.1B.4-2iC.-4+2iD.4+2i

K答案DD

K解析D

"羊解H由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求(z+2)(z+2i).

K詳析》因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),

所以Z=I—i,

所以(z+2)(z+2i)=(3T)(l+i)=4+2i.

故選：D.

3.在二ABC中，AB=3,AC=2,BC>6，則CoSA的范圍是()

（答案HB

K解析》

K祥解》由余弦定理可得COsA表達(dá)式，結(jié)合BC>也可得K答案H.

I>v-j,t-?,AB^+AC^—BC^13—BC^中小_rz-r-∣>∣???

K7詳析XCoSA=---------------------------------=-----------------，因?yàn)锽C>J2，所f以COSA<—.

2ABAC1212

又A∈（0,τu）,所以COSA的范圍是1-l,??j.

故選：B

4.某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（）

/輸瞥/

(?

A.計(jì)算6+60+600+6000B.計(jì)算6+60+600+6000+600∞

C.計(jì)算6+66+666+6666D.計(jì)算6+66+666+6666+66666

K答案DA

K解析H

R祥解》按流程圖順序計(jì)算可得結(jié)果.

K詳析D初始值S=0,i=l：第1次循環(huán)，S=6"=2;第2次循環(huán)，5=60+6,z=3;

第3次循環(huán)，5=600+60+6,，=4；第4次循環(huán)，5=6()00+60()+60+6,/=5,

此時(shí)i>4,跳出循環(huán)，輸出S.

故選：A

CG

9

K答案IC

K解析』

R祥解』先由誘導(dǎo)公式求出tan(α-^∣)的值，再利用拆分角tan(a-：]=tan一《求得結(jié)

果.

R詳析U由tan(α—--=SinU^■=sin二=3■,

I12j332

也—3

/ππ5T√3

得tan[a-：）=tana-----

l12~9^

6i+小3

23

故選：C.

y+l>O

6.若X,>滿足約束條件<2x+y-4≤0,則下列目標(biāo)函數(shù)中最大值為。的是()

x-2>,+3≥0

A.z=3y-x+5B.z=3y-x-5

C.z=3y-x+4D.z=3y-x-4

K答案DB

K解析D

K祥解H畫(huà)出可行域，求目標(biāo)函數(shù)m=3y-X的最大值，從而求得正確K答案U.

X—2yH-3—0X—\

K詳析》由C-',、解得〈C，設(shè)A(1，2)，

2x+y-4=0[y=2''

畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，

目標(biāo)函數(shù)加=3y—X在點(diǎn)A(l,2)處取得最大值m=3χ2-l=5,

所以z=3y-x-5的最大值為0.

故選：B

7.在正四棱柱ABCz)-ABC。中，E是8G的中點(diǎn)，AB=2,A41=√7,則破與平面88Q。所成角

的正弦值為()

A-B.-C.-D.—

4334

K答案，A

K解析2

K祥解》根據(jù)線面角定義，先證明/"BE為BE與平面8月所成的角，再根據(jù)題設(shè)條件求出

22

EH=；OC、=浮BE=λ∕(√7)+l=2√2,利用正弦的定義即可求解.

K詳析》依題意，可得如圖：

設(shè)底面A4G。的中心為。，

易得DDt±平面A1B1C1D1,OC1U平面AiBiClDi,所以。Q_LOG,

又BIDl1OC1,S1D1DDl=D1,BdDDlU平面BBlRD,

所以。G上平面BBQQ,

取。品的中點(diǎn)〃，連接E”，則

所以EHL平面B用。Q,連接3"，

則/HBE為BE與平面BBQ力所成的角.

因?yàn)锳B=2,A41=幣,

所以EH=；OG=^,BE=√(√7)2+12=2√2,.

EH1

所以sin/HBE="=上.

BE4

故選：A.

8.隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來(lái)了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車

每年需要固定投入100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)X輛該汽車另需增加投資g(X)萬(wàn)元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400

輛時(shí)，g(x)='f+2χ,當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，g(x)=16x+西幽一3500,該款汽車售價(jià)為

802X

每輛15萬(wàn)元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤(rùn)為()

A.1500萬(wàn)元B.2100萬(wàn)元C.2200萬(wàn)元D.3800萬(wàn)元

K答案DC

K解析D

K祥解11先表示利潤(rùn)函數(shù)/(x),利潤(rùn)等于銷售收入減去投資g(x)和固定投入100萬(wàn)元，再分別利用二次

函數(shù)、均值不等式求最值.

R詳析力設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤(rùn)為/(χ)(萬(wàn)元)，由題意可知，

is?-(??2+-^∣-100,0≤%<400

“R=1802J

J\)(360000、

15%-16Λ+------------3500-100,%≥400

VXJ

f1?21

——√+-x-100,0≤x<400

即〃X)=8°360()2，

-%-~60000+3400,X≥400

當(dāng)OVX<4(X)時(shí)，/(x)的對(duì)稱軸x=420>4(X),貝IJy(X)<∕(400)=2100；

當(dāng)x2400時(shí)，/(x)=-1x+360000+3400≤-2√360000+3400=

=2200,當(dāng)且僅當(dāng)χ=600時(shí),

/(x)取得最大值2200.

綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤(rùn)為2200萬(wàn)元.

故選：C.

TΓ

9.將函數(shù)/(x)=sin[2x+?^的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

6

j兀

一(。>0),縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在0,-上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍為

coL4_

()

(713^∣

A.

133」

K答案》B

R解析』

R祥解U根據(jù)題意得g(x)=SinI2cox--],由0≤x≤?γ得—?^≤rIcox—-<———,由g(x)在0,—

VOJ46626L4

MTtπ

上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得兀<——-<2π,即可解決.

26

K詳析H由題可知，/(x)=sin(2%+?^j,

先將函數(shù)/(x)=sin[2x+?^J圖象向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=sin∣2尤一看

再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,(3>0),縱坐標(biāo)不變，得g(x)=sin(20x-g1,

ω\6；

當(dāng)0<x≤-時(shí)，——≤2ωx—≤------,

46626

因?yàn)間(x)在θ,?上恰有2個(gè)零點(diǎn)，

所以兀4---------<2π,解得一≤o<一

2633

「713、

所以0的取值范圍為-,y,

故選：B

10.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,AP=λAB+μAC,2w[0,1],4e[0,1]且34+4〃=2,則點(diǎn)P到

直線BC距離的最大值為()

3√3

A.2√3B.3C3石D.

2

R答案ID

K解析』

33

K祥解』由AP=ITlA0+2〃AE結(jié)合不∕1+2M=1得出點(diǎn)P在線段。E上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得出點(diǎn)P到直線

BC距離的最大值.

3

R詳析R因?yàn)?∕L+44=2,所以5力+2〃=1,

3212

所以AP=4AB+/AC=5X?1AB+24?5AC.如圖，設(shè)AO=]A6,

AE=-AC,則AP=1；IAO+2χ∕4E.因?yàn)楱Ml∈[θ,l],;∕∈[θ,l],

所以點(diǎn)P在線段OE上運(yùn)動(dòng)，顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P到直線BC的距離取得最大值也.

11.已知P是離心率為2的雙曲線C：/一匕=i("z>o)的右支上一點(diǎn)，則尸至【J直線12x-5y=0的距離

m

與P到點(diǎn)A(-2,0)的距離之和的最小值為()

504224

A.—B.—D.—

131313

K答案，A

K解析H

R祥解H由雙曲線的定義，將點(diǎn)P到左焦點(diǎn)A的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，再求右焦點(diǎn)到直線

12x—5y=0的距離，進(jìn)而得出結(jié)果.

2

K詳析H已知雙曲線G爐_21=1(m>0),可知e=11+m=2，則加=3,

m

所以A(-2,0),B(2,0)分別為C的左、右焦點(diǎn),則|明一|2/=2〃=2,即IpH=IPH+2,

設(shè)P到直線12x—5y=0的距離為d,B到直線12x-5y=0的距離為4,且&=一，則

13

J+∣PA∣=J+∣PB∣+2≥J1+2=∣∣+2=γ^.

故選：A.

12.若函數(shù)/(x)=(x—if+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)為，須，且不<々，貝∣J∕(w)取值范圍為()

(l-21n2Qfl-ln2A(1"∣(1A

?-l?-可b-l?`θnjc?Γi5n°Jd?匕ZnJ

K答案》A

K解析U

R祥解》求導(dǎo)/'(x)=H≡2",根據(jù)函數(shù)“力=(》一1)2+。111%有兩個(gè)極值點(diǎn)毛,演，由

r=2χ2一2x+α在(0,+a)上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得“的范圍，進(jìn)而再根據(jù)％<々，%+々=1得到巧的

范圍，再由26-2當(dāng)+。=0,得到〃％2)=(工2—1)2+(-2*+29)InX2,利用導(dǎo)數(shù)法求解.

K詳析H因?yàn)?(x)=(x-l)2+αlnx,

所以r(x)=2(x-l)+q=^≡^^

令O=2￡-2x+a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=(X-Iy+αlnX有兩個(gè)極值點(diǎn)玉，x2,

所以函數(shù)r(x)在(0,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根,

z(θ)=α>O1

則〈`),解得0<ɑ<一，

Δ=4-8a>02

因?yàn)橥?lt;工2，且芭+々=1，，(1)=Q>0,

所以;<%2<1,且-29+4=0,

所以/(%2)=(λ?-1)+々1叫=(X2—1)÷(-2xf+2X)Inx,'V/<1.

222■

令函數(shù)g(x)=(x-l『+(-2尤2+2χ)InX,-^<χ<l,

則8'(力=(2-4%)山>0在仁,1)上恒成立，

故g(χ)在(；，1)上單調(diào)遞增,

則g(x)∈'二：n2,0),即/)的取值范圍為Crn2,0).

故選：A

燈點(diǎn)石成金9關(guān)鍵r點(diǎn)石成金J：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由《力=2/-2%+。在(0,+。)上有兩個(gè)不等

實(shí)根，求得。的范圍，進(jìn)而再根據(jù)罰＜々，χ+∕=ι得到々的范圍而得解.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把K答案X填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為4兀，9兀，該圓臺(tái)的體積為19π,則該圓臺(tái)的高為.

K答案D3

K解析R

K祥解》由圓臺(tái)的體積公式V=gMe+J啊+邑)直接求得.

K詳析》圓臺(tái)的體積V=啊"+S2)=，(4K+J^^￡+9兀)=19兀，得∕z=3.

所以該圓臺(tái)的高為3.

故K答案H為：3.

14.將8個(gè)人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為.

R答案，280

K解析D

K祥解》組合問(wèn)題中既有均分又有非均分，先從8個(gè)人中選出3人為一組，再?gòu)?人中選出3人為一組，

注意均分分組中的順序問(wèn)題，剩余兩人為一組.

K詳析D先從8個(gè)人中選出3人為一組，再?gòu)?人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.

滿足條件的分組方法種數(shù)為空器■=變電=280.

Aj2

故R答案H為：280.

15.定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(X)=/(2-x),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(X)=加+2x+α+l,則

/(2023)=.

H案U-1

K解析D

K祥解X由題可得"())=(),/(x)周期為4,據(jù)此可得K答案L

R詳析》因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(O)=α+l=O,解得a=—1.

又/(x)=∕(2-x),所以/(X)=-F(X-2),貝IJy(X)=4X—4),

即/(x)是以4為周期的周期函數(shù),

故"2023)=∕(T+4x506)="-l)=-〃I)=-L

故R答案H為：τ?

16.P為橢圓工+二=1上一點(diǎn)，曲線N+∣y∣=l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A,B,C,D,若

62211

∣Λ4∣+∣PB∣+∣PCj+∣PjD∣=4√6,則尸到X軸的距離為

K答案，也&

13

K解析H

2/_1

K祥解D首先表示出A,8,c,。的坐標(biāo)，依題意可得IPq+|也=2?,即可得到P為橢圓日+

6

上一點(diǎn)，聯(lián)立兩橢圓方程，求出V,即可得解.

K詳析。解:不妨設(shè)A(—2,0),B(2,0),C(0,-l),D(0,l),

22

則A,8為橢圓工+工=1的焦點(diǎn)，所以∣B4∣+∣P.=2幾,

62

χ∣PA∣+∣Pβ∣+∣PC∣+∣PD∣=4√6,所以IPq+1Pa=2",

2a=2√6

a—?/e

且ICq=2<∣PC∣+∣PD∣,所以「在以C、O為焦點(diǎn)的橢圓上，且<c=l，所以《

?=√5,

c2=a2-b1

22

所以P為橢圓二+匕=1上一點(diǎn),

56

儼+V

------一?,I--

62?ZΘ.,2_6?.II√78

由,，,解2得)=Q，則>=不一

Xy2??13

—+—=1

156

故尸到X軸的距離為叵?

13

故R答案H為：叵

13

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，己知S3=7,且巧一包=一7.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=α,,+2"-l,數(shù)列｛"｝的前W項(xiàng)和為T(mén)“，證明：當(dāng)〃25時(shí)，7；,>56.

nx

K答案』⑴an=2-

(2)證明見(jiàn)K解析》

工解析H

R祥解X(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求4M，即可得結(jié)果；

(2)利用分組求和可求得q=2"-1+"，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.

K小問(wèn)1詳析》

設(shè)數(shù)列｛《,｝的公比為4，

M7

53=7=1

則《l-q，解得＜

4-%=—7=2'

4(1-力=-7

故α,,=2"τ.

R小問(wèn)2詳析D

由(1)知a=2"-∣+2〃-1,

n,,

所以7；=∕jl+?+???+^=(l+l)+(2+3)+???+(2^'+2π-l)=(l+2+L+2^')+(l+3+L+2n-l)

=y(1+2〃-1)=2一+/

1-22

?.?∕(X)=2Λ'-1+f在[1,+8)上單調(diào)遞增，則數(shù)列｛[｝為遞增數(shù)列，

.?.當(dāng)〃≥5時(shí),Tn≥T5=56,

故當(dāng)〃≥5時(shí)，Tn≥56.

18.為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識(shí)競(jìng)賽，共有5()0名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了

100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

并畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖?

(1)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；

(2)若團(tuán)委決定對(duì)所有參賽學(xué)生中成績(jī)排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線?

(3)以這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為概率，從參賽的5()()名學(xué)生中隨機(jī)選20名，其中參賽學(xué)生

成績(jī)不低于80分的人數(shù)記為X,求X的方差?

R答案H(1)82分

(2)95分

(3)4.8

R解析X

R祥解2(1)利用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求出〃？，再求出這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)，由此估

計(jì)出所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)；

(2)求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為X,根據(jù)條件建立關(guān)于X的

方程求解即可；

(3)根據(jù)條件,可知X~B(20,0.6),然后由方差公式求解即可.

K小問(wèn)1詳析?

由IoX(0.01+0.03+/%+2〃?)=1,得加=0.02.

這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)約為0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x85+0.02x10x95=82分,

故估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2分?

工小問(wèn)2詳析H

獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為一=0.1,

500

設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為X，

由分?jǐn)?shù)在區(qū)間［90,100］的頻率為10X0.02=0.2，可知x∈(90,1()0),

由(Ioor)XO.02=0.1,得尤=95,

故估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為95分?

K小問(wèn)3詳析3

這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為(〃?+2m)X10=0.6,

由題意，可知X~B(20,0.6),

故。(X)=20×0.6X(1-0.6)=4.8.

19.如圖，在四棱錐P—ABCO中，四邊形ABCr)是直角梯形，ADJ.AB.ABHCD,

PB=CD=2AB=2AD,PD=CAB，PCVDE,E是棱心的中點(diǎn).

FB

(1)證明：QDJ_平面ABCO；

(2)若AF=4AB,求平面OE下與平面PAO所成的銳二面角的余弦值的最大值.

K答案》(1)證明見(jiàn)K解析Il

(2)B

2

K解析D

K祥解II(I)由線面垂直判定可證得DEl平面PBC,進(jìn)而得到OE"L8C;利用勾股定理和線面垂直

的判定得到BCl平面尸班＞,從而得到JBC_L~D；利用勾股定理可證得Pz)_LBC),由此可得結(jié)論；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，由二面角的向量求法可求得COSe=I7

√3Λ2-22+3

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得CoSe的最大值.

R小問(wèn)1詳析H

連接BD，

AB^AD,ABLAD,;.BD=&B，又PD=亞AB，：.PD=BD，

E為棱PB中點(diǎn)、，.?.DELPB,又PCDE,PCPB=P,PC,PBU平面P8C,

.?.DEL平面PBC,又BCU平面PBC,..DELBC;

在直角梯形ABC。中，取CO中點(diǎn)M,連接BM，

CD=2AB,:.DM=AB，又DMllAB,AB=AD,ABLAD,

??四邊形ABMD為正方形，.?.8W=AD,BM上CD,

：.BC=41BM=√2AD=√2AB-又BD=?AB，：.BD?+BC?=CD°，：.BC上BD,

BDDE=D,BDf)EU平面PJgZ),.?.BC_L平面PQ,

PDU平面PBD，..BCLPD：

PD=BD=OAB，PB=2AB,:.PD2+BD2=PB2>：.PD±BD

又BCBD=B,6。,5。<=平面他8,，「￡>3_平面48。。.

K小問(wèn)2詳析］

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,OC,DP正方向?yàn)椋Z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2,則A(2,0,0),3(2,2,0),O(0,0,0),“似旬,P(θ,θ,2√2),

：.DE=[1,1網(wǎng),^A=(2,0,-2√2),PB=(2,2-242),AB=(0,2,0)；

AF=4AB=(0,240),.?.b(2,2∕l,0),.?.OF=(2,2∕l,0);

設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

n-DE=x+y+V∑z=OL.

則〈，令χ=√∑4,解得：j=-√r2,Z=I-4，

n-DF=2x+2λy=Q

.?.tt=(√2Λ-√2,l-Λ);

)'軸1平面R4O,二平面尸AO的一個(gè)法向量加=(0,1,0),

設(shè)平面DEF與平面PAD所成的銳二面角為夕，

CII∣m-H√2√2

則cosθ=cos<m,n>?=JJ=/=,

pM∣?∣η+2+(1-2)2√322-2Λ+3

*=；時(shí)，(3>22+3%=∣,'?(c°s嘰=1W,

即平面DEF與平面P4。所成的銳二面角余弦值的最大值為也.

2

20.已知直線y=gx—1與拋物線Gf=-2py(p>0)交于M(巧,，兒)，N(巧,，/)兩點(diǎn)，且

(XM+ι)(∕+ι)=-8.

(1)求C的方程?

3

(2)若直線y=kx--(kWo)與C交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于V軸對(duì)稱，試問(wèn)直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？

若過(guò)定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由?

K答案Il(I)%2=-6y

(2)過(guò)定點(diǎn)，(θ,?∣)

R解析D

K祥解D(I)聯(lián)立直線y=gx—1與拋物線∕=-2py,寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)已知條件來(lái)求得“，進(jìn)

而求得拋物線C的方程.

3

(2)連值直線y=區(qū)—]僅。0)拋物線/=-2py,寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線AB的方程，并求出

定點(diǎn)的坐標(biāo).

R小問(wèn)1詳析H

將y=??-?代入f--2py,得f+px-2,=°，

2

則XM+XN=-p,XMXN=~P，

則(XM+1)(XN+1)=%+樂(lè)+XMXN+1=—3p+1=-8,解得p=3,

故。的方程為/=—6y

K小問(wèn)2詳析》

設(shè)4(石,)),8(%,必)，則4(f,y),

y=kx——(攵≠0)??

聯(lián)立方程組『2'),整理得幺+6西一9=0,『36二+36>()，

f=-6y

當(dāng)一,_考一片一/一可

則x1+x2=-6k,X1X2=-9,所以kA.B

%2一(—X])—6(4+3)—6

2、

???~xι(\

因此直線AB的方程為y--T2)，

整理得y=一7元(工2—X])—，即y=—WX(X2一%)+：，

當(dāng)X=O時(shí)，y=∣^,故直線AB過(guò)定點(diǎn)(o,?∣

21.已知函數(shù)/(X)=*

(1)求/(x)在(―3,+∞)上的極值;

若Vx∈(-3,+oo),|j-3≤αr2-2x,求〃的最小值.

案》⑴/⑵=3為極小值，/(x)無(wú)極大值?

K答

e

(2)\_

2

R解析』

K祥解D(1)求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，借助單調(diào)性分析極值的情況；

?_1_?

⑵令g(x)=—-——3-0χ2+2χ,令MX)=g'(χ),設(shè)〃(無(wú))="(χ),再借助“(X)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，分析

e

原函數(shù)的單調(diào)性確定極值，再反推g(x)的單調(diào)性，判斷g(x)極大值情況.

K小問(wèn)1詳析工

■Ta)=；：：/,令/'(x)=0,得x=—2,

/'(x)在(一3,-2)為負(fù)，/(x)單調(diào)遞減，

「⑴在(-2,+∞)為正,/(x)單調(diào)遞增，

故/(2)=《為極小值，/(x)無(wú)極大值.

R小問(wèn)2詳析H

1?x+3x+3?

由題知冗=一—3o,令g(x)=「_一3-ax+2x,

??

g，(X)=--2ax+2,g(O)=O,g<0)=0,

X+2Y+1

令〃(X)=g,(X)=一Δ?±-20r+2,貝∣J/(X)=???—20,

evex

X-I-1Y

設(shè)U(X)=(X)=一;——2a貝IJM(X)=一一-,

ee

-3<x<0,M'(X)為正，"O)=∕z'(x)在(-3,0)單調(diào)遞增，

χ>0,"'(X)為負(fù)，“(X)=/?’(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

故w(0)=Λ,(0)=1-2?為極大值，

若1—2α≤0,即0≥g,此時(shí)/(x)40,則Mx)=g'(x)在(-3,+8)單調(diào)遞減，

又g'(0)=0,所以一3<x<0時(shí)g<x)>0,g(x)在(一3,0)單調(diào)遞增，

X>0時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

故g(0)=0為極大值，所以g(x)≤0,則當(dāng)。2工時(shí)，符合條件；

2

l-2α>0,即α<,此時(shí)"(X)>0,

2

存在一3<x∣<0,在(.O)上；“(尤)=∕(x)>0,則〃(X)=g'(x)在(石,())單調(diào)遞增，

又/z(θ)=g'(0)=0,則在區(qū)間(玉,0)上g'(x)<g'(0)=0

所以在區(qū)間(玉,0)上，g(χ)單調(diào)遞減，則g(x)>g(O)=O,不滿足條件.

綜上所述“的最小值為g.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一個(gè)題目計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=2CoSa,

22.在直角坐標(biāo)系Xo)，中，曲線C的參數(shù)方程為Vc.(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的