獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用完整版

3.2獨立性檢驗的基本(jīběn)思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計(tǒngjì)案例第一頁，共三十六頁。獨立性檢驗(jiǎnyàn)本節(jié)研究的是兩個(liǎnɡɡè)分類變量的獨立性檢驗問題。第二頁，共三十六頁。

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965探究(tànjiū):為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到(dédào)如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

吸煙者和不吸煙者都可能患肺癌(fèiái)，吸煙者患肺癌(fèiái)的可能性較大0.54%2.28%分類變量42/7817第三頁，共三十六頁。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否(shìfǒu)相關(guān)：等高條形圖在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

0.54%2.28%第四頁，共三十六頁。

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙(xīyān)和患肺癌有關(guān)，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。

現(xiàn)在(xiànzài)想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙(xīyān)與患肺癌沒有關(guān)系.

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于“吸煙與患肺癌獨立”，即假設(shè)H0等價于P(AB)=P(A)P(B).第五頁，共三十六頁。因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌(fèiái)之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強。不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近(jiējìn)于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有第六頁，共三十六頁。獨立性檢驗(jiǎnyàn)H0：假設(shè)(jiǎshè)吸煙和患肺癌沒有關(guān)系構(gòu)造隨機變量(suíjībiànliànɡ)(卡方統(tǒng)計量)

作為檢驗在多大程度上可以認為“兩個變量有關(guān)系”的標準。

若H0(吸煙和患肺癌沒有關(guān)系)成立，則K2應(yīng)該很小.第七頁，共三十六頁。獨立性檢驗(jiǎnyàn)H0：假設(shè)吸煙和患肺癌沒有(méiyǒu)關(guān)系

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965第八頁，共三十六頁。隨機變量-----卡方統(tǒng)計量0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表0.1%把握(bǎwò)認為A與B無關(guān)1%把握(bǎwò)認為A與B無關(guān)99.9%把握(bǎwò)認A與B有關(guān)99%把握認為A與B有關(guān)90%把握認為A與B有關(guān)10%把握認為A與B無關(guān)第九頁，共三十六頁。即在成立的情況下，K2

大于6.635概率非常小，近似為0.01

現(xiàn)在的K2≈56.632的觀測值遠大于6.635，小概率事件的發(fā)生說明(shuōmíng)假設(shè)H0不成立！0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表獨立性檢驗(jiǎnyàn)H0：假設(shè)吸煙(xīyān)和患肺癌沒有關(guān)系所以吸煙和患肺癌有關(guān)！第十頁，共三十六頁。1．對分類變量(biànliàng)X與Y的隨機變量K2的觀測值k，說法正確的是(

)A．k越大，“

X與Y有關(guān)系”可信程度越小B．k越小，“

X與Y有關(guān)系”可信程度越小C．k越接近于0，“X與Y無關(guān)”程度越小D．k越大，“X與Y無關(guān)”程度越大B第十一頁，共三十六頁。獨立性檢驗基本的思想(sīxiǎng)類似反證法(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下隨機變量K2

應(yīng)該很能小,如果由觀測數(shù)據(jù)(shùjù)計算得到K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理.(3)根據(jù)隨機變量K2的含義,可以通過評價該假設(shè)不合理的程度,由實際計算出的,說明假設(shè)合理的程度為99.9%,即“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99.9%.第十二頁，共三十六頁。反證法原理(yuánlǐ)與假設(shè)檢驗原理(yuánlǐ)反證法原理：在一個已知假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明(zhèngmíng)了這個假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗原理：在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛盾的小概率事件(shìjiàn)發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不成立。第十三頁，共三十六頁。在H0成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率(gàilǜ)事件；2.如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，則H0不成立，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解(qiújiě)思路假設(shè)檢驗問題(wèntí)：第十四頁，共三十六頁。例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否(shìfǒu)有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437在禿頂中患心臟病的比重是

在不禿頂中患心臟病的比重是

55.01%43.03%第十五頁，共三十六頁。例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人(bìngrén)中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437

根據(jù)(gēnjù)聯(lián)表的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握(bǎwò)認為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。第十六頁，共三十六頁。注意(zhùyì)：因為這組數(shù)據(jù)來自住院的病人，因此所得到(dédào)的結(jié)論適合住院的病人群體．2、本例中的邊框(biānkuàng)中的注解：1、在解決實際問題時，可以直接計算K2的觀測值k進行獨立檢驗，而不必寫出K2的推導(dǎo)過程；

主要是使得我們注意統(tǒng)計結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）第十七頁，共三十六頁。A第十八頁，共三十六頁。第十九頁，共三十六頁。所以(suǒyǐ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有

%的把握認為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系。97.5由獨立性檢驗隨機變量值的計算公式得：

第二十頁，共三十六頁。跟蹤(gēnzōng)訓(xùn)練1．(2011·廣東執(zhí)信中學(xué))某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行長期的調(diào)查(diàochá)，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般61925合計242650完成課本(kèběn)97頁練習(xí)第二十一頁，共三十六頁。(1)如果隨機調(diào)查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級(bānjí)工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太積極參加班級(bānjí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學(xué)生的積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系？所以，在犯錯誤的概率不超過(chāoguò)0.001的前提下，認為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度”有關(guān)系．第二十二頁，共三十六頁。1．（2013·深圳二模）2013年3月14日，CCTV財經(jīng)頻道報道了某地建筑市場(shìchǎng)存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象.為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關(guān)，某大學(xué)實驗室隨機抽取了60個樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：混凝土耐久性達標混凝土耐久性不達標總計使用淡化海砂25530使用未經(jīng)淡化海砂151530總計402060第二十三頁，共三十六頁。（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否(nénɡfǒu)在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關(guān)？（2）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，現(xiàn)從這6個樣本中任取2個，則取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：P（k2≥k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828第二十四頁，共三十六頁。解析：（1）提出假設(shè)H0：使用淡化(dànhuà)海砂與混凝土耐久性是否達標無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K2的觀測值∴能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用(shǐyòng)淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關(guān).（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取6個，其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達標”的為×6=5，“混凝土耐久性不達標”的為6-5=1，“混凝土耐久性達標記”為A1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性不達標”的記為B.第二十五頁，共三十六頁。在這6個樣本(yàngběn)中任取2個，有以下幾種可能：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,A4）,（A1,A5）,（A1,B）,（A2,A3）,（A2,A4）,（A2,A5）,（A2,B）,（A3,A4）,（A3,A5）,（A3,B）,（A4,A5）,（A4,B）（A5,B）,共15種.設(shè)“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，它的對立事件A為“取出的2個樣本至少有1個混凝土耐久性不達標”，包含（A1,B）,（A2,B）,（A3,B）,（A4,B）,（A5,B），共5種可能.第二十六頁，共三十六頁。第二十七頁，共三十六頁。2．(2011·揭陽一模)某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取(chōuqǔ)40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在(495,510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．產(chǎn)品重量/克頻數(shù)(490,495]6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515]4第二十八頁，共三十六頁。表1甲流水線樣本頻數(shù)分布(fēnbù)表(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；(2)若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線合計合格品a＝b＝不合格品c＝d＝合計n＝第二十九頁，共三十六頁。附：下面(xiàmian)的臨界值表供參考：p(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828第三十頁，共三十六頁。解析：(1)甲流水線樣本(yàngběn)的頻率分布直方圖如下：(2)由表1知甲樣本(yàngběn)中合格品數(shù)為8＋14＋8＝3