第二章-共軸球面系統(tǒng)的物像關(guān)系

第二章共軸球面系統(tǒng)的物像關(guān)系

本章內(nèi)容：共軸球面系統(tǒng)求像。由物的位置和大小求像的位置和大小

§2-1共軸球面系統(tǒng)中的光路計(jì)算公式

求一物點(diǎn)的像，即求所有出射光線位置，交點(diǎn)就是該物點(diǎn)的像點(diǎn)。因?yàn)樗械那蛎娴奶匦允且粯拥?，只須?dǎo)出光線經(jīng)過(guò)一個(gè)球面折射時(shí),由入射光線位置計(jì)算出射光線位置的公式,即球面折射的光路計(jì)算公式。

因?yàn)樗谐錾涔饩€位置的求法是相同的，只須找出求一條出射光線的方法即可。LrL’II’Q表示光線位置的坐標(biāo)入射光線與光軸的交點(diǎn)A到球面頂點(diǎn)的距離L入射光線與光軸的夾角U像方相應(yīng)地用L’、U’表示球面半徑r折射率n、n’入射光線坐標(biāo)L、u法線與光軸的夾角ψ已知

求折射光線坐標(biāo)L’、U’

對(duì)△APC應(yīng)用正弦定理得到

由此得到

(2-1)

根據(jù)折射定律（1-5），可由入射角I求得折射角I'

（2-2）

對(duì)△APC和△A'PC應(yīng)用外角定理得到

ψ=U+I=U'+I'故U'=U+I-I'（2-3）求得折射光線的一個(gè)坐標(biāo)U'對(duì)△A'PC同樣應(yīng)用正弦定理

故（2-4）

L'即可求出。L'，U'順利求出

轉(zhuǎn)面公式計(jì)算完第一面以后,其折射光線就是第二面的入射光線

§2-2符號(hào)規(guī)則實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，光線和球面位置可能是各種各樣的。為了使公式普遍適用于各種情況，必須規(guī)定一套符號(hào)規(guī)則。符號(hào)規(guī)則直接影響公式的形式5O10各參量的符號(hào)規(guī)則規(guī)定如下：1．線段：由左向右為正，由下向上為正，反之為負(fù)。規(guī)定線段的計(jì)算起點(diǎn)：

L、L'—由球面頂點(diǎn)算起到光線與光軸的交點(diǎn)

r—由球面頂點(diǎn)算起到球心

d—由前一面頂點(diǎn)算起到下一面頂點(diǎn)d—由前一面頂點(diǎn)算起到下一面頂點(diǎn)。

2．角度：

一律以銳角度量，順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。角度也要規(guī)定起始軸：U、U'—由光軸起轉(zhuǎn)到光線；

I、I'—由光線起轉(zhuǎn)到法線；

ψ—由光軸起轉(zhuǎn)到法線，

應(yīng)用時(shí)，先確定參數(shù)的正負(fù)號(hào)，代入公式計(jì)算。算出的結(jié)果亦應(yīng)按照數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定光線的相對(duì)位置。推導(dǎo)公式時(shí)，也要使用符號(hào)規(guī)則。注意為了使導(dǎo)出的公式具有普遍性，推導(dǎo)公式時(shí)，幾何圖形上各量一律標(biāo)注其絕對(duì)值，永遠(yuǎn)為正反射情形

看成是折射的一種特殊情形：

n’=－n

把反射看成是n’=－n時(shí)的折射。往后推導(dǎo)公式時(shí)，只講折射的公式；對(duì)于反射情形，只需將n’用－n代入即可，無(wú)需另行推導(dǎo)。-LrL’II’Q§2-3球面近軸范圍內(nèi)成像性質(zhì)和近軸光路計(jì)算公式

本節(jié)我們研究光線通過(guò)球面后的成像規(guī)律和特性找出理想成像的范圍首先我們看一個(gè)例子

共軸球面系統(tǒng)中的光路計(jì)算舉例計(jì)算通過(guò)一個(gè)透鏡的三條光線的光路。

n1=1.0空氣

r1=10d1=5n1'=n2=1.5163玻璃（K9）

r2=-50n2'=1.0空氣

A距第一面頂點(diǎn)的距離為100，由A點(diǎn)計(jì)算三條和光軸的夾角分別為1、2、3度的光線：

上面計(jì)算了由軸上物點(diǎn)A發(fā)出的三條光線計(jì)算結(jié)果表明，三條光線通過(guò)第一個(gè)球面折射后，和光軸的交點(diǎn)到球面頂點(diǎn)的距離L1’隨著U1（絕對(duì)值）的增大而逐漸減?。?/p>

這說(shuō)明，由同一物點(diǎn)A發(fā)出的光線，經(jīng)球面折射后，不交于一點(diǎn)。球面成像不理想。

U1越小，L1’變化越慢。當(dāng)U1相當(dāng)小時(shí)，L1’幾乎不變?？拷廨S的光線聚焦得較好。光線離光軸很近，則U、U'、I、I'都很小。正弦都展開(kāi)成級(jí)數(shù)：

將展開(kāi)式中θ以上的項(xiàng)略去，而用角度本身來(lái)代替角度的正弦，即令公式組中

sinU=u

sinU'=u'

sinI=i

sinI'=i'得到新的公式組

轉(zhuǎn)面公式：

上述公式稱為近軸光線的光路計(jì)算公式。

靠近光軸的區(qū)域叫近軸區(qū)，近軸區(qū)域內(nèi)的光線叫近軸光線近軸光路計(jì)算公式有誤差相對(duì)誤差范圍問(wèn)題：u=0的光線是不是近軸光線

近軸光線的成像性質(zhì)

1.軸上點(diǎn)由軸上同一物點(diǎn)發(fā)出的近軸光線，經(jīng)過(guò)球面折射以后聚焦于軸上同一點(diǎn)軸上物點(diǎn)用近軸光線成像時(shí)，符合理想成像原理

計(jì)算近軸像點(diǎn)位置時(shí)，u1可任取假設(shè)B點(diǎn)位在近軸區(qū)，當(dāng)用近軸光線成像時(shí)，也符合理想，像點(diǎn)B’位在B點(diǎn)和球心的連線上（輔助軸上）

2.軸外點(diǎn)結(jié)論：位于近軸區(qū)域內(nèi)的物點(diǎn)，利用近軸光線成像時(shí)，符合（近似地）點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的理想成像關(guān)系。

近軸光路計(jì)算的另一種形式光線的位置:L,L',u,u'

在有些情況下，采用光線與球面的交點(diǎn)到光軸的距離h以及光線與光軸的夾角u,u'表示比較方便,h的符號(hào)規(guī)則是：

h—以光軸為計(jì)算起點(diǎn)到光線在球面的投射點(diǎn),向上為正

將公式展開(kāi)并移項(xiàng)得：

同樣可得：

顯然,代入上式，并在第一式兩邊同乘以n，第二式兩側(cè)同乘以n'將以上二式相減，并考慮到得：

轉(zhuǎn)面公式第二公式兩側(cè)同乘以u(píng)1',得：

這就是另一種形式的近軸光路計(jì)算公式。

§2-4近軸光學(xué)的基本公式和它的實(shí)際意義

近軸區(qū)域內(nèi)成像近似的符合理想即每一個(gè)物點(diǎn)對(duì)應(yīng)一確定的像點(diǎn)。只要物距L確定，就可利用近軸光路計(jì)算公式得到，

而與中間變量u，u'，i，i'，無(wú)關(guān)?？梢詫⒐街械膗，u'，i，i'消去，而把像點(diǎn)位置直接表示成物點(diǎn)位置L和球面半徑r以及介質(zhì)折射率n，n'的函數(shù)。

一.物像位置關(guān)系式把公式（2-11）兩側(cè)同除以h，得：

將代入上式，即可得到以下常用的基本公式：

或者

二.物像大小關(guān)系式用y和y'表示物點(diǎn)和像點(diǎn)到光軸的距離。符號(hào)規(guī)則：位于光軸上方的y、y'為正，反之為負(fù)。y'/y稱為兩共軛面間的垂軸放大率，用β表示

由圖得

或把公式（2-13）進(jìn)行通分，得：得

這就是物像大小的關(guān)系式。利用公式（2-12）和（2-15）就可以由任意位置和大小的物體，求得單個(gè)折射球面所成的近軸像的大小和位置。

對(duì)由若干個(gè)透鏡組成的共軸球面系統(tǒng)，逐面應(yīng)用公式就可以求得任意共軸系統(tǒng)所成的近軸像的位置和大小。

三.近軸光學(xué)基本公式的作用近軸光學(xué)公式只適用于近軸區(qū)域，有什么用？第一，作為衡量實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。用近軸光學(xué)公式計(jì)算的像，稱為實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的理想像。第二，用它近似地表示實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)所成像的位置和大小。今后把近軸光學(xué)公式擴(kuò)大應(yīng)用到任意空間例題1一玻璃棒（n=1.5）長(zhǎng)500mm,兩端面為半球面，半徑分別為50mm和100mm，一箭頭高1mm,垂直位于左端球面頂點(diǎn)前200mm處的軸線上，求：（1）箭頭經(jīng)玻璃棒成像后的像距；（2）整個(gè)玻璃棒的垂軸放大率。例題2一物體位于凹球面反射鏡頂點(diǎn)前40mm，球面反射鏡半徑為120mm，求像的位置及軸向放大率。120mm近軸光路計(jì)算公式總結(jié)……k個(gè)球面解法一解法二解法三§2-5共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)——主平面和焦點(diǎn)近軸光學(xué)基本公式的缺點(diǎn)：物面位置改變時(shí)，需重新計(jì)算，若要求知道整個(gè)空間的物像對(duì)應(yīng)關(guān)系，勢(shì)必要計(jì)算許多不同的物平面。已知兩對(duì)共軛面的位置和放大率，或者一對(duì)共軛面的位置和放大率，以及軸上的兩對(duì)共軛點(diǎn)的位置，則其任意物點(diǎn)的像點(diǎn)就可以根據(jù)這些已知的共軛面和共軛點(diǎn)來(lái)求得。光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)可用這些基面和基點(diǎn)求得最常用的是一對(duì)共軛面和軸上的兩對(duì)共軛點(diǎn)。一放大率β=1的一對(duì)共軛面——主平面不同位置的共軛面對(duì)應(yīng)著不同的放大率。放大率β=1的一對(duì)共軛面稱為主平面。物平面稱為物方主平面，像平面稱為像方主平面兩主平面和光軸的交點(diǎn)分別稱為物方主點(diǎn)和像方主點(diǎn)，用H、H'表示，H和H'顯然也是一對(duì)共軛點(diǎn)。

主平面性質(zhì)：任意一條入射光線與物方主平面的交點(diǎn)高度和出射光線與像方主平面的交點(diǎn)高度相同問(wèn)題物體位在二倍焦距處，像也位在二倍焦距處，大小相等，此物點(diǎn)和像點(diǎn)是不是主點(diǎn)?

二.無(wú)限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)和它所對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)F'——像方焦點(diǎn)當(dāng)軸上物點(diǎn)位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，它的像點(diǎn)位于F'處。

F'稱為像方焦點(diǎn)通過(guò)像方焦點(diǎn)垂直于光軸的平面稱作像方焦平面

像方焦平面和垂直于光軸的無(wú)限遠(yuǎn)的物平面共軛像方焦點(diǎn)和像方焦平面性質(zhì)：

1、平行于光軸入射的任意一條光線，其共軛光線一定通過(guò)F'點(diǎn)

2、和光軸成一定夾角的平行光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后，必相交于像方焦平面上同一點(diǎn)

三.無(wú)限遠(yuǎn)的軸上像點(diǎn)和它所對(duì)應(yīng)的物點(diǎn)F——物方焦點(diǎn)如果軸上某一物點(diǎn)F，和它共軛的像點(diǎn)位于軸上無(wú)限遠(yuǎn)，則F稱為物方焦點(diǎn)。通過(guò)F垂直于光軸的平面稱為物方焦平面它和無(wú)限遠(yuǎn)的垂直于光軸的像平面共軛。

物方焦點(diǎn)和物方焦平面性質(zhì)

1、過(guò)物方焦點(diǎn)入射的光線，通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后平行于光軸出射

2、由物方焦平面上軸外任意一點(diǎn)發(fā)出的所有光線，通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)以后，對(duì)應(yīng)一束和光軸成一定夾角的平行光線。

主平面和焦點(diǎn)之間的距離稱為焦距。由像方主點(diǎn)H'到像方焦點(diǎn)F'的距離稱為像方焦距，用f'表示.

由物方主點(diǎn)H到物方焦點(diǎn)F的距離稱為物方焦距，用f表示。f、f'的符號(hào)規(guī)則

f'—以H'為起點(diǎn)，計(jì)算到F'，由左向右為正；

f—以H為起點(diǎn)，計(jì)算到F，由左向右為正。

一對(duì)主平面，加上無(wú)限遠(yuǎn)軸上物點(diǎn)和像方焦點(diǎn)F'，以及物方焦點(diǎn)F和無(wú)限遠(yuǎn)軸上像點(diǎn)這兩對(duì)共軛點(diǎn)，就是最常用的共軸系統(tǒng)的基點(diǎn)。根據(jù)它們能找出物空間任意物點(diǎn)的像。

因此，如果已知一個(gè)共軸系統(tǒng)的一對(duì)主平面和兩個(gè)焦點(diǎn)位置，它的成像性質(zhì)就完全確定。所以，可用一對(duì)主平面和兩個(gè)焦點(diǎn)位置來(lái)代表一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)：?jiǎn)栴}物方主點(diǎn)H和像方主點(diǎn)H'是否是一對(duì)共軛點(diǎn)？物方焦點(diǎn)F和像方焦點(diǎn)F'是否是一對(duì)共軛點(diǎn)？物方焦距f和像方焦距f'是否是一對(duì)共軛線段？

§2-6單個(gè)折射球面的主平面和焦點(diǎn)

一.球面的主點(diǎn)位置主平面是垂軸放大率β=1的一對(duì)共軛面。

或者同時(shí)，由于它是一對(duì)共軛面，主點(diǎn)位置應(yīng)滿足

球面的兩個(gè)主點(diǎn)與球面頂點(diǎn)重合。其物方主平面和像方主平面即為過(guò)球面頂點(diǎn)的切平面。

二球面焦距公式

令：應(yīng)用公式

同樣物方焦點(diǎn)為

二球面焦距公式

球面反射的情形反射看作是的折射結(jié)論:反射球面的焦點(diǎn)位于球心和頂點(diǎn)的中間§2-7共軸球面系統(tǒng)的主平面和焦點(diǎn)本節(jié)討論任意共軸球面系統(tǒng)的主平面和焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)位置：平行于光軸入射的光線，通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后，與光軸的交點(diǎn)就是像方焦點(diǎn)F'

焦點(diǎn)位置計(jì)算利用近軸光路計(jì)算公式，計(jì)算

公式（2-1）和（2-6）無(wú)法應(yīng)用

焦點(diǎn)位置計(jì)算把平行于光軸入射的近軸光線逐面計(jì)算，最后求得出射光線的坐標(biāo)和，從而找出像方焦點(diǎn)F'

像方焦點(diǎn)F'離開(kāi)最后一面頂點(diǎn)的距離稱為像方頂焦距

像方主平面位置入射光線高度h1，出射光線延長(zhǎng)線與像方主平面的交點(diǎn)高度也等于h1

延長(zhǎng)入射光線和出射光線，其交點(diǎn)必定位在像方主平面上

焦距公式

物方焦點(diǎn)和物方主平面位置計(jì)算將光學(xué)系統(tǒng)翻轉(zhuǎn)，按計(jì)算像方焦點(diǎn)和像方主平面同樣的方法，計(jì)算出的結(jié)果就是物方焦點(diǎn)和物方主平面的結(jié)果第一面頂點(diǎn)到物方焦點(diǎn)F的距離稱為物方頂焦距§2-3中的計(jì)算結(jié)果

n1=1.0空氣

r1=10d1=5n1'=n2=1.5163玻璃（K9）

r2=-50n2'=1.0空氣

§2-8用作圖法求光學(xué)系統(tǒng)的理想像一對(duì)主平面和兩個(gè)焦點(diǎn)能夠表示共軸系統(tǒng)的成像性質(zhì)。

主平面和焦點(diǎn)的位置是用近軸光學(xué)公式計(jì)算出來(lái)的，它代表實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)域內(nèi)的成像性質(zhì)。如果把主平面和焦點(diǎn)的應(yīng)用范圍擴(kuò)大到整個(gè)空間，則所求出來(lái)的像，就稱為實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的理想像。如何根據(jù)已知的主平面和焦點(diǎn)的位置，用作圖法求任意物點(diǎn)的理想像

已知兩對(duì)共軛面的位置和放大率，或者一對(duì)共軛面的位置和放大率，以及軸上的兩對(duì)共軛點(diǎn)的位置，則其任意物點(diǎn)的像點(diǎn)就可以根據(jù)這些已知的共軛面和共軛點(diǎn)來(lái)求得。光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)可用這些基面和基點(diǎn)求得最常用的是一對(duì)共軛面和軸上的兩對(duì)共軛點(diǎn)。即

一對(duì)主平面和軸上的兩對(duì)共軛點(diǎn)軸上無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)和像方焦點(diǎn)物方焦點(diǎn)和軸上無(wú)限遠(yuǎn)像點(diǎn)求像：只須找出由物點(diǎn)發(fā)出的兩條光線的共軛光線，交點(diǎn)就是該物點(diǎn)的像。最常用的兩條特殊光線是:1.通過(guò)物點(diǎn)和物方焦點(diǎn)F入射的光線，共軛光線平行于光軸出射。

2.通過(guò)物點(diǎn)平行與光軸入射的光線，共軛光線通過(guò)像方焦點(diǎn)F'

二共軛光線交點(diǎn)B'，即為B點(diǎn)的像。作圖法求像規(guī)則實(shí)物，實(shí)像，實(shí)際光線用實(shí)線；虛物，虛像，光線的延長(zhǎng)線用虛線；按符號(hào)規(guī)則標(biāo)好物和像。

圖解法由物求像ABH’HFF’ABHH’F’FB’A’ABH’HFF’B’A’實(shí)物，F(xiàn)’在右實(shí)物，F(xiàn)’在左虛物H’HFF’軸上實(shí)物點(diǎn)AA’

圖解法由像求物A’B‘HH’FF’A’B’HH’FF’ABAB實(shí)像虛像FABA’B’F’HH'ABB'A'

圖解法由物像求基點(diǎn)已知物體AB的像A’B’,作圖求主點(diǎn)HH’F’F已知物體AB的像A’B’,作圖求焦點(diǎn)求軸上物點(diǎn)A的像注意：AM線段的像不是A'M'

當(dāng)物點(diǎn)A沿著AM趨于B時(shí)，像點(diǎn)由A'趨于正無(wú)限遠(yuǎn)當(dāng)物點(diǎn)M沿著MA趨于B時(shí)，像點(diǎn)由M'趨于負(fù)無(wú)限遠(yuǎn)AM線段的像由A'到正無(wú)限遠(yuǎn)和由M'到負(fù)無(wú)限遠(yuǎn)的兩條線段組成

§2-9理想光學(xué)系統(tǒng)的物象關(guān)系式作圖法求像有缺陷，需準(zhǔn)確確定像的位置一牛頓公式物點(diǎn)和像點(diǎn)位置的坐標(biāo)：x——以物方焦點(diǎn)F為原點(diǎn)到物點(diǎn)AX'——以像方焦點(diǎn)F'為原點(diǎn)算到像點(diǎn)A'

由圖有：

將以上二式交叉相乘，得二.高斯公式表示物點(diǎn)和像點(diǎn)位置的坐標(biāo)為：

——以物方主點(diǎn)H為原點(diǎn)算到物點(diǎn)A；

——以像方主點(diǎn)H'為原點(diǎn)算到像點(diǎn)A'。關(guān)系如下：

代入牛頓公式化簡(jiǎn)，得

同理

這就是高斯公式。由物點(diǎn)位置和大?。ǎ┛汕蟪鱿顸c(diǎn)位置和大小（）。物像關(guān)系式的應(yīng)用---解應(yīng)用題步驟：1：寫(xiě)出已知條件和要求解的問(wèn)題2：盡可能畫(huà)出圖形3：正確標(biāo)注圖形4：推導(dǎo)公式5：求解結(jié)果例題1.已知：求：例題2.一直徑為200毫米的玻璃球，折射率n=1.53，球內(nèi)有一氣泡，從最近方向去看，在球面和球心的中間，求氣泡距球心的距離。

§2-10光學(xué)系統(tǒng)的放大率

共軸理想光學(xué)系統(tǒng)只是對(duì)垂直于光軸的平面所成的像才和物相似，絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)都只是對(duì)垂直于光軸的某一確定的物平面成像。共軛面的成像性質(zhì)是用這對(duì)共軛面的放大率來(lái)表示的。

一.垂軸放大率垂軸放大率代表共軛面像高和物高之比

二.軸向放大率當(dāng)物平面沿著光軸移動(dòng)微小的距離dx時(shí)，像平面相應(yīng)地移動(dòng)距離dx'，比例稱為光學(xué)系統(tǒng)的軸向放大率，用α表示。

（1）高斯公式

根據(jù)公式

求上式對(duì)l和l'的微分，得

dx'/dx和dl'/dl相等，所以有

（2）牛頓公式根據(jù)公式

求上式對(duì)x和x'的微分，得

由此得到

三角放大率

角放大率是共軛面上的軸上點(diǎn)A發(fā)出的光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后，與光軸的夾角U’的正切和對(duì)應(yīng)的入射光線與光軸所成的夾角U的正切之比對(duì)近軸光線來(lái)說(shuō)，U和U'趨近于零，這時(shí)tgU'和tgU趨近于u'和u。由此得到近軸范圍內(nèi)的角放大率公式

代入角放大率定義式，得

角放大率只和、有關(guān)。因此，其大小僅取決于共軛面的位置，而與光線的會(huì)聚角無(wú)關(guān)，所以它與近軸光線的角放大率相同。

（1）高斯公式（2）牛頓公式

因?yàn)?/p>

由此得到進(jìn)而有

三種放大率并非彼此獨(dú)立，而是互相聯(lián)系的。由于所以同時(shí)比較，就得

四.三種放大率的關(guān)系

§2-11物像空間不變式

物像空間不變式:拉格朗日一亥姆霍茲不變式代表實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)在近軸范圍內(nèi)成像的一種普遍特性。

我們先考察單個(gè)折射球面的情形然后再考察共軸球面系統(tǒng)

根據(jù)單個(gè)折射球面近軸范圍內(nèi)的放大率公式

當(dāng)光線位在近軸范圍內(nèi)時(shí)：由以上二式得

由此得到

以上是單個(gè)折射球面物像空間存在的關(guān)系。對(duì)于由多個(gè)球面組成的共軸系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有由此得出對(duì)任意一個(gè)像空間來(lái)說(shuō)，乘積n'u'y'總是一個(gè)常數(shù)，用J表示：

J=nuy=n'u'y'

這就是物像空間不變式。J稱為物像空間不變量，或拉格朗日不變量。

把上述近軸范圍內(nèi)的物像空間不變式推廣到整個(gè)空間，就得到理想光學(xué)系統(tǒng)的物像空間不變式。角放大率等于：得這就是理想光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系不變式。當(dāng)物像空間的介質(zhì)相同（如空氣）時(shí)，變成：

ytgU=y'tgU'反射時(shí)，每經(jīng)過(guò)一次反射，介質(zhì)的折射率的符號(hào)改變一次。奇數(shù)次反射，符號(hào)相反；偶數(shù)次反射，則符號(hào)相同。物像空間不變式的物理意義能量守恒當(dāng)折射率一定時(shí)，輸入的總能量是nuy，輸出的總能量是n'u'y'，根據(jù)能量守恒，二者相等。若y'增大，則u'減小，即像增大，則變暗若u'增大，則y'減小，即要像變亮，則像需減小

§2-12物方焦距和像方焦距的關(guān)系

本節(jié)是物像空間不變式的應(yīng)用共軸理想光學(xué)系統(tǒng)的像方焦距和物方焦距之間有一定的關(guān)系先考察單個(gè)折射球面的情形然后考察整個(gè)系統(tǒng)的情形由物像空間不變式得

根據(jù)理想光學(xué)系統(tǒng)的垂軸放大率公式

將以上二式比較，得到：由圖看到：或者將以上關(guān)系代入上式簡(jiǎn)化后得到：

一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的像方焦距和物方焦距之比等于像空間和物空間介質(zhì)的折射率之比，但符號(hào)相反。

位在空氣中的光學(xué)系統(tǒng)，因n1=n'k=1，則上式變?yōu)椋?/p>

位于空氣中的光學(xué)系統(tǒng)，物方和像方焦距大小相等，符號(hào)相反。

絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)都位在空氣中，有關(guān)的物像關(guān)系公式都可以簡(jiǎn)化。

一物像位置公式1.牛頓公式：

2.高斯公式：

二放大率公式1.垂軸放大率：

2.軸向放大率：

3.角放大率：公式形式不變。

三種放大率之間的關(guān)系前面已經(jīng)得到，三種放大率之間存在以下關(guān)系：

由物像空間不變式還可以得到垂軸放大率和角放大率之間的下列關(guān)系或者

當(dāng)物像空間介質(zhì)的折射率n，n'一定的時(shí)候，對(duì)某一對(duì)共軛面只要給定任意一個(gè)放大率，其它二個(gè)放大率便隨之確定。

當(dāng)物像空間折射率相等時(shí)，得到

則可得到例題3.

顯微鏡物鏡放大率為0.5，焦距f’=-f=200，試求：工作距離（物平面到物鏡的距離）以及物像之間的距離。例題5.

有一光源通過(guò)輔助正透鏡和被測(cè)負(fù)透鏡成像，當(dāng)屏幕移動(dòng)到距離負(fù)透鏡100毫米處時(shí)，獲得光源像，去掉負(fù)透鏡后，屏幕前移25毫米時(shí)，重新獲得光源像，求負(fù)透鏡焦距為多少？例題6.某照相機(jī)可拍攝最近距離為1米，裝上焦距f’=500毫米的近拍鏡后，能拍攝的最近距離為多少？（假設(shè)近拍鏡和照相鏡頭密接）。

§2-13節(jié)平面和節(jié)點(diǎn)在理想光學(xué)系統(tǒng)中，除一對(duì)主平面H、H'和兩個(gè)焦點(diǎn)F、F'外，有時(shí)還用到另一對(duì)特殊的共軛面，即節(jié)平面。從公式角放大率等于1的共軛面稱為節(jié)平面。物方節(jié)平面,像方節(jié)平面物方節(jié)點(diǎn)，像方節(jié)點(diǎn)分別以J、J'表示

節(jié)點(diǎn)性質(zhì)：凡過(guò)物方節(jié)點(diǎn)J的光線，其出射光線必過(guò)像方節(jié)點(diǎn)J'，并且和入射光線相平行。

如果物像空間介質(zhì)相等，有f'=-f，因此：這時(shí)J與H重合，J'與H'重合，即主平面也就是節(jié)平面

節(jié)點(diǎn)位置根據(jù)角放大率公式，將γ=1代入，即可找到節(jié)點(diǎn)位置因此對(duì)節(jié)點(diǎn)J、J'有：

作圖法求理想像時(shí)，可用來(lái)作第三條特殊光線。

由于節(jié)點(diǎn)具有入射和出射光線彼此平行的特性，所以經(jīng)常用它來(lái)測(cè)定光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)位置。

假定將一束平行光射入光學(xué)系統(tǒng)，并使光學(xué)系統(tǒng)繞通過(guò)像方節(jié)點(diǎn)J'的軸線左右擺動(dòng)，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的性質(zhì)，出射光線J'P'的方向和位置不會(huì)因光學(xué)系統(tǒng)的擺動(dòng)而發(fā)生改變。

利用這種性質(zhì)，一邊擺動(dòng)光學(xué)系統(tǒng)，同時(shí)連續(xù)改變轉(zhuǎn)軸位置，當(dāng)像點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)軸的位置便是像方節(jié)點(diǎn)的位置。顛倒光學(xué)系統(tǒng)，重復(fù)上述操作，便可得到物方節(jié)點(diǎn)的位置。

周視照相機(jī)通常用來(lái)拍攝大型團(tuán)體照片的周視照相機(jī)也是應(yīng)用節(jié)點(diǎn)的性質(zhì)構(gòu)成的。

§2-14無(wú)限遠(yuǎn)物體理想像高的計(jì)算公式問(wèn)題：如何求像高？但是，當(dāng)物體位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，這些方法都不能采用當(dāng)物體位在有限遠(yuǎn)時(shí)，有兩種方法：1.如果已知主面，焦點(diǎn)和焦距，則可利用高斯公式和牛頓公式：2.如果已知具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)，半徑，厚度，折射率，則可追跡軸上的近軸光線物體位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，無(wú)限遠(yuǎn)的物平面所成的像為像方焦平面，物平面上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光束都是一束平行光線，過(guò)物方焦點(diǎn)F并與光軸成ω夾角入射的光線FI，射出后平行于光軸。與像方焦面的交點(diǎn)是無(wú)限遠(yuǎn)軸外物點(diǎn)B的像點(diǎn)。

如位于空氣中，f'=-f：

這就是無(wú)限遠(yuǎn)物體理想像高計(jì)算公式。應(yīng)用：計(jì)算分劃板刻度某望遠(yuǎn)鏡物鏡焦距為375毫米，半視場(chǎng)角為2.5°，分劃板上間隔按10密位刻制，求分劃板刻線間隔和最大直徑。解：

1密位=360o/6000=0.06o，10密位=0.6o分劃板直徑為：

無(wú)限遠(yuǎn)的像所對(duì)應(yīng)的物高計(jì)算公式無(wú)限遠(yuǎn)的軸外像點(diǎn)對(duì)應(yīng)一束與光軸有一定夾角的平行光線，我們用光束與光軸的夾角ω'來(lái)表示無(wú)限遠(yuǎn)軸外像點(diǎn)的位置。ω'的符號(hào)規(guī)則同ω。

根據(jù)光路可逆定理，很容易得到

此公式常用于視場(chǎng)儀分劃刻度的計(jì)算。例：某視場(chǎng)儀焦距為250毫米，計(jì)算與5°相對(duì)應(yīng)的刻線離中心的距離，若視場(chǎng)儀最大視場(chǎng)角為±26.5°，問(wèn)分劃板直徑為多少？

分劃板直徑為解：透鏡焦距測(cè)量原理光路圖演示物鏡待測(cè)透鏡f’f1’hh1’

平行光管：能夠產(chǎn)生人造無(wú)限遠(yuǎn)目標(biāo)的儀器例：一平行光管焦距為550毫米，分劃板上一對(duì)間隔為13.75毫米的刻線經(jīng)被測(cè)透鏡后，所成像的大小為2.4毫米，求被測(cè)透鏡的焦距。解：

§2-15理想光學(xué)系統(tǒng)的組合例如望遠(yuǎn)系統(tǒng)顯微系統(tǒng)變焦距系統(tǒng)由兩個(gè)已知的光學(xué)系統(tǒng)，求它們的組合系統(tǒng)的成像性質(zhì)。

在光學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用中，經(jīng)常把兩個(gè)或兩個(gè)以上的光學(xué)系統(tǒng)組合在一起使用。在計(jì)算和分析一個(gè)復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，為了方便起見(jiàn)，通常將一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)分成若干部分，分別進(jìn)行計(jì)算，最后再把它們組合在一起。理想光學(xué)系統(tǒng)的組合一個(gè)理想光學(xué)系統(tǒng)可用高斯或牛頓公式求像。若幾個(gè)子系統(tǒng)組成一個(gè)組合系統(tǒng)，如何對(duì)組合系統(tǒng)求像？也可用牛頓或高斯公式。不過(guò)要先找到組合系統(tǒng)的焦點(diǎn)和主點(diǎn)如何求組合系統(tǒng)的主點(diǎn)和焦點(diǎn)？：向右為正：向右為正d—空間間隔Δ—光學(xué)間隔雙光組組合系統(tǒng)像方基點(diǎn)——像方焦點(diǎn)、主點(diǎn)x’F’-f’l’H’F1H1H1’F1’n1n1’(n2)H2H2’F2F2’n2’DdH’F’-xFf-lHF1H1H1’F1’n1n1’(n2)H2H2’F2F2’n2’Ddd—空間間隔D—光學(xué)間隔HF雙光組組合系統(tǒng)物方基點(diǎn)——物方焦點(diǎn)、主點(diǎn)雙光組組合系統(tǒng)的光焦度焦點(diǎn)位置焦距主點(diǎn)位置當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)位于同一種介質(zhì)（例如空氣）中時(shí)，有n1=n2=n3，得通常用φ表示像方焦距的倒數(shù)，φ=1/f'，稱為光焦度。這樣，上式可寫(xiě)成當(dāng)兩個(gè)光學(xué)系統(tǒng)主平面間的距離d為零，即在密接薄透鏡組的情況下：密接薄透鏡組的總光焦度等于兩個(gè)薄透鏡的光焦度之和。雙光組組合的特例——望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)n1n1’(n2)F1H1H1’F1’(F2)H2H2’F2’n2’如光學(xué)系統(tǒng)將無(wú)窮遠(yuǎn)物體成像在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)：入射光束平行，出射光束平行；前系統(tǒng)的像方焦點(diǎn)與后系統(tǒng)的物方焦點(diǎn)重合；無(wú)焦系統(tǒng)或望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)雙光組組合的特例——望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)物像關(guān)系望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)放大率與物像位置無(wú)關(guān)，只與兩光組焦距有關(guān)。

組合光學(xué)系統(tǒng)的另一種分析方法思路：由U和h求U’和h’單透鏡是組成復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的基本元件，經(jīng)常需要計(jì)算單透鏡的主平面和焦點(diǎn)位置。本節(jié)是理想光學(xué)系統(tǒng)的組合一節(jié)的具體應(yīng)用§2-17單透鏡的主平面和焦點(diǎn)位置的計(jì)算公式

已知：求：主平面位置，焦點(diǎn)位置表示主平面位置，焦點(diǎn)位置：物方主平面：以透鏡第一個(gè)球面頂點(diǎn)為起點(diǎn)到H像方主平面：以透鏡第二個(gè)球面頂點(diǎn)為起