第九章信號分析與處理

第七章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析離散信號及特性離散系統(tǒng)的描述及模擬差分方程的經(jīng)典解單位函數(shù)響應(yīng)卷積和1第七章第1講離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的比較2第七章第1講§7.1離散信號及其時(shí)域特性離散信號的定義離散時(shí)間信號可以從兩個(gè)方面來定義：僅在一些離散時(shí)刻k(k=0,±1,±2,…)上才有定義(確定的函數(shù)值)的信號稱為離散時(shí)間信號，簡稱離散信號，用f(k)表示。連續(xù)時(shí)間信號經(jīng)過抽樣（即離散化）后所得到的抽樣信號通常也稱為離散信號，用f(kT)表示，T為抽樣周期。f(kT)一般簡寫為f(k)。3第七章第1講基本離散信號復(fù)指數(shù)信號：f

(k)=Ca

ka=|a|ej

,C=|C|

均為復(fù)數(shù)C和a為實(shí)數(shù)(實(shí)指數(shù)序列)|a|>1,指數(shù)上升曲線a

為負(fù),

f

(k)的值符號交替變化。

|a|<1,指數(shù)衰減曲線a

為正,

f

(k)的值均為正4第七章第1講正弦序列和指數(shù)正弦序列正弦序列：f

(k)=Ca

ka=,C=A

均為復(fù)數(shù)為正弦序列按指數(shù)變化的正弦序列：f

(k)=Ca

ka=|a|,C=A

|a|=1,實(shí)部和虛部都是正弦序列；|a|<1,實(shí)部和虛部都是指數(shù)衰減的正弦序列；|a|>1,實(shí)部和虛部都是指數(shù)增長的正弦序列；5第七章第1講數(shù)字角頻率和模擬角頻率的關(guān)系數(shù)字角頻率0與模擬角頻率0的關(guān)系由于離散信號定義的時(shí)間為kT，顯然有：

0=0T模擬角頻率

0的單位是rad/s，而數(shù)字角頻率

0的單位為rad。

0表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。

0表示1秒內(nèi)變化了50個(gè)2rad

0表示兩個(gè)離散值之間的弧度變化量6第七章第1講正弦序列的周期周期序列的定義：f

(k+N)=f

(k)

式中：N為序列的周期，只能為任意整數(shù)。周期N的計(jì)算方法：與模擬正弦信號不同，離散正弦序列是否為周期函數(shù)取決于比值2/

0是正整數(shù)、有理數(shù)還是無理數(shù)。

是正整數(shù)時(shí)，則周期為N。因?yàn)椋?/p>

是有理數(shù)時(shí)，則周期為

為無理數(shù)時(shí)，正弦序列就不再是周期序列。但包絡(luò)線仍是正弦函數(shù)。7第七章第1講單位階躍序列定義延遲的階躍序列門函數(shù)8第七章第1講單位(沖激)函數(shù)定義延遲的(k)門函數(shù)9第七章第1講單位(沖激)函數(shù)的主要性質(zhì)篩選特性：加權(quán)特性：(k)與(k)的關(guān)系：因此，可以將任意離散信號表示為一系列延時(shí)單位函數(shù)的加權(quán)和，即將左式用n=k-i代換變量：即

i=k-n可得出求和上下限10第七章第1講離散信號的運(yùn)算序列的相加：f

(k)=f1(k)+f2(k)序列的相乘：

f

(k)=f1(k)

·f2(k)序列的折疊、尺度變換與位移：與連續(xù)信號相同序列的差分：與連續(xù)信號中的微分對應(yīng)的運(yùn)算

一階前向差分

f

(k)=f

(k+1)-

f

(k)二階前向差分

2f

(k)=[

f

(k)]=

f

(k+1)-

f

(k)

=f

(k+2)-2f

(k+1)+f

(k)一階后向差分

f

(k)=f

(k)-

f

(k-1)二階后向差分

2f

(k)=[f

(k)]=

f

(k)-

f

(k-1)

=f

(k)-2f

(k-1)+f

(k-2)11第七章第1講離散信號的運(yùn)算序列的求和(累加)：與連續(xù)信號中的積分對應(yīng)的運(yùn)算典型的累加和：有限等比序列求和公式：無窮收斂等比序列求和公式：其中：a1首項(xiàng)，an末項(xiàng)，q等比12第七章第1講例1下述四個(gè)等式中，正確的是______。D13第七章第1講例2信號f

(-k-

i)表示為_______。(i

0)D(A)信號f

(k)的右移序i(B)信號f

(k)的左移序i(C)信號f

(k)折疊再右移序i(D)信號f

(k)折疊再左移序i14第七章第1講例3離散時(shí)間序列是____(A.周期信號；B.非周期信號)。若是周期信號，則周期N＝______。如果包含有n個(gè)不同頻率正弦分量的復(fù)合信號是一個(gè)周期為N的周期信號，則其周期N必為各分量信號周期Ni的整倍數(shù)。如有2個(gè)分量，即N=m1N1=m2N2,mi為正整數(shù).則周期為：對本題：則周期為：A3015第七章第1講例4離散時(shí)間序列是____(A.周期信號；B.非周期信號)。若是周期信號，則周期N＝______。Bm1=3,m2=6

?？梢姴皇钦麛?shù)。故此信號是非周期信號。16第七章第1講例5已知離散信號f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)],求:

f

(k+1)+f

(-k+1)=？f

(k+1)+f

(-k+1)=

(k+2)+6

(k+1)+6

(k)+6

(k-1)+

(k-2)17第七章第1講例6序列y(k)=k2-2k+3,則二階前向差分

2y(k)=

______。二階前向差分

2y

(k)=[

y(k)]=

y

(k+1)-

y

(k)

=y

(k+2)-2y

(k+1)+y

(k)

=(k+2)2-2(k+2)+3-2[(k+1)2-2(k+1)+3]+k2-2k+3

=

k2+4k+4-2k-

4+3-2k2-

4k-2+4k+4-6+k2-2k+3=2218第七章第1講例7已知離散信號f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)],試畫出f

(k)，

f

(k-3)，f

(-k)，

f

(-k-3)的圖形。19第七章第1講§7.2取樣信號與取樣定理現(xiàn)實(shí)中存在的大多都是連續(xù)信號(如速度、溫度、壓力等)，而計(jì)算機(jī)處理的則是離散信號。對連續(xù)信號進(jìn)行取樣就可得到離散信號。在什么條件下取樣信號能夠保留原連續(xù)信號中的信息量而不受損失。這由取樣定理來保證。20第七章第1講意義電影是連續(xù)畫面的抽樣：電影是由一組按時(shí)序的單個(gè)畫面所組成，其中每一幅畫面代表著連續(xù)變化景象的一個(gè)瞬時(shí)畫面（時(shí)間樣本），當(dāng)以足夠快的速度來看這些時(shí)序樣本時(shí)，就會感覺到是原來連續(xù)活動(dòng)景象的重現(xiàn)。印刷照片是連續(xù)圖象的采樣：

印刷照片是由很多很細(xì)小的網(wǎng)點(diǎn)所組成，其中每一點(diǎn)就是一連續(xù)圖象的采樣點(diǎn)（位置樣本），當(dāng)這些采樣點(diǎn)足夠近的話，這幅印刷照片看起來就是連續(xù)的。信號的抽樣21第七章第1講信號的抽樣抽樣信號抽樣器抽樣模型22第七章第1講沖激串抽樣

=當(dāng)時(shí)*=當(dāng)時(shí)從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率

s2m，

m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，

s<2m

，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。根據(jù)頻域卷積定理：23第七章第1講矩形脈沖串抽樣

=*=當(dāng)時(shí)根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率

s2m，

m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，

s<2m

，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。24第七章第1講抽樣定理的解釋25第七章第1講時(shí)域抽樣定理為了能從抽樣信號f

s(t)中恢復(fù)原信號f

(t)，必須滿足兩個(gè)條件：被抽樣的信號f

(t)必須是有限頻帶信號，其頻譜在|

|>

m時(shí)為零。抽樣頻率

s2

m或抽樣間隔

。其最低允許抽樣頻率

f

N=2f

m或

N=2

m稱為奈奎斯特頻率，其最大允許抽樣間隔稱為奈奎斯特抽樣間隔。這個(gè)定理亦稱為香農(nóng)抽樣定理。26第七章第1講例1若電視信號占有的頻帶為０～６ＭＨz，電視臺每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖象又分為625條水平掃描線，則每條水平線至少要有______個(gè)抽樣點(diǎn)。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B27第七章第1講例2對帶寬為20kHz的信號f

(t)進(jìn)行抽樣，其奈奎斯特間隔Ts=______

s；信號f

(2t)的帶寬為_______kHz，其奈奎斯特頻率f

s=______kHz。對f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,對f

(2t)：f

m=2

20=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,25408028第七章第1講例3信號

頻譜所占帶寬(包括負(fù)頻率)為______1/s，若將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號頻譜不產(chǎn)生混疊，最低抽樣頻率fs=______Hz，奈奎斯特間隔Ts=______s。200100/

/100根據(jù)對稱性：令=200有：29第七章第1講例4H1(j)H2(j)如圖所示信號處理系統(tǒng)。(1)畫出信號f(t)的頻譜圖；(2)欲使信號f

s(t)中包含信號f(t)中的全部信息，則

T(t)的最大抽樣間隔(即奈奎斯特間隔)TN應(yīng)為多少？30第七章第1講例4H1(j)H2(j)(3)分別畫出在奈奎斯特角頻率

N及2

N時(shí)的fs(t)的頻譜圖；當(dāng)

N=2m時(shí)當(dāng)2

N=4m時(shí)31第七章第1講理想低通濾波器頻譜例4H1(j)H2(j)如圖所示信號處理系統(tǒng)。(4)在2

N的抽樣頻率時(shí)，欲使響應(yīng)信號y(t)=

f(t)，則理想低通濾波器H2(j

)截止頻率

c的最小值應(yīng)為多大？從頻譜圖可看出：32第七章第1講例5對周期信號f(t)＝5cos(1000

t)[cos(2000

t)]2每秒抽樣4500次，使抽樣信號通過截止頻率為2600Hz的理想低通濾波器。假定濾波器在通帶內(nèi)有零相移和單位增益，試求輸出信號？若要在輸出端得到重建的f(t)，問允許信號唯一重建的最小抽樣頻率是多少？解：周期信號表示式可展開為f(t)＝5cos(1000

t)?(1+cos4000

t)33第七章第1講4000

例5抽樣頻率fs=4500Hz,即：

s=2f

s

=9000

。抽樣信號的頻譜為：理想濾波器的截止頻率f

c

=2600Hz,即：

c=2f

c=5200

當(dāng)抽樣信號通過理想低通濾波器后,其輸出為：5200

信號f(t)的最高角頻率為：

m=5000,fm=2500Hz；所以使信號唯一重建的最小抽樣頻率為:下一節(jié)34第七章第1講§7.3離散系統(tǒng)的描述及模擬微分方程與差分方程的比較35第七章第1講差分方程的兩種形式n階前向差分方程式中，f

(k),y(k)分別為激勵(lì)與響應(yīng)。前向差分方程多用于狀態(tài)變量分析法。n階后向差分方程后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析。差分方程的重要特點(diǎn)是：系統(tǒng)當(dāng)前的輸出（即在k時(shí)刻的輸出）y(k)，不僅與激勵(lì)有關(guān)，而且與系統(tǒng)過去的輸出y(k-1),y(k-2),

y(k-n)有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶功能。36第七章第1講線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的性質(zhì)齊次性：Af

(k)

Ay

(k)疊加性：

f1(k)+f2(k)

y1(k)+y2(k)線性性：

A1f1(k)+A2f2(k)

A1

y1(k)+A2y2(k)時(shí)不變性(延遲性或移序不變性)：

f

(k-k0)

y

(k-k0)差分性：

f

(k)

y

(k)累加和性：37第七章第1講線性時(shí)不變離散系統(tǒng)由線性常系數(shù)差分方程描述的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)為所有的項(xiàng)都包括了y(k)或f(k)。所有的系數(shù)都是常數(shù)（而不是y(k)、f(k)或k的函數(shù)）。下列因素導(dǎo)致系統(tǒng)差分方程是非線性或時(shí)變的：若有任何一項(xiàng)是常數(shù)或是y(k)或f(k)的非線性函數(shù)，則它是非線性的。若y(k)或f(k)中的任何一項(xiàng)的系數(shù)是k的顯時(shí)函數(shù)，則它是時(shí)變的。38第七章第1講離散系統(tǒng)的性質(zhì)若當(dāng)k<0時(shí)激勵(lì)f

(k)=0，則當(dāng)k<0時(shí)響應(yīng)y(k)=0

。因果性也就是說，如果響應(yīng)y(k)并不依賴于將來的激勵(lì)[如f

(k+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。造成系統(tǒng)差分方程為非因果的因素：若最小延遲輸出項(xiàng)是y(k)且有一輸入項(xiàng)為