6.1平面向量的概念（原卷版）

6.1平面向量的概念知識(shí)點(diǎn)一向量、數(shù)量的概念向量在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量數(shù)量在數(shù)學(xué)中，我們把只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量微點(diǎn)撥：1、向量的二要素：向量由大小與方向兩個(gè)要素組成．向量的大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征．2、向量既有大小又有方向，因?yàn)榉较虿荒鼙容^大小，所以向量不能比較大?。?3、數(shù)量是一個(gè)代數(shù)量，只有大小沒有方向，其大小可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)、零來表示，可以比較大小，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、面積、體積等．知識(shí)點(diǎn)二向量的幾何表示有向線段具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．向量的表示方法幾何表示向量可以用有向線段AB來表示，我們把這個(gè)向量記作AB.有向線段的長(zhǎng)度|AB|字母表示向量也可以用字母表示向量的長(zhǎng)度定義向量AB的大小稱為向量AB的長(zhǎng)度（或稱模）表示向量AB，a的長(zhǎng)度分別記作AB微點(diǎn)撥：向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系①向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相等向量.②有向線段是表示向量的圖形工具，它不是向量，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段．③用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)，必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)求出向量的方向（即夾角）或長(zhǎng)度（即模），選擇合適的比例關(guān)系作出向量.知識(shí)點(diǎn)三向量的相關(guān)概念零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量.記作，它的方向是任意的．單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量．向量a與b平行，記作a∥b．規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．向量a與b相等，記作a＝b微點(diǎn)撥：1、單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．2、在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓．3、與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量．4、共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念．兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上．當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量．向量中的“平行”與“共線”是一個(gè)概念，而幾何中的“平行”與“共線”不是一個(gè)概念．由于向量可以平移，因此無論兩個(gè)向量所在的直線是平行還是共線，我們都說這兩個(gè)向量共線，而幾何中則不同．5、任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)．6、兩條方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一個(gè)向量．7、相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.8、向量相等具有傳遞性，即若a＝b，b＝c，則a＝c.而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?，那么?dāng)b＝0時(shí)，a，c可以是任意向量，所以a與c不一定平行．但若b≠0，則必有a∥b，b∥c?a∥c.因此，解答問題時(shí)要看清題目中是任意向量還是任意非零向量．考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念提分筆記對(duì)于向量的相關(guān)概念問題，關(guān)鍵是把握好概念的內(nèi)涵與外延，對(duì)于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向線段與向量，有向線段是向量的表示形式，并不等同于向量；還有如單位向量，單位向量只是從模的角度定義的，與方向無關(guān)．零向量的模為零，方向則是任意的．題型一向量的概念辨析1．（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量題型二向量的模1．（2022下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)，則向量的長(zhǎng)度是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是單位向量，求出圖中向量，，，的模.3．（2023下·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（

）A．1 B． C． D．2題型三零向量與單位向量1．（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有大小，沒有方向B．零向量是唯一沒有方向的向量C．零向量的長(zhǎng)度為0D．任意兩個(gè)單位向量方向相同2．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）若為單位向量，，則可用表示.3．（2022下·新疆巴音郭楞·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則考點(diǎn)二向量的表示及應(yīng)用提分筆記用有向線段表示向量的步驟1．（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）．A． B． C． D．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某人從點(diǎn)A出發(fā)向西走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向朝西北方走6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，最后又向東走4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D．試分別作出向量，和．4．（2023下·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向；(2)，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向；(3)求出的值．考點(diǎn)三相等向量和共線向量及其應(yīng)用提分筆記相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些同向共線．(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．題型一相等向量和共線向量1．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知A＝{與共線的向量}，B＝{與長(zhǎng)度相等的向量}，C＝{與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量}，其中為非零向量，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．C?A B． C．C?B D．2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)點(diǎn)是正三角形的中心，則向量，，是（

）A．共起點(diǎn)的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量3．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？題型二向量在幾何中的應(yīng)用1．（2021下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知是單位向量，在四邊形ABCD中，，，則四邊形ABCD的形