等差數(shù)列完整版

2.2等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)第一頁(yè)，共五十三頁(yè)。復(fù)習(xí)(fùxí)回顧:1.數(shù)列定義:按照(ànzhào)一定順序排成的一列數(shù),簡(jiǎn)記(jiǎnjì)作:{an}2.通項(xiàng)公式:數(shù)列{an}中第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系式3.數(shù)列的分類(1)按項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列，(2)按項(xiàng)之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)列。4.數(shù)列的實(shí)質(zhì)5.遞推公式:

如果已知{an}的第1項(xiàng)(或前n項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示,這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式.第二頁(yè)，共五十三頁(yè)。1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到(dédào)數(shù)列：

0，5，10，15，20，…

2.2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目.該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別.其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列(shùliè)(單位：kg)：48，53，58，63.第三頁(yè)，共五十三頁(yè)。3.水庫(kù)(shuǐkù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫(kù)的辦法清理水庫(kù)(shuǐkù)中的雜魚。如果一個(gè)水庫(kù)(shuǐkù)的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5.

第四頁(yè)，共五十三頁(yè)。4.我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算(jìsuàn)下一期的利息。按照單利計(jì)算(jìsuàn)本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成一個(gè)數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360.

第五頁(yè)，共五十三頁(yè)。48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360問(wèn)題1：觀察一下(yīxià)上面的這四個(gè)數(shù)列：①②③④這些數(shù)列(shùliè)有什么共同特點(diǎn)呢？0,5,10,15,20

以上四個(gè)數(shù)列(shùliè)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)第六頁(yè)，共五十三頁(yè)。1.等差數(shù)列：一般地，如果一數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母(zìmǔ)d表示。二、新課講解(jiǎngjiě)

2.等差數(shù)列定義(dìngyì)的符號(hào)語(yǔ)言：

an-an-1=d，(n≥2)，其中d為常數(shù)（an+1-an=

d

n∈N+）（一）等差數(shù)列的定義：第七頁(yè)，共五十三頁(yè)。

如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，那么根據(jù)等差數(shù)列的定義可以得到以下結(jié)論：數(shù)列為等差數(shù)列第八頁(yè)，共五十三頁(yè)。是不是(bùshi)不是(bùshi)

練習(xí)判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，哪些不是？如果是，寫出首項(xiàng)a1和公差d,如果不是，說(shuō)明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷：an+1-an是不是同一個(gè)常數(shù)？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0第九頁(yè)，共五十三頁(yè)。

1、等差數(shù)列要求從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)作差。不能顛倒。

2、作差的結(jié)果要求是同一個(gè)常數(shù)。可以是整數(shù)(zhěngshù)，也可以是０和負(fù)數(shù)。等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)你注意(zhùyì)到了嗎？第十頁(yè)，共五十三頁(yè)。判斷題(1)數(shù)列(shùliè)a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列;(2)數(shù)列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差數(shù)列;(3)若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3的等差數(shù)列;(4)若a2－a1=a3－a2,則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列。已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，d是公差(gōngchā)，則：當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)d>0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；思考：上述數(shù)列的公差與該數(shù)列的類型(lèixíng)有關(guān)系嗎？第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)。探究(tànjiū)在如下的兩個(gè)數(shù)之間插入(chārù)一個(gè)什么數(shù)之后這三個(gè)數(shù)會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列。（1）2，___,8 （2）-6，___,0（3）a,____,b第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差中項(xiàng)如果a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這時(shí)我們稱A為a與b的等差中項(xiàng)。利用等差數(shù)列的概念(gàiniàn)可知：

不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列(shùliè)的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)。數(shù)列(shùliè)：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)；9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng).求出下列(xiàliè)等差數(shù)列中的未知項(xiàng)(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)。填空題(1)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)8，5，2，…，的第5項(xiàng)是_____;(2)已知等差數(shù)列-5，-9，-13，…,則d=____;

遞推公式是___________;通項(xiàng)公式是_________.(3)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差(gōngchā)是d，通項(xiàng)公式是___________;-4-4an=-4n-1練習(xí)(liànxí)

第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)。a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立(chénglì)∴an=a1+(n-1)d方法1：∵由等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的定義可得不完全(wánquán)歸納法∴(3)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，通項(xiàng)公式是___________;練習(xí)第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)。a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-an-1=d(n>1)上述各式兩邊(liǎngbiān)同時(shí)相加，得an-a1=(n-1)d方法(fāngfǎ)2：∵由等差數(shù)列的定義可得疊加法又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立(chénglì)∴an=a1+(n-1)d(3)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，通項(xiàng)公式是___________;練習(xí)第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)。（二）等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)是a1，公差是d，則

an=a1+(n-1)d二、新課講解(jiǎngjiě)

課本P39.1，2第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)。例1：在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)a1與公差d.這是一個(gè)(yīɡè)以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得：解：由題意(tíyì)得：∴這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a1是-2，公差d=3.注:

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，an,a1,n,d這四個(gè)變量，知道其中三個(gè)量就可以求余下的一個(gè)量。學(xué)案P66.例1，變式第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)。三、例題(lìtí)例2.在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)。例3.(1)等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)8，5，2,······的第20項(xiàng)是幾？

(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，·····的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（2）由題意(tíyì)得，a1=-5，d=-4，an=-401

∵an=a1+(n-1)d

∴-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)解：（1）依題意(tíyì)得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49三、例題第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)。例5.某市出租車的計(jì)價(jià)(jìjià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來(lái)計(jì)算車費(fèi).令a1

=11.2，表示(biǎoshì)4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付車費(fèi)23.2元。三、例題(lìtí)第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)。解：（1）依題意(tíyì)得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例4.在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10；an=am+(n-m)d等差數(shù)列通項(xiàng)公式的另一種形式例.a10=a5+

d，a32=a99+

d.5－67二、例題(lìtí)第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)。三、新課設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，那么(1)an=am+(n-m)d等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的常用性質(zhì)12.若x≠y，且兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2，

b3，y各成等差數(shù)列，那么練習(xí):1.等差數(shù)列{an}中,a2=－5,a6=a3+6,則a1=_______－7第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)。練習(xí)(liànxí)1.在3與27之間插入(chārù)7個(gè)數(shù),使這9個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則插入這7個(gè)數(shù)中的第4個(gè)數(shù)的值為______2.若{an}為等差數(shù)列,ap=q,aq=p(p≠q),則ap+q=______3.在等差數(shù)列{an}中,已知am+n=A,am-n=B,則a2m=_____150第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)。例6已知數(shù)列(shùliè){an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p、q為常數(shù)且p≠0，判斷這個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，并證明你的判斷．證：取數(shù)列(shùliè){an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an-1(n≥2)

，則∵p是一個(gè)(yīɡè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)∴{an}是一個(gè)等差數(shù)列3.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q的圖象的特征是

;數(shù)列的公差的幾何意義是:

.1.數(shù)列{an}是等差數(shù)列an=pn+q(p、q是常數(shù))解：數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列2.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的方法:

.證明：an+1-an=常數(shù).二、例題各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上.各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在直線的斜率.第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)。如何判斷一個(gè)(yīɡè)數(shù)列為等差數(shù)列第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)。(3)已知數(shù)列(shùliè){an}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an+an+1}也是等差數(shù)列.（4）證明：若數(shù)列(shùliè)與是等差數(shù)列(shùliè)，是等差數(shù)列嗎？第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)。若是公差為的等差數(shù)列,則下列數(shù)列:(1)(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列(2)(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列(3)(k為任一常數(shù),)是公差為的等差數(shù)列若分別是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列(p、q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列（4）去掉前幾項(xiàng)后余下的數(shù)列是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)嗎？奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列仍是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)嗎？等差數(shù)列的常用(chánɡyònɡ)性質(zhì)2第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)。第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)。已知數(shù)列為等差數(shù)列，那么有若成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，則成等差數(shù)列.證明：根據(jù)等差數(shù)列的定義，即成等差數(shù)列.如成等差數(shù)列，成等差數(shù)列.推廣：在等差數(shù)列有規(guī)律地取出若干項(xiàng)，所得新數(shù)列仍然為等差數(shù)列。（如奇數(shù)(jīshù)項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)是7的倍數(shù)的項(xiàng)）等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的常用性質(zhì)2第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)。推論(tuīlùn)：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）將前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差分別(fēnbié)是多少？am+1，am+2，……an是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)首項(xiàng)為am+1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n-m等差數(shù)列的常用性質(zhì)2第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差數(shù)列的常用(chánɡyònɡ)性質(zhì)2已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為da1，a2，a3，……an（2）取出數(shù)列(shùliè)中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)數(shù)列(shùliè)，是等差數(shù)列(shùliè)嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差分別是多少？a1，a3，a5，……是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)首項(xiàng)為a1，公差為2d取出的是所有偶數(shù)項(xiàng)呢？a2，a4，a6，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為a2，公差為2d第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差數(shù)列的常用(chánɡyònɡ)性質(zhì)2已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)(shǒuxiànɡ)為a1，公差為da1，a2，a3，……an（3）取出數(shù)列中所有項(xiàng)是7的倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個(gè)數(shù)列，是等差數(shù)列嗎？如果是，他的首項(xiàng)與公差分別是多少？a7，a14，a21，……是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)首項(xiàng)為a7，公差為7d取出的是所有k倍數(shù)的項(xiàng)呢？ak，a2k，a3k，……是等差數(shù)列首項(xiàng)為ak，公差為kd第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的常用性質(zhì)2已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為da1，a2，a3，……an（4）數(shù)列(shùliè)a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數(shù)列，公差為2d

數(shù)列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數(shù)列嗎？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數(shù)列，公差為3d。第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差數(shù)列的常用(chánɡyònɡ)性質(zhì)2例：第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)。第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)。等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的常用性質(zhì)3練習(xí)(liànxí).在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知a2+a14=10，能求出a16嗎？1015例3.在等差數(shù)列(děnɡchāshùliè){an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值．(4)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或不能注意：逆命題是不一定成立的；第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)。與首末(shǒumò)兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末(shǒumò)兩項(xiàng)的和，即等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)的常用性質(zhì)3推論判斷(pànduàn)：可推廣到三項(xiàng)，四項(xiàng)等注意：等式兩邊作和的項(xiàng)數(shù)必須一樣多√×√√×第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)。例4.三數(shù)成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).解：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別(fēnbié)為a-d，a，a+d

則(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴當(dāng)d=2時(shí)，這三個(gè)數(shù)分別為2，4，6

當(dāng)d=-2時(shí)，這三個(gè)數(shù)分別為6，4，2二、例題(lìtí)練習(xí)：若四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩個(gè)數(shù)的和為2，首末兩數(shù)的積為-8，求這四個(gè)數(shù)學(xué)案P69例1第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)。設(shè)項(xiàng)技巧(jìqiǎo)：（1）若有三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，則可設(shè)為（2）若有四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，則可設(shè)為（3）若有五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則可設(shè)為練習(xí)：若四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩個(gè)數(shù)的和為2，首末兩數(shù)的積為-8，求這四個(gè)數(shù)例4.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).等差數(shù)列的常用性質(zhì)4第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)。練習(xí)(liànxí)：第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)。1.已知，求的值。解:2.在數(shù)列(shùliè){an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=7.d=an+1—an=4-35構(gòu)造(gòuzào)等差數(shù)列第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)。3、4、構(gòu)造(gòuzào)等差數(shù)列第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)。學(xué)案(xuéàn)P70例2換元法求通項(xiàng)公式：第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)。第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)。五、小結(jié)(xiǎojié)3