2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)學(xué)案5-3-1空間中的平行垂直與空間角

5.3立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角必備知識精要梳理1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行:①利用平行公理;②利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;③利用三角形的中位線定理;④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直:①利用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質(zhì);②利用勾股定理;③利用線面垂直的性質(zhì)定理.2.證明線面平行和線面垂直的常用方法(1)證明線面平行:①利用線面平行的判定定理;②利用面面平行的性質(zhì)定理.(2)證明線面垂直:①利用線面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性質(zhì)定理.3.證明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.4.利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),則:(1)線面平行:l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直:l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0).(3)面面平行:α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0).(4)面面垂直:α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.5.利用空間向量求空間角(1)線線夾角的計算:設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,且它們的夾角為θ0≤θ≤π2,則cos(2)線面夾角的計算:設(shè)平面α的法向量為n,直線AB與平面α所成的角為θ,如下圖,則sinθ=|cos<AB,n>|=|AB(3)面面夾角的計算:設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,α與β的夾角為θ,如下圖,則|cosθ|=|cos<n1,n2>|=|n(4)易錯點提醒①求線面角時,得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦,容易誤以為是線面角的余弦.②求二面角時,兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角,要注意從圖中分析.關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點一空間平行、垂直關(guān)系的證明1.幾何法證明空間平行、垂直關(guān)系【例1】(2020江蘇南通高三模擬,16)在多面體ABCDEF中,BC∥EF,BF=6,△ABC是邊長為2的等邊三角形,四邊形ACDF是菱形,∠FAC=60°,M,N分別是AB,DF的中點.(1)求證:MN∥平面AEF;(2)求證:平面ABC⊥平面ACDF.解題心得用幾何法證明空間中的平行與垂直關(guān)系,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各種平行(垂直)關(guān)系的轉(zhuǎn)化:【對點訓(xùn)練1】(2020吉林長春三模,19)在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=CD=2,PA⊥平面ABCD,E在棱PB上.(1)求證:AC⊥PD;(2)若VPACE=29,求證:PD∥平面AEC2.向量法證明空間平行、垂直關(guān)系【例2】如圖,在直三棱柱ADEBCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,M為AB的中點,O為DF的中點.證明:(1)OM∥平面BCF;(2)平面MDF⊥平面EFCD.解題心得向量法證明空間平行與垂直關(guān)系時,是以計算為手段,尋求直線上的線段對應(yīng)的向量和平面的基向量、法向量的關(guān)系,關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系(或找空間一組基底)及尋找平面的法向量.【對點訓(xùn)練2】(2019福建廈門二模)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E為棱PC的中點.證明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.熱點二空間位置關(guān)系的證明與求線面角【例3】(2020北京海淀二模,17)在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=π2,BC=CD=12AD=1,E為線段AD的中點,PE⊥底面ABCD,F是棱PC的中點,平面BEF與棱PD相交于點(1)求證:BE∥FG;(2)若PC與AB所成的角為π4,求直線PB與平面BEF所成角的正弦值解題心得利用向量法求直線與平面所成角時,易混淆直線與平面所成角和直線的方向向量與平面的法向量夾角的關(guān)系,一定要注意線面角θ與直線的方向向量和平面的法向量的夾角α的關(guān)系為sinθ=|cosα|.【對點訓(xùn)練3】(2020山東,20)如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.熱點三空間位置關(guān)系的證明與求二面角【例4】(2020全國Ⅰ,理18)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=66DO(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角BPCE的余弦值.解題心得利用空間向量求二面角的解題模型【對點訓(xùn)練4】(2020山東泰安三模,19)在四棱錐PABCD中,△PAB為等邊三角形,四邊形ABCD為矩形,E為PB的中點,DE⊥PB.(1)證明:平面ABCD⊥平面PAB;(2)設(shè)二面角APCB的大小為α,求α的取值范圍.5.3立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角關(guān)鍵能力·學(xué)案突破【例1】證明(1)取AC的中點O,連接OM,ON.因為M,N分別是AB,DF的中點,所以在菱形ACDF中,ON∥AF.在△ABC中,OM∥BC.又因為BC∥EF,所以O(shè)M∥EF,OM∩ON=O,所以平面OMN∥平面AEF.MN?平面OMN,所以MN∥平面AEF.(2)連接OF,OB.因為△ABC是邊長為2的等邊三角形,所以BO⊥AC,BO=3.因為四邊形ACDF是菱形,所以AF=2.因為∠FAC=60°,所以△ACF為等邊三角形,所以O(shè)F⊥AC,OF=3.因為BF=6,所以BO2+OF2=BF2.所以BO⊥OF.因為FO∩AC=O,所以BO⊥平面ACDF.又因為BO?平面ABC,所以平面ABC⊥平面對點訓(xùn)練1證明(1)過點A作AF⊥DC于點F.∵AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1.∴四邊形ABCF為正方形,則CF=DF=AF=1,∴∠DAC=90°,得AC⊥DA.又PA⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PA.又PA,AD?平面PAD,PA∩AD=A,∴AC⊥平面PAD.又PD?平面PAD,∴AC⊥PD.(2)設(shè)點E到平面ABCD的距離為h,則VPACE=VPABCVEABC=13×12×1×1×(2h)=又PA=2,則PB∶EB=PA∶h=3∶1.連接DB交AC于點O,連接OE,∵△AOB∽△COD,∴DO∶OB=2∶1,得DB∶OB=3∶1,∴PB∶EB=DB∶OB,則PD∥OE.又OE?平面AEC,PD?平面AEC,∴PD∥平面AEC.【例2】證明(1)由題意,得AB,AD,AE兩兩垂直,以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)正方形邊長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1),M12,0,0,O12,12,12.OM=0,12,12,BA=(1,0,0),∴OM·BA=0,∴OM⊥BA.∵三棱柱ADEBCF是直三棱柱,∴AB⊥平面BCF∴OM∥平面BCF.(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).∵DF=(1,1,1),DM=12,-1由n令x1=1,則平面MDF的一個法向量n1=1,12,-12.同理可得平面∵n1·n2=0,∴平面MDF⊥平面EFCD.對點訓(xùn)練2證明依題意,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點,得E(1,1,1).(1)向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE·DC=0,所以BE⊥(2)因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA.又因為AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以向量AB=(1,0,0)為平面PAD的一個法向量,而BE·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,又BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個法向量AB=(1,0,0),向量PD=(0,2,2),DC=(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n不妨令y=1,可得n=(0,1,1)為平面PCD的一個法向量.則n·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以n所以平面PAD⊥平面PCD.【例3】(1)證明因為E為AD中點,且BC=12AD,所以DE=BC.又因為AD∥BC,所以DE∥BC.所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE∥CD.因為BE?平面PDC,CD?平面PDC,所以BE∥平面PDC.因為BE?平面BEGF,平面BEGF∩平面PDC=FG,所以BE∥FG(2)解由(1)可得BE∥CD,因為∠ADC=π2,所以∠AEB=π2,且PE⊥平面ABCD,所以以E為原點,EA為x軸,EB為y軸,EP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(設(shè)P(0,0,p),可得A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),PC=(1,1,p),AB=(1,1,0).因為PC與AB所成角為π4,所以|cos<PC,AB>|=PC·AB|PC||AB|=22(p>0),解得p=2.所以P(0,0,2),F12,1設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),EB可得y=0,-12x+12y+22z=0.不妨令x=2,可得n=(2,0,1)為平面BEF的一個法向量.設(shè)直線PB對點訓(xùn)練3(1)證明因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又因為底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因為AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.(2)解以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DP的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則n可取n=(1,0,a).所以cos<n,PB>=n·設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=3因為331+2aa2+1≤63,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時【例4】(1)證明設(shè)DO=a,由題設(shè)可得PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a.因此PA2+PB2=AB2,從而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,故PA所以PA⊥平面PBC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點,OE的方向為y軸正方向,|OE|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,1,0),C-32,12,0所以EC=-32,-12,0,EP=0,-則m可取m=-33,1,2.由(1)知AP=0,1,22是平面PCB的一個法向量,記n=AP,對點訓(xùn)練4(1)證明連接AE,因為△PAB為等邊三角形,E為PB的中點,所以AE⊥PB.又因為DE⊥PB,AE∩DE=E,所以PB⊥平面ADE,PB⊥AD.因為四邊形ABCD為矩形,所以AD⊥AB,AB∩BP=B,所以AD⊥平面PAB.因為AD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAB.(2)解以A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)PB=AB=PA=1,C(0,1,n),