變量的相關關系（教學設計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.1.1變量的相關關系教學設計課時教學內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容主要是通過成對樣本數(shù)據(jù)研究兩個數(shù)值變量之間的相關關系.按照先直觀描述后定量刻畫的原則，先學習通過散點圖直觀推斷兩個變量是否具有相關關系，再通過樣本相關系數(shù)定量推斷兩個變量相關的正負性和線性相關的程度.研究兩個變量的線性相關性是研究一元線性回歸模型和利用回歸分析解決實際問題的必要的前提.本節(jié)內(nèi)容的重點是相關關系、散點圖、樣本相關系數(shù)，難點是了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，散點圖和樣本相關系數(shù)也是高考考查回歸分析的重點考查對象.課時教學目標結合實例，了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義.了解樣本相關系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系.結合實例，會通過樣本相關系數(shù)比較多組成對樣本數(shù)據(jù)的相關性．教學重點、難點1.教學重點：利用散點圖進行相關關系的判斷，相關系數(shù)r的應用。2.教學難點：了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，散點圖和樣本相關系數(shù)教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題在必修課程中，我們學習了單個變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計特征的刻畫等知識與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認識單個變量的統(tǒng)計規(guī)律．在現(xiàn)實中，我們還經(jīng)常需要了解兩個或兩個以上變量之間的關系．例如，教育部門為掌握學生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進服務水平，希望了解哪些因素影響服務水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．為此，我們需要進一步學習通過樣本推斷變量之間關系的知識和方法．本章的學習內(nèi)容有成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性、一元線性回歸模型和列聯(lián)表等，這些知識與方法在解決實際問題中非常有用．可以發(fā)現(xiàn)，兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關系，進行預測；利用列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性．本章的學習對于提高我們解決實際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的．我們知道，如果變量是變量的函數(shù)，那么由就可以唯一確定．然而，現(xiàn)實世界中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關系，但密切程度又達不到函數(shù)關系的程度．例如，人的體重與身高存在關系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值．那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢？下面我們就來研究這個問題．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念我們知道，一個人的體重與他的身高有關系．一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較?。砀卟⒉皇菦Q定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素．像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系(correlation)．兩個變量具有相關關系的事例在現(xiàn)實中大量存在．例如：1．子女身高y與父親身高x之間的關系．一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮．但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高．2．商品銷售收入y與廣告支出x之間的關系．一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高．但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關．3．空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關系．一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會上升．但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素．4．糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關系．在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)就越高．但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響．因為在相關關系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述量之間的這種關系．對上述各例中兩個變量之間的相關關系，我們往往會根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗作出推斷．“經(jīng)驗之中有規(guī)律”，經(jīng)驗的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗推斷又有不足．例如，不同經(jīng)驗的人對同一情形可能會得出不同結論，不是所有的情形都有經(jīng)驗可循等．因此，在研究兩個變量之間的相關關系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構建適當?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M行估計或推斷．【設計意圖】該情境從解決現(xiàn)實問題需求出發(fā)，引入“相關關系”的概念，讓學生了解概念內(nèi)涵與外延的同時體會到引入“相關關系”的必要性。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如表8.1-1所示．表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結果，它們構成了成對數(shù)據(jù)表8.1—1編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計圖．我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖(scatterplot)．觀察圖8.1—1可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢．這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系．【設計意圖】數(shù)形結合，引導學生從圖形角度進一步深化相關關系的內(nèi)涵并總結出大致判斷“相關關系”的方法。環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(positivecorrelation)；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(negativecorrelation)．由圖8.1—1，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關．思考：兩個變量負相關時，成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖有什么特點？你能舉出生活中兩個變量正相關或負相關的一些例子嗎？散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關系的一種直觀方法．觀察散點圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近．一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(linearcorrelation)．環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化觀察散點圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關性，但不是線性相關；類似地，圖(2)中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關性，但它們既不是正相關，也不是負相關；圖(3)中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關性．一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．環(huán)節(jié)六歸納總結,反思提升1.本節(jié)課學習的概念有哪些？(1)相關關系．(2)散點圖．(3)正相關、負相關、線性相關、非線性相關．(4)樣本相關系數(shù)．2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？數(shù)形結合．3.常見誤區(qū)：相關關系與函數(shù)關系不分，樣本相關系數(shù)絕對值的大小與相關程度的關系．環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第103頁練習第3,4題.練習（第95頁）1．舉例說明什么叫相關關系．相關關系與函數(shù)關系有什么區(qū)別？【解析】例如，身高與腳長的關系，一般來說，身高較高的人腳長也會較長，但身高相同的人腳長末必相同；受教育程度和收人水平的關系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同．相關關系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在著某種關系，但這種關系又不能用函數(shù)關系完全表達出來．相關關系是不確定性的數(shù)量關系，對其中一個變量的每個取值，另一個變量可能有多個不同的取值；而函數(shù)關系是確定性的數(shù)量關系，對自變量的每個取值，因變量有唯一確定的值與之對應．相關關系：當自變量取值一定，因變量的取值帶有一定的隨機性(非確定性關系)，函數(shù)關系：函數(shù)關系指的是自變量和因變量之間的關系是相互唯一確定的．相同點：均是指兩個變量的關系．不同點：函數(shù)關系是一種確定的關系，因果關系；而相關關系是一種非確定性關系，也可能是伴隨關系．2．根據(jù)下面的散點圖，判斷圖中的兩個變量是否存在相關關系．【答案】(1)負相關；(2)非線性相關；(3)不相關；(4)正相關．【解析】（1）由（1）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在線性相關關系，圖像呈現(xiàn)左上右下趨勢，說明兩個變量呈負線性相關關系；（2）由（2）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條曲線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關關系，而且是非線性相關關系；（3）由（3）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點沒有落在了一條直線或者曲線附近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個變量之間不存在相關關系；（4）由（4）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關關系，圖像呈現(xiàn)左下右上趨勢，說明兩個變量呈正線性相關關系．3．下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關關系？如果是，那么這種相關關系有什么特點？地區(qū)ABCDEFGHIJK海拔/m1250115810674577017316106701493762549鳥的種類/種3630371111131713294153．【解析】先畫鳥的種類數(shù)與海拔高度的散點圖，如圖所示，從散點圖中散點的分布看，鳥的種類數(shù)與海拔高度正相關，鳥的種類數(shù)在海拔高度1000m以上的明顯多于在海拔高度1000m以下的．但從局部看，不管是在海拔高度1000m以上，還是在海拔高度1000m以下，鳥的種類數(shù)和海拔高度正相關都不明顯．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化環(huán)節(jié)六歸納總結,反思提升1．知識清單：(1