第七章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的

無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIRDF)的設(shè)計(jì)7.1數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)環(huán)節(jié)，是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器的本質(zhì)是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。

１）

經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波器達(dá)到濾波目的）數(shù)字濾波器的分類:

現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號(hào)）

2)按通頻帶不同,可分為:

低通濾波器(LP)

高通濾波器(HP)

帶通濾波器(BP)

帶阻濾波器(BS)它們的理想幅頻特性如圖6.1.1所示:

圖7.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，在頻域具有周期性，周期是2

，其特性又對(duì)稱于折疊頻率

，所以我們討論的頻率范圍0~

。

3)按其單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)短，可分為無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器，簡(jiǎn)記為IIRDF。和有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器，簡(jiǎn)記為FIRDF。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：由給定的數(shù)字濾波器頻率特性的指標(biāo),確定M和N及系數(shù)ar,br從而得到數(shù)字濾波器H(z).數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法１）

IIR濾波器設(shè)計(jì)方法借助模擬濾波器設(shè)計(jì)方法：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)：直接在頻域或時(shí)域設(shè)計(jì)２）FIR濾波器設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法頻率采樣法等波紋逼近法——需計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)３）線性相位濾波器設(shè)計(jì)方法FIR濾波器：常用（相位特性嚴(yán)格線性，這是AF無法達(dá)到的）IIR濾波器：必須使用全通網(wǎng)絡(luò)對(duì)其非線性相位特性進(jìn)行相位校正

其設(shè)計(jì)步驟是：IIRDF的設(shè)計(jì)方法有：間接設(shè)計(jì)法（AF變換方法）、直接設(shè)計(jì)法及采用計(jì)算機(jī)輔助的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是間接設(shè)計(jì)法：即借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。(1)將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求。(2)設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。(3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。AF濾波器設(shè)計(jì)(1)將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)。(2)設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。(3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法AF濾波器設(shè)計(jì)(1)將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)。(2)設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。(3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法AF濾波器設(shè)計(jì)(1)將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)。(2)設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。(3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法H(s)頻率變換設(shè)計(jì)原型低通濾波器復(fù)頻率變換Wp,Ws如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?1.脈沖響應(yīng)不變法:2.雙線性變換法使DF的h(n)近似于AF的ha(t):使描述DF的差分方程式近似于描述AF的微分方程

所以，已知H（S）通過變換

可以得到DF的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）。

7．2用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法是使：DF的

即對(duì)模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，得到ha(nT)，將ha(nT)作為DF的h(n)，由h(n)求出H（Z），作為DF的系統(tǒng)函數(shù)。

映射關(guān)系：

當(dāng)σ<0時(shí)，r<1說明S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓周內(nèi)

當(dāng)σ=0時(shí)，r=1說明S平面的jΩ軸映射到Z平面的單位圓周

當(dāng)σ>0時(shí)，r>1說明S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓周外。

映射關(guān)系

令：因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)

所以多個(gè)S值映射為單個(gè)Z值。S平面的jΩ軸映射為Z平面的單位圓周，所以ΩT每增加或減少2

，即Ω增加或減少2

/T,對(duì)應(yīng)于單位圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周。S平面上每一條寬為2

/T的橫帶部分都將重疊地映射為整個(gè)Z平面，每一條橫帶的左、右半平面分別映射為單位園內(nèi)、外。如圖7.2.1所示：

但存在映射多值性問題:

以上分析說明：映射的是H（Z）與H（S）周期延拓的關(guān)系，而不是H（Z）與H（S）本身的關(guān)系。即：

圖7.2.1s平面與z平面之間的映射關(guān)系

圖7.2.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

可看出：如果Ha(jΩ)中有些分量的頻率大于Ωs/2(=π/T),則DF的H(ejw)中必然產(chǎn)生混疊現(xiàn)象,設(shè)計(jì)出的DF的響應(yīng)就會(huì)產(chǎn)生失真，所以要求：AF的頻響Ha(jΩ)的最高頻率Ωh≤π/T。即：

其關(guān)系如圖7.2.2所示：

脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)

缺點(diǎn)：存在頻譜混疊，故不能用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)高通、帶阻等濾波器。優(yōu)點(diǎn)：數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率關(guān)系為線性

總結(jié)：用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRDF的步驟為：

1、通過w=ΩT將給定的DF的技術(shù)要求轉(zhuǎn)化為AF的技術(shù)要求

2、設(shè)計(jì)此AF，得到Ha(S)

3、對(duì)H(s)進(jìn)行Laplace反變換求得ha(t)

4、令

5、求H（Z）。

實(shí)際上問題可簡(jiǎn)化，一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為:

則對(duì)應(yīng)的DF的二階基本節(jié)的形式為

如果Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)實(shí)數(shù)，則AF是一階基本節(jié)的形式:

則DF為：

如果AF的二階基本節(jié)的形式為

則對(duì)應(yīng)的DF的形式：

例7.2.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

解：

以T=1s代入，用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則

分別畫出它們的幅頻特性如圖7.2.3所示。其中圖7.2.3(a)表示模擬濾波器的幅頻特性。

圖7.2.3例7.2.1的幅度特性

由

可求得

7．3用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器雙線性變換法的基本思想是：讓描述DF的差分方程近似描述AF的微分方程H（Z）與Ha（S）之間存在如下關(guān)系：

∴

當(dāng)σ<0時(shí)，|Z|<1說明S左半平面映射到Z平面的單位圓周內(nèi)

當(dāng)σ=0時(shí),|Z|=1說明S平面的jΩ軸映射到Z平面的單位圓周

當(dāng)σ>0時(shí),|Z|>1說明S右半平面映射到Z平面的單位圓周外。

映射關(guān)系是否滿足條件：

設(shè)：

因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)

令s=jΩ,z=ejω，有：頻率變換關(guān)系：的關(guān)系如圖所示：

S域的jΩ軸映射為Z域的單位園上，映射關(guān)系具有唯一性。

從的關(guān)系可看出：Ω與ω是非線性的，即：

AF的頻率特性在DF中不能得到保持.

即在給定DF的ωs,ωp后，在設(shè)計(jì)AF濾波器時(shí)，并不直接按這個(gè)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)，而是先通過

進(jìn)行預(yù)變形，根據(jù)Ωp,Ωs進(jìn)行AF的設(shè)計(jì)，求出H（S），

再用

代入，即可求出DF的H（Z）。

采用預(yù)變形矯正法，可以克服這個(gè)缺點(diǎn)：(2)通過預(yù)變形法

，將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率指標(biāo)。

(3)按照模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器Ha(s)。

(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

總結(jié)：利用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIRDF的步驟:

(1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格供設(shè)計(jì)時(shí)使用。

設(shè)

系數(shù)Ak

、Bk和ak

、bk之間的關(guān)系列于下表中。

例7．3．1：設(shè)有一數(shù)字處理系統(tǒng)，它的抽樣頻率fsa為2000Hz，希望在此系統(tǒng)中設(shè)計(jì)一個(gè)一階低通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為3dB，通帶上限頻率fp為400Hz

解：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

2、經(jīng)過預(yù)變形得

數(shù)字低通系統(tǒng)函數(shù)：

一階巴特沃思模擬LP

解:

(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.8πrad,αp=3dB;

ωs=0.44πrad,αs=15dB

例7.3.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。

(3)模擬原型低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：

2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：

令T=1，則有

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。

(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：

模擬高通Ha(s)：解

(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為

通帶上截止頻率ωu=0.4πrad,通帶下截止頻率ωl=0.3πrad,阻帶上截止頻率ωs2=0.5πrad,阻帶下截止頻率ωs1=0.2πrad

通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。

例7.3.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。

(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：

λp=1

(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：

設(shè)T=1，則有

取λs=2.902

設(shè)計(jì)模擬歸一低通濾波器：

查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),

(6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。

(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：

7.4利用Matlab設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

1、脈沖響應(yīng)不變法Impinvar()

調(diào)用格式：式中：為AF系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)為DF系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)2、雙線性變換法

調(diào)用格式：數(shù)字角頻率的取值范圍，而Matlab工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率

其中：wp：通帶截頻。當(dāng)為帶通、帶阻時(shí)，wp應(yīng)為兩個(gè)元素的向量。

ws：阻帶截頻。當(dāng)為帶通、帶阻時(shí)，ws應(yīng)為兩個(gè)元素的向量。

αp：通帶最大衰減。

αs：阻帶最小衰減。

N：返回的濾波器的最小階數(shù)

Wn：濾波器的截止頻率（3dB時(shí)的頻率）。對(duì)于帶通和帶阻，wn為兩個(gè)元素的向量。

3：求階數(shù)N調(diào)用格式：