第二章一階電路的暫態(tài)分析

第二章一階電路2.一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解；

重點(diǎn)4.了解一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)。3.熟練掌握三要素法，穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；1.動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；

常用元件的時(shí)域伏安特性§電阻元件時(shí)域伏安特性

常見的電阻元件（電阻值）是一種耗能元件，在電路中起電位平衡的作用。根據(jù)電阻元件端口伏安特性（端口電壓和電流的函數(shù)關(guān)系，即），可以將電阻分為線性定常電阻、線性時(shí)變電阻、非線性定常電阻和非線性時(shí)變電阻。1.線性定常電阻（1）定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻，其端點(diǎn)間的電壓（簡(jiǎn)稱端電壓）和通過(guò)其中的電流之間的關(guān)系可以用平面上的一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線所確定，則此電阻為線性定常電阻（2）線性定常電阻的時(shí)域伏安特性

根據(jù)歐姆定理可知：當(dāng)電阻（直線的斜率）為一個(gè)常量時(shí)，電阻元件的端口伏安特性如圖1-14(b)所示：

圖1-14（a）圖1-14(b)關(guān)聯(lián)參考方向電阻電路線性電阻元件的伏安特性曲線2.非線性定常電阻

（1）定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻，其端電壓和通過(guò)其中的電流之間的關(guān)系可以用平面上經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條曲線所確定（該曲線不隨時(shí)間而變），則此電阻為非線性定常電阻（2）非線性定常電阻時(shí)域伏安特性由任一時(shí)刻電阻元件的端口伏安特性都符合歐姆定理可知：

但非線性定常電阻為一個(gè)變量，當(dāng)電壓（電流）發(fā)生變化時(shí)端口伏安特性按照一定的規(guī)律變化，即或

定常是指電阻不隨時(shí)間而變。非線性是指電壓電流的關(guān)系為非線性關(guān)系，如二極管的伏安特性圖1-15(b)圖1-15（a）

圖1-15(b)3.時(shí)變電阻（1）定義：一個(gè)二端元件，如果在不同時(shí)刻，其端電壓和通過(guò)其中的電流之間的關(guān)系可以用平面上的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的不同形狀的曲線所確定，則稱此電阻為時(shí)變電阻圖1-16（a）

圖1-16（b）

線性時(shí)變電阻元件的伏安特性曲線

非線性時(shí)變電阻的伏安特性曲線

§電容元件時(shí)域伏安特性無(wú)記憶性的元件

即流過(guò)電阻的電流只與當(dāng)前電阻的端電壓有關(guān)，而與電阻的“過(guò)去”無(wú)關(guān)。

記憶性元件

電容和電感卻不同，由于他們是儲(chǔ)能元件，本身并不消耗能量，所以，流過(guò)電容和電感與他們“過(guò)去”的狀態(tài)（過(guò)去的電壓或者電流）有關(guān)電容凡是能儲(chǔ)存電荷（電場(chǎng)能）的都可以稱為電容，而我們通常所講的電容器簡(jiǎn)化為由兩個(gè)金屬極板和介于其間的電介質(zhì)所組成。電容器帶電時(shí)常使兩極板帶上等量異種的電荷(或使一板帶電，另一板接地，借感應(yīng)起電而帶上等量異種電荷)。

電容器的電容定義為電容器一個(gè)極板所帶電荷(指它的絕對(duì)值)和兩極板的電勢(shì)差(不是某一極板的電勢(shì))之比即：（1-14）1.電容的伏安特性在高中物理中我們已經(jīng)詳細(xì)地介紹了電容的結(jié)構(gòu)，下面我們對(duì)電容的伏安特性進(jìn)行研究。在電容的兩端加上電壓，如圖（1-17）所示，則流過(guò)電容的電流將如何變化呢？圖1-17關(guān)聯(lián)參考方向下的電容器電路單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電量稱為電流我們知道電容的基本結(jié)構(gòu)是把兩塊金屬極板用絕緣介質(zhì)隔開，而絕緣的介質(zhì)是不能傳導(dǎo)電流的，也就是通過(guò)電容介質(zhì)的電流應(yīng)該等于零！但根據(jù)電流的定義

即只要

就有

就是說(shuō)只要電荷發(fā)生變化就會(huì)產(chǎn)生電流。如何使電容存儲(chǔ)的電荷發(fā)生變化呢？只要在電容兩端加上時(shí)變電壓就可以使電容存儲(chǔ)的電荷發(fā)生變化。下面我們進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)：

兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)：從電容的伏安特性方程（1-16）可知：由于電容的端電壓由積分表達(dá)，他與流過(guò)電容的“過(guò)去電流”有關(guān)，表明電容的端電壓不能“突變”，因此，電容的端電壓是“過(guò)程量”。而流過(guò)電容的電流由微分表達(dá)，因此流過(guò)電容的電流可以“突變”。

2.電容的儲(chǔ)能電容的儲(chǔ)能原理：由于電容的介質(zhì)是一種絕緣體，電容在外電源的作用下，兩塊極板上能分別存貯等量的異性電荷。當(dāng)外電源撤走后，這些電荷依靠電場(chǎng)力的作用互相吸引，而又為介質(zhì)所絕緣不能中和，因而極板上的電荷能長(zhǎng)久地存貯下去電容儲(chǔ)存的電能的數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)任一瞬間，電容上儲(chǔ)存的電能只與電容這一瞬間的端電壓平方成正比、與電容的容量成正比，因此，電容元件儲(chǔ)存的電能是“狀態(tài)量”?！祀姼性r(shí)域伏安特性電感：當(dāng)有電流通過(guò)導(dǎo)線時(shí)就會(huì)在導(dǎo)線的周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)，如果我們把導(dǎo)線繞制成如圖1-18（a）所示形狀，則我們稱之為電感。電感是一種能夠存貯磁場(chǎng)能量元件

圖1-18(a)用導(dǎo)線繞制的電感圖1-18（b）電感元件符號(hào)線圈周圍磁場(chǎng)的大小與通過(guò)線圈的電流大小有關(guān)：（1-18）通過(guò)線圈的電流在其周圍產(chǎn)生的磁鏈

正值常數(shù)，稱為電感

1.電感元件的時(shí)域伏安特性

根據(jù)電磁感應(yīng)定理，當(dāng)通過(guò)線圈的磁通量發(fā)生變化時(shí)，在線圈的端口就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì)，感應(yīng)電勢(shì)的大小與磁通量的變化率成正比，感應(yīng)電勢(shì)的方向總是抑制磁通量變化。即：（1-19）由（1-18）得：（1-20）于是得電感的感應(yīng)電勢(shì)方程（1-21）從圖1-18（b）可知：得電感的伏安特性方程：

（1-22）從電感的伏安特性方程（1-22）可知：由于電流由積分表達(dá)，他與電感兩端的“電壓”有關(guān)，表明流過(guò)電感的電流不能“突變”，因此，流過(guò)電感的電流只能慢慢增加。而電感上的電壓由微分表達(dá)，因此電感上的電壓可以“突變”。2.電感元件的儲(chǔ)能

電感元件儲(chǔ)存的磁能推導(dǎo)如下：可知：任一瞬間，電感元件中儲(chǔ)存的磁能只與電感這一瞬間的電流的平方成正比、與電感的電感量成正比，因此，電感元件儲(chǔ)存的磁能是“狀態(tài)量”。含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。特點(diǎn)：1.動(dòng)態(tài)電路2.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件

當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過(guò)程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過(guò)程稱為電路的過(guò)渡過(guò)程。例+-usR1R2（t=0）i0ti過(guò)渡期為零電阻電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC

=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUsRCi

(t→

)前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過(guò)渡期電容電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL

=0uL=0,i=Us/RK接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?UL有一過(guò)渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→

)電感電路K未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL

=

uL=0,i=Us/RK斷開瞬間K+–uLUsRLi+–uLUsRLi

(t→

)注意工程實(shí)際中的過(guò)電壓過(guò)電流現(xiàn)象過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因

電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件

L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來(lái)完成。電路狀態(tài)發(fā)生變化換路結(jié)構(gòu)發(fā)生變換（支路接入或斷開）電路參數(shù)變化應(yīng)用KVL和電容的VCR得：+–uCus（t）RCi

(t>0)2.動(dòng)態(tài)電路的方程+–uLus（t）RLi

(t>0)有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路應(yīng)用KVL和電感的VCR得：+–uLuS（t）RLi

(t>0)CuC＋－＋－二階電路一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。（1）描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：（2）動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)；二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。高階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。

動(dòng)態(tài)電路的分析方法（1）根據(jù)KVl、KCL和VCR建立微分方程復(fù)頻域分析法時(shí)域分析法

（2）求解微分方程經(jīng)典法狀態(tài)變量法數(shù)值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法付氏變換本章采用

工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。(1)t=0＋與t=0－的概念認(rèn)為換路在

t=0時(shí)刻進(jìn)行0－

換路前一瞬間0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時(shí)u，i

及其各階導(dǎo)數(shù)的值0－0＋0tf(t)t=0+時(shí)刻當(dāng)i()為有限值時(shí)iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。(2)電容的初始條件0q

=CuC電荷守恒結(jié)論當(dāng)u為有限值時(shí)

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L(3)電感的初始條件t=0+時(shí)刻0磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結(jié)論

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）換路定律（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意:

換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。

換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。（2）換路定律反映了能量不能躍變。5.電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效電路(1)由0－電路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效電路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k電容開路電容用電壓源替代

iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時(shí)閉合開關(guān)k,求uL(0+)iL+uL-L10VK1

4

+uL-10V1

4

0+電路2A先求由換路定律:電感用電流源替代10V1

4

解電感短路求初始值的步驟:1.由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+電路uL+–iCRISRIS+–0－電路RIS由0－電路得：由0＋電路得：例3iL+uL-LK2

+-48V3

2

C求K閉合瞬間各支路電流和電感電壓解由0－電路得：12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL由0+電路得：iL2

+-48V3

2

+－uC例4求K閉合瞬間流過(guò)它的電流值。iL+200V-LK100+uC100

100

C－解（1）確定0－值（2）給出0＋等效電路1A+200V-100+100V100

100

－+uL－iC2.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能所產(chǎn)生的電壓和電流。1.

RC電路的零輸入響應(yīng)已知uC

(0－)=U0特征根特征方程RCp+1=0則

uR=Ri零輸入響應(yīng)iK(t=0)+–uRC+–uCR代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時(shí)間常數(shù)

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；從以上各式可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變

（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短

=RC

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短電壓初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長(zhǎng)U0tuc0

小

大C大（R一定）

W=Cu2/2

儲(chǔ)能大物理含義工程上認(rèn)為,經(jīng)過(guò)3

－5

,過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來(lái)電壓32.8%所需的時(shí)間。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0

e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

（3）能量關(guān)系

電容不斷釋放能量被電阻吸收,

直到全部消耗完畢.設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例

已知圖示電路中的電容原本充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：i3K3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1t>0等效電路分流得：2.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；

（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān)；令

=L/R

,稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放電過(guò)程消耗能量小放電慢

大

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短物理含義時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短

=L/R電流初值i(0)一定：（3）能量關(guān)系

電感不斷釋放能量被電阻吸收,

直到全部消耗完畢.設(shè)iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V損壞。例1t=0時(shí),打開開關(guān)K，求uv。現(xiàn)象：電壓表壞了電壓表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V例2t=0時(shí),開關(guān)K由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解iLK(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12t>0iL+–uLR小結(jié)4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路

=RC

,

RL電路

=L/RR為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加輸入激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=02.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次線性常微分方程解答形式為：1.

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解與輸入激勵(lì)的形式相同，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0A=－

US由初始條件uC

(0+)=0

定積分常數(shù)A的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)分量）的特解-USuC‘uC“USti0tuc0

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）+

（2）響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)

＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。

（3）響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；（4）能量關(guān)系電容儲(chǔ)存：電源提供能量：電阻消耗RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。例t=0時(shí),開關(guān)K閉合，已知

uC（0－）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t。解500

10

F+-100VK+－uCi(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t1秒，uC＝80V2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，電路方程為：tuLUStiL00例1t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>0例2t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的及電流源的端電壓。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡(jiǎn)電路，有：iLK+–uL2H10

2A10

5

+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－2.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答為uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC電路為例，電路微分方程：

=RC1.全響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解uC'=US暫態(tài)解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A2.全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)

=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)（1）著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC

(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全響應(yīng)=

零狀態(tài)響應(yīng)

+零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(2).

著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0例1t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后的iL、uL解這是一個(gè)RL電路全響應(yīng)問題，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時(shí),開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是一個(gè)RC電路全響應(yīng)問題，有：+–10V1A1

+－uC1

+－